Проклятие гения, плата за извлечение

Проверка, от которой ждали приговора формуле, его не вынесла. Сильный вариант не устоял в тех словах, какими его произносят, но догадка, жившая под этими словами, пережила проверку, хотя и не получила подтверждения. Зато изменился сам вопрос. Данные, отбор и спокойные жизни ударили по способу судить о плате, а её наличие оставили открытым: формула ломается там, где узнаёт плату по видимому несчастью. Если так, то вопрос «почему гении страдают» задан не о том; но это пока гипотеза, потому что сколько отдал каждый из двоих, никто не знает. Порог культурной памяти стоит, где стоял. Сюжет Чаттертона его пересёк; ровная жизнь Гайдна осталась под ним, хотя имени его отбор не стёр. Канон проклятых описывает то, что пересекло порог, и молчит о том, что осталось под ним, а мы, разглядывая канон, до сих пор смотрели туда же, куда и он. Ниже порога не обязательно пусто: там просто нечего различить тем зрением, которое мы принесли с собой. Но что мы разглядим под порогом, если у нас нет понятия ни об извлечении, за которое платят, ни о самой плате, когда она не несчастье, ни о видимости платы?

Часть II. Закон

Аксиома и оси.

Слово «плата» несло на себе весь разговор о мифе и так и осталось словом. Каждый слой мифа называл его по-своему — утратой самопринадлежности, неустойчивостью, судьбой, болезнью, — и все эти имена сходились лишь в одной интуиции: у дара есть носитель, и носитель что-то теряет. Интуиция, может быть, и верная, но понятием она ещё не стала. Пока понятия нет, нельзя даже строго спросить, почему проклятым назван Чаттертон, а не Гайдн: чтобы сравнивать двоих, нужно знать, что именно у каждого взято и от чего зависит, заметно ли взятое со стороны. Нужен инструмент, и не всякий. Объяснение, которое подходит к любому случаю, ничего не объясняет; инструмент годится, только если про него заранее ясно, какой случай заставил бы от него отказаться.

Образец такого инструмента давно есть в обычной жизни. Бухгалтер к любому расходу задаёт одни и те же вопросы: кто плательщик, в каком периоде, на одном ли счёте, отражён ли расход в учёте. Ни один из них не о величине. Расход, перенесённый на чужой счёт, отнесённый на будущий год или разнесённый мелкими суммами по сотне статей, меньше не становится; он только перестаёт значиться там, где его ищут, и пустая графа ещё не доказывает, что платить было не за что. Но вопросы бухгалтера имеют смысл лишь там, где известно, что считать расходом и чем он вносится.

Глава 4. Достать, а не сделать

Пока слово «плата» ничего не различает, его можно приложить к чему угодно. Ранняя смерть — плата, долгая ровная жизнь на службе — тоже плата, только незаметная; бедность — плата, достаток — плата другого рода. Раз так, оно ничего и не запрещает и в таком виде остаётся метафорой, пусть и верной по чувству. Сделать его понятием, начав с него самого, не выйдет: плата всегда бывает за что-то, и пока это что-то не названо, считать нечего. Значит, начинать приходится с глагола, с той операции, за которую платят, если платят вообще. Обычная речь здесь не помогает: в ней «сделал», «создал» и «придумал» легко заменяют друг друга. Между тем есть вещи, которые можно заказать, отдав мастеру чертёж и материал, и есть вещи, которых заказать нельзя, потому что никто не знает, что заказывать. Разница кажется слишком будничной, чтобы на ней что-то строить: в ней нет ни вдохновения, ни избранности, только вопрос, можно ли описать работу прежде, чем она сделана. С неё и начинается закон.

4.1. Два глагола: изготовить и извлечь; граница не метафорическая

Столяру приносят чертёж: столешница метр двадцать на восемьдесят, четыре ножки, царги на шипах, лак в два слоя. Дальше всё известно заранее. Есть доска нужной породы и сушки, есть порядок операций, которому учат в училище, есть руки, которые этот порядок знают. Всё, что идёт в работу, — материал, известную процедуру, труд — будем называть вложенным. Работа может быть долгой и требовать мастерства, стол может выйти аккуратным или небрежным, но в готовом столе нет ничего, чего не было бы во вложенном. Отдайте тот же чертёж и те же доски другому столяру того же уровня, и получится тот же стол; отличить один от другого сумеют разве что сами мастера. У такого стола нет тайны. Упрёка в этом нет: хороший стол — хорошая вещь, и сделать его трудно. Трудность здесь просто не решает дела. Решает другое: результат выводим из вложенного, и повторить его может любой, у кого есть то же. Для такой операции в языке есть точный глагол — изготовить. Им описывается огромная часть того, что люди делают каждый день, и описывается без остатка. Остаётся проверить, всё ли, что люди делают, в него укладывается.

Возьмём задачу, над которой бьются давно и которая не поддаётся по особой причине: никто не знает, как её поставить. Неясно, что в ней существенно, что можно отбросить, на каком языке о ней говорить. Попробуем заказать её решение так, как заказывают стол. Чертёж к заказу не приложить: знай заказчик, что именно нужно сделать, задача была бы уже наполовину решена. Можно собрать десять знающих людей, дать им всё, что известно, и сколько угодно времени, но никакое количество вложенного не гарантирует, что решение придёт. Неудача здесь не упрёк усердию: десять человек могут работать честно и долго и не продвинуться ни на шаг, потому что неизвестно, в какую сторону двигаться. Если решение всё-таки приходит, то приходит как что-то, чего в исходном не было. Его не получить сложением того, что знали участники; оно меняет сам способ смотреть на это знание, и после него прежние сведения складываются иначе. Его нельзя заказать по спецификации, потому что спецификация и есть то, чего не хватало. На этом месте первый глагол перестаёт работать. Стол собирают из того, что лежит на верстаке. Решение такой задачи нельзя собрать из того, что было под рукой у решавших, хотя без этого его тоже не было бы.

История математики хранит случай, где это видно почти в чистом виде. В Кёнигсберге семь мостов соединяли два острова на Прегеле друг с другом и с берегами, и горожане спрашивали, можно ли обойти город, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Вопрос был задан, но не поставлен. По словам самого Эйлера, одни считали такой обход невозможным, другие сомневались, но никто не утверждал, что он возможен; перебор всех маршрутов, замечает он, был бы утомителен, а для другого города с бо́льшим числом мостов и вовсе невыполним. Эйлер в середине 1730-х годов решил задачу, сначала решив, о чём она. Длина мостов, очертания островов, расстояния и улицы оказались несущественны; существенно только, какой участок суши с каким соединён и сколькими мостами. Когда от города остались четыре участка, обозначенные буквами, и мосты между ними, остальное решил подсчёт: к каждому из четырёх участков ведёт нечётное число мостов, а такой обход возможен, лишь если подобных участков не больше двух. С этой работы принято вести начало теории графов. Важно здесь другое. Того, что сделал Эйлер, не было в вопросе горожан, не было в карте города и не было в геометрии того времени: сам Эйлер отнёс задачу к «геометрии положения», о которой, по его словам, Лейбниц лишь упомянул, а что к ней относится и как в ней рассуждать, оставалось почти неизвестным. Вопрос дошёл до него как городская головоломка, но вместе с вопросом нельзя было заказать способ ответа: заказ пришлось бы составить на языке, который Эйлер только что придумал. Извлечь — значит достать то, чего не было в наличии.

Легко решить, что граница разделяет занятия: по одну сторону столярное дело, по другую математика. Пара примеров из одного ремесла показывает, что это не так. Один и тот же переводчик утром переводит инструкцию к стиральной машине, а вечером стихотворение. В инструкции у каждой фразы одно назначение, и его надо сохранить: нажать, не превышать, отключить от сети. Двое грамотных переводчиков дадут почти один и тот же текст, а если разойдутся, значит, кто-то из них ошибся. Со стихотворением так не выходит. В нём одновременно держатся смысл, размер, звук и грамматика, удержать всё сразу в другом языке нельзя, и правила, которое сказало бы, чем пожертвовать, не существует. У Гейне одинокое дерево на северной вершине видит во сне пальму далеко на Востоке, и немецкое слово, которым названо дерево, мужского рода, так что сон получается сном одного о другой. Лермонтов пишет «сосна», и эта пара исчезает. Тютчев, переводя те же строки, ставит «кедр» и пару сохраняет. Вложенное у обоих было одно: оригинал, два языка, ремесло стиха. Получились разные стихотворения. Филологи спорят, какое из них ближе к Гейне, но этот спор не решается сверкой по правилу, как решается спор о переводе инструкции. Граница прошла внутри одного занятия, и задал её один критерий: выводим ли результат из вложенного.

Если так, то в любом ремесле есть зона извлечения, а в любом искусстве — зона изготовления. Столяр, которому нужно вписать лестницу в старый дом, где ни один угол не прямой и ни одна стена не отвесна, остаётся без чертежа, пока сам его не найдёт; и найденное им решение уже не следует из учебника, хотя опирается на него. Переводчик инструкции однажды натыкается на вещь, для которой в его языке ещё нет слова, и никакой словарь не подскажет, каким оно должно быть. С другой стороны, в мастерских старых живописцев грунтовали доски, растирали краски и прописывали драпировки по рисунку мастера, и всё это было изготовлением в строгом смысле: тот же грунт и та же краска у любого выученного подмастерья. Поэт, проверяющий размер строки, считает слоги так же, как наборщик считает строки. И у Эйлера в той же работе есть страницы чистого изготовления: когда способ найден, сосчитать мосты для любого другого города может каждый, кто его прочёл. Ни одно занятие не состоит из одного глагола, и ни одна профессия не гарантирует, что сегодня в ней понадобится второй. Различаются здесь операции; люди и цеха лишь чаще или реже имеют дело с той или другой. Граница между изготовлением и извлечением есть, и она содержательна. И проходит она не между ремеслом и искусством, а внутри каждого из них.

Отсюда трудность, которую не обойти. Пока примеры подобраны парами, разница очевидна: стол и мосты, инструкция и Гейне. Но если граница проходит внутри каждого занятия, вывеска ничего не сообщает. Готовый перевод стихотворения лежит на странице так же, как перевод инструкции, лестница в старом доме выглядит обычной лестницей, а работа Эйлера сегодня занимает несколько страниц учебника. Не выдают границу и внешние мерки. Хороший стол может занять месяц, а удачная строка перевода прийти за вечер; знаменитая профессия не обещает извлечения, скромная его не исключает. Ни затраченное время, ни усилие, ни слава цеха не говорят, выводим ли результат из вложенного. Сам работающий тоже не всегда знает, в какой из двух зон находится, и нередко узнаёт об этом лишь тогда, когда привычная процедура перестаёт давать результат. Слово «извлечь» к тому же подсказывает, что достают откуда-то, но откуда, слово не говорит, и вычитывать из него ответ не стоит. По какому же признаку узнать извлечение там, где о нём не говорит ни вид занятия, ни вид результата, и что, собственно, значит, что результат не выводится из вложенного?

4.2. Рабочее определение: извлечение — операция, результат которой не выводится из вложенного

Самое известное свидетельство о том, как приходит математическое открытие, оставил человек, умевший объяснять его неспециалистам. В 1908 году Анри Пуанкаре прочёл в Париже доклад, напечатанный под названием «Математическое творчество», и рассказал в нём, как работал над функциями, которые позже назвал фуксовыми. Сначала он недели две пытался доказать, что функций такого рода быть не может, каждый день час-другой сидел над задачей и перебирал комбинации без всякого толку; потом, после бессонной ночи, убедился в обратном, и работа пошла, но была ещё далека от конца. В эти дни он уехал из Кана, где жил, в геологическую поездку, и дорожные впечатления заставили его забыть о математике. В Кутансе участники поездки садились в омнибус, и в ту минуту, когда Пуанкаре ставил ногу на подножку, ему пришла мысль, к которой, по его словам, ничто в прежних размышлениях как будто не подводило: преобразования, которыми он определял свои функции, те же самые, что преобразования неевклидовой геометрии. Проверять он не стал, да и не успел бы: сев на место, продолжил начатый разговор. Уверенность, пишет он, была полной. Проверку он сделал позже, вернувшись в Кан, на свежую голову и, как сам говорит, для очистки совести.

Почти сорок лет спустя Жак Адамар, сам крупный математик, сделал этот рассказ одной из опор своей книги «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945). Он сопоставил его со свидетельствами других математиков и описал ход открытия, который у многих повторяется: долгая сознательная работа, ничего не дающая; перерыв, когда о задаче как будто не думают; внезапное прояснение; и снова сознательная работа, то есть проверка. Как устроен перерыв и откуда берётся прояснение, спорили и при Адамаре, и после него, и сам он осторожно взвешивал разные объяснения; книге этот спор не нужен, ей нужна одна деталь, которую подчёркивают и Пуанкаре, и Адамар. Получить результат и проверить его — разные дела, разнесённые во времени и устроенные по-разному. Получение пришло на подножке омнибуса, без бумаги и без расчёта. Проверка ждала до Кана и шла тем порядком, каким идёт любая выкладка. Пуанкаре сам оговаривает, что чувство полной уверенности в такие минуты иногда обманывает, поэтому проверка и нужна; но верным или неверным оказалось бы озарение, пришло оно не тем путём, каким потом проверялось. Этой разницей путей и можно воспользоваться, чтобы сказать точнее, чем решение задачи отличается от стола, сделанного по чертежу.

Теперь можно дать определение, и статус его стоит назвать сразу: это определение, оно задаёт смысл слова «извлечение» и ничего сверх этого не утверждает. Извлечение — операция, результат которой не выводится из вложенного. Слова «не выводится» нуждаются в уточнении, иначе определение пусто, ведь задним числом выводится едва ли не всё. Будем понимать их так: результат не мог быть ни предсказан, ни воспроизведён по вложенному до получения. У Пуанкаре вложенное известно почти целиком: теория функций, неевклидова геометрия, две недели упорного труда. Всё это было при нём и до поездки, и никакая перестановка этих частей ответа не давала; знай он заранее, что искать надо тождество двух родов преобразований, искать было бы уже почти нечего. Тот, кто взял бы его черновики за эти две недели, не смог бы ни предсказать, к чему он придёт, ни повторить шаг, которого в черновиках нет. Стол по чертежу определение отсекает без колебаний: по чертежу и доскам готовый стол предсказуем до последней царги, и второй столяр его воспроизведёт, не видя первого. Слова «до получения» поэтому стоят в определении не для аккуратности. Без них оно не отличило бы одного случая от другого.

Зачем они нужны, показывает любой решённый вопрос. Получив результат, мы часто находим его очевидным. Отгадка загадки, услышанная однажды, кажется единственно возможной, и непонятно, как её можно было не найти; тот, кто полчаса бился над ней, теперь не может вспомнить, в чём было затруднение. Решение Эйлера о мостах сегодня объясняют школьникам за урок, и оно выглядит простым подсчётом. Совпадение, найденное Пуанкаре, вошло в учебники как цепь шагов, из которых каждый следует из предыдущего. Математик пишет доказательство, когда результат у него уже есть, и пишет так, чтобы читатель прошёл от известного к новому, не сделав ни одного прыжка: доказательство и есть способ вывести результат из вложенного, предъявленный задним числом. Пути получения в нём нет. Назовём это ретроспективной выводимостью: задним числом извлечённое выглядит выводимым, то есть изготовленным. Если судить по готовому, а судят обычно именно по нему, граница между двумя глаголами почти стирается, и всякое открытие становится работой, которую никто просто не догадался проделать раньше. Отсюда же, отметим лишь мимоходом, растёт иллюзия бесплатности: выведенное кажется и доставшимся даром. От этой иллюзии определение защищено двумя словами, потому что спрашивает о вложенном до получения, а не после.

По готовому результату, выходит, извлечение не распознать, и нужны признаки, которые можно проверить, не заглядывая в голову работавшему. Первый продолжает то, с чего началось различение двух глаголов: извлечённое нельзя заказать по спецификации. Спецификация описывает результат прежде, чем он есть, и для изготовления этого хватает. Попросите знакомого придумать к свадьбе смешной тост: требования перечислить легко — коротко, к месту, про жениха, без обид, — но под них подходит множество тостов, и ни одно требование не содержит того, который рассмешит гостей. Пуанкаре мог бы описать свою задачу во всех подробностях, и в описании недоставало бы только найденного тождества. Второй признак — асимметрия проверки и получения: проверить легко, получить трудно. Решение шахматного этюда проверяется на доске за несколько минут, а найти его сильный игрок может и за вечер не суметь. У Пуанкаре проверка была делом расчёта, который можно поручить любому выученному математику; получение таким делом не было. Сам по себе этот признак ещё ничего не решает. Кодовый замок тоже легко проверить и трудно открыть, но трудность там только в длине перебора, а перебор — известная процедура, и открыть замок — то же изготовление, только долгое. Эйлер, отказавшись перебирать маршруты, искал как раз другое.

Третий признак касается того, через кого проходит операция. Назовём носителем место, через которое проходит операция; в наших примерах это всякий раз человек. Признак звучит так: другой исполнитель с тем же вложенным не получает того же. Для изготовления это неверно, и в этом его смысл: второй столяр с тем же чертежом сделает тот же стол. Учитель, который нашёл для одного ученика объяснение, после которого дроби вдруг стали понятны, сделал то, чего его коллега с тем же учебником, тем же учеником и той же программой не сделал; узнав объяснение, коллега может им пользоваться, но это уже другое вложенное. Лермонтов и Тютчев с одним оригиналом Гейне получили два разных стихотворения, и знакомый пример работает теперь на третий признак. Слово «носитель» означает пока только это, место прохождения; теряет ли носитель при этом что-нибудь, признак не говорит. Нужны все три признака вместе, потому что поодиночке каждый обманывает. Асимметрию даёт и кодовый замок. Зависимость от исполнителя даёт и почерк, хотя письмо от руки не открытие. Невоспроизводимым по спецификации бывает и случайный брак. Извлечение там, где сходятся все три.

Те же признаки дают и меру, потому что у каждого есть степень: спецификация может почти исчерпывать результат или не касаться главного, проверка бывает чуть легче получения или несравнимо легче, другой исполнитель приходит к близкому или не приходит никуда. Свадебный тост извлекается неглубоко: требования подходят к нему близко, удачу проверяет смех гостей, и другой остроумный гость скажет что-нибудь не хуже. Тождество, найденное Пуанкаре, лежит на другом конце: ни одно описание задачи его не содержало, проверку можно было отложить и сделать расчётом, а получению предшествовали недели работы, которая к нему не вела, и пришло оно к нему одному. Чем сильнее выражены все три признака, тем глубже результат. Это тоже определение, и плата в нём нарочно не упомянута: глубина задана тем, как результат относится к вложенному, независимо от платы; мерка, в которую плату заложили бы заранее, потом подтверждала бы по кругу то, что в неё заложено. Здесь определение и кончается. Оно назвало разрыв между вложенным и результатом и место, через которое проходит операция. О плате оно не сказало ничего и сказать не могло: из того, что результат не выводится из вложенного, не следует, что его прохождение через носителя чего-то стоит. Можно принять каждое слово сказанного и считать, что тождество на подножке омнибуса досталось Пуанкаре даром. Чтобы утверждать обратное, понадобится шаг другого рода, и сделать его определение уже не может.

4.3. Отсюда плата: недостающее берётся из носителя. Технически, а не поэтически

Столяр отвозит заказчику готовый стол, а в тот же вечер в другом конце города человек, месяц просидевший над задачей, наконец её решает. Оба устали, оба отдали работе день, который не повторится. Скептик спросит, по какому признаку мы скажем, что второй заплатил, а первый нет. Всё, что можно предъявить, при желании найдётся и у столяра: бессонная ночь, пропущенный ужин, раздражение домашних. Если же решавший, как Пуанкаре на подножке омнибуса, получает ответ и тут же возвращается к прерванному разговору, ничем не выдавая потери, нам ничего не стоит объявить, что плата взята незаметно или будет взята позже. Слово, которое одинаково ложится на усталость и на бодрость, на потерю и на её отсутствие, ничего не различает: нельзя заранее назвать случай, о котором пришлось бы признать, что здесь его нет. Сторонник возражения добавил бы ещё одно, менее заметное. Слово взято из торговли и приносит с собой её справедливость: что получено, то оплачено. Нам хочется, чтобы большое не давалось даром, и «плата» отвечает этому желанию так хорошо, что желание легко принять за довод. Фраза о человеке, расплатившемся за свой дар, звучит убедительно именно потому, что ничем не рискует. Отвести такое возражение ссылкой на общее чувство, что за решения платят, нельзя: это чувство оно и ставит под сомнение.

В одном возражение право, и признать это нужно прежде всякого ответа: из определения плата не получается. Определение говорит две вещи. Первая — разрыв: результат превосходит вложенное, его нельзя было ни предсказать, ни воспроизвести по тому, что было в работе до получения. Вторая — место: операция проходит через носителя, и другой с тем же вложенным того же не получает. Чего в определении нет, так это ответа на вопрос, откуда берётся разница между вложенным и результатом. Тождество двух родов преобразований не лежало в черновиках Пуанкаре и не следовало из них, а в Кутансе оказалось у него в руках. Пришло ли оно из него самого, из чего-то большего, чем он, или из математики, где существовало прежде всякого математика, определению безразлично: оно засчитывает разрыв, не спрашивая, чем тот заполнен. Этот вопрос пусть пока остаётся открытым, тем более что любой ответ на него тянет за собой целую картину мира. Сейчас важнее другое. Из того, что разрыв есть и что прошёл он через носителя, о самом носителе ничего не следует: он мог пропустить разрыв через себя и выйти из операции в точности тем, кем вошёл, и определение такого случая не запрещает. Ответ скептику, выходит, вывести неоткуда. Если он будет дан, то как добавление, сделанное открыто.

Вот это добавление. Допустим: прохождение разрыва через носителя не бесплатно — оно меняет носителя или тех, кто его замещает. Книга принимает это как допущение: перед нами не вывод из определения и не обобщение наблюдений, а то, что кладётся в основание без доказательства. Это и есть аксиома в развёрнутом виде, и тот, кто принял определение целиком, вправе её отвергнуть, ни в чём себе не противореча. Шов между ними оставлен на виду нарочно. Окажись закон ложным, отвечать за это будет допущение, а различие двух глаголов останется в силе. Стоит сразу сказать и то, о чём допущение молчит. На вопрос, откуда берётся разница, оно не отвечает, как не отвечало определение. Из носителя или из тех, кто его замещает, берётся плата за прохождение разрыва; то, чем разрыв заполнен, могло прийти откуда угодно. Слова «или тех, кто его замещает» стоят в допущении с умыслом: разрыв может пройти через одного, а измениться при этом другой. Пока довольно того, что допущение произнесено и у спора появился предмет, которого у смутного чувства за словом не было.

Допущение, сказанное словами «не бесплатно», останется метафорой, пока не сказано, что считать платой. Это вторая половина ответа, и статус у неё другой: перед нами определение понятия «плата», и довода в пользу того, что она есть, в нём нет; что при извлечении она есть всегда, утверждает только допущение. Плата — то, что носитель или замещающие его теряют, меняют или расходуют сверх вложенного: ресурс, состояние, возможность. Главное здесь слово «сверх», и проверить его проще всего на столяре. Стол стоил ему нескольких дней, сил, досок, лака и затупившейся стамески. Всё это было известно до начала работы и вошло во вложенное, как входит в смету. Износ и есть такой расход, известный заранее и возмещаемый известным способом: сном, обедом, точильным камнем. После отдыха столяр подходит к верстаку тем же мастером, каким подходил неделю назад: умеет то же, видит в чертеже то же, следующий стол сделает так же. Отсюда признак платы: носитель после операции другой, чем до неё, и разница не сводится к износу. Столяр после стола тот же, и признака платы у него нет. Допущение этому не противоречит, потому что в столе нет ничего сверх вложенного. Слово, которое умеет сказать «здесь платы нет», уже нельзя упрекнуть в том, что оно ложится на всё.