Век великих споров

Как построить мгновение

Самый изящный пример логической конструкции касается времени. Идею Рассел развивал вместе с Уайтхедом. Физика говорит о мгновениях — точках времени, не имеющих продолжительности. Но никто никогда не наблюдал мгновения. Мы наблюдаем события, и у каждого из них есть хоть какая-то длительность: звук скрипки, вспышка молнии, фраза собеседника. Можно, конечно, предположить, что мгновения существуют где-то под событиями как невидимая сетка. Это и будет выведенная сущность.

Рассел поступает иначе. Возьмём группу событий, каждое из которых хотя бы частично идёт одновременно с каждым другим. Пусть к ней нельзя добавить ни одного события, не нарушив этого условия. Вот такая самая большая группа перекрывающихся событий и есть мгновение. Никакой невидимой сетки не понадобилось. Мгновение собрано из того, что мы действительно наблюдаем, так же, как число три у Фреге собрано из понятий. Тем же способом из перекрывающихся областей строятся и геометрические точки.

Рассел идёт и дальше. В «Нашем познании внешнего мира» он набрасывает, как из частных перспектив — того, как мир выглядит с разных точек зрения, — собрать общее физическое пространство и сами физические тела. Монета в таком анализе — система её видов: круглого сверху, эллиптического сбоку, крошечного издалека. Идеал строился по образцу «Principia». Несколько исходных понятий, взятых из опыта, плюс логика — и из них строго выстраивается картина мира, которую рисует физика. Сам Рассел набросал лишь эскиз. Довести его до чертежа попытается Карнап в «Логическом построении мира» (глава 5). Он обнаружит, что чертёж не сходится на самом важном участке — там, где субъективные впечатления должны превратиться в объективные физические величины.

Ни дух, ни материя

В 1921 году Рассел опубликовал «Анализ духа». В нём он принял взгляд, который раньше отвергал, — нейтральный монизм. Мир состоит не из духа и не из материи, а из нейтральных событий. Одни и те же события, сгруппированные одним способом, дают физический предмет, а сгруппированные другим — человеческий разум. Рассел прямо называл своих предшественников — Уильяма Джеймса и Эрнста Маха. Читатель второго тома помнит маховские «элементы», которые в одной связи физичны, а в другой психичны. И помнит, как их толковали недруги Маха. Рассела после этой книги тоже спешили записать то в идеалисты, то в материалисты. В действительности он пытался обойтись без обеих выведенных субстанций.

Нейтральный монизм важен для нашей истории по одной причине. Он показывает, что логический анализ не даёт однозначного ответа на вопрос «из чего состоит мир». В 1914 году Рассел строил физические тела из чувственных данных. В 1921-м он уже строил и тела, и сами чувственные данные из нейтральных событий. Метод оставался прежним, менялся выбор кирпичиков. Венские позитивисты сделают из этого радикальный вывод. Вопрос, какие кирпичики «в действительности» первичны, по их мнению, лишён смысла: это вопрос выбора языка, а не факта. Из этого вывода вырастет карнаповский принцип терпимости.

Физика знает только структуру

Рассел одним из первых среди философов взялся объяснять новую физику широкой публике. В 1925 году вышла его книга «Азбука теории относительности». До сих пор она считается одним из лучших популярных изложений Эйнштейна без формул. А в 1927 году в «Анализе материи» он сделал из новой физики философский вывод, который оказался на полвека впереди своего времени.

Рассуждение Рассела таково. О физическом мире за пределами наших восприятий мы знаем не его «внутреннюю природу», а только его структуру — систему отношений, которую выражают уравнения физики. Карта метро точно передаёт, какие станции с какими соединены, но ничего не говорит о том, как выглядят сами станции. Физика, по Расселу, похожа на такую карту. Это скромнее, чем традиционный материализм, и смелее, чем маховский позитивизм. Структура мира познаваема и реальна, даже если «начинка» нам недоступна.

У этой идеи была драматическая судьба. В 1928 году кембриджский математик Максвелл Ньюмен выдвинул возражение, которое сам Рассел признал решающим. Если сказать о мире только то, что в нём есть система отношений такого-то вида, и ничего не сказать о том, какие именно это отношения, утверждение станет почти пустым. Из достаточного числа любых предметов можно построить систему отношений любой структуры. Получается, что такая физика сообщала бы о мире только число его элементов. Рассел ответил Ньюмену письмом, в котором честно признал свою ошибку. Прошло шестьдесят лет, и в конце 1980-х идея Рассела вернулась под именем структурного реализма. Возражение Ньюмена вернулось вместе с ней. Этот спор мы разберём в четвёртом томе.

Стоит остановиться на этом эпизоде и по другой причине. Дважды за карьеру — в 1902 году с Фреге и в 1928-м с Ньюменом — Рассел оказался участником переписки, в которой короткое письмо опровергает большую книгу. В первый раз он был на месте опровергающего, во второй — опровергнутого. Оба раза на неприятное известие ответили признанием, а не увёртками. Так и выглядит научная дисциплина, которую Рассел хотел перенести в философию.

Чайник на орбите

Рассел был не только логиком, но и одним из самых ярких публицистов века. В 1950 году он получил Нобелевскую премию по литературе — случай для логика единственный. Свой научный темперамент он нес и в споры о религии, политике и суевериях. Один его аргумент стоит здесь пересказать, потому что он прямо касается сквозной темы нашей серии — границы науки.

В статье 1952 года, написанной для иллюстрированного журнала и тогда не опубликованной, Рассел предложил мысленный опыт. Пусть кто-то утверждает, что между Землёй и Марсом вокруг Солнца летает фарфоровый чайник. Чайник слишком мал, чтобы его разглядел даже самый мощный телескоп. Опровергнуть это утверждение невозможно. Но если человек на этом основании потребует, чтобы ему верили, она будет справедливо считаться чепухой. Другое дело, продолжал Рассел, если бы о чайнике писали древние книги и о нём рассказывали детям каждое воскресенье. Тогда сомнение в его существовании считалось бы признаком чудачества, а во времена инквизиции — и чем-то похуже.

Аргумент про чайник касается бремени доказывания. Доказывать должен тот, кто утверждает существование, а не тот, кто сомневается. Неопровержимость утверждения — не его сила, а его слабость. В жанре телевизионных состязаний экстрасенсов логика работает ровно наоборот: «Докажите, что на вас нет порчи». Порча на фотографии и чайник на орбите в этом смысле родные братья: опровергнуть их нельзя, и именно поэтому верить в них нет никаких оснований. Через семь глав Поппер превратит эту интуицию в критерий демаркации.

Отец, не согласный с детьми

И всё же называть Рассела логическим позитивистом в строгом смысле нельзя. Он дал движению метод — логический анализ, логические конструкции, подозрение к грамматике. Он дал и идеал — философию как научную дисциплину. Но главного догмата Венского кружка он не принял. По этому догмату смысл высказывания совпадает со способом его проверки. Рассел возражал, что мы прекрасно понимаем высказывания о прошлом, которые проверить уже никак нельзя, — скажем, «в день битвы при Гастингсе шёл дождь». В книгах «Исследование значения и истины» (1940) и «Человеческое познание, его сфера и границы» (1948) он спорил с позитивистами открыто. Рассел доказывал, что наука неизбежно выходит за пределы опыта и опирается на недоказуемые постулаты. Иначе она не смогла бы сказать ничего ни о прошлом, ни о других умах, ни о мире, когда на него никто не смотрит. Проблему индукции, с которой связана его курица, он считал реальной и нерешённой. Никаким переопределением слов её не отменить.

Парадоксальным образом это несогласие делает Рассела не менее, а более современным. Строгий верификационизм, как мы увидим в четвёртой главе, не выдержал критики. А расселовское сочетание строгого анализа с уверенностью, что наука описывает реальный мир, а не только наши ощущения, ближе к тому, к чему философия науки пришла в конце века (глава 20). Рассел остался отцом движения, который пережил своих детей — и в буквальном смысле: он умер в феврале 1970 года девяноста семи лет, пережив и Шлика, и Нейрата, и Райхенбаха.

Три лагеря: логицизм, формализм, интуиционизм

Пока Рассел переносил логику в философию, сами математики спорили о том, что делать с парадоксами. К 1920-м годам сложились три лагеря. Логицизм мы уже знаем. Перейдём к двум другим.

Гильберт и неявные определения

Уже знакомый нам по пятой главе второго тома немецкий математик Давид Гильберт в 1899 году выпустил «Основания геометрии». Идею этой книги хорошо передаёт его шутка про столы, стулья и пивные кружки, которую мы уже приводили. Неважно, что такое «точка» и «прямая». Важно лишь, чтобы они удовлетворяли аксиомам. Аксиомы не сообщают истин о заранее данных предметах, а все вместе определяют свои предметы. Такое определение стали называть неявным.

Фреге прочёл книгу и в декабре 1899 года написал Гильберту. Началась переписка, в которой два великих математика так и не поняли друг друга. Для Фреге аксиома — это истинное утверждение о вполне определённых предметах, и смысл слов в ней должен быть известен заранее. Гильберт отвечал, что смотрит на дело иначе. Если произвольно заданные аксиомы не противоречат друг другу во всех своих следствиях, то они истинны, а определяемые ими предметы существуют. Непротиворечивость и есть критерий истины и существования. Фреге счёл это смешением понятий. Из того, что описание не содержит противоречия, вовсе не следует, что описанная вещь существует. В тот момент победил Гильберт — математика XX века пошла его дорогой аксиоматических систем. Но вопрос Фреге никуда не делся. Он вернётся в спорах о том, описывают ли научные теории реальный мир или лишь непротиворечиво упорядочивают наши наблюдения.

Идея Гильберта близка к конвенционализму Анри Пуанкаре, которым заканчивался второй том. Аксиомы геометрии, по Пуанкаре, — замаскированные определения, и выбирают их по удобству. Отсюда прямой путь к карнаповскому принципу терпимости (глава 5): каждый вправе строить свой логический язык, если чётко указал его правила.

В 1920-е годы Гильберт предложил программу спасения математики, которую называют формализмом. Всю математику, включая канторовские бесконечности, надо записать как формальную систему — своего рода игру со значками по точным правилам. А затем доказать, что в этой игре никогда не возникнет противоречие. Важнейшее условие: доказательство непротиворечивости должно опираться только на самые простые и надёжные рассуждения — о конечных наборах символов на бумаге. Тогда сомнительная бесконечность окажется оправданной совершенно несомненными средствами. В 1925 году в докладе «О бесконечном» Гильберт сказал, что никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор. Фраза была направлена против вполне конкретного человека.

Брауэр: математика как построение

Этим человеком был уже знакомый нам по четырнадцатой главе второго тома голландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр. Среди математиков он был известен как тополог, автор теоремы о неподвижной точке. Но своим главным делом он считал интуиционизм. Для Брауэра математика — не логика и не игра со значками. Это деятельность ума, который строит свои объекты шаг за шагом. Существовать для математического объекта значит быть построенным, или хотя бы иметь способ его построить. Истинность утверждения значит наличие его доказательства.

Отсюда следовал самый скандальный вывод Брауэра. Закон исключённого третьего — «либо A, либо не-A» — нельзя применять к бесконечным совокупностям. Возьмём десятичную запись числа π, бесконечную и без видимой закономерности. Встречается ли в ней где-нибудь сто нулей подряд? Классический математик скажет: не знаю, но одно из двух верно — либо встречается, либо нет. Брауэр отвечает: пока мы не нашли эти нули и не доказали, что их нет, у нас нет права на это «либо — либо». Бесконечность нельзя просмотреть целиком, как конечный список. Воображать, что она где-то вся сразу готова, — это метафизика.

Читатель, знакомый с вторым томом, услышит тут странное эхо. Требование Брауэра не говорить о том, чего не построил, очень похоже на маховское «А вы их видели?» об атомах. И тот же мотив сейчас станет ключевым для Венского кружка: имеет смысл только то, что можно проверить. Доведённый до конца, он требует жертв. Интуиционистская математика отказывается от заметной части классического анализа и почти от всей канторовской теории множеств.

Война лягушек и мышей

В 1921 году на сторону Брауэра перешёл любимый ученик Гильберта, блестящий математик Герман Вейль. Он объявил, что Брауэр — это революция. Гильберт в ответ назвал такую революцию попыткой путча. Спор об основаниях математики говорил языком политики не случайно. Шли первые послевоенные годы, и слова «революция» и «путч» были у всех на слуху.

В 1928 году спор закончился некрасиво. Гильберт добился выведения Брауэра из редакционной коллегии главного математического журнала Германии, Mathematische Annalen. Для этого редколлегию пришлось распустить и собрать заново без него. Эйнштейн, тоже состоявший в редколлегии, отказался вставать на чью-либо сторону. Он назвал всю историю «войной лягушек и мышей» — по имени античной пародии на героический эпос.

Великие учёные тоже сварятся, обижаются и пользуются административным ресурсом. Но мы не станем смеяться ни над одной из сторон по существу спора. Это был не спор науки с лженаукой, а спор о том, что считать доказательством. Оба ответа оказались плодотворными. Из формализма Гильберта выросла теория доказательств — математическое изучение самих математических рассуждений. Интуиционистскую логику в 1930 году формализовал ученик Брауэра Аренд Гейтинг. Она неожиданно пригодилась в информатике. Конструктивное доказательство по сути есть алгоритм, и на этой идее сегодня работают программы автоматической проверки доказательств. Брауэр, считавший математику деятельностью живого ума, вряд ли обрадовался бы такой судьбе своих идей.

К концу 1920-х годов многим казалось, что спор решится в пользу Гильберта. Его ученики уже доказали непротиворечивость некоторых фрагментов арифметики. Оставалось, казалось, немного.

Кёнигсберг, сентябрь 1930 года

В начале сентября 1930 года в Кёнигсберге собралась конференция по теории познания точных наук. Организовали её Венский кружок и берлинская группа Райхенбаха — то есть логические позитивисты, герои наших следующих глав. Одно из заседаний посвятили основаниям математики, и каждый лагерь прислал своего докладчика. Логицизм представлял Карнап, интуиционизм — Гейтинг, формализм — молодой венгерский математик Джон фон Нейман.

В последний день, 7 сентября, в заключительной дискуссии взял слово двадцатичетырёхлетний венский логик Курт Гёдель. Он был тихим, замкнутым и известным лишь узкому кругу слушателей Венского кружка. Несколькими фразами он сообщил, что можно указать истинное арифметическое утверждение, которое нельзя доказать в системе вроде «Principia Mathematica». Почти никто из присутствующих не понял, что произошло. Понял фон Нейман. Он отвёл Гёделя в сторону, расспросил о подробностях и через несколько недель сам пришёл ко второму, ещё более разрушительному выводу. Когда он написал об этом Гёделю, выяснилось, что тот уже доказал и это.

На следующий день в том же Кёнигсберге большой доклад на съезде немецких естествоиспытателей и врачей читал Давид Гильберт, уроженец этого города. Он спорил со старым девизом физиолога Эмиля дю Буа-Реймона «Не знаем и не узнаем» (ignoramus et ignorabimus). Отрывок из речи передавали по радио, и запись сохранилась. Заканчивается она словами «Мы должны знать — мы будем знать». Гильберт не знал, что накануне в нескольких кварталах от него было доказано, что кое-чего именно тем способом, на который он надеялся, узнать нельзя. Слова «Мы должны знать, мы будем знать» выбиты на его надгробии в Гёттингене.

Что доказал Гёдель

Статья Гёделя вышла в 1931 году. Идею её можно передать без формул, если не гнаться за точностью.

Шаг первый. Формальная система вроде «Principia» состоит из строчек символов. Гёдель придумал способ занумеровать каждую строчку и каждую последовательность строчек натуральным числом. Тогда утверждение «такая-то последовательность строчек есть доказательство такой-то формулы» превращается в утверждение об отношении между двумя числами. Арифметика получает возможность говорить о самой себе. Программисту сегодня это кажется естественным: любой текст в памяти компьютера — это число, а программа может обрабатывать тексты программ. В 1931 году это было открытием.

Шаг второй. С помощью этой нумерации Гёдель строит формулу, которая говорит о самой себе: «Эта формула недоказуема в данной системе». Это близкий родственник античного «Лжеца» и парадокса Рассела, но с одной решающей разницей. Вместо туманного «ложно» тут стоит строго определённое «недоказуемо», и парадокса не возникает.

Шаг третий. Рассудим. Если формула доказуема, система доказала ложь, и значит, она противоречива. Если система непротиворечива, формула недоказуема. Но именно это она и утверждает — значит, она истинна. Получается, что в любой непротиворечивой системе, достаточно богатой для арифметики, есть истинные, но недоказуемые утверждения. Это первая теорема о неполноте. Добавить недоказуемую формулу в систему как новую аксиому не поможет. В расширенной системе тем же способом построится новая.

Шаг четвёртый, тот самый, к которому пришёл и фон Нейман. Рассуждение «если система непротиворечива, то формула недоказуема» само можно записать внутри системы. Поэтому если бы система могла доказать свою непротиворечивость, она доказала бы и недоказуемую формулу. Значит, непротиворечивая система не может доказать собственную непротиворечивость. Это вторая теорема о неполноте.

Вторая теорема била прямо в цель. Программа Гильберта требовала доказать непротиворечивость арифметики средствами более скромными, чем сама арифметика. А Гёдель показал, что даже её собственных средств для этого не хватает. В 1936 году ученик Гильберта Герхард Генцен всё-таки доказал непротиворечивость арифметики. Но для этого ему понадобились средства, выходящие за пределы того, что Гильберт считал абсолютно надёжным. Программа абсолютного обоснования математики в исходном виде была невыполнима. Через пять лет после Гёделя англичанин Алан Тьюринг показал родственный результат на языке воображаемых вычислительных машин. Нет алгоритма, который для любой программы решил бы, остановится ли она когда-нибудь.

Платоник среди позитивистов

У этой истории есть философская сторона, о которой редко говорят. Гёдель ходил на заседания Венского кружка, но его взглядов не разделял. В душе он был платоником. Он верил, что математические объекты существуют независимо от нас и мы их открываем, а не изобретаем. Для него самого смысл теоремы был таков: математическая истина богаче любой формальной системы, и никакая игра со значками её не исчерпает. Так самый революционный результат в истории логики получил человек, чья философия напоминала философию тома первого, а не третьего.

В 1940 году Гёдель бежал из аннексированной Австрии в Америку — через Сибирь и Японию, потому что Атлантика была уже опасна. Он получил место в Институте перспективных исследований в Принстоне. Там его ближайшим другом стал Эйнштейн. Два эмигранта из немецкоязычной Европы каждый день гуляли вместе домой и разговаривали по-немецки. По свидетельству экономиста Оскара Моргенштерна, Эйнштейн в последние годы говорил, что ходит в институт главным образом ради привилегии возвращаться домой вместе с Гёделем. О чём они говорили, мы знаем только отчасти. Но в 1949 году Гёдель подарил другу на семидесятилетие решение уравнений общей теории относительности. В этой Вселенной можно вернуться в собственное прошлое. Революция в логике и революция в физике в буквальном смысле шли рядом. К физической революции мы и перейдём во второй главе.

Что осталось сегодня

Критики и наследники

У логицизма с самого начала были скептические наблюдатели. Анри Пуанкаре, чьим конвенционализмом заканчивался второй том, над ним посмеивался. Когда логицисты упрекали старую логику в бесплодности, Пуанкаре заметил, что новая логика уж точно не бесплодна: она порождает противоречия. Поздний Витгенштейн, разочаровавшись в собственном «Трактате», счёл всю затею с обоснованием математики недоразумением. По его мнению, математика не нуждается в фундаменте, как шахматы не нуждаются в обосновании правила хода коня.

И всё же спор об основаниях не закончился ничем, скорее расслоился. Математики-практики спокойно работают в аксиоматике Цермело — Френкеля. Их непротиворечивость не доказана и, по Гёделю, не может быть доказана её же средствами. За сто с лишним лет в ней не нашли ни одного противоречия. Логицизм возродился в скромном виде. Выяснилось, что арифметику можно вывести из одного принципа Фреге о равночисленности — того самого, про ножи и тарелки, — без рокового пятого закона. Интуиционизм, как мы видели, нашёл вторую жизнь в информатике. А из борьбы за надёжность доказательств выросла сама идея алгоритма, а с ней — компьютер. Фон Нейман, первым понявший Гёделя в Кёнигсберге, через пятнадцать лет опишет архитектуру электронной вычислительной машины. До сих пор она называется его именем. Редко философский спор приносит столь осязаемые плоды.

Инструмент для философии науки

Для нашей темы важнее другое. Новая логика стала рабочим инструментом всей философии науки XX века. Без неё нельзя даже сформулировать то, о чём пойдёт речь в следующих главах. Это и принцип верификации, и попперовская асимметрия: общий закон нельзя доказать примерами, зато можно опровергнуть одним контрпримером. Это и парадоксы подтверждения, и модель объяснения Гемпеля. Странное двумерное письмо Фреге, над которым смеялись рецензенты, стало языком, на котором спорил целый век.

Но у логического инструмента есть и обратная сторона, и дальше мы её тоже увидим. Тот, кто держит в руках молоток, везде видит гвозди. Логические эмпиристы часто изучали не то, как работает наука, а то, как бы она работала, если бы её написали в стиле «Principia». Именно этот разрыв между логикой и историей науки станет темой пятой части книги.

Урок для линии демаркации

История оснований математики даёт философии науки урок, который она будет усваивать весь век. Самая строгая из наук лишилась абсолютного фундамента. И при этом ничуть не стала менее надёжной: мосты не рухнули, ракеты взлетают, алгоритмы шифрования держат на себе мировую экономику. Значит, надёжность знания — не то же самое, что его абсолютное обоснование. Мы доверяем арифметике не потому, что кто-то доказал её непротиворечивость раз и навсегда. Она выдержала бесчисленные попытки найти в ней ошибку, а найденные ошибки в её обоснованиях были честно исправлены. Читатель уже догадался, чьи идеи мы сейчас пересказали своими словами. Именно так Поппер опишет доверие к физическим теориям. А его ученик Лакатос в книге «Доказательства и опровержения» перенесёт этот взгляд на саму математику (глава 18).

Из этой же истории выросли два инструмента демаркации. Первый — расселовская идея, что грамматически правильное предложение может ничего не утверждать. В Вене её превратят в критерий смысла. Второй — чайник на орбите: неопровержимость не достоинство, а повод для подозрения. В руках Поппера он станет критерием фальсифицируемости. Спор между этими двумя критериями займёт нас на протяжении всей первой половины тома.

Гёдель в руках ясновидцев

У теоремы Гёделя необычная судьба. Это, вероятно, единственная теорема математической логики, ставшая предметом рассуждений в телевизионных ток-шоу и на курсах личностного роста. Схема рассуждения обычно такая. «Гёдель доказал, что наука не может познать всего. Значит, есть истины, доступные только интуиции, сердцу, родовой памяти или третьему глазу». Дальше следует прейскурант на услуги. Один известный французский публицист даже выводил из теоремы Гёделя законы устройства общества. К подобным упражнениям французских интеллектуалов мы вернёмся в девятнадцатой главе.

Посмотрим, что теорема говорит в действительности. Она относится к формальным системам с точно заданными аксиомами и правилами вывода, достаточно богатым для арифметики. К гороскопам, карме и общественному устройству она не относится никак, потому что там нет ни аксиом, ни правил вывода. Наконец, самое забавное: теорема не утверждает, что истина непостижима. Недоказуемая формула Гёделя нам прекрасно известна, и мы знаем, что она истинна. Узнали мы это не откровением, а строгим рассуждением, просто ведущимся снаружи системы. Теорема Гёделя — торжество рационального мышления, сумевшего точно измерить собственные границы. Этого третьему глазу пока не удавалось ни разу.