Век великих споров

Между тем в самой математике происходило кое-что новое. В 1870-е годы немецкий математик Георг Кантор создал теорию множеств. В ней любой математический объект можно было представить как совокупность элементов, а бесконечность перестала быть туманным «и так далее». Кантор показал, что бесконечности бывают разных размеров. Дробей столько же, сколько натуральных чисел, а точек на прямой — больше. Теория множеств обещала стать единым языком всей математики. Но она же рассуждала о вещах, которых никто не видел и не увидит, и некоторые влиятельные математики считали её болезнью. К концу века в ней начали появляться тревожные парадоксы. В 1897 году итальянец Чезаре Бурали-Форти нашёл противоречие в понятии «множество всех порядковых чисел». Но его сочли курьёзом на окраине теории.

Именно здесь появился третий ответ, и он составляет суть этой главы. Математика не опирается ни на созерцание, ни на опыт. Она есть логика — или, по крайней мере, арифметика есть логика, выраженная в специальных терминах. Если так, математические истины достоверны по той же причине, что и законы логики: отрицать их значит впасть в противоречие. Никакого таинственного априорного созерцания не нужно, и зависимости от камешков тоже нет. Эта программа получила имя логицизм. Чтобы её выполнить, нужна была логика гораздо мощнее аристотелевской. Создать такую логику взялся Фреге.

Фреге: логика вместо психологии

Жизнь Фреге внешне бедна событиями. Он родился в 1848 году в Висмаре на Балтике, учился в Иене и Гёттингене и почти сорок лет преподавал математику в Иене. Славы при жизни он не знал. Среди немногих слушателей его лекций в 1910–1914 годах был студент по имени Рудольф Карнап. Пройдёт пара десятилетий, и он станет ведущим философом Венского кружка. Так что нить от Фреге к логическому позитивизму вполне осязаема: она проходит через студенческие конспекты.

Исчисление понятий

В 1879 году Фреге выпустил тонкую книжку с неуклюжим названием «Исчисление понятий» (Begriffsschrift, буквально «понятийное письмо»). С неё начинается современная логика. Чтобы понять, что именно в ней нового, вспомним, чем была логика до неё.

Две тысячи лет логика жила силлогистикой Аристотеля (первый том, глава 4). Всякое суждение в ней имеет форму «субъект — предикат»: «Все люди смертны», «Некоторые лебеди чёрные». Для школьных примеров этого хватает. Но возьмём фразу «У каждого числа есть число больше него». Или более житейскую: «Каждый кого-нибудь любит». Здесь два обобщения вложены одно в другое, и от их порядка зависит смысл. «Для каждого человека найдётся тот, кого он любит» — это почти правда. «Найдётся тот, кого любит каждый» — это уже не логика, а религия или рекламный слоган. Силлогистика не умеет различить эти два утверждения. А вся математика, начиная с определения непрерывности, состоит из таких вложенных «для всякого… найдётся…».

Фреге сделал два шага. Во-первых, он заменил грамматическую пару «субъект — предикат» математической парой «функция — аргумент». «…любит…» — это функция с двумя пустыми местами, и в них можно подставлять имена. Во-вторых, он ввёл кванторы — значки для «все» и «некоторые». Их можно вкладывать друг в друга в любом порядке и на любую глубину. В результате получился язык, на котором можно записать любое математическое доказательство так, чтобы каждый шаг проверялся по явно указанным правилам. Никакая интуиция не может проскользнуть в доказательство незамеченной.

Это и было главной целью Фреге. Он хотел знать, не опирается ли арифметика тайком на что-то кроме логики. А для этого нужна цепочка без пропусков: там, где математик пишет «очевидно», часто прячется недоказанное допущение. Новая логика стала своего рода микроскопом для рассуждений. Позже его наведут на физику, на обыденную речь и на саму философию.

Арифметика камешков и пряников

В 1884 году вышли «Основания арифметики». Эту книгу философы и сегодня считают образцом ясности и полемического искусства. Формул в ней почти нет. Первая половина книги — разбор чужих определений числа, и достаётся в ней всем. Больше других — Миллю.

Если числа — обобщения наблюдений за кучками вещей, рассуждал Фреге, то какое наблюдение соответствует нулю? Кто и когда наблюдал кучку из нуля камешков? Или очень большое число — скажем, 777 864. Никто никогда не видел именно такой кучки и не проверял на ней сложение, а арифметика говорит о нём с той же уверенностью, что и о двойке. Наконец, считать можно что угодно: камни, события, доводы, фигуры силлогизма. Никакого физического свойства, общего трём камням и трём доводам, не существует. Фреге едко назвал миллевскую теорию арифметикой камешков и пряников. По такой теории, если пряники слипнутся, арифметика должна пострадать.

Расправившись с эмпиризмом, Фреге обратился к теории, популярной в тогдашней Германии: числа — это представления в нашей голове, а законы логики — законы нашего мышления. Взгляд этот называют психологизмом. Фреге отвечал, что представления у всех разные. Моё представление о числе семь может быть окрашено в жёлтый цвет или пахнуть детством, а ваше — нет, но число семь у нас одно. Теорема Пифагора была истинной до Пифагора и останется истинной, если люди о ней забудут. Законы логики — не законы того, как люди думают в действительности: думают люди часто криво. Это законы того, что следует из чего и что истинно.

Этот спор кажется сугубо академическим, но у него длинные последствия. Антипсихологизм Фреге отделил вопрос «как человек пришёл к мысли» от вопроса «обоснована ли эта мысль». В 1938 году Ханс Райхенбах назовёт их контекстом открытия и контекстом обоснования (глава 6). Карл Поппер построит на той же интуиции свой «третий мир» объективного знания (глава 8). И философия науки XX века всю свою историю будет спорить, можно ли держать эти два вопроса раздельно. Кун и социологи знания скажут, что нельзя.

Что такое число

Своё собственное определение Фреге начинает с простого наблюдения. Число — это свойство не вещей, а понятий. Одна и та же колода карт — это и «одна колода», и «пятьдесят два листа», смотря что мы считаем. Значит, число что-то говорит о понятии: сколько вещей под него подпадает. Число спутников Луны равно нулю — и никакой кучки камешков для этого не нужно.

Дальше Фреге спрашивает, как узнать, что под два понятия подпадает одинаковое число вещей, не умея считать. И приводит пример с официантом. Официант хочет убедиться, что ножей на столе столько же, сколько тарелок. Для этого ему не нужно их считать: достаточно положить нож справа от каждой тарелки. Если ни лишних ножей, ни тарелок без ножа не осталось, их поровну. Математики называют это взаимно однозначным соответствием, и оно целиком описывается логикой. Счёт родился из сопоставления, а не наоборот.

Теперь можно сделать решающий шаг. Соберём все понятия, под которые подпадает столько же вещей, сколько сторон у треугольника: «сторона треугольника», «мушкетёр Дюма», «сторона света, кроме севера». Этот класс и есть число три. Определение кажется странным, но у него есть главное достоинство: в нём нет ничего, кроме логических понятий — «понятие», «подпадать под», «взаимно однозначное соответствие», «класс». Ноль Фреге определил через понятие «не равный самому себе», под которое заведомо ничего не подпадает. Дальше из нуля и понятия «следующий» строится вся арифметика.

Именно слово «класс» и подвело Фреге. В «Основных законах» он принял за очевидное, что любому понятию соответствует класс вещей, подпадающих под него. Это и был тот самый пятый закон, который сам Фреге считал чуть менее очевидным, чем остальные. Недоверие его не обмануло.

Утренняя и Вечерняя звезда

Есть у Фреге и работа, которая пережила крах логицизма и стала классикой философии языка. Это статья «О смысле и значении» (1892). В ней Фреге задаёт простой вопрос. Высказывание «Утренняя звезда есть Утренняя звезда» ничему не учит. Высказывание «Утренняя звезда есть Вечерняя звезда» было астрономическим открытием: оба имени обозначают Венеру. Если смысл имени — это просто предмет, который оно обозначает, то между этими двумя высказываниями нет разницы. А она есть.

Ответ Фреге: у имени есть значение — предмет, который оно обозначает, и смысл — способ, каким этот предмет нам дан. У наших двух имён одно значение и разные смыслы: «самое яркое светило на рассвете» и «самое яркое светило на закате». Различение простое, но оно ввело в философию науки вопрос, который станет её главной темой на полвека: что такое смысл высказывания и как он связан с истиной. Идущий от Фреге анализ языка Венский кружок превратит в орудие против метафизики.

Парадокс Рассела и его лечение

Рассел пришёл к логицизму самостоятельно, почти ничего не зная о Фреге. Поворотным моментом он считал Международный философский конгресс в Париже летом 1900 года. Там он услышал итальянского математика Джузеппе Пеано. Пеано записал арифметику в виде нескольких аксиом и создал удобную логическую символику — кстати, именно его значки, а не громоздкие схемы Фреге, дожили до наших учебников. Рассел вернулся в Англию и к концу года написал черновик книги «Принципы математики». Позже он вспоминал эти месяцы как интеллектуальный медовый месяц: задачи, над которыми он бился годами, вдруг стали решаться одна за другой. Медовый месяц кончился весной 1901 года.

Множество, которого нет

Рассел разбирал доказательство Кантора, что наибольшей бесконечности не существует. И наткнулся на парадокс, который не требовал никакой сложной математики. Именно это и делало его страшным.

Некоторые множества содержат себя в качестве элемента, другие нет. Множество всех чайных ложек — не чайная ложка и потому себя не содержит. А множество всех вещей, которые не являются чайными ложками, само не чайная ложка — значит, содержит себя. Пока всё мирно. Теперь соберём в одно множество все множества, которые не содержат себя. Содержит ли оно само себя?

Если содержит, то оно одно из тех, что себя не содержат, — и значит, не содержит. Если не содержит, то оно удовлетворяет условию и должно себя содержать. Оба ответа ведут к противоречию. Между тем по пятому закону Фреге такое множество обязано существовать: понятие «множество, не содержащее себя» сформулировано безупречно, а каждому понятию отвечает класс.

Популярные книги любят пересказывать этот парадокс через деревенского брадобрея, который бреет всех, кто не бреется сам. Бреет ли он себя? Версия весёлая, но сам Рассел предупреждал, что это не его парадокс. Из истории с брадобреем следует лишь то, что такого брадобрея не бывает, и никто не обязан его нанимать. А с множеством так просто не отделаешься. Его существование следовало из самых основ логики, как её понимали Фреге и сам Рассел. Парадокс бил не по одной неудачной теории, а по интуитивному представлению, что любые вещи можно мысленно собрать в кучу.

Рассел сначала надеялся, что тут какая-то мелкая ошибка, и бился над ней больше года. Потом написал Фреге — и остальное мы знаем. Вскоре выяснилось, что парадоксов такого рода целое семейство. Античный «Лжец» («я сейчас лгу») оказался их дальним родственником. Общая черта у всех одна — самоприменимость: высказывание или понятие говорит о самом себе. Запомним эту черту. Она ещё вернётся в этой книге — и у Гёделя, и в споре о принципе верификации, который не может проверить сам себя.

Теория типов

Лечение, которое предложил Рассел, называется теорией типов. Набросок её появился уже в «Принципах математики» 1903 года, а полная версия — в статье 1908 года. Идея в том, чтобы разложить все объекты по этажам. На нижнем этаже — индивиды: Рассел, чайная ложка, Венера. Этажом выше — классы индивидов. Ещё выше — классы классов, и так далее. Главное правило: о классе каждого этажа можно спрашивать только про объекты этажом ниже. Вопрос «содержит ли класс сам себя?» становится не ложным и не истинным, а бессмысленным, как вопрос «чем пахнет число семь?».

Обратим внимание на этот ход. Парадокс не опровергнут — он объявлен бессмысленным по правилам построения языка. Именно здесь родилась идея, которая станет сердцем логического позитивизма. Некоторые грамматически правильные предложения ничего не утверждают, и задача философа — их распознать. Спустя двадцать лет Венский кружок применит этот же приём уже не к парадоксам теории множеств, а ко всей традиционной метафизике.

У теории типов была цена. Чтобы избавиться от всех родственников парадокса сразу, Расселу пришлось делить на уровни не только объекты, но и сами определения. Получилась так называемая разветвлённая теория типов. Она оказалась настолько строгой, что вместе с парадоксами запрещала и часть обычной математики. Чтобы вернуть её, Рассел ввёл «аксиому сводимости». Истинность этой аксиомы не была очевидна никому, включая самого Рассела. Кроме того, для арифметики потребовалась аксиома бесконечности: в мире существует бесконечно много индивидов. Но это уже утверждение о мире, а не истина логики. Логицизм, ставивший целью вывести математику из одной логики, купил непротиворечивость ценой допущений, в логическости которых можно было сомневаться.

Между тем математики нашли другой выход, более практичный. В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело предложил вообще не выводить множества из понятий. Вместо этого он перечислил аксиомами, какие множества разрешено строить: из данного множества можно выделить часть, два множества можно объединить и так далее. Собрать «все множества, не содержащие себя» в одну кучу эти правила не позволяют. Усовершенствованная аксиоматика Цермело и Абрахама Френкеля и сегодня служит стандартным фундаментом математики. Философски она скромнее логицизма. Она не объясняет, почему математика истинна, а просто фиксирует, с чего математики договорились начинать.

Два тома ради одного равенства

Рассел и его кембриджский учитель, математик и философ Альфред Норт Уайтхед, решили довести программу Фреге до конца на новом фундаменте. Десять лет работы дали три тома «Principia Mathematica» (1910–1913). Название намеренно повторяло ньютоновское. Авторы верили, что делают для математики то же, что Ньютон сделал для физики. Издательство Кембриджского университета заранее знало, что книга принесёт убыток. По воспоминаниям Рассела, авторам пришлось доплатить из своих денег, так что за десять лет труда каждый остался в минусе на пятьдесят фунтов.

Самую известную страницу «Principia» любят приводить как анекдот. В первом томе, далеко за трехсотой страницей, авторы доказывают предложение, из которого, как они предупреждают, после определения сложения будет следовать, что 1 + 1 = 2. Само равенство доказано только во втором томе. Доказательство снабжено сухим замечанием: приведённое предложение иногда полезно. Насмешники принимали это за доказательство того, что философы доказывают очевидное с адским трудом. На деле всё наоборот. Вся ценность «Principia» — в том, что там ничего не принято на веру. Доказательство тривиального равенства длинное потому, что каждое понятие в нём построено заново из логических кирпичиков. Так инженер проверяет мост не тем, что по нему уже ходили, а расчётом каждой фермы.

Рассел потом писал, что так и не оправился до конца от напряжения тех лет. И отчасти поэтому отошёл от математической логики к философии познания. Именно этот поворот сделал его одним из отцов-основателей нового направления — логического позитивизма.

Рассел: логика как сущность философии

Фреге создал инструмент, но не собирался переделывать им философию. Это сделал Рассел. В 1910-е годы он сформулировал программу: философия должна стать научной, а её методом должен стать логический анализ. Логические позитивисты потом спорили с Расселом по многим вопросам, и он с ними тоже. Но их венский манифест 1929 года назовёт его в числе трёх ведущих представителей научного миропонимания — рядом с Эйнштейном и Витгенштейном. Посмотрим, что именно они у него взяли.

Нынешний король Франции

В 1905 году, ещё в разгар борьбы с парадоксами, Рассел опубликовал в журнале Mind статью «Об обозначении». В ней он разбирает предложение «Нынешний король Франции лыс». Франция давно республика. Истинно ли предложение? Вроде бы нет: ведь нельзя сказать, что король лыс. Ложно? Тогда истинно отрицание, «король Франции не лыс», а это тоже странно. Без смысла? Но предложение совершенно понятно.

Раньше с такими затруднениями справлялись философски дорогим способом. Австрийский философ Алексиус Мейнонг рассуждал так: раз мы можем говорить о золотой горе или круглом квадрате, у них есть какое-то бытие. Не существование, но что-то вроде него. Население Вселенной от такого рассуждения резко увеличивалось. Рассел с этим соглашаться не хотел. Позже он писал, что логика не должна допускать единорога, так же как и зоология. Логике, по его словам, нужно здоровое чувство реальности.

Решение Рассела называется теорией дескрипций (описаний). Выражение «нынешний король Франции» только притворяется именем. На деле предложение утверждает три вещи. Существует некто, кто сейчас король Франции. Такой только один. И он лыс. Первое из этих утверждений ложно, значит ложно и всё предложение. Никаких теневых королей не требуется.

Мораль этой истории важнее самого решения. Грамматическая форма предложения может обманывать нас насчёт его логической формы. Подлежащее не обязательно обозначает предмет, а слово не обязано иметь за собой сущность. Многие философские загадки порождены тем, что мы принимаем грамматику за устройство мира. Читатель первого тома узнает здесь старого знакомого — бэконовского «идола площади», ложные представления, рождённые словами. Бэкон сумел только предупредить об этом идоле, а Рассел получил инструмент для его изгнания.

Английский математик и философ Фрэнк Рамсей позже назовёт теорию дескрипций «парадигмой философии». Именно так — как образец того, что философия должна делать, — её и поняли в Вене. Философия не придумывает сведений о мире сверх тех, что дают науки. Она проясняет логическую форму того, что мы говорим, и часто обнаруживает, что проблема была мнимой.

Научный метод в философии

Весной 1914 года Рассел читал лекции в Бостоне. В том же году они вышли книгой «Наше познание внешнего мира как поле для научного метода в философии». Вторая лекция называлась «Логика как сущность философии». В ней Рассел утверждал, что всякая подлинно философская проблема при анализе оказывается либо логической, либо вообще не философской. Логика даёт философии метод так же, как математика даёт метод физике.

Из этого тезиса вытекала новая трактовка философской работы. Раньше философ строил систему мира целиком — как Гегель, всё от логики до истории государства. Рассел предлагал работать как учёные: решать чётко поставленные частные задачи по одной. Результаты можно проверять, исправлять и передавать другим. Философия перестаёт быть личным откровением гения и становится коллективным исследованием, как физика. В тот же год в другой лекции, «О научном методе в философии», Рассел сказал об этом прямо. Философия должна отказаться от претензий решать скорее нравственные и религиозные вопросы и должна стремиться к той же беспристрастности, что и наука.

В 1921 году бостонские лекции прочёл тот самый бывший слушатель Фреге — Рудольф Карнап, тогда молодой физик, увлечённый философией. В своей автобиографии он вспоминал, что последние страницы этой книги поразили его. Рассел писал там о новой философской школе, которая привлечёт людей с научным складом ума и сделает для философии больше, чем все прежние школы. Карнапу показалось, что этот призыв обращён лично к нему. Семь лет спустя вышла его книга «Логическое построение мира». Даже её название повторяет расселовскую формулу, и к ней мы сейчас перейдём.

Логические конструкции вместо выведенных сущностей

В том же 1914 году Рассел сформулировал правило, которое сам назвал высшей максимой научного философствования. Везде, где возможно, надо заменять выведенные сущности логическими конструкциями.

Что это значит? Обычно мы рассуждаем так. Я вижу коричневое пятно, чувствую твёрдость под локтем, слышу стук чашки. Отсюда я заключаю, что за всеми этими ощущениями стоит невидимая субстанция — стол. Стол здесь — выведенная сущность: сам по себе он нам не дан, мы его додумали. А всякий вывод от данного к неданному — риск ошибки. Рассел предлагает обойтись без вывода. Можно не догадываться, что за ощущениями что-то стоит, а показать, что слово «стол» обозначает определённым образом упорядоченную систему самих этих ощущений — всех видов стола с разных точек и в разные моменты. Точно так же Фреге не стал искать число три ни в камешках, ни в голове, а построил его из классов.

Максима Рассела — это бритва Оккама (первый том, глава 6), вооружённая современной логикой. И она удивительно близка к тому, что делал уже знакомый нам по второму тому Эрнст Мах. Мах тоже объявлял вещи устойчивыми комплексами ощущений. Разница в том, что у Маха была философская интуиция, а у Рассела — аппарат «Principia», позволяющий провести построение строго, шаг за шагом. Венский кружок и будет соединением именно этих двух линий: махистского эмпиризма и логики Фреге и Рассела. Полное название направления — «логический эмпиризм» — и есть формула этого союза.

В том же духе Рассел разобрался с понятием причины. В докладе «О понятии причины» (1912) он заметил, что развитая физика словом «причина» почти не пользуется. Она формулирует законы как функциональные зависимости между величинами, а не как «одно событие порождает другое». Рассел едко сравнил закон причинности, как его понимают философы, с монархией. Это пережиток минувшей эпохи, который уцелел лишь потому, что его ошибочно считают безвредным. Мах бы подписался под каждым словом — кроме, возможно, слова о монархии: он всё-таки был членом австрийской палаты господ.

Логический атомизм

В начале 1918 года Рассел прочёл в Лондоне курс лекций «Философия логического атомизма». Вскоре после этого он оказался в тюрьме: пацифиста Рассела осудили на шесть месяцев за антивоенную статью. В камере он написал «Введение в математическую философию», одну из самых ясных книг о логицизме. Тюремный режим оказался не худшей обстановкой для логики: ничто не отвлекает.

Идея логического атомизма такова. Язык, приведённый в логически совершенную форму, распадается на простейшие предложения — «это красное», «это левее того». Из них с помощью логических связок «и», «или», «не», «все» строятся все остальные. Мир устроен так же: он состоит из простейших фактов, и каждому атомарному предложению отвечает атомарный факт. Логический анализ превращается в своего рода химический анализ знания: разложи сложное утверждение на элементы и проверь каждый. Рассел открыто признавал, что многим в этих идеях он обязан своему бывшему ученику — молодому австрийцу Людвигу Витгенштейну. Тот приехал в Кембридж в 1911 году и в 1918-м сидел в итальянском плену с рукописью своего «Трактата» в ранце. О нём — в третьей главе.

Знакомство и описание

У логических конструкций Рассела была теория познания, на которую они опирались. В 1910–1912 годах Рассел различил два рода знания. Знание-знакомство — это прямое знание того, что дано мне непосредственно: этого красного пятна, этого звука, моего собственного воспоминания. Знание по описанию — это знание о чём-то как о «том, что таково-то». Юлия Цезаря никто из нас не видел. Мы знаем его как «того, кто перешёл Рубикон» или «того, кого убили в мартовские иды». Именно здесь пригодилась теория дескрипций: описание можно разложить на логические составные части.

Из этого различения Рассел вывел принцип, который считал главным в анализе предложений. Каждое предложение, которое мы понимаем, должно целиком состоять из составных частей, с которыми мы знакомы. Если человек употребляет слово, за которым не стоит ни знакомство, ни описание, составленное из знакомого, он не знает, что говорит. В этом принципе уже виден зародыш венского критерия смысла. Венцы сделают ещё один шаг: осмысленно то, что сводится к данным опыта и может быть ими проверено. Рассел этот шаг делать не стал. Но тропинку к нему протоптал именно он.

Обратим внимание на книгу, в которой это различение изложено для широкого читателя. Это небольшие «Проблемы философии» 1912 года — та самая книга, из которой взялась курица из второго тома. Десятилетиями она оставалась в Англии и Америке самым распространённым введением в философию. В ней нет ни одной формулы, а весь стиль рассуждения уже аналитический: короткие вопросы, точные различения, честные признания в том, чего автор не знает. Заканчивается книга рассуждением о ценности философии. Её ценность, по Расселу, не в готовых ответах, а в том, что она расширяет круг возможного и освобождает от догматизма здравого смысла.