Рождение научного метода. От Пифагора до Канта.

И здесь нас ждёт один из самых поучительных сюжетов в истории науки. Больше двух тысяч лет атомы оставались чистой гипотезой. Их никто не видел, и никакого способа их увидеть не было. В начале XIX века Джон Дальтон показал, что атомная гипотеза объясняет простые весовые отношения в химических реакциях. Но и тогда многие серьёзные учёные считали атомы удобной фикцией. Физик и философ Эрнст Мах ещё в начале XX века на лекциях оборачивал вопрос об их существовании встречным: «А вы их видели?» Спор решился лишь после того, как Эйнштейн в 1905 году объяснил броуновское движение ударами молекул, а Жан Перрен в 1908 году подтвердил это точными измерениями. Химик Вильгельм Оствальд, один из самых упорных противников атомистики, честно признал себя побеждённым.

Для философии науки эта история — настоящая головоломка. Был ли атомизм Демокрита наукой? Проверить его в IV веке до н. э. было невозможно. По строгим критериям, которые мы встретим в следующих томах, это была скорее метафизика. Но эта метафизика оказалась верной и дала столько плодотворных идей, что из неё выросли химия и физика. Карл Поппер придумает для таких случаев особое понятие — метафизическая исследовательская программа. Так называется непроверяемая идея, которая направляет поиск и порождает проверяемые теории. А история с Махом напоминает о том, что чрезмерная осторожность тоже бывает ошибкой. Философ, который изгоняет из науки всё ненаблюдаемое, вместе с мистикой рискует выкинуть и атомы.

Ну а сами апории? Сегодня их обычно считают решёнными математически. В XIX веке Коши и Вейерштрасс строго определили понятие предела. Бесконечная сумма ½ + ¼ + ⅛ + … оказалась равна ровно единице, и Ахиллес настигает черепаху в вполне определённой точке. Георг Кантор построил теорию множеств и вернул в математику актуальную бесконечность, изгнанную Аристотелем. Однако философы до сих пор спорят, всё ли здесь сказано. Математика показывает, что сумма конечна. Но как именно физическое тело «завершает» бесконечную последовательность шагов? И непрерывно ли пространство само по себе, или непрерывность — свойство наших моделей? Гегель ещё в начале XIX века считал, что зеноновская диалектика «ещё и поныне не опровергнута». Историк математики Дирк Стройк сказал осторожнее: апории вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь.

Итог и вопрос читателю

Подведём итог. Парменид первым попытался строго доказать, как устроена реальность, и пришёл к выводу, что движение и множественность — иллюзия. Зенон показал, что любая попытка помыслить движение упирается в дилемму: либо бесконечная делимость, либо неделимые единицы, и то и другое ведёт к противоречию. Атомисты нашли выход: они признали существование пустоты и разделили бытие на неделимые физические тела. Так родилась первая научная программа: невидимые частицы, подчинённые необходимости, объясняют всё разнообразие видимого мира.

Из этого сюжета философия науки унаследовала три вечные проблемы.

Разум или чувства? Что делать, когда строгое рассуждение противоречит наблюдению? Парменид выбирал разум, Диоген — ноги. Наука научится слушать обоих.

Непрерывное или дискретное? От ответа зависит, какие методы и какие программы исследования возможны.

Существует ли ненаблюдаемое? Атомы Демокрита были первыми теоретическими объектами, про которые можно было спросить: они реальны или просто удобны?

Основная проблема главы, если свести её к одной фразе, такова: можно ли доверять теории, которая объясняет видимое через невидимое, — и что именно даёт нам право на это доверие?

Вопрос читателю. Демокрит утверждал, что мир состоит из невидимых атомов, и оказался прав — но узнали мы об этом через две с половиной тысячи лет. Современный эзотерик утверждает, что мир пронизан невидимыми «энергетическими полями», и тоже просит подождать, пока наука дорастёт до их открытия. Что отличает позицию Демокрита от позиции эзотерика — если оценивать их из IV века до н. э., а не с высоты нынешнего знания?

Глава 3. Платон: мир идей и математическая программа

Да не войдёт не геометр

Около 387 года до н. э. Платон основал в роще героя Академа под Афинами школу, которая просуществовала в том или ином виде почти три века. Именно ей мы обязаны словом «академия». И всякий, кто читал о Платоне хотя бы популярную статью, знает, что над входом в Академию висела надпись: «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Разочаруем читателя: первые упоминания об этой надписи появляются у комментаторов VI века нашей эры. Это за семьсот с лишним лет после Платона и после того, как Академия давно прекратила существование. Скорее всего, надпись — такая же легенда, как утонувший Гиппас или сто быков Пифагора. Но, как и те легенды, она точно ухватывает суть. Диоген Лаэртский рассказывает, что ученик Платона Ксенократ, впоследствии глава Академии, отказал человеку, не знавшему ни музыки, ни геометрии, ни астрономии: «Иди, у тебя нечем ухватиться за философию». Среди людей, работавших в Академии или рядом с ней, были крупнейшие математики эпохи: Теэтет, построивший теорию правильных многогранников, и Евдокс, создатель теории отношений. С пифагорейцем Архитом Платон был дружен.

Странная картина, если вдуматься. Платон не был математиком и не оставил ни одной теоремы. Он был учеником Сократа, который интересовался справедливостью и добродетелью, а не треугольниками. Да и писал Платон диалоги — литературные произведения с персонажами, шутками и мифами. И всё же именно он сделал математику образцом истинного знания и входным билетом в философию. Почему философ, думавший о справедливости, поставил на входе геометрию?

Человек — мера всех вещей? Проблема Платона

Чтобы понять Платона, нужно знать, с кем он спорил. В V веке до н. э. по греческим городам разъезжали софисты — платные учителя красноречия и мудрости. В демократических Афинах, где всё решалось в спорах на собрании и в суде, их услуги стоили дорого. Самый знаменитый из них, Протагор, сформулировал тезис, который и сегодня звучит на удивление современно: «Человек есть мера всех вещей».

Пример, который приводит сам Платон, прост. Дует ветер. Одному человеку холодно, другому тепло. Так каков ветер на самом деле? Протагор отвечает: никаков. Для первого он холодный, для второго тёплый, и оба правы. А затем то же самое переносится на прекрасное и безобразное, справедливое и несправедливое, истинное и ложное. Другие софисты шли дальше. Справедливость, утверждает Фрасимах в «Государстве», есть всего лишь выгода сильнейшего.

Итак, если знание — это то, что мне кажется, то знание у каждого своё. Спор об истине тогда бессмысленен, остаётся лишь искусство убедить собеседника. Эта позиция называется релятивизмом (от латинского relativus — относительный), и читатель ещё встретит её в последних томах нашей серии. Сегодня она живёт в формулах вроде «у каждого своя правда» и «наука — лишь одно из мнений», а её самые верные поклонники — продавцы чудо-средств, которым нечего предъявить, кроме уверенности в себе.

Учитель Платона Сократ боролся с релятивизмом на свой лад. Он приставал к согражданам с вопросами: что такое мужество, что такое справедливость, что такое прекрасное? Собеседники приводили примеры, а Сократ настаивал: мне нужен не пример, а то общее, что есть во всех примерах. Обычно разговор заканчивался ничем: никто, включая Сократа, не мог дать определения. В 399 году афиняне, уставшие от его вопросов, приговорили его к смерти.

Платон унаследовал вопрос учителя и перевёл его в другую плоскость. Не «что такое справедливость?», а «как вообще возможно знание?» Если всё, что мы воспринимаем, изменчиво и относительно, то что же мы можем знать наверняка? Ответ подсказала геометрия. Треугольник, начерченный на песке, кривой, и сумма его углов в точности не равна двум прямым. А теорема о сумме углов треугольника верна абсолютно, для всех и навсегда, и никакой Протагор не возразит: «Для тебя два прямых, а для меня три». Значит, есть такое знание, которое не зависит от мнения. Остаётся понять, о чём оно.

Здесь Платон вводит различение, без которого нельзя представить себе философию науки: знание (по-гречески эпистеме) и мнение (докса). Мнение может быть истинным или ложным, но даже истинное мнение — ещё не знание. В диалоге «Теэтет» обсуждается определение: знание — это истинное мнение с обоснованием. Человек, который угадал правильный ответ, не знает его. Знает тот, кто может объяснить, почему ответ верен. Сам Платон в конце диалога и этим определением недоволен. А в 1963 году американский философ Эдмунд Геттиер опубликовал статью на три страницы, в которой показал, что и обоснованное истинное мнение иногда знанием не является. Философы спорят об этой статье до сих пор. Так что недовольство Платона было вполне обоснованным.

Мир идей: что знает геометр

Если теорема говорит не о кривом треугольнике на песке, то о чём же? О треугольнике как таковом, отвечает Платон, об идее треугольника. Идея в его понимании — не мысль в голове, а вечный, неизменный образец, которому все видимые треугольники лишь приближённо подражают. То же самое относится к справедливости, прекрасному, равенству. Справедливые поступки людей несовершенны и спорны, а идея справедливости совершенна и неизменна. Идеи существуют на самом деле, даже более настоящим образом, чем вещи. Именно они и есть предмет знания. А вещи, вечно текучие и несовершенные, — предмет мнения.

Но как мы познаём идеи, если их нельзя увидеть? Ответ Платон даёт в одной из самых знаменитых сцен античной литературы. В диалоге «Менон» Сократ подзывает мальчика-раба, который никогда не учился геометрии, и чертит на песке квадрат со стороной в два фута. Его площадь — четыре квадратных фута. Как построить квадрат вдвое большей площади? Мальчик уверенно отвечает: надо удвоить сторону. Сократ чертит — выходит шестнадцать, вчетверо больше. Тогда сторона в три фута? Выходит девять, тоже не восемь. Мальчик в тупике, и Сократ замечает, что это хорошо: теперь он хотя бы знает, что не знает. Затем Сократ проводит диагональ, и наводящими вопросами мальчик сам приходит к ответу: квадрат, построенный на диагонали, вдвое больше исходного.

Заметьте, на каком примере Платон показывает силу разума. Сторона нового квадрата — та самая диагональ, длину которой нельзя выразить никаким числом. Мальчик не может её измерить, но может её построить и точно знает, что квадрат на ней равен восьми. Там, где пифагорейская арифметика споткнулась, геометрия прошла.

Сам Платон делает из этой сцены вывод, который сегодня звучит странно. Раз мальчика никто не учил, а он нашёл истину, значит, он её вспомнил. Душа бессмертна, до рождения она созерцала идеи, а познание — это припоминание забытого. Нас тут интересует не столько миф о переселении душ, сколько задача, которую он решает. Платон заметил факт, над которым философы будут думать две тысячи лет: есть знание, которое не берётся из опыта. Никакое число нарисованных квадратов не даст уверенности, что так будет с любым квадратом. А рассуждение даёт. В XVII веке Декарт назовёт такое знание врождёнными идеями, в XVIII веке Кант — априорным.

Где же место математики в этой картине? В «Государстве» Платон строит наглядную схему — разделённую линию. Всё существующее выстраивается по ступеням, от менее настоящего к более настоящему.

Тени и отражения вещей. О них бывают лишь смутные догадки.

Сами вещи — животные, растения, изделия. О них бывает вера или мнение.

Математические объекты. Их постигает рассудок, опираясь на чертежи и исходные допущения.

Идеи. Их постигает чистый разум без всяких чертежей, восходя к первоначалу, которое уже ни на что не опирается.

Математика, таким образом, — предпоследняя ступень лестницы. У неё есть два недостатка. Она пользуется видимыми чертежами, хотя рассуждает о невидимом. И она принимает свои исходные положения без обоснования, как данность. Выше неё стоит только философия — диалектика, которая проверяет сами начала. Знаменитая аллегория пещеры, в которой люди принимают тени на стене за настоящие вещи, изображает именно этот путь. От теней к вещам, от вещей к математическим формам, от форм к солнцу истины.

Отсюда и программа образования, которую Платон предлагает для будущих правителей своего идеального государства: арифметика, геометрия, стереометрия, астрономия, гармоника и лишь затем диалектика. Через средневековые школы четыре математические науки этого списка дошли до европейских университетов как «квадривиум» — арифметика, геометрия, астрономия и музыка.

«Тимей»: мир из треугольников

Если истинное знание возможно только об идеях, то наука о природе вроде бы невозможна. Но в одном из поздних диалогов, «Тимее», Платон всё же предлагает целую картину мира. Строит её с особой оговоркой. О природе, которая всегда меняется, точного знания быть не может, поэтому всё сказанное дальше — лишь «правдоподобное сказание». Запомним эту оговорку. Платон, сам того не зная, первым признал, что естественная наука даёт не достоверное, а вероятное знание.

История такова. Божественный мастер, демиург, создаёт космос, глядя на вечный образец — мир идей. Материалом ему служит неоформленное пространство, «восприемник» всего, что возникает. И чтобы внести порядок в хаос, демиург придаёт ему образы и числа. Самая смелая часть этого замысла — учение об элементах.

Греки считали, что все тела состоят из четырёх стихий: огня, воздуха, воды и земли. Но что такое сами стихии? Платон отвечает: мелчайшие частицы каждой из них имеют форму правильных многогранников. Незадолго до этого Теэтет доказал, что правильных многогранников существует ровно пять, и Платон нашёл каждому применение.

Огонь — тетраэдр, самая острая и лёгкая фигура. Оттого огонь и жжёт: он режет тела своими остриями.

Воздух — октаэдр.

Вода — икосаэдр, самый округлый и подвижный из трёх.

Земля — куб, самая устойчивая фигура.

Пятый многогранник, додекаэдр, демиург использовал для вселенной в целом.

Но и это не последний уровень. Грани многогранников сложены из двух видов прямоугольных треугольников: равнобедренного и половины равностороннего. Из первых складываются квадратные грани куба, из вторых — треугольные грани остальных трёх тел. Отсюда следует поразительный вывод. Огонь, воздух и вода могут превращаться друг в друга: их частицы распадаются на треугольники и собираются заново. Платон даже подсчитывает баланс. У икосаэдра двадцать граней, у тетраэдра четыре, у октаэдра восемь. Значит, одна частица воды может превратиться в одну частицу огня и две частицы воздуха: 20 = 4 + 8 + 8. А земля, сложенная из других треугольников, в другие стихии не превращается никогда.

Перед нами настоящая химическая реакция, записанная с соблюдением баланса — за две тысячи лет до Лавуазье. Конечно, она фантастична. Но посмотрите на сам тип объяснения. Свойства вещества выводятся из структуры его частиц, а структура частиц задана математически. В этом Платон радикально расходится с Демокритом. У атомистов формы атомов бесчисленны и случайны — крючки, якоря, зацепы. У Платона их ровно столько, сколько допускает геометрия, и каждая совершенна. Мир Демокрита — куча камней. Мир Платона — архитектурный проект.