Рождение научного метода. От Пифагора до Канта.

История сама расставила точки над «и». Вскоре после разгрома союза пифагорейцы раскололись на две ветви. Акусматики соблюдали запреты и хранили слова учителя. Математики занимались доказательствами. Каждая ветвь считала себя настоящими пифагорейцами. От акусматиков нам остался запрет на бобы. От математиков — вся европейская наука.

Два наследника: от Кеплера до «числа судьбы»

Пифагорейский союз исчез в IV веке до н. э. Но его идея — природа устроена математически — оказалась одной из самых плодотворных в истории человечества. И одной из самых злоупотребляемых.

Линия науки. Первым наследником стал Платон, и следующие главы покажут, как он превратил пифагорейскую интуицию в программу математического естествознания. Но самая поразительная фигура на этой линии — Иоганн Кеплер, тот самый составитель гороскопов из введения. В молодости он был убеждён, что расстояния между планетами заданы пятью правильными многогранниками, вложенными друг в друга. Эту теорию он опубликовал в 1596 году в книге «Тайна мироздания», и пифагорейцы аплодировали бы ей стоя. Теория была неверна. Но Кеплер отличался от пифагорейцев одним качеством: когда его прекрасные схемы расходились с наблюдениями Тихо Браге, он отказывался от схем, а не от наблюдений. Из-за расхождения в восемь угловых минут в орбите Марса он перестроил всю астрономию и заменил священный круг эллипсом. А свой третий закон, связывающий периоды обращения планет с размерами орбит, он открыл в 1618 году, ища — вы догадались — гармонию сфер. Книга, в которой он его опубликовал, называется «Гармония мира».

После Кеплера пифагорейская интуиция перестала быть мистической и стала рабочим методом. Галилей, Ньютон, Максвелл, Эйнштейн следовали ей. И всё же загадка осталась. В 1960 году физик, нобелевский лауреат Юджин Вигнер опубликовал статью с красноречивым названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Почему структуры, придуманные математиками из чистого любопытства, вдруг оказываются идеально подходящими для описания атомов и галактик? Ответа Вигнер не дал. А современный космолог Макс Тегмарк и вовсе вернулся к точке отсчёта, заявив, что вселенная не просто описывается математикой, а является математической структурой. Большинство физиков и философов относятся к этой гипотезе скептически, но сама её серьёзная дискуссия показывает, что спор, начатый в Кротоне, не закончен. Мы ещё вернёмся к нему в четвёртом томе.

Линия карикатуры. У пифагорейцев был и другой наследник, куда менее достойный. Современный нумеролог складывает цифры вашей даты рождения, пока не получится однозначное «число судьбы». Затем он сообщает, что семёрки склонны к философии, а восьмёрки — к бизнесу. Интернет полон советов о том, что означает, если вы видите на часах 11:11. А любители «золотого сечения» находят его в Парфеноне, в человеческом пупке и в логотипе известной корпорации, стоит лишь достаточно толсто нарисовать линии на фотографии.

Внешне это всё тот же пифагореизм: числа управляют миром. Но теперь вы знаете, что в пифагореизме было две нити, и нумерология унаследовала ровно ту, которая никуда не вела. У неё есть священные числа, но нет доказательств. Есть соответствия, но нет законов, которые можно измерить линейкой на монохорде. А главное — у неё нет своего Гиппаса. За двадцать пять веков нумерология не сделала ни одного открытия, которое заставило бы её пересмотреть свои основы. Она ничего не доказала — а значит, и опровергнуть её нечем. Пифагорейцы, добавившие Антиземлю, по крайней мере объясняли наблюдаемое небо. Нумеролог, вычисляющий вашу судьбу, не объясняет даже этого.

Отсюда первый урок демаркации, который можно извлечь из истории пифагорейцев. Науку от псевдонауки отличает не предмет и не исходная интуиция. И Кеплер, и нумеролог уверены, что мир устроен по числам. Разница в том, что каждый из них делает, когда числа расходятся с миром.

Итог и вопрос читателю

Подведём итог. В Египте и Вавилоне математика была набором надёжных рецептов. Священные числа жили отдельно, в заклинаниях. Пифагорейцы соединили эти два мира. Из религиозного почитания числа выросло бескорыстное исследование его свойств, а из исследования — три идеи, без которых нельзя представить себе науку.

Знание должно быть доказано. Не «так делали деды», а «иначе быть не может, и вот почему».

Природа устроена по числу и мере. Качество можно свести к количеству, как созвучие сводится к отношению длин струн.

Разум способен знать больше, чем видят глаза. Доказательство несоизмеримости говорит о бесконечном множестве случаев, которые никто никогда не проверит измерением.

Но пифагорейцы же показали и обратную сторону этих идей. Математическая картина мира слишком легко превращается в догму, которая достраивает невидимые Антиземли ради красивого числа. И самое важное открытие школы сделал человек, который, если верить легенде, заплатил за него жизнью. Открытие опровергло догму, а школа выбирала, что из них важнее.

Основная проблема главы формулируется так: как соотносятся математические построения и реальный мир? Математика описывает саму природу вещей — или это язык, который мы накладываем на мир, и не всегда удачно? Пифагорейцы отвечали без колебаний: мир есть число. Но их же собственное открытие показало, что даже в простейшей фигуре есть что-то, что не вмещается в их числа.

Вопрос читателю. Астрономы вводят «тёмную материю»: её никто не видел, зато она спасает теорию тяготения от расхождения с наблюдениями за вращением галактик. Пифагорейцы ввели Антиземлю: её тоже никто не видел, зато она спасала священную десятку. Чем одно невидимое тело отличается от другого? И если вы считаете, что отличается, — попробуйте сформулировать, чем именно.

Глава 2. Скандал бесконечности. Парменид, Зенон и атомисты

Движенья нет, сказал мудрец брадатый

Античная традиция сохранила анекдот, который пересказывают в разных версиях. Перед философом-киником Диогеном кто-то излагал доводы Зенона Элейского о том, что движения не существует. Диоген ничего не возразил. Он просто встал и прошёлся туда и обратно. Пушкин переложил эту историю стихами: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить».

Но у анекдота есть продолжение, которое цитируют реже. Гегель в лекциях по истории философии пересказывает его так. Когда один из учеников Диогена остался доволен таким опровержением, философ побил его палкой. Раз спор велся доводами, то и отвечать следовало доводами, а не прогулкой. Заслуживал ли ученик палки, вопрос педагогический. Философски же Диоген был прав.

Зенон, разумеется, прекрасно знал, что люди ходят, стрелы летят, а быстроногий Ахиллес догоняет черепаху в пару прыжков. Он утверждал другое: движение нельзя помыслить без противоречия. А если что-то нельзя помыслить без противоречия, то наши глаза нас обманывают. Прогулка Диогена показывает лишь то, что чувства сообщают нам о движении. А этого Зенон не отрицал.

Итак, перед нами столкновение двух источников знания — чувств и разума. И первые философы, которые последовательно встали на сторону разума, пришли к выводу, что мир, который мы видим, — иллюзия. В этой главе речь пойдёт о том, как из этого, на первый взгляд безумного, вывода родилась одна из самых успешных научных теорий в истории — атомизм.

Парменид: бытие есть, небытия нет

Учитель Зенона, Парменид из Элеи, жил на рубеже VI и V веков до н. э. в той же Южной Италии, где действовали пифагорейцы. От его поэмы «О природе» сохранились отрывки, и начинается она совсем не по-философски. Юношу везут на колеснице дочери Солнца, перед ним открываются врата Дня и Ночи, и богиня обещает поведать ему истину. Рамка целиком мифологическая. Но то, что говорит богиня, — это первое в истории последовательное логическое доказательство утверждения о том, как устроена реальность. Пифагорейцы доказывали теоремы о фигурах. Парменид взялся доказывать теорему о вселенной.

Ход его мысли настолько прост, что в это трудно поверить. Путей исследования, говорит богиня, всего два: «есть» и «не есть». Второй путь закрыт: о том, чего нет, нельзя ни помыслить, ни сказать, ведь мысль всегда есть мысль о чём-то. Отсюда знаменитая формула Парменида: мыслить и быть — одно и то же. А дальше из единственной посылки «небытия нет» вытекают поразительные следствия.

Бытие не возникает и не гибнет. Возникнуть оно могло бы только из небытия, а его нет. Исчезнуть оно могло бы только в небытие — по той же причине некуда.

Бытие едино и непрерывно. Чтобы одна вещь отделялась от другой, между ними должно быть что-то, что не есть бытие, то есть пустота. А пустота — это небытие.

Бытие неподвижно. Двигаться — значит переходить туда, где тебя не было. Но места, где нет бытия, не существует.

Бытие совершенно и закончено, подобно «массе правильного шара».

А как же тогда мир, полный возникновения, гибели, движения и разнообразия? Это, отвечает Парменид, путь мнения — то, что сообщают нам обманчивые чувства. Истина же доступна только разуму. Богиня прямо призывает юношу судить не глазами и не ушами, а разумом, и не давать привычке сбить себя с пути.

Сегодня это звучит как последнее, что может посоветовать философ науки: не верь наблюдению, верь чистому рассуждению. Но не спешите смеяться. Парменид сделал нечто исключительно важное для будущей науки. Во-первых, он показал, что мир за явлениями может разительно отличаться от того, что мы видим. Для науки, утверждающей, что твёрдый стол почти целиком состоит из пустоты, а Земля несётся вокруг Солнца со скоростью тридцать километров в секунду, это бесценная идея. Во-вторых, его тезис «ничто не возникает из ничего и не исчезает бесследно» стал далёким предком законов сохранения — массы, энергии, заряда. В-третьих, он предъявил любой будущей теории жёсткое требование: она должна быть свободна от противоречий.

Но цена оказалась чрезмерной. Если разум и чувства противоречат друг другу во всём, то изучать природу бессмысленно: всё, что мы в ней наблюдаем, — всего лишь мнение. Вся греческая философия после Парменида — это по сути попытки найти выход из ловушки, которую он построил: как сохранить строгость логики — и при этом не отказаться от мира, в котором вещи движутся и меняются?

Зенон: адвокат неподвижности

Как и любого смелого мыслителя, Парменида высмеивали. Защищать учителя взялся его ученик Зенон (около 490–430 годов до н. э.). В диалоге Платона «Парменид» Зенон сам объясняет свою тактику. Он не стал доказывать тезисы Парменида напрямую. Он показал, что из предположений противников — вещей много и они движутся — следуют нелепости похлеще тех, в которых обвиняют Парменида. Это тот самый приём «от противного», которым доказали несоизмеримость диагонали. Аристотель назовёт Зенона изобретателем диалектики — искусства рассуждать, исходя из положений собеседника.

Рассуждения Зенона называют апориями, от греческого «безвыходность, затруднение». Их было несколько десятков, но знаменитыми стали четыре апории о движении. Их пересказал Аристотель в «Физике», с честным признанием, что они «доставляют большие затруднения тем, кто хочет их разрешить».

Дихотомия («деление надвое»). Чтобы пройти от двери до окна, надо сначала пройти половину пути. Чтобы пройти половину, надо сначала пройти четверть. Чтобы пройти четверть, надо пройти восьмую, и так до бесконечности. Получается, что движение не может даже начаться: для первого шага нужно совершить бесконечное число шагов, а самого первого среди них нет.

Ахиллес и черепаха. Черепаха стартует на сто шагов впереди. Пока Ахиллес пробежит эти сто шагов, черепаха проползёт ещё немного. Пока он пробежит это «немного», она проползёт ещё чуть-чуть. Каждый раз, когда Ахиллес достигает места, где была черепаха, она уже чуть дальше. Догнать её невозможно. Апория устроена так же, как дихотомия, только бесконечная последовательность направлена не в прошлое, а в будущее.

Стрела. В каждый момент летящая стрела занимает место, равное ей самой. Занимать место, равное себе, — значит покоиться. Значит, в каждый момент стрела покоится. А время полёта состоит из моментов. Сумма состояний покоя даёт покой, и летящая стрела неподвижна.

Стадион. Самая запутанная и недооценённая апория. Представим три ряда одинаковых брусков на беговой дорожке. Один стоит на месте, два других с одинаковой скоростью движутся навстречу друг другу. За то время, пока брусок движущегося ряда проходит мимо одного неподвижного бруска, он проходит мимо двух брусков встречного ряда. Если бруски — это неделимые единицы пространства, а прохождение одной единицы занимает неделимый момент времени, то один и тот же момент оказывается равен двум моментам. Неделимое пришлось бы разделить.

Есть у Зенона и апория, направленная против множественности вещей. Если вещей много, то каждая состоит из частей. Если части не имеют величины, то и сложенная из них вещь не имеет величины: сколько нулей ни складывай, будет ноль. Если же части имеют хоть какую-то величину, то их можно делить дальше до бесконечности, и вещь, сложенная из бесконечного числа величин, окажется бесконечно большой. Итак, если вещей много, они одновременно бесконечно малы и бесконечно велики.

Что на самом деле доказал Зенон

Апории часто пересказывают как набор остроумных головоломок. Но если посмотреть внимательнее, они складываются в строгую ловушку из двух частей. Это и есть главное достижение Зенона.

Представьте отрезок пути или промежуток времени. Из чего он состоит? Вариантов всего два.

Первый вариант: отрезок делится до бесконечности. В нём нет наименьших частей, любую часть можно разделить снова. Тогда в дело вступают Дихотомия и Ахиллес: чтобы пройти отрезок, надо пройти бесконечное множество частей одну за другой. Завершить бесконечное невозможно — на то оно и бесконечное.

Второй вариант: отрезок состоит из неделимых единиц. Пространство сложено из неделимых «мест», время — из неделимых «теперь», как пифагорейская фигура сложена из камешков. Тогда в дело вступают Стрела и Стадион. В неделимый момент стрела не может двигаться, иначе момент пришлось бы разделить на «до» и «после». А при встречном движении неделимый момент оказывается вдвое больше самого себя.

Итак, как бы мы ни мыслили пространство и время, движение в них приводит к противоречию. Это не четыре случайных парадокса, а дилемма: выбор между двумя исчерпывающими вариантами, каждый из которых ведёт к нелепости.

Заметьте, кого бьёт вторая часть дилеммы. Пифагорейская монада была одновременно единицей счёта и точкой пространства, камешком некоего размера. Зенон показал, что такая единица невозможна. Если она неделима, у неё нет величины, и из таких точек нельзя сложить отрезок. Если она имеет величину, она делима. Вместе с открытием несоизмеримости это был второй удар по наивному пифагорейскому миру из камешков.

Итог можно сформулировать так: элеаты впервые поставили перед наукой один из важнейших методологических вопросов, актуальный и по сей день. Как следует мыслить континуум — как дискретный или как непрерывный? Состоит ли мир из неделимых кирпичиков или он единое целое, части которого сами по себе не существуют? От того, как отвечаешь на этот вопрос, зависит всё остальное: как измерять, как описывать движение, что считать сущностью вещей. Разные ответы дадут начало разным научным программам, которые будут соперничать две тысячи лет.

Здесь впервые встречается понятие, которое станет ключевым для философии науки XX века, и стоит его пояснить. Научная программа — это не отдельная теория, а набор исходных убеждений о том, из чего состоит мир и как его правильно изучать. Эти убеждения сами не проверяются напрямую, но из них вырастают конкретные теории, которые проверять уже можно. В третьем томе мы увидим, как Имре Лакатос построит на этой идее целую методологию. А пока посмотрим, как родилась первая из них.

Атомы и пустота: как разрезать бытие

Из ловушки элеатов нашли выход два мыслителя, чьи имена обычно произносят вместе. О первом, Левкиппе, мы почти ничего не знаем: он жил в V веке до н. э., возможно, слушал Зенона и основал школу в фракийском городе Абдеры. Второй, его ученик Демокрит (около 460–370 годов до н. э.), был одним из самых плодовитых авторов античности. Диоген Лаэртский перечисляет около семидесяти его сочинений — по физике, математике, этике, музыке, медицине. Ни одно целиком не сохранилось. В предании Демокрит остался «смеющимся философом», которого забавляла человеческая суета.

Ход атомистов был великолепен своей простотой. Они приняли почти всё, что сказал Парменид, кроме одного пункта. Парменид утверждал, что небытия нет. Атомисты заявили: небытие есть, и это пустота. По знаменитой формуле Демокрита, «нечто» существует ничуть не больше, чем «ничто». Стоило допустить пустоту — и парменидовское бытие распалось на бесчисленное множество крошечных кусочков, разделённых пустым пространством.

Каждый такой кусочек сохраняет все свойства парменидовского бытия. Он не возникает и не гибнет, не меняется изнутри, целиком заполнен и потому неделим. По-гречески «неразрезаемый» — атомос. Неделим он не потому, что твёрд, а потому, что внутри него нет пустоты, по которой можно было бы разрезать. Атомы вечно движутся в бесконечной пустоте, сталкиваются, сцепляются и расцепляются. Из их сочетаний и складывается всё, что мы видим.

Различаются атомы только формой и величиной, а их сочетания — ещё порядком и положением. Аристотель поясняет это через буквы. «А» отличается от «Н» формой. Слоги «АН» и «НА» состоят из одних и тех же букв и отличаются порядком. А греческие буквы «зета» и «ню» — это один и тот же знак, повёрнутый на девяносто градусов. Мир подобен тексту, написанному конечным алфавитом: бесконечное разнообразие слов из ограниченного набора знаков. За две с половиной тысячи лет до таблицы Менделеева и генетического кода это сравнение выглядит почти пророческим.

Как это отвечает на дилемму Зенона? Атомисты выбрали второй рог дилеммы — неделимые единицы, но с важной поправкой. Их атом — не математическая точка и не пифагорейская монада, а физическое тело. У него есть форма и размер, а значит, мысленно его можно разделить на левую и правую половину. Но физически разделить его нельзя. Историк античного атомизма Дэвид Фёрли называет это различием теоретической и физической делимости. Бесконечное деление в природе останавливается на атоме. А раз так, Дихотомия и Ахиллес теряют силу: в мире нет бесконечного числа шагов.

И ещё одно утверждение атомистов, без которого не было бы науки. От Левкиппа дошла всего одна фраза, но зато какая: «Ни одна вещь не возникает попусту, но всё возникает из основания и в силу необходимости». Это первая известная нам формулировка принципа причинности: у всего, что происходит, есть причина, и эта причина — не воля богов и не цель, а движение и столкновение тел. Демокриту приписывают и ещё более сильное высказывание: он предпочёл бы найти одно причинное объяснение, чем получить персидское царство.

Первая научная программа

Атомизм не просто решал философскую головоломку. Он предлагал способ объяснять мир, и этот способ поразительно похож на то, как работает наука Нового времени. У этой программы четыре черты.

Она физическая. Её цель — объяснить явления природы, а не постичь числовую гармонию или спасти душу.

Она механическая. Любое изменение сводится к движению атомов, их соединению и разъединению. Атомы огня шарообразны и потому подвижны. Атомы твёрдых тел снабжены крючками и зацепами, которыми сцепляются друг с другом.

Объясняющее отделено от объясняемого. Атомов никто не видел, их можно только мыслить. Невидимое объясняет видимое.

Модель наглядна. Атомы невидимы только из-за малости, но их легко представить: это крошечные тела, которые движутся и сталкиваются, как бильярдные шары.

Третья черта заслуживает особого внимания. Если мир состоит из атомов, у которых есть только форма, величина и движение, то откуда берутся цвет, вкус, запах и тепло? Демокрит отвечает фразой, которая две тысячи лет спустя станет девизом научной революции: «Лишь в общепринятом мнении существует сладкое, в мнении — горькое, в мнении — тёплое, в мнении — холодное, в мнении — цвет. В действительности же — атомы и пустота». Галилей и Локк потом назовут это различием первичных и вторичных качеств. Первичные — форма, размер, движение — принадлежат самим вещам. Вторичные — цвет, вкус, запах — возникают лишь в встрече вещей с нашими органами чувств.

Но Демокрит понимал, что такой ход мысли опасен. В другом фрагменте он даёт слово самим чувствам, и те обращаются к разуму: «Жалкий разум! От нас же взяв доказательства, ты нас же и ниспровергаешь? Наша победа — твоё падение». Ведь в атомы мы верим в конечном счёте потому, что они объясняют то, что мы видим и чувствуем. Если чувства целиком лгут, рассуждение об атомах лишается опоры. Замечательно, что Демокрит сам сформулировал сильнейшее возражение против самого себя. В этом диалоге разума и чувств уже содержится весь будущий спор рационалистов и эмпириков, которому мы посвятим последние главы книги. А в XX веке он возродится как спор о том, существуют ли на самом деле ненаблюдаемые теоретические объекты.

Демокрит пытался приложить свой подход и к математике. Плутарх сохранил его задачу про конус. Разрежем конус плоскостью, параллельной основанию. Равны ли два соседних сечения? Если неравны, то поверхность конуса ступенчатая, как лестница. Если равны, то конус оказывается цилиндром. Зенон бы одобрил. Математика атомистов с конечным числом неделимых слоёв оказалась непригодна для строгих доказательств: в ней нельзя даже разделить отрезок пополам. Зато она оказалась удивительно плодотворной как способ находить ответы. Архимед спустя два века писал, что теорему об объёме конуса — треть объёма цилиндра — строго доказал Евдокс. Но «немалую долю заслуги» Архимед отдаёт Демокриту, который первым высказал это положение, хоть и без доказательства.

Перед нами снова различие контекста открытия и контекста обоснования, только сформулированное уже в античности. Архимед прямо говорит: механический метод даёт предварительное представление об ответе, но ещё не является доказательством. Атомизм в математике подсказывает, что искать. Доказательство показывает, что найдено именно то.

Возражения и судьба: две тысячи лет без доказательств

У атомизма нашёлся грозный противник — Аристотель. О его собственной программе мы поговорим в четвёртой главе, а пока отметим два его главных аргумента.

Первый — против пустоты. По физике Аристотеля, скорость тела тем больше, чем меньше сопротивление среды. В пустоте сопротивления нет совсем, и тело двигалось бы с бесконечной скоростью, а это нелепо. Кроме того, в пустоте все направления равноценны, и у тела не было бы причины остановиться или свернуть. Ирония в том, что второй довод почти дословно формулирует закон инерции. Аристотель считал его опровержением абсурдом. Галилей и Ньютон примут этот «абсурд» за основу механики.

Второй — решение апорий без атомов. Аристотель предложил различать бесконечность актуальную, то есть существующую целиком, и потенциальную, то есть лишь возможную. Отрезок можно делить сколько угодно, но он не разделён на бесконечное число частей. Ахиллес бежит не через бесконечное множество точек, а просто по непрерывной дорожке. Точки появляются на ней лишь тогда, когда мы их отмечаем. Решение изящное, и на два тысячелетия оно стало господствующим. Греческая математика с тех пор старательно избегала актуальной бесконечности. Евдокс находил площади и объёмы «методом исчерпания» — цепочкой конечных приближений, ни разу не произнося слова «бесконечно малое».

А атомизм ушёл в тень. Его сохранили Эпикур и римский поэт Лукреций, чья поэма «О природе вещей» чудом пережила Средние века. Но у атомизма была дурная слава: мир из слепо сталкивающихся частиц, без цели и замысла, плохо уживался сначала с философией Платона и Аристотеля, а потом с христианской теологией. Возродится он только в XVII веке, у Гассенди и Бойля.