Рождение научного метода. От Пифагора до Канта.

Именно эта неожиданная встреча произойдёт у пифагорейцев. Но сначала должно было появиться то, чего не знали ни Египет, ни Вавилон, — доказательство.

Греческий поворот: от «сделай так» к «докажи»

Доказательство — это рассуждение, которое выводит утверждение из уже принятых положений так, что не согласиться с ним нельзя, не вступив в противоречие с самим собой. Рецепт говорит: «Делай так, и получится». Доказательство говорит: «Иначе быть не может, и вот почему». Первое опирается на авторитет традиции, второе — на разум слушателя. В этом и состоит переворот: истина перестаёт быть тайным знанием жрецов и писцов и становится достоянием любого, кто способен следить за рассуждением.

Греческая традиция называет первым математиком, который стал доказывать, Фалеса Милетского (около 624–546 годов до н. э.). Поздний комментатор Евклида Прокл, опираясь на несохранившуюся «Историю геометрии» ученика Аристотеля Евдема, приписывает Фалесу несколько теорем. Диаметр делит круг пополам. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Вертикальные углы равны. Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Первое почти смешно доказывать: любой землемер знал это на глаз. Но в том-то и дело: интерес смещается с того, что верно, на то, почему это верно. Очевидное впервые требует обоснования.

Какими были эти первые доказательства? Скорее всего, наглядными. Историк математики Борис Розенфельд замечает, что Фалесу не на что было опереться: ни аксиом, ни других теорем ещё не существовало. Зато во всех его теоремах нужно доказать равенство чего-то чему-то: полукругов, углов, треугольников. Вероятно, Фалес доказывал это наложением: перегибал чертёж и показывал, что одна фигура совпадает с другой. Это ещё не строгий вывод в духе Евклида, но уже и не рецепт. Это показ, который убеждает зрителя без ссылки на авторитет.

Почему это произошло именно в Греции? У историков нет единого ответа, но чаще всего указывают на несколько обстоятельств сразу.

Полис и публичный спор. В греческом городе-государстве важнейшие вопросы решались на собрании и в суде. Успех зависел от умения убедить сограждан, а не от повеления царя или жреца. Культура, где привыкли требовать доводов от оратора, рано или поздно начинает требовать их и от геометра. Британский историк античной науки Джеффри Ллойд считал эту связь между политической дискуссией и рациональным аргументом одной из главных особенностей греческой мысли.

Отсутствие жреческой монополии. В Египте и Вавилоне учёность была делом храмовых и дворцовых писцов, которые хранили и передавали традицию. У греков не было ни священной книги, ни жреческой касты, которая решала бы, что истинно. Любой милетский купец мог заявить, что всё происходит из воды, — и тогда ему приходилось это обосновать, потому что сосед тут же заявлял, что всё происходит из воздуха.

Колонии и перекрёстки. Милет, Самос, Кротон — торговые города на окраинах греческого мира. Их жители сталкивались с египетскими, вавилонскими и финикийскими традициями одновременно. Когда видишь, что разные народы считают площадь круга по-разному, вопрос «а как правильно?» возникает сам собой. А ответить на него ссылкой на дедов уже нельзя: деды у всех разные.

Ни одно из этих объяснений не достаточно само по себе, и пора сделать оговорку: объяснить, почему что-то произошло один раз в истории, всегда труднее, чем объяснить падение яблока. Но результат несомненен. К VI веку до н. э. в греческом мире сложилась привычка спрашивать «почему?» и требовать ответа, который можно проверить. Вскоре эту привычку подхватил человек, который сделал из неё одновременно науку и религию.

Пифагор: человек, которого не было?

О Пифагоре мы знаем одновременно очень много и почти ничего. Много — потому что античные авторы оставили о нём целые жизнеописания. Почти ничего — потому что сам он не написал ни строчки, а подробные жизнеописания составлены лишь в III веке нашей эры неоплатониками Порфирием и Ямвлихом. Для них Пифагор был полубогом. У него было золотое бедро, он одновременно появлялся в двух городах, а река, которую он переходил, приветствовала его человеческим голосом. Историку остаётся осторожно выбирать из этих рассказов правдоподобное и сверять его с более ранними свидетельствами.

А ранние свидетельства рисуют такую картину. Пифагор родился около 570 года до н. э. на острове Самос, возможно, путешествовал в Египет, а около 530 года перебрался в Кротон на юге Италии. Там он основал союз единомышленников, что-то среднее между философской школой, монашеским орденом и политической партией. Союз приобрёл влияние в городах Великой Греции, как называли греческие колонии в Италии. И как это бывает с влиятельными замкнутыми обществами, нажил себе врагов. В середине V века по городам прокатилась волна антипифагорейских восстаний, дома собраний союза жгли, и уцелевшие пифагорейцы рассеялись по греческому миру. Одним из них был Филолай, чьи сочинения стали первым письменным изложением пифагорейского учения. Именно из уцелевших отрывков Филолая и из сообщений Аристотеля мы и судим о том, чему учили пифагорейцы.

Союз жил по строгим правилам. Новички долго соблюдали обет молчания, имущество членов было в известной мере общим, а учение хранилось в тайне. До нас дошли так называемые акусмы (от греческого «услышанное») — наставления, которые полагалось исполнять без объяснений. Не есть бобов. Не поднимать упавшее со стола. Не мешать огонь ножом. Не ходить по большой дороге. Вставая с постели, разгладить отпечаток тела. Комментаторы потом веками искали в этих запретах глубокий иносказательный смысл, но, скорее всего, перед нами обычные для древней религии ритуальные табу.

В центре религиозной стороны учения была вера в бессмертие души и её переселение из тела в тело. Современник Пифагора, поэт и философ Ксенофан, оставил на этот счёт первую в истории насмешку над философом. Однажды Пифагор увидел, как бьют щенка, и сказал: «Перестань, не бей! Это душа моего друга — я узнал её по голосу». Другой знаменитый современник, Гераклит, был суровее: Пифагор, по его словам, «составил себе свою мудрость: многознание и обман».

И вот что удивительно. Математика в этом союзе была не светским увлечением рядом с религией, а частью религии. Пифагорейцы верили в катарсис — очищение души. Музыка очищает душу, как лекарство очищает тело, а занятия числами очищают её ещё глубже, отвращая от телесного и преходящего. Российский исследователь античной философии Александр Маковельский сформулировал это так: именно вера в религиозно-очистительное действие науки дала Пифагору силы положить основание чистой математики.

Здесь и произошла та встреча, которой не было в Египте и Вавилоне. Число стало священным, но не в том смысле, что его надо произносить в заклинаниях. Его следовало постигать. Раз числа божественны, то изучение их свойств и связей — дело благочестивое. А раз изучение благочестиво, оно должно быть бескорыстным, без всякой оглядки на землемера и купца. Так среди обетов и табу родилась идея, без которой не было бы науки, — идея знания ради самого знания.

Кстати, о знаменитой теореме. Поздние авторы рассказывают, что, доказав её, Пифагор принёс в жертву сто быков. Учитывая, что пифагорейцы, по другим свидетельствам, избегали кровавых жертвоприношений, история выглядит сомнительно. Само соотношение сторон прямоугольного треугольника, как мы видели, было известно вавилонянам за тысячу лет до него. А доказательство, которое дошло до нас в «Началах» Евклида, скорее всего, принадлежит самому Евклиду. Теорема носит имя Пифагора потому, что им вообще было принято подписывать достижения школы. Пифагорейцы ссылались на учителя формулой «Сам сказал», по-латыни ipse dixit. Позже это выражение стало насмешливым названием самой антинаучной логики, какая только бывает, — ссылки на авторитет вместо довода. Ирония истории: люди, которые изобрели доказательство, оставили нам и лучшую формулу его отрицания.

«Всё есть число»: что это значило

Формула «всё есть число» звучит как девиз современной физики. Но чтобы понять её правильно, надо забыть привычное нам представление о числе как о значке на бумаге. Для пифагорейцев число было чем-то вроде фигуры из камешков. Один камешек — единица, или монада. Два камешка образуют отрезок. Три — треугольник. Число имело форму и занимало место, оно было одновременно арифметическим и геометрическим объектом. Поэтому фраза «вещи состоят из чисел» для них была не метафорой, а почти буквальным утверждением.

Фигурные числа. Раскладывая камешки, пифагорейцы обнаружили закономерности, которые стали первыми теоремами теории чисел. Треугольные числа — 1, 3, 6, 10 — складываются в ровные треугольники. Квадратные — 1, 4, 9, 16 — в квадраты. А вот замечательное наблюдение: если к единице последовательно прибавлять нечётные числа 3, 5, 7, то каждый раз получается квадрат: 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16. На камешках это видно сразу: нечётное число ложится уголком вокруг прежнего квадрата и делает его больше, не меняя формы. Такой уголок называли гномоном — по имени плотницкого угольника. Если же прибавлять чётные числа, получаются прямоугольники с каждый раз новым соотношением сторон: 2, 6, 12, 20.

Из этого чисто арифметического факта пифагорейцы сделали далеко идущие выводы. Нечётное сохраняет форму — значит, оно связано с пределом, постоянством, добром. Чётное форму теряет — значит, оно связано с беспредельным, изменчивым и дурным. Здесь хорошо видно, как в пифагорейской мысли переплетаются две нити. Первая — настоящее математическое открытие, которое можно проверить и которое верно и сегодня. Вторая — ценностное, почти мифологическое истолкование этого открытия, которое нельзя ни проверить, ни опровергнуть.

Священная четверица. Выше всех чисел пифагорейцы ставили десятку. Десять камешков складываются в треугольник со стороной четыре: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Эту фигуру, тетрактиду, почитали как священную, и пифагорейцы, по преданию, клялись ею. В ней единица обозначала точку, двойка — линию, тройка — плоскость, четвёрка — тело, то есть тетраэдр. Вся структура пространства оказывалась спрятана в первых четырёх числах. Но самое удивительное скрывалось в музыке.

Первый закон природы. Пифагору — или, что вероятнее, его ранним ученикам — приписывают открытие, сделанное на монохорде, инструменте с одной струной и подвижной подставкой. Если заставить звучать целую струну, а потом её половину, получится октава. Две трети струны дадут квинту, три четверти — кварту. Отношения 1 : 2, 2 : 3 и 3 : 4 составлены из тех же чисел 1, 2, 3 и 4, что и священная четверица. А неприятные диссонансы возникают тогда, когда отношение длин сложное.

Постарайтесь оценить масштаб этого открытия. Красота звука — вещь, казалось бы, субъективная и неуловимая. И вдруг оказывается, что за ней стоит простое числовое соотношение, которое можно измерить линейкой и воспроизвести на любой струне. Вернер Гейзенберг, один из создателей квантовой механики, назвал это открытие одним из сильнейших импульсов для развития науки вообще: кто хоть раз убедился в творческой силе математических построений, тот будет замечать их действие на каждом шагу. По сути, это первый в истории физический закон, выраженный математически: качество (созвучие) сведено к количеству (отношению длин).

У этой истории есть поучительное продолжение. Поздние античные авторы украсили её легендой. Пифагор якобы проходил мимо кузницы, услышал созвучие молотов и обнаружил, что их веса относятся как простые числа. Затем он подвесил те же грузы к струнам и получил те же интервалы. Красиво, но неверно: тон молота почти не зависит от его веса. А чтобы получить октаву натяжением, груз надо увеличить не вдвое, а вчетверо. Легенду переписывали из книги в книгу полторы тысячи лет. Лишь в XVI веке музыкант Винченцо Галилей — отец того самого Галилея — взял струну, подвесил грузы и проверил. Вот вам кратчайший курс философии науки: историю можно пересказывать веками, а проверка занимает один вечер.

Предел, беспредельное и десятое небесное тело

Открытие на монохорде стало для пифагорейцев ключом ко всему мирозданию. Если число управляет музыкой, то почему бы ему не управлять и движением светил, и строением тел, и душой человека? Аристотель так излагает их ход мысли: пифагорейцы увидели в числах свойства и отношения, присущие гармонии, и поскольку всё остальное уподоблялось числам, они приняли элементы чисел за элементы всех вещей, а всю вселенную — за гармонию и число.

Из чего же состоит само число? Филолай отвечает: из двух начал, предела и беспредельного. Предел — это то, что даёт вещам форму, границу, определённость. Беспредельное — аморфная, бесформенная стихия, которая эту форму получает. Мир возникает, когда предел втягивает в себя беспредельное. Ранние пифагорейцы представляли это почти физиологически: космос «вдыхает» окружающую его пустоту, и она разделяет вещи, создавая множественность. Соединяет же противоположные начала гармония, которую Филолай определяет как «соединение разнообразной смеси и согласие разногласного». Это определение музыкального созвучия, расширенное до принципа устройства вселенной.

Аристотель сохранил для нас пифагорейский список десяти пар противоположностей: предел и беспредельное, нечётное и чётное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадрат и параллелограмм. В этом списке, как в геологическом разрезе, видны слои разного возраста. Свет и тьма, добро и зло, мужское и женское — древние мифологические противоположности, которые есть чуть ли не в каждой религии. Но рядом с ними стоят чётное и нечётное, квадрат и параллелограмм — понятия совершенно нового типа, математические. Пифагорейская философия пытается влить новое математическое вино в старые мифологические мехи.

Самое смелое создание этой философии — космология Филолая. В центре мира, по его учению, горит центральный огонь, очаг вселенной. Вокруг него вращаются все небесные тела, и Земля в их числе. Земля движется! За два с лишним тысячелетия до Коперника пифагорейцы сняли нашу планету с места в центре мира. Коперник помнил об этом и в своём главном труде ссылался на Филолая как на предшественника.

Но посмотрите, как именно пифагорейцы пришли к своей картине. Небесных тел, кружащихся вокруг огня, у них получалось девять: Земля, Луна, Солнце, пять известных планет и сфера неподвижных звёзд. А совершенное число, как мы знаем, — десять. Выход нашёлся: пифагорейцы добавили десятое тело, Антиземлю. Она всегда находится по ту сторону центрального огня и потому никогда не видна. Аристотель отметил это с нескрываемой иронией: пифагорейцы, пишет он, ищут объяснения не для наблюдаемого, а подгоняют наблюдаемое к своим теориям.

Запомним эту формулу. Невидимая Антиземля, введённая не для того, чтобы объяснить какое-то явление, а для того, чтобы спасти дорогую сердцу схему, — первый известный нам пример того, что философы науки два с половиной тысячелетия спустя назовут гипотезой ad hoc (по-латыни «для этого случая»). Так называют дополнительное предположение, которое ничего нового не предсказывает и нужно только для того, чтобы теория не развалилась. Карл Поппер в третьем томе нашей серии сделает недоверие к таким гипотезам одним из краеугольных камней своей философии. А впервые поймал на ней своих предшественников Аристотель.

Отсюда же ведёт начало знаменитая гармония сфер. Раз небесные тела движутся по числовым законам, их движение должно звучать, как звучит струна. Почему же мы не слышим этой музыки? Потому что слышим её с рождения, и наше ухо к ней привыкло, как кузнец привыкает к гроху молота. Объяснение остроумное — и снова неопровержимое: любой неудачей наблюдения оно лишь подтверждается.

И всё же за мистикой проступает мысль, которая станет кардинальной для всего математического естествознания. Филолай формулирует её так: всё познаваемое имеет число, ибо без него невозможно ничего ни понять, ни познать. Другими словами, точное знание возможно только там, где есть число и мера. Через две тысячи лет Галилей скажет, что книга природы написана на языке математики, — и будет, сам того не сознавая, повторять пифагорейцев.

Трещина в квадрате: как доказать невозможное

Вернёмся к тайне Гиппаса. Чтобы понять, почему она была так опасна, придётся ненадолго стать математиками. Будьте спокойны: нам понадобится не больше, чем знал сам Гиппас.

Два отрезка называются соизмеримыми, если у них есть общая мера: такой маленький отрезочек, который укладывается целое число раз и в одном, и в другом. Отрезки длиной 15 и 21 сантиметр соизмеримы: их общая мера — 3 сантиметра, она уложится в первом пять раз, во втором семь. Отношение соизмеримых отрезков всегда можно выразить отношением двух целых чисел, в нашем примере 5 : 7. Пифагорейцы считали само собой разумеющимся, что так обстоит дело с любыми двумя отрезками. Нужно лишь взять достаточно маленькую меру. В конце концов, если всё состоит из монад-камешков, такой мерой всегда может служить сама монада.

И вот диагональ квадрата. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме квадратов двух сторон, то есть удвоенному квадрату стороны. Допустим, что диагональ и сторона соизмеримы. Тогда диагональ содержит общую меру m раз, а сторона — n раз. Мы всегда можем выбрать меру так, чтобы m и n не были оба чётными: если они чётные, просто возьмём меру вдвое крупнее. Дальше рассуждение идёт в четыре шага.

Из теоремы Пифагора следует, что m² = 2n². Значит, m² — чётное число.

Но квадрат нечётного числа всегда нечётен. Значит, само m чётное, и его можно записать как 2k.

Подставим: (2k)² = 4k² = 2n². Сократим на два: n² = 2k². Значит, и n² чётно, а стало быть, чётно и n.

Но мы выбрали меру так, чтобы m и n не были оба чётными. Получилось противоречие. Значит, исходное допущение ложно: общей меры нет.

Аристотель упоминает именно такой ход мысли как хрестоматийный пример доказательства: если допустить, что диагональ соизмерима со стороной, то нечётное окажется равным чётному. Заметьте горькую иронию: пифагорейцев побило их же собственное оружие. Деление чисел на чётные и нечётные было для них главной, почти священной характеристикой числа. Именно оно и показало, что число — не всё.

Теперь самое важное для философии науки. Посмотрите, что именно было доказано. Не что нам пока не удалось найти общую меру. А что её не существует и не может существовать — никогда, какую бы крошечную долю мы ни взяли. Никакое измерение не могло бы этого установить. Вавилонский вычислитель мог бы тысячу лет уточнять знаки корня из двух и так и не узнать, что их бесконечно много. А четыре строчки рассуждения дают знание о бесконечном множестве случаев, и дают его с абсолютной достоверностью. Разум впервые достал туда, куда в принципе не мог достать опыт.

В этом месте рождается идеал знания, который на два тысячелетия вперёд определит европейскую мысль: настоящее знание — это доказанное знание, необходимое и всеобщее. Платон сделает из него вывод, что истина постигается разумом, а не чувствами. Аристотель построит на нём теорию науки. А в XVIII веке Дэвид Юм спросит, может ли такая достоверность быть у знания о фактах, — и ответит: нет.

Какими были последствия открытия для самой математики? Первое — она геометризировалась. Раз не всякую величину можно выразить числом, греки стали изображать величины отрезками и прямоугольниками и выполнять с ними действия геометрически. Историки называют это «геометрической алгеброй». Именно поэтому греческая математика на столетия стала в первую очередь геометрией, а выражение «возвести в квадрат» до сих пор напоминает о квадрате как фигуре. Второе — понадобилась новая теория отношений, которая работала бы и с несоизмеримыми величинами. Её создал в IV веке до н. э. математик и астроном Евдокс Книдский, и она вошла в пятую книгу «Начал» Евклида. Идеи Евдокса настолько опередили своё время, что в XIX веке Рихард Дедекинд, строя строгую теорию вещественных чисел, во многом повторил их ход.

Наконец, третье и, пожалуй, главное последствие. По мысли Гайденко, открытие несоизмеримости впервые заставило рождающуюся науку сознательно задуматься о своих предпосылках. До тех пор число, точка и фигура были понятиями самоочевидными. Камешек-монада был и единицей счёта, и точкой пространства, и крупицей вещества, и никто не спрашивал, как одно связано с другим. Теперь выяснилось, что отрезок нельзя сложить из конечного числа одинаковых «атомов» длины. Иначе любые два отрезка были бы соизмеримы. Значит, что такое непрерывная величина? Из чего она состоит — и состоит ли вообще из чего-нибудь? Вопрос о континууме, то есть о непрерывном, встал в полный рост. В следующей главе мы увидим, как Зенон из Элеи обратит его против самой возможности движения.

Возражения: мистика или наука?

У пифагорейской программы были критики уже в древности, а сегодня споры ведут ещё и историки. Рассмотрим три ключевых возражения.

Возражение первое: числа не вещи. Его выдвинул Аристотель, и оно бьёт в самое сердце учения. Если тела состоят из чисел, то откуда у них тяжесть и лёгкость? Единица ничего не весит, а сумма невесомых единиц не может получить вес. Пифагорейцы, по словам Аристотеля, не отделяют чисел от вещей, и в итоге у них получаются не то физические тела, не то арифметические абстракции. Стоит признать: критик прав. Пифагорейцы и не ставили вопроса о том, чем число само по себе отличается от посчитанных предметов. У них царила, как деликатно выражается Гайденко, «некоторая непрояснённость». Но именно вопрос Аристотеля — что такое математический объект и как он связан с физическим миром — стал одним из вечных вопросов философии. Почему формулы, написанные на бумаге, предсказывают поведение планет? Исчерпывающего ответа нет до сих пор.

Возражение второе: теория подгоняет факты под себя. Мы уже видели это на примере Антиземли. Пифагорейцы искали десятку везде — и находили, даже там, где её приходилось достраивать. Список противоположностей тоже не случайно состоит из десяти пар. А если наблюдения не сходились со схемой, страдали наблюдения. Здесь пифагорейская программа показывает свою тёмную сторону. Убежденность, что мир устроен математически, двигает поиск. Но убежденность, что он устроен именно по этой, заранее известной схеме, поиск останавливает. Граница между этими двумя убеждениями — ещё одна версия той самой демаркации, о которой шла речь во введении.

Возражение третье, историческое: был ли Пифагор математиком вообще? В XX веке немецкий историк Вальтер Буркерт в книге «Предание и наука раннего пифагорейства» доказывал: сам Пифагор был скорее религиозным учителем, чем-то вроде шамана. Настоящая математика появилась у пифагорейцев лишь поколения спустя, у Филолая и Архита, а славу математика основателю приписали задним числом платоники. Его оппонент, голландский математик и историк науки Бартель ван дер Варден, напротив, не видел ничего невозможного в том, чтобы музыкальные отношения открыл именно Пифагор. Спор не решён и, вероятно, не будет решён: слишком мало источников.

Позиция Гайденко в этом споре нам представляется самой глубокой. Она считает неправомерным разрывать «мистический» и «научный» пифагореизм. Учение о числе как божественном начале мира было не помехой, а посредником между восточной математикой-рецептурой и греческой математикой-системой. Именно потому, что число считалось священным, его свойства стали исследовать бескорыстно, ради них самих. Именно потому, что числу приписывали власть над вселенной, числовые соотношения стали искать в музыке и на небе.

Проследите здесь важную для философии науки мысль. В XX веке её чётко сформулирует Ганс Рейхенбах, различив контекст открытия и контекст обоснования. То, как учёный пришёл к идее, — одно. То, почему эта идея верна, — совсем другое. Пифагореец мог изучать чётные и нечётные числа, потому что считал первые женскими, а вторые мужскими. Но доказательство иррациональности корня из двух от этого не становится ни менее строгим, ни более женским. Происхождение идеи не определяет её истинности. И наоборот: никакие достоинства происхождения — древность, священность, авторитет учителя — не делают ложную идею истинной.