ОГЭ. Математика. Репетитор 2027

19. 7sqrt2 - 5sqrt2 = 2sqrt2.

20. 7 - 4 = 3.

21. 3,2^2 = 10,24, значит sqrt10 < 3,2.

22. 7^2 = 49, 8^2 = 64, значит 7 < sqrt54 < 8.

23. 7 - 5 = 2.

24. a^2 - 16 - a^2 = -16.

25. x^2 - 25 - (x^2 - 6x + 9) = 6x - 34.

26. (2x - 5)^2.

27. (4a - 3)^2.

28. 3(x - 2)(x + 2).

29. (a - 3)(a + 3)/(a + 3) = a - 3 = 2,2.

30. (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 9 + 16 = 25.

31. 4ab.

32. 5,2 x 10^-^4.

33. Полупериметр 21, частей 7, одна часть 3. Стороны 6 и 15, площадь 90.

34. (6,4 : 1,6) x 10^2 = 4 x 100 = 400.

Чек-лист главы

Порядок действий: скобки, степени, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание.

Минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых.

Дробная черта держит скобки в числителе и знаменателе.

Дроби: общий знаменатель при сложении, переворот при делении, неправильные дроби для смешанных чисел.

Десятичные: запятая под запятой, количество знаков при умножении.

Отрицательная степень — это дробь, а не отрицательное число.

Корень из суммы считают по-другому: sqrt(9 + 16) /= sqrt9 + sqrt16; при этом sqrt(a^2) = |a|.

Модуль — расстояние, он неотрицателен.

Формулы сокращённого умножения проверяйте на числах.

Разложение на множители: общий множитель, формула, группировка.

Перед подстановкой упрощайте выражение, отрицательные числа берите в скобки.

Я не обещаю, что после этой главы вы полюбите дроби. Но если вы прорешаете тренировку дважды — первый раз с подсказками, второй на время, — задание 6 перестанет быть лотереей. Это самый честный балл на экзамене: он зависит только от вас и от количества повторений.

Глава 4. Уравнения и неравенства

Задания 7, 8 и 20 — три ступени одной темы. Седьмое и восьмое проверяют, умеете ли вы решить уравнение и неравенство. Двадцатое — можете ли записать решение так, чтобы эксперт поставил два балла.

Тема большая, но конструкций в ней немного. Они повторяются из года в год. Разберите их по очереди, и хаос превратится в список.

На экзамене задания 7 и 8 части 1 дают по одному баллу и требуют 3–4 минут каждое. Задание 20 части 2 стоит два балла, и на него разумно оставить 15–20 минут. Время лучше считать заранее, а не выяснять в конце, что его не осталось.

Линейное уравнение

Общий вид: ax + b = 0. Решение: x = -b/a, если a /= 0.

Если a = 0 и b = 0, решений бесконечно много: подходит любое число. Если a = 0 и b /= 0, решений нет.

Пример из демоверсии: 3(x + 8) - 2(x - 8) = 8.

Раскрываем скобки: 3x + 24 - 2x + 16 = 8. Обратите внимание на вторую скобку: минус перед ней меняет знаки, поэтому -2 x (-8) = +16.

Приводим подобные: x + 40 = 8. Значит, x = 8 - 40 = -32.

Проверка: 3(-32 + 8) - 2(-32 - 8) = 3 x (-24) - 2 x (-40) = -72 + 80 = 8. Верно.

Уравнение с дробями решается так же, только сначала избавляются от знаменателей. Пример: (x - 1)/2 + (x + 2)/3 = 5. Общий знаменатель 6. Умножаем каждое слагаемое: 3(x - 1) + 2(x + 2) = 30. Раскрываем: 3x - 3 + 2x + 4 = 30. Получаем 5x + 1 = 30, откуда x = 29/5 = 5,8.

Типичная ошибка. При раскрытии второй скобки пишут -2x - 16. Знак теряется, ответ уезжает. Подчёркивайте каждое слагаемое после раскрытия.

Квадратное уравнение

Общий вид: ax^2 + bx + c = 0, a /= 0.

Дискриминант: D = b^2 - 4ac.

D > 0 — два корня;

D = 0 — один корень;

D < 0 — корней нет.

Корни: x = (-b +/- sqrtD) / (2a).

Пример: 2x^2 - 7x + 3 = 0. D = 49 - 24 = 25. sqrtD = 5. x_1 = (7 + 5)/4 = 3; x_2 = (7 - 5)/4 = 0,5.

Неполные уравнения. Если b = 0: ax^2 + c = 0. Если c = 0: ax^2 + bx = 0, выносим x за скобку.

Пример: 3x^2 - 12 = 0 -> x^2 = 4 -> x = +/-2. Не забывайте второй корень.

Пример: x^2 + 5x = 0 -> x(x + 5) = 0 -> x = 0 или x = -5.

Ещё несколько случаев, чтобы формула не казалась единственным путём.

x^2 - 8x + 15 = 0. D = 64 - 60 = 4. Корни: (8 +/- 2)/2 = 5 и 3.

2x^2 + 5x - 3 = 0. D = 25 + 24 = 49. Корни: (-5 +/- 7)/4 = 0,5 и -3.

x^2 + 4x + 4 = 0. D = 16 - 16 = 0. Один корень: -2.

3x^2 + x + 2 = 0. D = 1 - 24 = -23. Корней нет.

4x^2 = 25. x^2 = 25/4, x = +/-5/2 = +/-2,5. В последнем примере часто пишут только 2,5. Но уравнение имеет два корня: проверка показывает, что (-2,5)^2 = 6,25 и (2,5)^2 = 6,25.

Выделение полного квадрата. Иногда формула нужна не для ответа, а чтобы увидеть структуру. Пример: x^2 - 6x + 5 = 0. Представим левую часть как (x - 3)^2 - 4. Тогда (x - 3)^2 = 4, откуда x - 3 = +/-2 и x = 5 или 1. Тот же ответ, что по дискриминанту, но видно, что выражение — сдвинутая парабола. Этот приём пригодится в главе о графиках.

Теорема Виета. Для приведённого уравнения x^2 + px + q = 0: сумма корней равна -p, произведение равно q.

Пример: x^2 - 7x + 12 = 0. Корни 3 и 4: сумма 7, произведение 12.

Пример: x^2 - 11x + 30 = 0. Нужны два числа, сумма 11, произведение 30. Это 5 и 6.

Пример: x^2 + 3x - 10 = 0. Сумма -3, произведение -10. Числа -5 и 2.

Виета экономит время, когда корни целые. Если дискриминант некрасивый, считайте формулой.

Полезное свойство. Если a + b + c = 0, один корень равен 1, второй c/a. Например, 2x^2 - 5x + 3 = 0: 2 - 5 + 3 = 0, корни 1 и 1,5. Это ускоряет проверку.

Типичная ошибка. Забывают минус перед b. Формула x = (-b +/- sqrtD)/(2a), а не (b +/- sqrtD)/(2a). Проверяйте на простом примере: x^2 - 5x + 6 = 0, корни 2 и 3. Подстановка в формулу с минусом даёт (5 +/- 1)/2 = 3 и 2. Без минуса — (-5 +/- 1)/2 = -2 и -3. Неверно.

Дробно-рациональное уравнение

Главное — область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю.

Пример: (x + 1)/(x - 2) = 3.

Условие: x /= 2. Умножаем обе части на x - 2: x + 1 = 3(x - 2). Раскрываем: x + 1 = 3x - 6. Отсюда -2x = -7, x = 3,5. Корень не равен 2, значит подходит.

Пример: 3/(x - 1) = 2. ОДЗ: x /= 1. 3 = 2x - 2, x = 2,5. Подходит.

Пример: (x + 2)/(x - 3) = 0. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. x = -2. Подходит.

Ещё пример: 1/(x^2 - 1) = 1/(x - 1). ОДЗ: x /= +/-1. Умножаем на x^2 - 1: 1 = x + 1, откуда x = 0. Корень не совпадает с запрещёнными значениями, значит подходит.

Пример посложнее: 1/(x - 2) + 1/(x + 2) = 4/(x^2 - 4). ОДЗ: x /= +/-2.

Приводим к общему знаменателю x^2 - 4: (x + 2) + (x - 2) = 4. Получаем 2x = 4, x = 2. Но x = 2 не входит в ОДЗ. Значит, корней нет.

Типичная ошибка. Нашли корень, который обращает знаменатель в ноль, и не отбросили его. Это стоит балла. Всегда выписывайте ОДЗ до решения.

Система уравнений

Два основных способа: подстановка и сложение. Третий — графический — помогает понять картину, но точный ответ даёт редко.

Подстановка. Из одного уравнения выражаем переменную, подставляем в другое.

Пример: x + y = 5; xy = 6. Из первого y = 5 - x. Тогда x(5 - x) = 6 -> 5x - x^2 = 6 -> x^2 - 5x + 6 = 0 -> x = 2 или x = 3. Тогда y = 3 или y = 2. Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Сложение. Если коэффициенты при одной переменной противоположны, складываем уравнения.

Пример: 2x + y = 7; 3x - y = 3. Складываем: 5x = 10, x = 2. Тогда y = 3.

Пример, где после подстановки получается квадратное уравнение: x^2 + y^2 = 25; x + y = 7. Из второго y = 7 - x. Подставляем: x^2 + (7 - x)^2 = 25 -> x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 -> 2x^2 - 14x + 24 = 0 -> x^2 - 7x + 12 = 0 -> x = 3 или x = 4. Тогда y = 4 или y = 3. Ответ: (3; 4) и (4; 3).

Графический способ. Строим два графика и смотрим точки пересечения. Пример: y = x + 1 и y = -x + 5. Прямые пересекаются при x = 2, y = 3. Ответ: (2; 3).

Графический способ хорош, когда уравнения неудобно преобразовывать. Но если точка не целая, ответ получается приблизительным. На экзамене нужен точный, поэтому координаты всё равно подставляют в оба уравнения.

Типичная ошибка. Потеря второго решения. В системе с произведением почти всегда две пары. Проверяйте, не симметричны ли уравнения. Вторая ошибка — построили графики, увидели точку и записали ответ без проверки.

Линейное неравенство

Решается как уравнение, но с одним отличием: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: -3x + 4 > 10. Переносим: -3x > 6. Делим на -3: x < -2.

Типичная ошибка. Забыли перевернуть знак. Это самая частая ошибка в теме. Проговорите правило вслух перед решением: «делю на минус — переворачиваю».

Запись ответа. Если решение x < -2, на прямой штрихуем левее -2, точка выколотая. В ответе: (-inf; -2).

Если неравенство нестрогое, x <= -2, точка закрашенная, ответ (-inf; -2].

Проверить ответ просто: возьмите число из найденного промежутка и подставьте. Для x < -2 подойдёт -3: -3 x (-3) + 4 = 13 > 10, верно. И возьмите число снаружи, например 0: 4 > 10 неверно. Если обе проверки сошлись, знак выбран правильно.

Отдельно запомните два случая, которые часто путают.

Неравенство x > 5 и x < 2 одновременно выполняться не могут: решений нет.

Неравенство x >= -5 и x <= 3 даёт отрезок [-5; 3].

Система неравенств

Решаем каждое отдельно, потом ищем пересечение.

Пример из демоверсии:

x + 3 >= -2,

x + 1,1 >= 0.

Первое: x >= -5. Второе: x >= -1,1. Пересечение: x >= -1,1. Ответ: [-1,1; +inf).

На прямой рисуем две штриховки и смотрим, где они накладываются. Если одна штриховка идёт вправо от -5, а другая вправо от -1,1, общая часть — вправо от -1,1.

Если знаки разные. x >= -5 и x <= 3. Пересечение: [-5; 3].

Если пересечения нет. x > 5 и x < 2. Решений нет.

Пример с дробными коэффициентами: x/2 + 1 > 0 и 3 - x >= 0. Первое даёт x > -2, второе x <= 3. Пересечение: (-2; 3].

Типичная ошибка. Пишут объединение вместо пересечения. В системе выполняются оба условия одновременно, значит нужна общая часть, а не сумма промежутков.

Метод интервалов

Для неравенств вида (x - a)(x - b) > 0 или дробей.

Алгоритм:

1. Найти нули числителя и знаменателя.

2. Отметить их на прямой. Нули знаменателя — всегда выколотые.

3. Определить знак выражения на одном промежутке.

4. Расставить знаки по чередованию.

5. Выбрать нужные промежутки.

Пример: (x - 1)(x + 3) < 0.

Нули: 1 и -3. Наносим на прямую. Берём пробную точку x = 0: (0 - 1)(0 + 3) = -3 < 0. Значит, на промежутке (-3; 1) знак минус. На остальных — плюс. Ответ: (-3; 1).

Пример с дробью: (x - 3)/(x + 1) <= 0. Нуль числителя 3 входит в ответ, нуль знаменателя -1 выколот. Знак на (3; +inf): при x = 4 получаем 1/5 > 0. Чередуем: (-1; 3) минус, (-inf; -1) плюс. Нужен знак <= 0, значит ответ (-1; 3].

Пример с тремя множителями: (x - 1)(x + 2)(x - 4) < 0. Нули: 1, -2, 4. На промежутке (4; +inf) все множители положительны, знак плюс. Чередуем влево: (1; 4) минус, (-2; 1) плюс, (-inf; -2) минус. Нужен минус: (-inf; -2) U (1; 4).

Кратность корня. Если множитель в квадрате, знак при переходе через точку не меняется. Например, (x - 2)^2(x + 1) > 0. В точке 2 знак сохраняется. Проверим: при x = 0 выражение 4 x 1 = 4 > 0, при x = 3 тоже 4 > 0, при x = -2 получаем 16 x (-1) = -16 < 0. Значит, ответ (-1; 2) U (2; +inf). Точка 2 выколота, потому что при x = 2 выражение равно нулю, а неравенство строгое.

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство — это ax^2 + bx + c > 0 (или <, >=, <=). Решают его через параболу: находят корни, отмечают их на прямой и смотрят, где график выше или ниже оси.

Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Между корнями выражение отрицательно, снаружи — положительно.

Пример: x^2 - 5x + 6 > 0. Корни 2 и 3. Парабола выше оси снаружи отрезка [2; 3]. Ответ: (-inf; 2) U (3; +inf).

Пример: x^2 - 5x + 6 <= 0. Тот же график, но нужна часть ниже оси или на оси. Ответ: [2; 3].

Если корней нет, парабола не пересекает ось. При a > 0 она целиком выше оси. Значит, x^2 + 2x + 5 > 0 верно при любом x, а x^2 + 2x + 5 < 0 не имеет решений.

Если D = 0, парабола касается оси в одной точке. Например, x^2 - 4x + 4 >= 0 верно при всех x, потому что (x - 2)^2 неотрицательно. А x^2 - 4x + 4 > 0 верно при всех x, кроме 2.

Знак перед x^2. Если a < 0, умножьте неравенство на -1 и переверните знак. Пример: -x^2 + 3x + 4 >= 0. Умножаем на -1: x^2 - 3x - 4 <= 0. Корни -1 и 4. Ответ: [-1; 4].

Типичная ошибка. Извлекают корень из обеих частей: x^2 < 9 -> x < 3. Это неверно. Правильно: -3 < x < 3. Квадратное неравенство нельзя решать как линейное.

Задание 20: неравенство с дробью

Разберём демоверсию 2027 года: x <= 9/x.

Это задание второй части. Оно стоит два балла и требует записи решения.

Шаг 1. ОДЗ. x /= 0.

Шаг 2. Переносим всё в левую часть. x - 9/x <= 0.

Шаг 3. Приводим к общему знаменателю. (x^2 - 9)/x <= 0.

Шаг 4. Раскладываем числитель. (x - 3)(x + 3)/x <= 0.

Шаг 5. Метод интервалов. Нули числителя: 3 и -3. Нуль знаменателя: 0. Нули числителя входят, потому что неравенство нестрогое. Нуль знаменателя выколот всегда.

Наносим на прямую: -3, 0, 3. Определяем знак на промежутке (3; +inf): берём 4, получаем (1 x 7)/4 > 0. Значит, плюс. Дальше чередуем: (0; 3) минус, (-3; 0) плюс, (-inf; -3) минус.

Нам нужен знак <= 0. Это промежутки (-inf; -3] и (0; 3].

Ответ: (-inf; -3] U (0; 3].

Второй пример, чтобы закрепить схему: (x^2 - 4)/(x - 1) >= 0.

ОДЗ: x /= 1. Числитель раскладывается: (x - 2)(x + 2). Нули числителя -2 и 2 входят, нуль знаменателя 1 выколот. На промежутке (2; +inf) выражение положительно. Чередуем: (1; 2) минус, (-2; 1) плюс, (-inf; -2) минус. Нужен знак >= 0: [-2; 1) U [2; +inf).

Проверка: x = 0 даёт (-4)/(-1) = 4 >= 0, подходит. x = 1,5 даёт (2,25 - 4)/0,5 = -3,5 < 0, не подходит. x = 3 даёт 5/2 = 2,5 >= 0, подходит.

Что писать в бланке. Не только ответ. Показать ОДЗ, приведение к общему знаменателю, разложение, знаки на прямой. Эксперт должен видеть метод, а не догадку.

Я требую от учеников такой структуры:

1. «ОДЗ: ...» — одной строкой.

2. Перенос всех слагаемых в левую часть.

3. Приведение к общему знаменателю.

4. Разложение на множители.

5. «Нули числителя: ...; нуль знаменателя: ...».

6. Рисунок прямой со знаками.

7. Ответ промежутками.

Семь строк. За них дают два балла. Без рисунка могут снять один, потому что не видно метода.

Типичная ошибка. Умножают обе части на x и получают x^2 <= 9, забывая, что при отрицательном x знак неравенства меняется. Это грубая ошибка, которая сразу даёт ноль. Дробь нельзя умножать на переменную, пока не знаешь её знак. Только перенос и общий знаменатель.

Уравнения с модулем

В ОГЭ встречаются редко, но могут появиться в задании 20.

|x| = 5 -> x = 5 или x = -5.

|x - 2| = 3 -> x - 2 = 3 или x - 2 = -3 -> x = 5 или x = -1.

|x| = -3 -> решений нет, модуль неотрицателен.

Простые неравенства с модулем решаются через расстояние. |x| < 3 означает, что расстояние от x до нуля меньше 3: -3 < x < 3. |x| > 3 даёт два луча: x < -3 или x > 3.

Пример: |2x - 1| <= 5. Двойное неравенство: -5 <= 2x - 1 <= 5. Прибавляем 1: -4 <= 2x <= 6. Делим на 2: -2 <= x <= 3. Ответ: [-2; 3].

Пример с двумя модулями: |x - 1| + |x + 3| = 6. Разбиваем прямую на промежутки точками -3 и 1. При x <= -3 оба выражения под модулем неположительны: -(x - 1) - (x + 3) = 6 -> -2x - 2 = 6 -> x = -4. Корень входит в промежуток. При -3 < x < 1 получаем -(x - 1) + (x + 3) = 4, а нужно 6 — решений нет. При x >= 1: (x - 1) + (x + 3) = 6 -> 2x + 2 = 6 -> x = 2. Ответ: -4 и 2.

Типичная ошибка. Забывают второй случай. Модуль — это расстояние, а на расстоянии 3 от точки 2 есть две точки.

Уравнение с параметром

Простые параметры встречаются в задании 20.

Пример. При каких a уравнение ax = 5 имеет единственное решение?

Если a /= 0, решение x = 5/a. Если a = 0, уравнение 0 = 5 не имеет решений. Значит, единственное решение при a /= 0.

Пример. При каких a уравнение (a - 2)x = 3 не имеет решений?

Если a = 2, получаем 0 = 3 — решений нет. При a /= 2 решение есть. Ответ: a = 2.

Пример посложнее. При каких a уравнение (a^2 - 4)x = a - 2 имеет бесконечно много решений?

Если a^2 - 4 /= 0, решение единственное: x = (a - 2)/(a^2 - 4) = 1/(a + 2). Если a = 2, получаем 0 = 0 — подходит любое x, решений бесконечно много. Если a = -2, получаем 0 = -4 — решений нет. Ответ: a = 2.

Типичная ошибка. Делят на a, не проверяя случай a = 0. Именно этот случай чаще всего и спрашивают.

Проверка корней

После решения уравнения подставьте корень в исходное выражение. Это занимает полминуты и спасает балл.

Особенно важно проверять дробные уравнения, уравнения с корнем, уравнения после возведения в квадрат и уравнения с модулем.

Пример: sqrt(x + 2) = x. Возводим в квадрат: x + 2 = x^2 -> x^2 - x - 2 = 0 -> x = 2 или x = -1. Проверяем: при x = -1 левая часть sqrt1 = 1, правая -1. Не равно. Корень -1 посторонний. Ответ: 2.

Второй пример: sqrt(x + 6) = x. После возведения в квадрат: x + 6 = x^2 -> x^2 - x - 6 = 0 -> x = 3 или -2. При x = -2 левая часть sqrt4 = 2, правая -2. Не подходит. Ответ: 3.

Типичная ошибка. Не проверили и записали оба корня. За это снимают балл.

Проверка не заменяет ОДЗ. Сначала выписываем ограничения, потом решаем, потом проверяем. Если корень не входит в ОДЗ, его отбрасывают даже без подстановки. Если входит — подставляем и убеждаемся, что равенство верное.

Текстовые задачи

В части 2 часто встречается задача на движение, работу или смеси. Принцип один: обозначить неизвестное, выразить через него остальные величины, составить уравнение.

Пример. Велосипедист проехал 24 км с одной скоростью, а обратно — со скоростью на 2 км/ч меньше, затратив на обратный путь на 1 час больше. Найдите исходную скорость.

Пусть скорость туда v км/ч. Время туда 24/v. Время обратно 24/(v - 2). Разница 1 час.

24/(v - 2) - 24/v = 1.

Умножаем на v(v - 2): 24v - 24(v - 2) = v(v - 2). Получаем 48 = v^2 - 2v -> v^2 - 2v - 48 = 0. Корни 8 и -6. Скорость не может быть отрицательной, значит v = 8 км/ч.

Проверка: туда 24/8 = 3 часа, обратно 24/6 = 4 часа, разница 1 час. Сходится.

Иногда одной переменной не хватает, и составляют систему. Пример. Расстояние между городами 300 км. Автомобиль и автобус выехали навстречу. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше. Встретились через 3 часа. Найдите скорости.

Пусть v — скорость автобуса, u — автомобиля. Тогда u = v + 20. Встреча: 3(v + u) = 300, то есть v + u = 100. Подставляем u: 2v + 20 = 100, v = 40, u = 60.

Проверка: 3 x (40 + 60) = 300. Сходится.

Типичная ошибка. Забывают, что при движении навстречу скорости складываются. И не проверяют, подходит ли корень по смыслу: отрицательная скорость или отрицательное время ответом быть не могут.

Как выбрать метод решения

1. Если уравнение линейное — раскрыть скобки, привести подобные.

2. Если квадратное — дискриминант или Виета.

3. Если дробное — ОДЗ, общий знаменатель, проверка.

4. Если система — подстановка или сложение.

5. Если неравенство — прямая, интервалы.

Не начинайте с самого сложного метода. Посмотрите на структуру. Часто ответ виден после одного преобразования.

На черновике пишите коротко: преобразование — результат. Не переписывайте каждую строчку в чистовик, но в задании 20 чистовое оформление обязательно: там оценивают ход решения, а не только ответ.