Полная версия:
ОГЭ. Математика. Репетитор 2027
Анна Белова
ОГЭ. Математика. Репетитор 2027
Предисловие. Как пользоваться книгой
Эту книгу я писала с одной мыслью: у ученика должен быть взрослый рядом, даже если рядом никого нет.
Репетитор стоит денег. Не у всех родителей они есть. Не у всех есть время возить ребёнка через город два раза в неделю. А экзамен при этом никто не отменял: 25 заданий, 31 первичный балл, 235 минут. И результат нужен не абстрактный, а конкретный — проходной в тот колледж или профильный класс, куда подросток собирается.
Я работаю репетитором много лет. Видела разные истории. Одни дети приходят с «мы всё забыли» и через три месяца решают геометрию лучше, чем я в их возрасте. Другие зубрят формулы, но теряются, когда условие сформулировано чуть иначе. Третьи отлично считают и паникуют на бланке. Четвёртые знают материал, но не умеют записать решение так, чтобы эксперт поставил два балла вместо одного.
Эта книга — про все четыре случая.
Что здесь есть
Тринадцать глав. Первая — про устройство экзамена и стратегию. Вторая — про задания 1–5, тот самый практический блок, где пять вопросов растут из одного текста. Дальше идут темы: числа, выражения, уравнения, неравенства, прогрессии, функции, координаты, вероятность, треугольники, четырёхугольники, окружность. Последние две главы — про часть 2 и про последние недели перед экзаменом.
В каждой главе одинаковая логика:
что именно проверяет задание;
какой минимум теории нужен, без университетских глубин;
разбор примеров — от простого к экзаменационному;
алгоритм, который можно повторить на черновике;
типичные ошибки, за которые теряют баллы;
тренировка с ответами;
короткий чек-лист самопроверки.
В конце книги — приложения. Справочные формулы, таблица «задание — тема — ошибка», ответы к тренировкам, чек-листы по блокам и список источников.
Чего здесь нет
Здесь нет «секретных приёмов», которые позволяют не учить математику. Таких приёмов не существует.
Здесь нет готовых ответов к реальному варианту. Вариант составляют на экзамене, и никто заранее его не видел.
Здесь нет обещания, что будет легко. Будет по-разному. Но сложность экзамена предсказуемая: известно число заданий, темы, баллы и критерии. Это большое преимущество. В жизни такие правила встречаются редко.
Как читать
Если времени мало, не читайте подряд. Возьмите таблицу в приложении, найдите свои слабые номера и работайте по главам, которые к ним относятся.
Если времени нормально — идите по порядку. Глава 1 даёт карту. Глава 2 учит читать практический блок, а он стоит пять баллов из девятнадцати в первой части. Дальше темы можно менять местами: алгебра и геометрия не зависят друг от друга так сильно, как кажется.
Если вы родитель — читайте вместе с ребёнком. Не проверяйте, правильно ли решено. Спрашивайте: «Почему ты сделал этот шаг?» Ошибка в рассуждении важнее ошибки в ответе.
Про ответы
К тренировкам даны ответы, но не полные решения к каждому номеру. Это сделано намеренно. Если ответ не сходится, вернитесь к разбору и найдите шаг, где вы разошлись. Так формируется навык, а не зависимость от подсказки.
К заданиям части 2 в книге приведены образцы записи. Не потому, что существует единственный правильный способ. Потому, что эксперту должно быть понятно, что вы сделали. Понятность — часть математики.
Один совет перед началом
Купите обычную тетрадь в клетку. Не для красоты. Клетка дисциплинирует: график получается ровнее, чертёж — аккуратнее, вычисления в столбик не расползаются по странице. На экзамене вам выдают листы, но привычка работать на клетке останется.
И ещё. Не решайте «по десять однотипных задач», пока не разобрали одну. Десять повторений одной ошибки не дают прогресса. Одно разобранное решение, потом пять похожих — дают.
Теперь к делу.
Глава 1. Экзамен-2027: устройство, баллы, стратегия
Самый частый вопрос в сентябре звучит так: «А это точно можно сдать?»
Можно. Но давайте сразу договоримся: «сдать» — не одно и то же для разных людей. Одному нужно перейти порог и уйти в колледж. Другому — набрать максимум для профильного класса. Третьему — просто закрыть гештальт и не вспоминать математику. Стратегия у этих трёх людей разная. Поэтому сначала — карта местности. Без неё любой совет бесполезен.
Как устроена работа
В 2027 году экзамен по математике не изменился по сравнению с 2026 годом. Это важно: слухи о «новых заданиях» и «всё переписали» можно отбросить. Структура прежняя.
Работа состоит из 25 заданий и делится на две части.
Первая часть — 19 заданий с кратким ответом. Ответ — число, последовательность цифр или номер верного утверждения. Каждое задание стоит один балл. Максимум за первую часть — 19.
Вторая часть — 6 заданий с развёрнутым ответом. Номера с 20 по 25. Каждое стоит два балла. Максимум — 12.
Итого 31 первичный балл.
Время — 235 минут. Это 3 часа 55 минут. Почти четыре часа, но не «четыре часа на всё подряд». Время уходит неравномерно: пять заданий практического блока могут съесть сорок минут, а одно задание части 2 — столько же.
Разрешено пользоваться линейкой и справочными материалами с основными формулами — их выдают вместе с вариантом. Калькулятор запрещён. Телефон, умные часы, любые гаджеты — тоже. На столах только ручка, карандаш, линейка и выданные справочники.
Из чего состоит первая часть
Задания 1–5 — практический блок. Один текст, к нему пять вопросов. В демоверсии 2027 года это шины: маркировка, диаметр диска, высота боковины, пробег. В других вариантах встречаются печи, участки, квартиры, тарифы, полисы страхования. Сюжет меняется, навык один: вытащить из текста числа, понять, что спрашивают, выбрать формулу и не перепутать единицы.
Дальше идут тематические задания. Вот карта демоверсии 2027 года:
Номер
Что проверяют
6
Действия с числами, прикидка
7
Координатная прямая, сравнение чисел
8
Степени, преобразование выражений
9
Линейное уравнение
10
Вероятность
11
Соответствие графиков и формул
12
Расчёт по формуле
13
Система неравенств
14
Последовательность, практическая задача
15
Треугольник, биссектриса
16
Квадрат и окружность, площадь
17
Трапеция, средняя линия
18
Расстояние на клетчатой бумаге
19
Истинные и ложные утверждения
В разных вариантах номера могут «плавать» внутри блоков, но логика сохраняется. По спецификации первая часть делится так: числа и вычисления — 7 заданий, алгебраические выражения — 1, уравнения и неравенства — 2, числовые последовательности — 1, функции — 1, координаты — 1, геометрия — 5, вероятность и статистика — 1.
Обратите внимание на пропорцию. Геометрия в первой части — пять заданий из девятнадцати. Это четверть. Многие ученики годами игнорируют геометрию, а потом удивляются: «Почему у меня 14 баллов вместо 20?» Потому что пять задач остались пустыми.
Из чего состоит вторая часть
Шесть заданий, по два балла каждое.
Номер
Тема
Уровень
20
Неравенство или уравнение
повышенный
21
Текстовая задача
повышенный
22
График с параметром
высокий
23
Геометрическая задача
повышенный
24
Доказательство
повышенный
25
Геометрическая задача
высокий
Три задания по алгебре, три по геометрии. Это не случайность. Экзамен проверяет обе линии одинаково серьёзно.
Задания 20–22 считаются алгебраическими, 23–25 — геометрическими. Для выставления отметки «4» или «5» в ряде регионов действует дополнительное условие: нужно набрать определённое число баллов именно за геометрию. Точные цифры смотрите в документах своего региона. Общая логика такая: нельзя получить «пять», если все геометрические задачи пропущены.
Сколько стоит каждое задание
Формально первая часть — 19 баллов, вторая — 12. Но «стоимость» в минутах другая.
Одно задание первой части в среднем решается за две-четыре минуты. Одно задание второй части — за пятнадцать-двадцать пять. Ошибка в первой части стоит один балл. Ошибка во второй — два, а иногда и больше, потому что потерянный балл тянет за собой следующий.
Отсюда простая мысль: сначала нужно забрать дешёвые баллы, потом браться за дорогие. Не наоборот.
Как переводят баллы в отметку
Шкала перевода меняется от года к году и может отличаться в регионах. Но ориентир такой:
Первичные баллы
Отметка
0–7
2
8–14
3
15–21
4
22–31
5
Эти границы — не обещание. Они могут сдвинуться на один-два балла. Проверяйте официальный документ своего региона весной. Но для планирования они годятся: чтобы рассчитывать на «четвёрку», нужно стабильно решать первую часть и хотя бы два задания второй.
Есть ещё минимальный порог. Для продолжения обучения обычно нужно не меньше восьми первичных баллов. Восемь — это примерно половина первой части. Звучит скромно, но каждый год находятся те, кто не добирает и этого.
Критерии второй части: за что дают два, один и ноль
Это место, где теряют больше всего баллов. Не потому, что не знают математику, а потому, что не понимают правил оценивания.
Задание с развёрнутым ответом оценивают два эксперта независимо. Если их оценки расходятся существенно, назначают третьего. Критерии для всех заданий 20–25 общие.
Два балла. Выбран правильный путь. Из записи понятен ход рассуждений. Получен верный ответ. Всё.
Один балл. Решение в целом верное, но содержит ошибку, которая не влияет на общий ход. Например, арифметическая описка в середине, опечатка в знаке, потерянный корень при отборе. Или наоборот: ответ верный, а обоснование неполное.
Ноль баллов. Неверный путь. Или решения нет. Или ответ записан без объяснения, и непонятно, откуда он взялся.
Здесь есть тонкость, о которой мало говорят. Эксперт оценивает продвижение, а не соответствие эталону. Если вы решили задачу другим способом, но рассуждение понятно и ответ верный, два балла будут. Если вы написали «Ответ: 5» без решения, ноль — даже когда ответ правильный.
Что это значит на практике? Пишите шаги. Не только вычисления, но и короткие пояснения: «по теореме Пифагора», «так как треугольники подобны», «ОДЗ: x /= 0». Одна строка пояснения может стоить балла.
И ещё: если не довели задачу до конца, но сделали содержательный шаг, есть шанс на один балл. Поэтому не зачёркивайте начатое. Доведите до того места, где уверены, и оставьте.
Представьте задание 21: два велосипедиста, 224 километра, разница скоростей 2 км/ч, разница времени 2 часа. Нужно найти скорость второго.
Решение на два балла. «Пусть v — скорость второго. Тогда скорость первого v + 2. Время второго 224/v, время первого 224/(v + 2). Первый прибыл на 2 часа раньше: 224/v - 224/(v + 2) = 2. После преобразований v^2 + 2v - 224 = 0, v = 14 или v = -16. Скорость положительна, поэтому v = 14. Ответ: 14 км/ч».
Здесь видно: обозначение, уравнение, решение, отбор корня, ответ с единицами. Эксперт не додумывает ничего.
Решение на один балл. «224/v - 224/(v+2) = 2. Получилось 14. Ответ: 14». Путь верный, ответ верный, но нет обозначения и отбора корня. Формально этого может хватить для двух баллов, но при строгой проверке снимут один: не показано, почему корень один.
Решение на ноль. «Скорость первого 16, второго 14, разница 2. Ответ: 14». Ответ может быть верным, но решения нет. Эксперт не видит, откуда взялись числа. Ноль.
Вывод простой: пишите шаги. Даже если вы решаете в уме, перенесите на бумагу обозначение и уравнение.
Порядок работы: что решать первым
Рекомендации ФИПИ простые: начинайте с заданий, которые получаются. Пропускайте то, что не идёт, возвращайтесь позже. Это не совет «схитрить». Это способ не увязнуть.
Мой рабочий порядок для 235 минут выглядит так.
0–10 минут. Просмотрите весь вариант. Не решайте, а листайте. Отметьте задания, которые «сразу видно». Отметьте те, где нужен чертёж. Отметьте то, что вызывает ступор. Это карта на бой.
10–50 минут. Задания 1–5, практический блок. Пять баллов, и они почти всегда решаются, если внимательно прочитать текст.
50–100 минут. Задания 6–19. Идите по порядку, но пропускайте всё, что не решается за три-четыре минуты. Помечайте пропущенное.
100–120 минут. Вернитесь к пропущенному в первой части. Здесь уже видно, какие темы «не пошли». Не пытайтесь решить всё. Выберите два-три задания, где есть идея.
120–200 минут. Вторая часть. Начните с задания 20 — оно самое доступное. Потом 21, 23, 24. Задание 22 и 25 — в конце, если останется время.
200–225 минут. Проверка. Перенесите ответы в бланк. Сверьте номера. Проверьте единицы измерения. Перечитайте условия задач, где спрашивали «на сколько больше», а вы нашли «сколько».
225–235 минут. Спокойно доделайте то, что осталось. Не начинайте новую сложную задачу за пять минут до конца.
Это ориентир, не догма. Если вы сильны в геометрии — меняйте порядок. Если практический блок всегда занимает двадцать минут — не растягивайте до пятидесяти.
Бюджет времени на одно задание
Полезно знать нормативы, чтобы вовремя остановиться.
Блок
Заданий
Время
1–5
5
35–45 минут
6–19
14
55–65 минут
20–22
3
45–55 минут
23–25
3
45–55 минут
Проверка
—
15–20 минут
Сумма выходит к 235 минутам с небольшим запасом. Запас нужен: что-то всегда идёт медленнее.
Если на задание ушло больше семи минут, а решения нет — ставьте точку и идите дальше. Вернётесь, если останется время. Упрямство на экзамене не награждается.
Самое трудное решение на экзамене — бросить задачу. Вот правило: если вы потратили семь минут и не видите пути, переходите дальше. Не «ещё пять минут», не «сейчас додумаю». Семь минут — это уже много. Вернётесь, если останется время.
Перед уходом запишите, что успели: обозначение, уравнение, чертёж. Это может дать балл, если вы вернётесь и допишете. И это помогает не начинать с нуля.
Пять мифов, которые мешают готовиться
Миф первый: «Нужно знать всё». Нет. Нужно знать то, что проверяют. Кодификатор перечисляет темы. Их не бесконечное множество. В этой книге они разобраны полностью, и этого достаточно для хорошего результата.
Миф второй: «Главное — формулы». Формулы нужны, но половина ошибок — не в формулах, а в чтении условия. Ученик правильно применяет теорему Пифагора, но берёт не ту сторону. Или считает проценты от новой цены вместо старой. Формула не спасает от невнимательности.
Миф третий: «Геометрию невозможно понять, её надо зубрить». Геометрия как раз понимается лучше алгебры: её можно увидеть. Проблема в другом — в школе на неё не хватает времени. Пять заданий первой части и три задания второй стоят дорого. Их стоит разобрать отдельно, что мы и сделаем в главах 9–11.
Миф четвёртый: «Часть 2 — только для отличников». Задание 20 обычно решает ученик с крепкой тройкой. Задание 23 — тоже, если умеет строить чертёж. Не отдавайте двенадцать баллов заранее. Даже два решённых задания второй части меняют картину.
Миф пятый: «Если я ошибся на пробнике, на экзамене будет то же самое». Пробник показывает, где пробел. Он не предсказывает результат. Ошибки на пробнике — это список тем, которые нужно подтянуть, а не приговор.
Что важно понять про формат
ОГЭ по математике — экзамен на скорость и точность, а не на глубину. Здесь не спрашивают доказательство теоремы Ферма. Здесь спрашивают, умеете ли вы довести до конца стандартную задачу за разумное время.
Это хорошая новость. Стандартные задачи тренируются. Скорость растёт от повторения. Точность — от привычки проверять.
Плохая новость в том, что «примерно правильный» ответ не считается. В первой части ответ либо совпал, либо нет. Во второй — либо рассуждение понятно, либо нет. Никаких «я хотел написать другое».
В 2027 году:
число заданий не изменилось;
максимальный балл не изменился;
время не изменилось;
темы не изменились;
критерии части 2 не изменились.
Это хорошая новость для тех, кто начал готовиться заранее: старые тренировочные варианты подходят. Плохая новость для тех, кто искал «новые лёгкие задания»: их нет.
Первое практическое задание
Прежде чем идти дальше, сделайте простую вещь. Возьмите лист и выпишите:
1. Сколько баллов вам нужно для цели.
2. Какие пять тем вы считаете самыми слабыми.
3. Сколько минут в день вы реально можете заниматься.
Не «два часа», а реально. Если получается двадцать минут — пишите двадцать. Лучше двадцать минут каждый день, чем два часа раз в неделю.
Эта запись будет вашим планом. Через месяц вернитесь к ней и посмотрите, что изменилось.
Как устроен бланк
На экзамене вы получаете два бланка. В первый записывают краткие ответы, во второй — решения заданий 20–25. Черновики тоже выдают, но их не проверяют.
Бланк N 1 разлинован на клетки. Под каждое задание отведено поле. Ответ вписывают с первой клетки, без пробелов, запятых между цифрами и лишних знаков. Если ответ — отрицательное число, минус ставится в отдельной клетке. Если ответ — дробь, её записывают в виде десятичной, если в условии не сказано иное.
Типичные технические ошибки:
ответ записан не под тем номером;
минус потерян или поставлен в клетку для цифры;
десятичная дробь записана через запятую, а клетки не предназначены для запятой;
последовательность цифр записана с пробелами;
ответ исправлен, но старая цифра не зачёркнута.
Проверка бланка занимает пять минут и спасает больше баллов, чем ещё одна решённая задача. Сверяйте номер задания с номером строки. Особенно если вы решали в произвольном порядке.
Бланк N 2 — чистые листы в клетку. Решения пишут ручкой, чертежи можно карандашом. Эксперт видит только то, что вы написали. Никаких «я это имел в виду» не существует.
Что происходит в аудитории
За полчаса до начала вас запускают в аудиторию. Телефоны сдают или оставляют в специальном месте. Проверяют документы. Рассылают материалы. Инструктаж занимает десять-пятнадцать минут.
В это время нельзя открывать КИМ. Пакет вскрывают по команде. Если вы откроете раньше, организатор может сделать замечание, а в спорной ситуации — удалить с экзамена. Не рискуйте из-за тридцати секунд.
После вскрытия проверьте комплект: бланки, КИМ, справочные материалы. Если чего-то не хватает, поднимите руку сразу. Потом будет сложнее доказать, что линейки не было.
В аудитории есть часы. Если часов нет, спросите время у организатора в начале. Дальше следите за ним сами: организатор не обязан напоминать.
Выйти в туалет можно, но время не останавливается. Выход занимает пять-десять минут. Если чувствуете, что теряете концентрацию, лучше выйти в середине работы, а не в конце, когда каждая минута на счету.
Стратегия для разных целей
Цель — перейти порог. Нужно около восьми первичных баллов. Это задания 1–5 и три-четыре задания из 6–19. Не тратьте время на часть 2, пока не забрали эти баллы. Практический блок и простые темы дают порог с запасом.
Цель — «четвёрка». Нужно 15–21 балл. Это почти вся первая часть без грубых ошибок плюс одно-два задания второй. Слабые места: геометрия и задания с параметром. Если геометрия проседает, добирайте алгеброй, но помните про условие по геометрическим баллам в вашем регионе.
Цель — «пятёрка». Нужно 22–31. Здесь нельзя терять первую часть и нужно решать минимум три задания второй. Обычно это 20, 21 и 23. Задания 22 и 25 — для максимального результата.
Цель — максимум. 30–31 балл. Нужны все задания первой части и пять-шесть заданий второй. Это уровень, при котором ошибка в арифметике стоит дороже, чем нерешённая сложная задача. Проверка становится главным навыком.
Календарь подготовки
Три месяца и больше. Один раз в неделю — полный вариант по времени. Остальные дни — темы по слабым местам. Каждые две недели — контрольная точка: сравнить результат с предыдущим.
Один месяц. Две недели на слабые темы, неделя на часть 2, неделя на пробники и повторение. Новые темы не начинать после третьей недели.
Две недели. Три полных варианта, разбор ошибок, повторение формул. Каждый день — двадцать-тридцать минут на одну тему. Не пытайтесь объять всё.
Неделя. Один полный вариант, разбор, чек-листы. Сон важнее зубрёжки. За день до экзамена — только лёгкое повторение.
План — это не список «пройти всё». Это список конкретных действий с проверкой.
Плохой план: «повторить геометрию». Хороший: «в понедельник разобрать задание 15, во вторник решить пять задач на биссектрису, в среду проверить по ответам».
Плохой план: «решать варианты». Хороший: «в субботу полный вариант по времени, в воскресенье разбор ошибок».
Разница в том, что хороший план можно проверить. Вы либо сделали, либо нет. Плохой план нельзя проверить, потому что непонятно, что считать результатом.
Вот пример недели для ученика с целью 16–18 баллов.
День
Действие
Проверка
Пн
Задания 1–5, один сюжет
5 из 5
Вт
Уравнения, 10 штук
8 из 10
Ср
Геометрия, треугольники
4 из 5
Чт
Графики, задание 11
3 из 3
Пт
Вероятность
4 из 5
Сб
Полный вариант
по времени
Вс
Разбор ошибок
список тем
Если в среду получилось 2 из 5, план на четверг меняется: вы возвращаетесь к треугольникам, а не идёте дальше. План — не догма, а маршрут с контрольными точками.
Как читать спецификацию
Спецификация — это документ, который описывает экзамен. Он кажется скучным, но именно там ответы на вопросы, которые задают родители.
Что искать в спецификации:
1. Число заданий и баллов.
2. Время.
3. Распределение по темам.
4. Разрешённые материалы.
5. Критерии оценивания.
6. Изменения по сравнению с прошлым годом.
В 2027 году по математике изменений нет. Это значит, что можно спокойно использовать варианты прошлых лет для тренировки. Структура та же: 19 + 6, 31 балл.
Типичная ошибка. Читают только демоверсию и не смотрят спецификацию. Демоверсия показывает примеры, спецификация — правила. На экзамене важны правила.
Частые вопросы родителей
«Можно ли подготовиться за месяц?» Да, если есть база. За месяц можно поднять результат на 4–7 баллов, если заниматься системно. С нуля — вряд ли.
«Нужен ли репетитор?» Не всегда. Если ребёнок умеет читать и работать самостоятельно, книга и тренировки заменяют репетитора. Если нет — нужен взрослый рядом.
«Почему ребёнок решает дома, а на экзамене теряется?» Потому что дома нет времени и тревоги. Тренируйтесь по времени. Пробники важнее домашних задач.
«Что делать, если математика не даётся?» Идти от простого. Практический блок, числа, вероятность, геометрия базового уровня. Порог реально перейти без гениальности.
