ОГЭ. Математика. Репетитор 2027

8. Цену товара повысили на 15%, потом понизили на 15%. На сколько процентов итоговая цена отличается от исходной?

Ответы

1. 185 x 0,65 = 120,25 мм.

2. 15 x 25,4 = 381 мм; 381 + 2 x 120,25 = 621,5 мм.

3. 195 x 0,6 = 117 мм; 381 + 234 = 615 мм. Разница: 621,5 - 615 = 6,5 мм.

4. Площадь 900 м^2, периметр 122 м.

5. Площадь плитки 0,04 м^2; 54 : 0,04 = 1350 плиток.

6. 500 + 60 x 2,5 + 3 x 150 = 500 + 150 + 450 = 1100 рублей.

7. Периметр 15,4 м; площадь стен 40,04 м^2; дверь 1,6 м^2; окно 2,1 м^2; оклеить 36,34 м^2.

8. 1000 -> 1150 -> 977,5. Ниже исходной на 2,25%.

Чек-лист главы

Прочитайте весь текст до вопросов.

Выпишите данные в таблицу с единицами.

Подчеркните, что именно спрашивают и в каких единицах.

Проценты считайте от правильной базы.

Линейные и квадратные единицы не путайте.

Материалы округляйте вверх.

Проверяйте порядок величины и здравый смысл.

Пять баллов здесь — самые доступные на экзамене. Не оставляйте их на «потом».

Глава 3. Числа и вычисления. Алгебраические выражения

Задание 6 — точка, где видно, готов ли ученик к остальным двадцати четырём. Не потому, что оно сложное. Потому, что оно бытовое: посчитать, сократить, подставить, не потерять минус. Здесь нет идей, которые надо долго понимать. Здесь есть навык, который либо натренирован, либо нет.

Я говорю на первом занятии: калькулятор на экзамене запрещён, разрешены линейка и справочные формулы. Значит, вся арифметика проходит через голову и бумагу. И если 2,4 x 0,15 вы считаете три минуты, вы теряете время у всех остальных заданий.

Один балл за задание 6 — дешёвый балл. Но за ним стоит умение, без которого часть 2 не пишется вообще.

Что проверяет задание 6

Задание 6 проверяет три вещи, и путать их не надо.

Первое — действия с числами. Обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа, порядок действий, знаки.

Второе — степени и корни. Свойства, отрицательные показатели, вынесение множителя, сравнение корней.

Третье — преобразование выражений. Формулы сокращённого умножения, разложение на множители, подстановка числа.

Ответ в бланк идёт кратко: число, без решения и без пояснений. Поэтому вся цена ошибки — один неверный знак в середине цепочки.

Проверьте себя прямо сейчас. Если вы не можете без бумаги ответить, чему равно 3^-^2, сколько будет sqrt50 и как разложить x^2 - 9, дальше читать рано. Сначала закройте эти три дырки.

Вот как выглядит полный проход по простому примеру. Найдите значение выражения (1,6 : 0,4 - 2,5) x 3,2. Смотрю на структуру: скобка, внутри деление и вычитание, снаружи умножение. 1,6 : 0,4 = 4. 4 - 2,5 = 1,5. 1,5 x 3,2 = 4,8. Четыре строчки, ни одной формулы. Именно в таких цепочках теряют баллы чаще, чем в квадратных уравнениях.

Второй пример посложнее: (0,6 : 3/5 + 1,4) x 2^-^1. Перевожу 3/5 в 0,6, делю: 0,6 : 0,6 = 1. В скобке 1 + 1,4 = 2,4. Умножаю на 1/2: 1,2. Здесь проверяются сразу дроби, десятичные и отрицательная степень — типичный набор для задания 6.

Типичная ошибка. Ученик видит длинное выражение и начинает считать всё подряд, слева направо. Через минуту тонет в числах и бросает. Я требую другое: сначала посмотреть на структуру. Есть формула? Есть общий множитель? Есть возможность сократить? Считать — последний шаг, а не первый.

Порядок действий и знаки

Правило знают все. Нарушают почти все.

1. Скобки — изнутри наружу.

2. Степени и корни.

3. Умножение и деление — слева направо.

4. Сложение и вычитание — слева направо.

Слова «слева направо» — не украшение. В выражении 12 : 3 x 2 нельзя сначала перемножить 3 и 2. Деление и умножение равноправны: 12 : 3 = 4, потом 4 x 2 = 8. Если сделать наоборот, выйдет 12 : 6 = 2. Ошибка в четыре раза.

То же с вычитанием: 10 - 4 + 3 = 9, а не 10 - 7 = 3.

Пример. 20 - 3 x 4 = 20 - 12 = 8. Не 68 и не 17.

Пример. 2 + 3 x 4^2 = 2 + 3 x 16 = 50. Сначала степень, потом умножение, потом сложение.

Пример. 36 : 6 : 2 = 6 : 2 = 3. Действия идут цепочкой, а не «6 : (6 : 2)».

Пример. 1 - (2 - 3 x 4) = 1 - (2 - 12) = 1 - (-10) = 11. Внутри скобки сначала умножение.

Отдельно про степень и минус. Запись -5^2 читается как «минус (5 в квадрате)», то есть -25. Запись (-5)^2 — «минус пять в квадрате», то есть 25. Скобка меняет всё. Я видела, как на этом теряли балл в задании 6 и потом ещё раз в графике.

Дробная черта держит скобки. Выражение (2 + 4)/(1 + 2) равно 2, потому что сначала считаются числитель и знаменатель. Если записать то же в строчку без скобок, 2 + 4/1 + 2, получится 8. Дробная черта — это не просто «поделить», это граница двух выражений.

Пример. (5 - 2^2)/(3^2 - 5) = (5 - 4)/(9 - 5) = 1/4. В числителе степень стоит внутри разности, в знаменателе тоже. Пока не посчитаны оба, делить нельзя.

Минус перед скобкой. Он меняет знак у каждого слагаемого внутри, а не только у первого.

7 - (3x - 4) = 7 - 3x + 4 = 11 - 3x.

Если внутри три слагаемых, меняются все три. Я советую после раскрытия подчеркнуть каждое слагаемое и отдельно проверить его знак. Десять секунд работы, один спасённый балл.

Пять ошибок, которые я встречаю каждую неделю.

1. 8 - 2 x 3 = 18. Нет: 8 - 6 = 2.

2. 12 : 3 x 2 = 2. Нет: 4 x 2 = 8.

3. -3^2 = 9. Нет: -9.

4. 5 - (2 - 7) = -4. Нет: 5 - 2 + 7 = 10.

5. 2 + 3 x 4 = 20. Нет: 14.

Есть простой приём — два прохода. Первый проход: расставить над выражением порядок действий карандашом. Второй: считать. На экзамене это занимает полминуты и снимает половину глупых потерь.

Проверка знака. До вычислений я прошу назвать знак будущего ответа. Если выражение положительно, а результат вышел с минусом, ошибка в знаке. Если дробь меньше единицы, а ответ больше, ошибка в запятой. Пять секунд, и грубый промах виден.

Обыкновенные дроби

Четыре действия — четыре правила. Ничего больше в этой теме не нужно, но эти четыре надо довести до автоматизма.

Сложение и вычитание. Общий знаменатель, затем числители.

3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Умножение. Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Сокращать лучше до умножения, числа будут меньше.

6/7 x 14/15. Сокращаем 6 и 15 на 3, 14 и 7 на 7: (2 x 2)/(1 x 5) = 4/5.

Деление. Перевернуть вторую дробь и умножить.

3/5 : 9/10 = 3/5 x 10/9 = 30/45 = 2/3.

Смешанные числа. Перевести в неправильные дроби. Только потом считать.

2 3/4 - 1 1/2 = 11/4 - 3/2 = 11/4 - 6/4 = 5/4 = 1 1/4.

Многоэтажная дробь. Самый частый гость в задании 6.

(1/2 + 1/3)/(1/4 - 1/6).

Числитель: 5/6. Знаменатель: 3/12 - 2/12 = 1/12. Делим: 5/6 x 12/1 = 10.

Сравнение дробей. Приводим к общему знаменателю или перемножаем крест-накрест. Сравним 5/8 и 7/12: 5 x 12 = 60, 7 x 8 = 56. Первая дробь больше.

Доли и отношения. Отношение 2:3 значит, что частей пять, а не две и не три. Если стороны относятся как 2:5, я обозначаю их 2x и 5x: одна часть равна x, всего частей семь. Дальше подставляю в периметр или площадь.

Пример. Сплав из двух металлов в отношении 3:7, масса 500 г. Частей 10, одна часть 50 г, массы 150 г и 350 г.

Почему нужен общий знаменатель. Дроби — это доли разного размера. Пока доли разные, складывать числители бессмысленно: треть и половина — не две пятых. Общий знаменатель приводит обе дроби к одному размеру доли, и только тогда числители складываются.

Типичные ошибки.

1/2 + 1/3 = 2/5. Неверно. Половина плюс треть больше половины, а 2/5 меньше половины. Здравый смысл ловит ошибку раньше правила.

Сокращают до сложения: (1 + 2)/(2 + 3) = 3/5. Так нельзя: в числителе сумма, сокращать нечего.

Складывают целые и дробные части отдельно, а потом путаются со знаком. Через неправильные дроби надёжнее.

Десятичные дроби

Здесь всё решает запятая.

Сложение и вычитание. Запятая под запятой, разряды под разрядами. 3,75 + 12,4 = 16,15.

Умножение. Считаем без запятых, потом отделяем столько знаков, сколько их в обоих множителях.

0,25 x 0,4: 25 x 4 = 100, отделяем три знака, получаем 0,100 = 0,1.

Деление на десятичную дробь. Переносим запятую в делимом и делителе, пока делитель не станет целым.

4,5 : 0,9 = 45 : 9 = 5.

1,44 : 1,2 = 14,4 : 12 = 1,2.

Умножение и деление на 10, 100, 1000. Запятая идёт вправо при умножении и влево при делении.

3,7 x 100 = 370. 3,7 : 100 = 0,037.

Полезные пары. Их я прошу выучить наизусть, они экономят минуты.

0,5 = 1/2; 0,25 = 1/4; 0,75 = 3/4; 0,2 = 1/5; 0,125 = 1/8.

Отсюда быстрые ходы: умножить на 0,5 — значит разделить на 2; разделить на 0,5 — значит умножить на 2; умножить на 0,25 — значит разделить на 4.

0,125 x 8 = 1; 0,25 x 4 = 1. Эти пары удобно узнавать в выражениях: вместо деления на 0,125 можно умножить на 8.

Возведение в квадрат. 0,3^2 = 0,09, а не 0,9. Один знак после запятой в основании даёт два знака в квадрате.

Типичные ошибки.

0,5 x 0,2 = 0,01. Неверно: 5 x 2 = 10, знаков после запятой два, получаем 0,10 = 0,1.

Потеря нуля при делении на 100: 3,7 : 100 = 0,037, а не 0,37.

Запятая «под запятой» при сложении 3,75 + 12,4: ученик ставит 4 под 7, а не под 5 и получает неверный разряд. Второе число надо мысленно дополнить нулём: 12,40.

Степени и стандартный вид числа

Определение простое: a^n — произведение n множителей, каждый равен a. 2^4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Свойства, которые нужны на экзамене:

Свойство

Формула

Умножение

a^m x a^n = a^m^+^n

Деление

a^m : a^n = a^m^-^n

Степень степени

(a^m)^n = a^m^n

Степень произведения

(ab)^n = a^nb^n

Отрицательная степень

a^-^n = 1/a^n

Нулевая степень

a^0 = 1, a /= 0

Почему a^0 = 1? Потому что a^n : a^n = a^0, а то же деление при a /= 0 даёт 1. Ноль в нулевой степени не определён, отсюда оговорка в таблице.

Отрицательный показатель. 2^-^3 = 1/2^3 = 1/8. Это не «минус восемь» и не «минус три». Отрицательный показатель не делает число отрицательным, он делает его дробным. Ошибка номер один в теме.

Обратный ход: 1/(2^-^3) = 2^3 = 8. Минус в показателе переворачивает дробь, а не меняет знак результата.

Дробь в степени. (2/3)^2 = 4/9: возводим и числитель, и знаменатель. При отрицательном показателе дробь переворачивается: (2/5)^-^2 = (5/2)^2 = 25/4 = 6,25.

Одинаковое основание. 4^3 x 2^5. Замечаем, что 4 = 2^2, значит 4^3 = 2^6. Дальше 2^6 x 2^5 = 2^1^1 = 2048. Считать 64 x 32 тоже можно, но дольше и рискованнее.

9^2 : 3^3 = 3^4 : 3^3 = 3.

25 x 5^-^3 = 5^2 x 5^-^3 = 5^-^1 = 0,2.

Сложение одинаковых степеней. 2^4 + 2^4 = 2 x 2^4 = 2^5. Это не 2^8: при сложении показатели не складываются.

Стандартный вид числа. Запись a x 10^n, где 1 <= a < 10.

3 400 000 = 3,4 x 10^6.

0,00052 = 5,2 x 10^-^4.

Зачем это нужно в задании 6? Чтобы не считать длинные нули руками:

(6,4 x 10^5) : (1,6 x 10^3) = (6,4 : 1,6) x 10^2 = 4 x 100 = 400.

Типичные ошибки.

2^3 x 3^3 = 6^6. Неверно: при одинаковых показателях перемножают основания, а показатель сохраняют: 6^3.

a^m x a^n = a^m^n. Неверно: при умножении показатели складываются.

10^-^4 — отрицательное число. Неверно: это 0,0001.

Корни

Квадратный корень из a — число, квадрат которого равен a. sqrt49 = 7, потому что 7^2 = 49.

Квадраты до 20 я прошу знать наизусть: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Свойства:

sqrt(ab) = sqrta x sqrtb при a >= 0, b >= 0;

sqrt(a/b) = sqrta : sqrtb при a >= 0, b > 0;

(sqrta)^2 = a при a >= 0;

sqrt(a^2) = |a|.

Последняя строка важна. sqrt((-5)^2) = sqrt25 = 5, а не -5. Корень не выдаёт отрицательных значений.

С переменной то же самое: sqrt(x^2) = |x|, поэтому sqrt((x - 3)^2) = |x - 3|.

Область определения. Под корнем в ОГЭ стоит неотрицательное число. Выражение sqrt(x - 3) имеет смысл при x >= 3. В задании 6 это чаще всего не спрашивают, но при подстановке проверять стоит: если под корнем вышло отрицательное число, вы где-то ошиблись раньше.

Вынесение множителя. sqrt50 = sqrt(25 x 2) = 5sqrt2. sqrt72 = sqrt(36 x 2) = 6sqrt2.

Внесение множителя. 3sqrt2 = sqrt(9 x 2) = sqrt18.

Сложение. Складывать можно только одинаковые корни.

2sqrt8 + 3sqrt2 = 2 x 2sqrt2 + 3sqrt2 = 4sqrt2 + 3sqrt2 = 7sqrt2.

sqrt12 + sqrt27 - sqrt48 = 2sqrt3 + 3sqrt3 - 4sqrt3 = sqrt3.

Умножение. sqrt6 x sqrt10 = sqrt60 = 2sqrt15.

Деление. sqrt18 : sqrt2 = sqrt9 = 3.

Сравнение. Сравним 3sqrt2 и 4. Возводим оба в квадрат: 18 и 16. Значит, 3sqrt2 > 4. Приём работает, когда обе части неотрицательны.

Избавление от корня в знаменателе. 1/sqrt2 = sqrt2/2. Умножили числитель и знаменатель на sqrt2. Это не обязательное требование, но с таким видом проще сравнивать и складывать.

Типичные ошибки.

sqrt(9 + 16) = sqrt25 = 5, а sqrt9 + sqrt16 = 7. Корень из суммы не равен сумме корней. Я проверяю это на числах каждый раз, когда ученик сомневается.

sqrt(a^2) = a. Верно только при a >= 0. Если a отрицательно, получается |a|.

sqrt50 = 25sqrt2. Нет: 50 = 25 x 2, множитель 25 выходит из-под корня как 5.

Модуль и прикидка

Модуль — расстояние от числа до нуля. Он не бывает отрицательным.

|5| = 5; |-5| = 5; |0| = 0.

Выражение |a - b| — расстояние между точками a и b на прямой. Поэтому |3 - 8| = 5, и порядок вычитания не важен: |8 - 3| тоже 5.

Уравнение с модулем. |x| = 5 даёт два корня: 5 и -5. Один ответ здесь считается неполным.

Пример. |x - 2| = 3. Расстояние от x до 2 равно 3, значит x = 5 или x = -1. Через уравнение: x - 2 = 3 или x - 2 = -3.

Пример. |-7| - |3 - 8| = 7 - 5 = 2.

Неравенство треугольника. |a + b| <= |a| + |b|. Проверка: |3 + (-5)| = 2, а |3| + |-5| = 8. Равенство бывает при одинаковых знаках или когда одно из чисел равно нулю.

Прикидка. Иногда точное значение не нужно. Нужно понять, между какими числами лежит ответ.

sqrt37: 6^2 = 36, 7^2 = 49. Значит, 6 < sqrt37 < 7, причём значение чуть больше 6.

sqrt54: 7^2 = 49, 8^2 = 64. Значит, 7 < sqrt54 < 8, ближе к 7.

sqrt150: 12^2 = 144, 13^2 = 169. Значит, 12 < sqrt150 < 13.

Сравнение с десятичной дробью. Сравним sqrt10 и 3,2. Возводим 3,2 в квадрат: 10,24. Так как 10 < 10,24, получаем sqrt10 < 3,2.

Оценка произведения. 4,9 x 6,1 — это примерно 5 x 6 = 30. Точный ответ 29,89, но для выбора варианта хватает прикидки.

Границы. Если требуется ответ с точностью до целого, я сначала определяю два соседних целых числа, между которыми лежит результат. Это защищает от ответа «6,08» там, где просят целое.

Типичная ошибка. Считают, что sqrt37 ~= 6, и округляют вниз. Корень больше 6, потому что 37 больше 36. Прикидка должна сохранять направление неравенства.

Формулы сокращённого умножения

Семь формул. Первые три нужны постоянно, остальные — реже.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b);

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Как узнать формулу. Смотрю на структуру, а не на буквы. Три слагаемых, два из них квадраты, среднее удвоенное произведение — квадрат суммы или разности. Два квадрата, соединённых минусом, — разность квадратов.

Пример. (x + 3)^2 - (x - 3)^2. Раскрываем: x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x. Быстрее через разность квадратов: ((x + 3) - (x - 3))((x + 3) + (x - 3)) = 6 x 2x = 12x.

Пример. a^2 - b^2 при a = 7, b = 3: 49 - 9 = 40. Или (7 - 3)(7 + 3) = 40.

Пример. (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9. Средний член не забываем: 2 x 2x x 3 = 12x.

Пример. (3a - 4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2. Оба квадрата положительны, минус только у среднего члена.

Пример. (5 - x)(5 + x) = 25 - x^2.

Пример. x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2. Здесь формула читается справа налево.

Пример. 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2. Проверка: (2x)^2 = 4x^2, 3^2 = 9, 2 x 2x x 3 = 12x.

Пример. (a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab.

Пример. x^2 + 6x + 9 при x = 97. Замечаем квадрат суммы: (x + 3)^2 = 100^2 = 10 000. Считать 97^2 в столбик можно, но зачем?

Типичные ошибки.

(a + b)^2 = a^2 + b^2. Нет. Проверка на числах: (2 + 3)^2 = 25, а 2^2 + 3^2 = 13.

a^2 - b^2 = (a - b)^2. Нет. (5 - 3)^2 = 4, а 5^2 - 3^2 = 16.

Потеряли знак среднего члена: (a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2. Нет: последний член положителен, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Разложение на множители

Три инструмента: общий множитель, формула, группировка. Порядок именно такой.

Общий множитель. 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2). Сначала вынесли 3, потом применили разность квадратов.

x^2 + 5x = x(x + 5).

x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2).

Формула. 2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2.

2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2) = 2(a - 2b)(a + 2b).

Группировка. ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d).

Группировка с формулой. x^2 + 6x + 9 - y^2 = (x + 3)^2 - y^2 = (x + 3 - y)(x + 3 + y).

Зачем раскладывать. В задании 6 — чтобы сократить дробь или увидеть квадрат. В задании 20 — чтобы решить уравнение. Разложение почти всегда промежуточный шаг, а не финальный ответ.

Типичные ошибки.

Вынесли множитель только из первого слагаемого: 3x^2 - 12 = 3x(x - 4). Проверка: 3x(x - 4) = 3x^2 - 12x, а не 3x^2 - 12.

Остановились на полпути: 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4). Формально это разложение, но не до конца. Я требую доводить до конца.

Перепутали сумму кубов с разностью квадратов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2). Нет: вторая скобка выглядит как a^2 - ab + b^2.

Алгебраические дроби

Сокращение дроби — то же разложение, только применённое к числителю и знаменателю.

Пример. (a^2 - 9)/(a + 3) = ((a - 3)(a + 3))/(a + 3) = a - 3, при a /= -3.

Пример. (x^2 - 4x)/(x^2 - 16) = (x(x - 4))/((x - 4)(x + 4)) = x/(x + 4), при x /= 4 и x /= -4.

Пример. (x^2 - 1)/(x^2 + 2x + 1) = ((x - 1)(x + 1))/((x + 1)^2) = (x - 1)/(x + 1), при x /= -1.

Сложение дробей. 1/a + 1/b = (a + b)/(ab). Общий знаменатель — произведение, если общего множителя нет.

Вычитание. 1/a - 1/(a + 1) = ((a + 1) - a)/(a(a + 1)) = 1/(a(a + 1)). Минус перед дробью относится ко всему числителю, поэтому скобки обязательны.

Умножение и деление. Правила те же, что у обыкновенных дробей: перемножаем числители и знаменатели, при делении переворачиваем вторую дробь.

Типичная ошибка. Сокращают слагаемые, а не множители. (x + 2)/(x + 4) не равно 2/4. Сокращать можно только множители, то есть то, что соединено умножением.

Вторая ошибка — забыть про ограничения. При сокращении на (a + 3) мы молча предполагаем, что a /= -3. В задании 6 это редко проверяют, а в задании 20 ограничение лучше выписать: оно входит в обоснование.

Значение выражения: когда подставлять

Правило одно: сначала упростить, потом подставлять. Подстановка в сырое выражение даёт большие числа и лишние ошибки.

Пример. Найдите (2x - 1)^2 при x = -3.

(2 x (-3) - 1)^2 = (-6 - 1)^2 = (-7)^2 = 49.

Если раскрыть формулу, получится 4x^2 - 4x + 1 = 36 + 12 + 1 = 49. Оба пути верны, первый короче.

Пример. 3a^2b при a = -2, b = 3.

3 x (-2)^2 x 3 = 3 x 4 x 3 = 36. Квадрат снимает минус, поэтому ответ положительный.

Пример. (x - 3)/(x + 1) при x = 0,5.

(0,5 - 3)/(0,5 + 1) = (-2,5)/1,5 = -5/3.

Пример. (a^2 - b^2)/(a + b) при a = 3,7, b = 1,3. Сначала сокращаем: a - b. Подстановка: 3,7 - 1,3 = 2,4. Без сокращения пришлось бы считать 13,69 - 1,69 и делить на 5.

Типичная ошибка. Подставляют отрицательное число без скобок: 3 x -2^2 x 3. Запись читается как 3 x (-(2^2)) x 3 = -36, а не 36. Скобки вокруг отрицательного числа обязательны.

Второй промах — подставить, не упростив. Например, (a^2 - 9)/(a + 3) при a = 5,2. Сокращение даёт a - 3 = 2,2 за пять секунд. Подстановка в исходную дробь — это 27,04 - 9 и деление на 8,2. Считать можно, но риск больше.

Тренировка

1. Найдите значение выражения: 2,4 x 0,15 + 3,6.

2. Вычислите: 5/6 - 3/4.

3. Вычислите: (2/3)^2 x 9/8.

4. Найдите значение выражения: 3^-^2.

5. Упростите: sqrt75 - sqrt27.

6. Сравните: 2sqrt6 и 5.

7. Вычислите: 12 : 3 x 2 + 5.

8. Вычислите: 8 - 2 x 3^2.

9. Вычислите: (-3)^2 - 3^2.

10. Вычислите: 2 1/3 + 1 1/6.

11. Вычислите: (3/4 - 1/2) x 8.

12. Вычислите: 4,8 : 0,6 + 2,7 x 3.

13. Вычислите: 0,3^2 + 0,4^2.

14. Найдите значение выражения: (2/5)^-^2.

15. Вычислите: 5^0 + 5^-^1.

16. Найдите значение выражения: 4^3 x 2^5.

17. Вычислите: 9^2 : 3^3.

18. Вычислите: 25 x 5^-^3.

19. Упростите: sqrt98 - sqrt50.

20. Найдите значение выражения: (sqrt7 - 2)(sqrt7 + 2).

21. Сравните: sqrt10 и 3,2.

22. Между какими целыми числами лежит sqrt54?

23. Вычислите: |-7| - |3 - 8|.

24. Упростите: (a - 4)(a + 4) - a^2.

25. Упростите: (x - 5)(x + 5) - (x - 3)^2.

26. Разложите на множители: 4x^2 - 20x + 25.

27. Разложите на множители: 16a^2 - 24a + 9.

28. Разложите на множители: 3x^2 - 12.

29. Найдите значение выражения (a^2 - 9)/(a + 3) при a = 5,2.

30. Найдите (x + y)^2, если x - y = 3 и xy = 4.

31. Упростите: (a + b)^2 - (a - b)^2.

32. Запишите в стандартном виде: 0,00052.

33. Стороны прямоугольника относятся как 2:5, периметр 42. Найдите площадь.

34. Вычислите: (6,4 x 10^5) : (1,6 x 10^3).

Ответы

1. 0,36 + 3,6 = 3,96.

2. 10/12 - 9/12 = 1/12.

3. 4/9 x 9/8 = 1/2 = 0,5.

4. 1/9.

5. 5sqrt3 - 3sqrt3 = 2sqrt3.

6. (2sqrt6)^2 = 24, 5^2 = 25, значит 2sqrt6 < 5.

7. 4 x 2 + 5 = 13.

8. 8 - 18 = -10.

9. 9 - 9 = 0.

10. 14/6 + 7/6 = 21/6 = 3,5.

11. 1/4 x 8 = 2.

12. 8 + 8,1 = 16,1.

13. 0,09 + 0,16 = 0,25.

14. (5/2)^2 = 25/4 = 6,25.

15. 1 + 0,2 = 1,2.

16. 2^6 x 2^5 = 2^1^1 = 2048.

17. 3^4 : 3^3 = 3.

18. 5^2 x 5^-^3 = 5^-^1 = 0,2.