История Александрийской школы. Том 2. Медицина. Физика. Математика. Астрономия. Хронология. География. История

Научная ценность этих книг несомненна. Они в основном посвящены сферическим треугольникам и содержат весьма любопытные теоремы, хотя не учат их решать или вычислять, и, за исключением одной – первой теоремы третьей книги, – эти теоремы являются чистыми умозрениями. Исключённая нами теорема, названная арабами «правилом пересечения», выражает соотношение между шестью дугами особого вида четырёхугольника, образованного на поверхности сферы.

Эта теорема, главное основание тригонометрии греков, была заимствована у Птолемея, который, в свою очередь, взял её у Гиппарха, и Менелай, переписав её у Птолемея, даже не указал, как её можно использовать.

После него геометры Музея, ещё довольно многочисленные, по-видимому, посвятили себя частью преподаванию, частью приложениям, особенно механике. Во всяком случае, заметно, что между Менелаем, жившим в конце первого века нашей эры, и Гипсиклом, относящимся к середине второго века нашей эры (а не до нашей эры, как иногда утверждают (1)), нет значительных авторов.

Гипсикл, ученик одного из многочисленных Исидоров, фигурирующих в истории литературы или философии, но не достигших большой известности, подобно самым выдающимся математикам Александрийской школы, занимался арифметикой, геометрией и астрономией. Мы уже говорили, что, скорее всего, именно он составил две книги, добавленные к тринадцати книгам Евклида и долгое время считавшиеся четырнадцатой и пятнадцатой. Это место они занимали не без основания, ибо трактовали о пяти телах способом, достойным Евклида.

Кроме того, Гипсикл был автором трактата по астрономии или астрономическим вычислениям, о котором мы поговорим в другом месте, и, если верить Паппу, который ненадолго возродил изучение геометрии в Александрии (ставшей христианским городом) и следовал по стопам величайших математиков, он оставил специальный трактат о кривых.

Глава VI

ГЕОМЕТРИЯ. – ОТ ПАППА ДО КОНЦА ШКОЛЫ.

Папп, неутомимый учёный школы, где все были трудолюбивы, видя, как умы поглощены христианскими учениями, а геометрия грозит скоро быть забытой, вновь сделал то, что в более благоприятных обстоятельствах делали учителя науки. Он обобщил основные труды, предшествовавшие его времени, чтобы спасти их от забвения или равнодушия будущего. Обстоятельства были трудными. С того момента, как политеизм перестал быть религией правителей империи, учёное население Александрии само начало отдаляться от научных трудов. Уже непрерывные и страстные столкновения двух религий, одна из которых неуклонно росла, а другая могла надеяться лишь на отсрочку неизбежного падения, поглощали все умы. В этой ситуации, столь отличной от той, в которой находились предшественники Паппа, жизнь учёных не была защищена от насилия фанатизма. Папп, современник знаменитой дочери Теона, которую серьёзные труды по точным наукам и философии не спасли от ярости партий, знал это. Тем не менее, Папп не пал духом. Надеясь на более спокойные времена, он добавил к лучшим трудам по геометрии остроумные дополнения и обогатил ценнейшими комментариями работы Аполлония, Архимеда и Диофанта.

Папп заслужил признание науки, особенно за три вещи: он передал нам аналитический метод, который древние использовали в своих исследованиях, применяя его к множеству проблем (1); он использовал центр тяжести для измерения фигур – открытие, иногда приписываемое современникам; и он упомянул множество математиков, чьи имена остались бы неизвестны без него. Таким образом, он передал потомкам науку, её метод и её историю. Поэтому после Птолемея он – тот из александрийцев, кто лучше всех послужил школе, членом которой был. И хотя его гений уступал гению Евклида, Архимеда, Аполлония и Диофанта, он разделяет с этими математиками славу создания науки, какой она оставалась в течение веков Средневековья.

Его «Математические собрания» (Μαθηματικαὶ συναγωγαί) – таково избранное им название – состояли из восьми книг (2). Сохранилось лишь шесть, и третья утрачена частично. Начиная с четвёртой и до восьмой, текст полон, но напечатаны лишь части, включая фрагмент второй книги; обычно пользуются латинским переводом, сделанным в XVI веке Коммандино.

Папп, который был не только геометром, но и астрономом и географом, подобно своим прославленным предшественникам, и чьи труды ещё будут упомянуты, в своих усилиях сохранить математические исследования в Александрии был поддержан Теоном и его дочерью Гипатией.

Теон, принадлежавший к Музею и чьё имя последним упоминается у Суиды как связанное с этим учреждением, подобно Паппу, занимался геометрией и астрономией.

Его главные труды – комментарии к Евклиду и Клавдию Птолемею.

Первый из них, единственный интересующий нас здесь, озаглавлен «Беседы о Евклиде» (Συνουσία) – название двусмысленное, из-за которого это сочинение иногда принимали за работу первого геометра Александрии. Его публиковали вместе с «Началами» Евклида, и оно заслуживало этого, хотя весьма элементарно и, по-видимому, было составлено для облегчения изучения математики либо дочери, либо сына автора, ибо у Теона был и сын.

Дочь, математик и астроном, как и её отец, добавила к этим занятиям изучение философии, следуя обычаю афинских школ времён Платона и Аристотеля. Она задумала благородный план восстановить это тройное учение в Александрии, где видела, как рушатся прекрасные учреждения политеизма, и отправилась в Афины, чтобы лучше изучить академические обычаи древней столицы греческого мира. Однако, похоже, она вернулась в Александрию с большим воодушевлением, чем сдержанностью. Она преподавала с пышностью, которая должна была раздражать после событий 391 года, и если снискала множество поклонников в городе, то вызвала и антипатии, объясняющие её трагический конец.

Мы уже говорили, что, по-видимому, она преподавала только после 391 года. Это тем вероятнее, что её рождение не могло быть ранее 370 года; но это нельзя утверждать на основе древних текстов, ибо сведения о светской школе Александрии становятся редкими после 391 года. Неизвестно даже, где проходило преподавание Гипатии: следовала ли она обычаю афинских философов, устраивавших аудитории или театры в своих домах, или же читала лекции в каком-то общественном здании, уцелевшем при Серапеуме, или в другом святилище политеизма, презираемого христианским большинством (1). Во всяком случае, то, как о ней говорят, свидетельствует, что её преподавание не было частным, но она занимала то, что мир политеизма ещё называл кафедрой философии – кафедру, которую двор в Константинополе, осведомлённый патриархом Александрии, более не жаловал.

Историк Сократ, которому мы обязаны сведениями о Гипатии, не говорит, была ли её кафедра частью древнего Музея или возобновлённой трибуной после 391 года (2).

Как бы то ни было, между 392 и 415 годами Гипатия составила несколько научных трудов. Её отец комментировал Евклида и Клавдия Птолемея; она прокомментировала геометрию Аполлония и астрономический труд Диофанта. Но все её работы утрачены: и, похоже, с ними обошлись с той же страстью, что и с её личностью.

Брат Гипатии, Епифаний, вероятно, пережил своего отца, делавшего астрономические наблюдения ещё в 365 году и, видимо, не дожившего до трагической смерти дочери; но неизвестно, занимался ли сын Теона науками. Никто не упоминает непосредственного преемника Гипатии как астронома или геометра. Во-первых, сомнительно, чтобы среди христианских преподавателей нашлись достаточно учёные, чтобы принять её наследие. Во-вторых, гонения против политеистов и споры префекта Ореста с патриархом Кириллом (3) едва ли позволяли установить в этих преемниках ту же регулярность, какая соблюдалась в Афинской школе вплоть до времён Юстиниана.

Тем не менее, изучение наук продолжалось в Александрии вплоть до мусульманского завоевания.

Александрия оставалась даже для политеистического преподавания выше Афин, бывших после неё главным его прибежищем; ибо в Афинах сохранились лишь риторика и философия. Со времён Платона и Аристотеля науки там были настолько заброшены, что афинские учёные не участвовали ни в одной значительной работе по арифметике или геометрии от основания Александрийской школы до мусульманского нашествия.

Во времена Прокла, которому было два-три года, когда умерла Гипатия, в Афинах уже не было научного преподавания. Поэтому этого молодого философа, родившегося в 412 году и которого семья хотела обучить всем наукам политеизма, отправили в ту часть Александрийской школы, которая возродилась после гонений 391 года. Он прибыл туда через десять-пятнадцать лет после беспорядков, лишивших политеистов в лице Гипатии их самого знаменитого учителя. Действительно, я более не считаю, что его прибытие в этот город можно отодвигать далее 434 года, как я делал ранее (1), ибо он приехал туда совсем юным. И хотя его прибытие было близко ко времени гибели Гипатии, он нашёл в Александрии не только уроки грамматики, риторики и римского права, но и философии, и математики, что доказывает, что к тому времени преподавание политеизма возобновилось в регулярном порядке.

Оно даже расцвело настолько, что изучение математики вновь отделилось от философии, с которой его соединяла Гипатия. Олимпиодор преподавал философию, а второй Герон – математику. Проклу не было и двадцати, когда он покинул Египет ради Греции, что даёт 432 год как дату его отъезда. Александрия, таким образом, вновь процветала в короткий промежуток между 415 и 430 годами, всего за 15 лет, что доказывает, что 391 год был менее катастрофичен, чем говорят.

Александрия ещё долго оставалась главной школой греческого мира, и Прокл, видевший это блистательное исключение среди общего упадка политеизма, задумал возродить в родном городе Платона совместное изучение математики и философии.

В Афинах политеизм сохранял силу благодаря древней славе своих великих школ. Прокл попытался создать там школу наук и философии, соперничающую с египетской. Но если его энергия и мистицизм учения привлекли множество учеников, и в философии он добился успехов, затмивших его александрийских учителей (о чём мы расскажем в своё время), его преподавание математики не было столь успешным. Оно не породило ни значительных трудов, ни знаменитых профессоров.

Судя по его комментариям к Платону и начатому им комментарию к Евклиду, Прокл преподавал посредственно. Он был так многословен, что завершил лишь первые две книги второго из этих трудов. Его сочинение стало бы огромным, если бы он уделил всем частям столько же места, сколько уже написанным.

Однако научное преподавание, которое он установил, продолжалось до 529 года, когда Юстиниан положил ему конец.

Его лучший ученик, Марин, не прославился, но один из последователей Марина прокомментировал «Данные» Евклида.

Когда мы перейдём к успехам космографии, мы увидим, что другие продолжили астрономические труды Прокла; что в Афинах даже проводились некоторые из редких наблюдений неба, сохранившихся с той эпохи.

Всё это свидетельствует о некотором соперничестве между двумя главными школами политеизма. Но Александрийская школа сохранила своё прежнее превосходство, несмотря на все враждебные действия церковной и светской администрации, которые с равным рвением побуждали к мерам нетерпимости у многих правителей империи.

Мы уже видели, что вскоре после смерти Гипатии Прокл нашёл в Александрии второго Герона. Наука этого геометра была посредственна, но его искусство славилось, и он оставил для греко-македонской метрологии драгоценные фрагменты, которые мы упомянем в другом месте.

Научные исследования продолжались в Александрии в течение VI века, и в конце этого века или начале VII мы встречаем одного из последних учёных школы – Иоанна Филопона, чьё имя указывает, что наука перешла в лагерь христиан. Он комментировал «Метеорологику» Аристотеля (1) в то время, когда знаменитому городу суждено было пасть. Его современник, третий Герон, бывший одновременно геометром и астрономом и работавший около 623 года, составил «Геодезию», «Введение в геометрию» (2), трактат о терминах геометрии и стереометрии (3) и трактат о военных машинах, о котором мы поговорим позже.

Однако со времён Аполлония геометрия мало продвинулась в Александрийской школе, и даже после Архимеда изучение метрологии, механики, музыки и особенно астрономии значительно превзошло изучение чистой геометрии. Эти приложения стали предпочтительными, что объяснимо, но это также поясняет жалобы, которые Плутарх вкладывает в уста Платона относительно снижения науки до обыденных нужд жизни (1).

Эти приложения были достаточно значительны, чтобы внести свой вклад в прогресс науки в знаменитой и трудолюбивой школе, чьи труды были столь обширны и чьи неопубликованные работы до сих пор хранят столько сведений для истории.

Глава VII

Применение математики в метрологии.

Вопросы, которые поднимает египетско-греческая метрология, уже были рассмотрены в трудах Ньютона, Гривса, Байи, Арбютнота, Фрере, Данвиля, Лабарра, Поктона и Эдуарда Бернара, а в наше время возобновлены исследованиями г-на Жомара и г-на Летронна (1), относятся к числу самых любопытных и сложных.

Мы не ставим здесь своей задачей их разрешить, так как не располагаем необходимым для этого пространством. Однако, поскольку обзор важнейших применений математики в Александрии связан с самой историей науки, мы укажем на те метрологические работы, которые были выполнены учёными Музея в рамках их трудов по арифметике и геометрии и которые помогут понять прогресс астрономии и географии в этой Школе.

В первые времена Македонской монархии, основанной в Египте, меры этой страны неизбежно пересекались с мерами Центральной и Малой Азии в Александрии и других торговых или гарнизонных городах царства Лагидов, а также с мерами Греции и Македонии.

Если сопоставление этих мер было столь же лёгким, сколь и необходимым, то вскоре должно было возникнуть некое подобие единой системы. То, что такие сопоставления действительно были простыми, показывает беглый взгляд на меры, использовавшиеся в различных странах, жители которых встречались в Египте.

Египет принял за единицу длины ладонь. Три ладони составляли пядь, шесть – обычный локоть, семь – царский или священный локоть, соответствующий двойной ступне (1).

Царский или священный локоть, эталон которого хранился в святилищах, использовался для измерения дорог и земель, а природный локоть – для обычных нужд (2).

Однако оба этих инструмента были слишком малы для измерения значительных расстояний, поэтому египтяне использовали их кратные, например, для земель – аруру, или квадрат в сто локтей, согласно Геродоту.

Этот историк также упоминает локоть в 24 пальца, ступню в 16 пальцев, оргию в 6 ступней, плетр в 100 ступней, стадий в 600 ступней, парасанг в 30 стадиев и схен в 30 парасангов. Геродот не утверждает, что все эти меры использовались в древнем Египте.

(1) 525,6 миллиметров.

(2) Локоть г-на Анастази в Музее Берлина. – Локоть г-на Дроветти в Музее Турина. – Локоть г-на Ниццоли. – Локоть г-на Раффаэлли и локоть Мекьяс в Музее Парижа. Нилометр, описанный г-ном Жираром. – Нилометр Элефантины. – См. статью г-на Жомара о метрическом эталоне с иероглифами, обнаруженном в руинах Мемфиса г-ном Дроветти; Journal des Savants, 1822, стр. 664. – Там же статья г-на Госселена, стр. 745, Mémoires de l’Acad. des Inscr., т. VI, стр. 158 и далее, а также статья г-на Летронна в том же журнале и году, стр. 539.

Он использовал пядь для малых измерений, локоть обычный – для шести, а царский или священный локоть – для семи, что соответствовало двойной ступне (1).

Царский или священный локоть, эталон которого хранился в святилищах, применялся для измерения дорог и земельных участков, тогда как природный локоть использовался в повседневных нуждах (2).

Однако оба этих инструмента были слишком коротки для измерения значительных расстояний, поэтому египтяне использовали их кратные, например, для земельных участков – аруру, или квадрат со стороной в сто локтей, согласно Геродоту.

Этот историк также упоминает локоть в 24 пальца, ступню в 16 пальцев, оргию в 6 ступней, плетр в 100 ступней, стадий в 600 ступней, парасанг в 30 стадиев и схен в 30 парасангов. Геродот не утверждает, что все эти меры использовались в Древнем Египте.

Предполагается, что многие из них долгое время оставались неизвестными в этой стране, и из того факта, что Моисей, который, вероятно, заимствовал у Египта локоть, не перенял более крупные единицы измерения, такие как схен, делается вывод, что эта мера появилась в Египте после Моисея. Но это доказательство гипотезы через утверждение. К этому добавляется другое утверждение: египетские жрецы оценивали большие расстояния в днях пути. Однако этот предполагаемый факт метрологии опирается лишь на аналогию с практикой иудеев. Из этого делается вывод, что схен был лишь имитацией парасанга, принятой после завоевания Камбиса (525 г. до н.э.).

Но ни одна из этих догадок не подтверждена наукой. Единственное, что достоверно, так это то, что Геродот, который жил вскоре после завоевания Камбиса и в эпоху, когда у греков уже смешались несколько цивилизаций, использовал эти термины как общеизвестные.

Добавляют, что смешение этих различных систем метрологии продвинулось ещё дальше после походов Александра, когда традиции Греции, Египта и Азии слились воедино. Действительно, такое слияние было легко объяснить, если принять систему тех, кто считает, что изначально метрология Египта и Центральной Азии была одинаковой; что меры, принятые в первой из этих стран, распространились на вторую благодаря экспедициям Сесостриса, а в Грецию – через египетские колонии в Арголиде; что из этого региона они попали в Фокиду, Фессалию, Македонию и Фракию, где сохранились, как и в некоторых греческих колониях Азии и Италии, дольше, чем в других областях.

Но эта система лишена всякой вероятности и сталкивается с ещё большими возражениями, чем те факты, на которые она ссылается. Действительно, даже если бы эти факты были подтверждены (чего нет), нужно было бы ещё доказать, что уже в ту далёкую эпоху египетская метрология была установлена, а что касается Азии – что пребывание Сесостриса там было достаточно долгим для передачи знаний. Однако оба этих пункта сомнительны и даже маловероятны.

Метрология греков может быть соотнесена с египетской: их ступня равна двум третям природного локтя или 16 пальцам. Кроме того, их локоть (πῆχυς), оргия, плетр и стадий, будучи кратными ступне, могут быть связаны с той же системой. В подтверждение этих сопоставлений можно также привести аналогию мер объёма у греков и иудеев – народов, которые в разные эпохи подражали египтянам во многих отношениях и в итоге встретились в новой столице Египта.

Аналогии также прослеживаются между метрологией вавилонян или персов и египтян. Парасанг, оценённый Ксенофонтом примерно в 30 греческих стадиев, соответствовал 10 000 царских локтей.

Статм равнялся 4 парасангам, или 40 000 царских локтей, а схен, составлявший 20 000, так легко вписывался между этими мерами, что можно предположить их общее происхождение. Однако к этим крупным мерам, использовавшимся только для дорог, добавлялся хебель в 40 царских локтей, аналога которому у египтян неизвестно. Этот факт показывает, что даже если Египет и дал Азии некоторые основы своей системы, он не передал ей полной метрологии.

Опровергаемая нами гипотеза – лишь одна из тех, чья заслуга состоит в порождении остроумных комбинаций, но которые далеки от подтверждённых наукой фактов.

Какую бы точку зрения ни принимать относительно происхождения принципов древней метрологии, у греков были привычки сравнения, когда Александрийская школа писала свои труды. Везде такое сравнение мер и весов начинается с первых контактов и обменов между народами. Отношения между Египтом, Азией и Грецией были слишком древними, чтобы не сгладить некоторые различия. Известны связи Египта с Грецией, чьи законы и институты несут следы подражания, несмотря на все изменения со временем. Что касается связей Греции с Ионией, а Ионии с Азией, они были постоянными. Наконец, Египет подчинялся Персии более двух веков, прежде чем перешёл к Лагидам.

Таким образом, слияние было подготовлено ещё до Александра, не только среди учёных, где оно было результатом свободного выбора, но и среди населения, где оно стало необходимостью.

Можно добавить, что более полная работа по сближению произошла после Александра, но так же трудно указать время и автора этого слияния.

Действительно, греческий Египет принял систему, составленную путём компромисса из различных элементов и потому более доступную для всех, но о которой историки Александрии хранят такое молчание, что ничего не известно ни о её происхождении, ни о времени её существования. Это, кажется, доказывает, что учёные не предлагали эту систему, а, напротив, она была установлена правительством. Следует ли из этого, что Александрийская школа не участвовала в её создании? Я так не думаю. Поскольку правительство Птолемеев содержало учёных Музея и постоянно консультировалось с ними даже по менее важным вопросам, вероятно, математики Александрии внесли свой вклад в эту работу. Если они и не создали новую цельную метрологию, как та, которую египетская традиция приписывает Тоту, и не предоставили все элементы или терминологию, они, по крайней мере, способствовали её завершению.

Что касается точного времени установления новой александрийской системы метрологии, можно предположить, что если оно так же неизвестно, как и имена консультировавшихся учёных, то потому, что речь шла о пересмотре уже существовавших в стране или среди новых колонистов – македонян и греков – мер, а не о настоящем создании. Впрочем, если ограничиться приблизительным указанием, можно утверждать, что эта система восходит к ранним временам Лагидов. Писатели, частично её упоминающие, не оставляют сомнений на этот счёт. Действительно, уже во времена грамматика Дидима Александрийского, жившего в последнем веке до нашей эры, эта система была хорошо установлена, как видно из его трактата «Об измерении мраморов и древесины всех видов» (1).

Однако её изложение принадлежит математику позднего периода Александрийской школы – второму Герону, жившему в V веке нашей эры, которого мы упомянули выше среди учителей, чьи уроки посещал Прокл в Египте. Это был не выдающийся геометр, но умелый преподаватель. Автор элементарной арифметики, он также написал трактат по метрике, от которого сохранились достаточно обширные фрагменты, дающие представление о целом. Именно в этих фрагментах, опубликованных частично Монфоконом (2) и имеющих большое сходство с трактатом Дидима, находится рассматриваемая система, обычно называемая Филетерианской.

Примечательно, что изложение Герона содержит сравнения с италийской системой, установленной в греческих колониях в довольно раннюю эпоху. Например, царская или филетерианская ступня, составлявшая чуть более двух третей царского локтя, сравнивается с италийской ступнёй в пропорции 5 к 6. Таким образом, вместо того чтобы брать сравнения из мер, использовавшихся под властью Рима, при которой он жил, Герон обращается к эпохе, когда греческие колонии Италии ещё сохраняли независимость. В целом, в этой системе преобладают греческие традиции. Например, древний царский локоть, равный семи египетским ладоням, заменяется локтем в семь олимпийских ладоней. Этот локоть до сих пор используется в ниломере Каира (1).

Таким образом, филетерианская система не осталась теоретической. Авторы, цитирующие её части, такие как Иосиф Флавий, Диоскорид, Гален, Аполлинарий, Св. Иероним, Св. Епифаний и Фамилий в своей поэме о мерах, не сомневаются в её публичном принятии, что подтверждается некоторыми названиями, характерными для этой системы, например, «птолемеевские мины» – единицы измерения или веса, сотня которых составляла большой александрийский талант.

Как видно, двумя основными мерами в этой работе по слиянию были ступня, заимствованная у Греции, и палец, заимствованный у Египта – меры, которые человек находил повсюду с первых попыток счёта, ещё до появления науки.

В целом, естественно предположить, что природа, а не искусство, изначально предоставила элементы всех видов мер и весов.

Однако делать из этого принципа вывод, что обычный здравый смысл, подкреплённый жизненными потребностями, достаточен для постепенного создания целой системы и что ни геометрия, ни космография не участвовали в этом процессе, было бы слишком смело.

Даже если бы древняя метрология не основывалась на измерении части земли геометрами или на чём-то подобном принципу метрической системы Франции (2), наука, очевидно, всё равно участвовала в создании любой более или менее упорядоченной системы. Математика способствовала формированию древней метрологии, хотя бы в определении мер, производных от фундаментальной отправной точки. Для Египта и даже для Греции такой точкой был палец: одна из этих стран, принимая палец за единицу ширины, пришла к ладони, пяди, локтю и схену; другая, составив ступню из шестнадцати пальцев, пришла к локтю, шагу, двойному шагу, оргии, шесту, цепи, плетру и стадию.