Арифметика бесконечностей

Во-третьих. Ничего нового в течение 1 этапа работы алгоритма мы не открыли. Как ни странно, полученный массив целых чисел является массивом обычных целых чисел, с условием отброса гигантского нулевого столба перед числами. По правилам арифметики такие нулевые столбы в старших разрядах числа не представляют никакого интереса. Значит, ими просто пренебрегаем далее в тексте. Хочется особо отметить , что после отброса нулей в старших разрядах форма таблицы принимает уже треугольный вид из оставшихся младших разрядов чисел (Рисунок 7). Диагональ треугольника, разделяющая существенную часть от отброшенной несущественной, имеет возрастающий ступенчатый вид, это видно на начальном этапе работы алгоритма (Таблица 2). Длина ступеней в данном случае кратна десяти и определяется, используемой системой счисления. Сами ступени диагонали неразличимы простым глазом. Они просто отфильтровались из-за гигантской дискретности между числами таблицы. Из-за этого, диагональ превратилась в прямую линию.

Рисунок 7 Форма массива нормальных целых чисел

В-четвертых. Итак, мы получили массив обычных целых чисел (Таблица 3), с которыми человечество знакомо со времен своего осознания. Здесь есть все целые числа, с которыми работала, работает и в будущем будет работать наука и не отстающий от нее быт. Любое мыслимое или даже немыслимое число, но арифметически правильно записанное, есть в этой таблице. Все они выставлены по порядку. У каждого числа есть следующее за ним число и предыдущее перед ним и только по одному для каждого числа, кроме конечных чисел (0) и 0(9), по понятным концевым причинам. В таблице нет такого целого числа, для которого бы не соблюдалось это правило. Внутри массива целых чисел нет никаких повторений и циклов, только монотонное возрастание в одну сторону или монотонное убывание в другую. Как видно из (Рисунок 7), нормальные целые числа имеют начальное число (0) и конечное число 0(9).

В-пятых, люди пока не осознали, что в таблице существует число, превосходящее любое другое, которое может придумать или записать человек в школьным формате. Это последнее число в таблице (Таблица 3), и оно равно 0(9). Число 0(9), записанное в демонстративном, – недосягаемое. Пока число 0(9) было неизвестно человеку, большего числа чем 0(9) он придумать даже не мог! Никакие десятки в немыслимых степенях школьного масштаба не могли приблизиться к этому числу, а тем более его превзойти хотя бы на единицу. И только продолжение этого трактата, поможет не только найти большие числа, но и поразиться насколько их много! Оказалось решение нахождения большего числа чем 0(9) проще простого. Но об этом всё потом – всё в свое время.

Рисунок 8 https://ru.wikipedia.org/wiki/Валлис,_Джон

В далеком 17-м веке математический самородок Джон Валлис из Англии (WIKI) пришел к выводу о необходимости такого числа, к которому могут стремиться все числа, но никогда, никогда, никогда его не достичь. Такое число он назвал бесконечностью и обозначил символом лемнискаты, а именно «рухнувшей на левый бок восьмеркой» – «∞» как символ несуществующей, но воображаемой реальности. Но куда мы его поместим (воткнем) в таблицу (Таблица 3) – там нет для него свободного места. А не надо его никуда втискивать, мы его просто приравняем к числу, имеющее абсолютно такое же с свойство недосягаемости, а именно «∞» = 0(9) и стоящее в этой таблице на последнем месте.

Теперь мы точно знаем, что бесконечность, кроме имени и знака, имеет точное математическое значение, равное 0(9). Итак, бесконечность – это конкретное арифметическое число. Она не синий туман и даже не абстракция, а реально существующий математический объект.

Число 0(9) занимает реальное своё место в таблице целых чисел и является цифровым аналогом символа бесконечности. Оно до XXI столетия было необъятной, недосягаемой величиной, но это оказалось только началом необъятности. В то время Джон Валлис даже не мыслил, что когда-нибудь можно будет не только заглянуть за цифровой «бесконечный горизонт», но и поглядеть, что там «на той другой его» стороне. А там, как окажется, всё до элементарного просто…. Там нет ничего нового – простой бесконечный перебор чисел от 0 до 9? Конечно, это в десятичной системе счисления. А для двоичной системы совсем до ужаса мало. Всего лишь две цифры 0 и 1, но для этой системы счисления этого вполне достаточно. А для других систем счисления – всё по аналогии.

Как будет доказано ниже значок бесконечности «∞» у нас на глазах распадётся на невероятное количество бесконечных целых чисел, каждое из которых определяет свою бесконечность. Как ни странно звучит, есть самая малая бесконечность (0)1 и самая большая (9), а между ними бесконечное количество бесконечностей. Как в обычной жизни, в бесконечности и вечности тоже есть всё: от «мала до велика».

Бесконечность нельзя снять или отменить. Она не сокращаемая и не урезаемая. Как мы увидим ниже, даже самая малая бесконечность безгранична и необъятна. Любое вычитание из бесконечности не уменьшает бесконечность. Аналогично, любое сложение с бесконечностью ее не увеличивает. Бесконечность не умножается и не делится ни на какие части. Она безразлична к любым арифметическим операциям, кроме операций сравнения бесконечностей. К ним можно применять операции больше или меньше, но об этом в следующих главах данного исследования.

Из этого следует, что одна бесконечность другой бесконечность рознь! Бесконечность нельзя сосчитать, но, как ни странно, через нее иногда просто можно перешагнуть! Для этого достаточно прибавить всего лишь одну единицу (0)1, но при определенных условиях (Правда, куда надо!!!).

И, в-шестых, для справки маленькое дополнение и незначительный отход от темы. Полученный массив целых чисел представляет собой арифметическую прогрессию, у которой разность равна одной единице (0)1. А число членов находится по формуле

[0(0)+0(9)]/2 = (9).

Арифметика с бесконечными целыми числами будет рассмотрена позже.

После анализа результатов 1 этапа, сразу возникает вопрос – так что же, наконец, нам мудрёным умникам науки тогда не хватает? Если в таблице (Таблица 3) есть все числа нужные для быта, науки и даже большего того, чего желаешь. Зачем продолжать никому не нужные исследования!? Лично мне, честно говоря, ничего не надо! Вот только за арифметику обидно, как многое от нее утаила беззаботная и неуемная природа!

Вы, дорогой читатель, даже не подозреваете, что в анналах арифметики находится гигантский пласт бесконечных целых чисел, как окончание общеизвестного массива целых чисел и не известный пока человечеству. Как оказалось, там за горизонтом обычных целых чисел скрываются несметные арифметические богатства. И не знать про них арифметике просто непростительно и непозволительно, и я должен восполнить этот пробел. Поэтому я настойчиво предлагаю читателям продолжать следить за исследованием, которое, в принципе, можно назвать историческим!

Итак, продолжим процесс формирования полного массива целых чисел{N10}, как сумму результатов законченного первого этапа {N101} и еще не начавшегося второго этапа{N102}.

Только для начала второго этапа, более тщательно рассмотрим единственный ход алгоритма, который добавляет всего одну единицу (0)1 к числу 0(9), а именно

0(9) + (0)1 = 1(0),

где 0(9) является последней цифрой первого этапа работы алгоритма, а также последним элементом закрывшего массива{N101}. А число 1(0) оказываться первой цифрой второго этапа.

Полученное целое число 1(0), у которого в первом старшем разряде стоит единица, а все остальные более младшие разряды равны нулю является первым элементом нового массива{N102}. К нашему удивлению, мы подошли к историческому переходному моменту. Как оказалось, именно здесь проходит арифметическая граница между известного массива целых обычных целых чисел и еще неизвестного, но очень громадного массива целых бесконечных чисел. Маленький одиночный шаг всего на одну единицу (0)1 закрывает страницу массива обычных целых чисел (Рисунок 9 – левая часть) и открывает новую страницу в которых уже все преобразованные из точек числа будут уже бесконечными целыми числами (Рисунок 9– правая часть).

Запомни читатель! Не всем дано быть свидетелями первого исторического перехода из бесконечного массива в обычный массив и обратно, а Вы стали! Потом это станет обычной рутинной операцией, но именно сейчас был сделан самый первый шаг. А вы его даже не заметили!

Этими числами еще не оперировала арифметика. Все арифметические операции с ними, требуют уточнений и доработок, чем мы займемся в следующих главах данного исследования.

Рисунок 9 Переход в бесконечную область 0(9)+(0)1=1(0)

Итак, мы остановили алгоритм на точке 0(9). Включаем работу алгоритма на второй этап и получаем в первом шаге работы алгоритма уже известный результат:

0(9) + (0)1 = 1(0),

где число 1(0) – первое бесконечное целое число. Оно образует первый столбец нового массива целых бесконечных чисел (Таблица 4 – 1 столбец). Этим начинается второй этап, с тем же алгоритмом, как продолжение первого этапа. Если отбросить все неважные формальности, то наш алгоритм выглядит очень просто

следующее число = предыдущее число + (0)1.

Ниже приведены формулы переходов основных моментов расчета для продолжения формирования массива целых чисел {N102}. Конечно, при этом мы опускаем несущественные моменты при формировании массива бесконечных чисел, не несущих значительной информационной нагрузки. Мне кажется, что на втором этапе нет подводных камней и нет промежуточных контрольных точек, которые бы изменяли монотонный характер процесса, кроме последней точки, которая превратится в число (9). Ввиду этого мы второй этап быстро проскочим и выполним его «как нечего делать», не отражая в приведенных формулах бесконечное множество незначительных монотонных операций. Честно говоря, для расчета 2 этапа необходимо выполнить более чем миллиарды миллиардов циклов расчета алгоритмических операций, согласно формулы (19). Для современного процессора это равносильно, что «для бешеной собаки семь вёрст не крюк».

Используя формулу (19), наш алгоритм становиться очень простым.

1(0) + (0)1 = 1(0)1; 1(0)1 + (0)1 = 1(0)2; … ; 1(0)10 + (0)1 = 1(0)11; … ;

(1)10 + (0)1 = (1) – (Таблица 4 – столбец 2); … ;

1(9) + (0)1 = 2(0); … (2)1 + (0)1 = (2) – (Таблица 4 – столбец 3); … ;

2(9) + (0)1 = 3(0); … ; (3)2 + (0)1= (3) – (Таблица 4 – столбец 4); … ;

7(9) + (0)1 = 8 (0); … ; (8)7 + (0)1 = (8) – (Таблица 4 – столбец 9); … ;

(9)8 + (0)1 = (9) – (Таблица 4 – последний столбец);

С помощью формул (20) мы получаем колоссальное количество чисел, как было подсчитано выше их число равно = 8(9). Но не все полученные числа нам нужно вставить в таблицу (Таблица 4), иначе мы переполним эту таблицу и потеряем основную суть закономерности массива целых чисел. Нам нужно внести в таблицу только те числа, которые будут красноречиво и кратко показывать основные закономерности массива целых чисел, а также отражать динамику массива и ничего лишнего. И такие числа действительно есть, среди полученных. Все остальные неиспользованные числа в этой таблице обозначены как многоточия.

Итак, мы благополучно смогли достичь конца работы алгоритма «всеми правдами и неправдами». И всё только потому, что мы отбрасывали бесчисленное количество однотипных операций, не представляющих кардинальных изменений для формы массива целых чисел. Иначе бы нам никакого времени не хватило бы, чтобы завершить процесс. Наконец выбираем последнюю точку из сосуда, преобразуем ее в число (9), которую помещаем в таблицу (Таблица 4