Полная версия:
Арифметика бесконечностей
В нашем исследовании будет всё немножко по-другому. Количество разрядов всех задействованных чисел будет постоянным и равным самому большому числу в используемой системе счисления, то есть (9). Это касается как для самых маленьких чисел, так и для самых больших, а также для конструкции типа n1(n2)n3, в том числе. Напоминаю, что запись (n2) означает, что число n2 в периоде, повторяющееся бесчисленное количество раз, но таким образом, чтобы общее число разрядов было равно (9) – не забывайте, что число девять также находиться в периоде. Количество разрядов всех целых чисел невероятно большое и равно числу (9). Это говорит о том все числа у нас хотя и бесконечные и в то же время они ограничены с двух сторон. Со стороны старших разрядов ограничение было всегда по первому старшему разряду. В нашем случае добавляется ограничение в неведомой ранее дали – по самому младшему разряду. Причем при любых арифметических операциях с целыми числами количество разрядов не меняется и всегда равно (9).
В принципе ограничение разрядов бесконечных целых чисел, произошло из-за использования максимального числа, которое с двух сторон ограничено. В десятичной системе счисления оно равно числу (9). А зачем нам какое-то ограничение, да еще и в бесконечности? Казалось бы, что оно нам на и на фиг не нужно, но именно это ограничение позволяет нам успешно завершить нашу методику, не впадая в бесконечные циклы.
На самом деле введенное разрядное ограничение очень слабое, оно вообще не влияет на процесс оцифровки целых чисел, но представляет возможность выделить начальные старшие разряды и конечные младшие разряды чисел. Это значит, как ни странно, что все использованные бесконечные целые числа имеют и начало, и конец. Короче, нам доступны для исследования и проведения математических операций в равной степени как вершки бесконечного числа, так и его корешки. Что касается серединной части громадного числа, то его обычно упаковывают и представляют в виде бесконечного столба чисел, обозначаемого как (*). Теперь бесконечное число становится условно конечным вида:
begin(*) или begin(*)end,
где begin представляет собой набор чисел, в таком количестве, чтобы обеспечивалась заданная точность вычислений. Редко применяется в конце некоторое количество чисел, обозначенных как end, для решения специфических задач. На точность вычислений end совсем не влияет.
И наконец бесконечный столбец срединных чисел, обозначаемый как (*) также на точность вычислений не влияет. Как будет показано ниже, мало кого интересует его изменение в процессе арифметических операций, поэтому весь бесконечный столб цифр, обозначается просто звездочкой. Это аналогично появлению комариного укуса на теле слона – слон даже не узнает, что произошло это ужасное событие и не заметит прибавления своего веса от инъекции комара. Никто даже не попытается обработать зудящую ранку слона от комариного укуса и подуть на нее. В бесконечных числах символ «(*)» играет роль укушенного слона. Итак, будем считать, что если у числа внутри имеется набор знаков в виде звездочки в круглых скобках «(*)», то оно бесконечное несмотря на то, что содержит ограниченное количество разрядов.
Мы начнем исследование с пустой структуры целого числа, где во всех бесконечных разрядах (9) первоначально ничего нет. Пустота не является арифметическим объектом, поэтому мы вместо пустоты вставим нули. Полученную структуру целого нулевого числа (0) будем использовать в качестве нулевого элемента, открывающего новый массив для целых чисел.
Формирование новых целых чисел мы будем выполнять следующим образом. Причем новые целые числа у нас будут появляться не из пустоты, а как результат пересчета реальных материальных точек. Для их получения, разобьем любой отрезок s1s2 на бесконечно малые отрезки (Рисунок 5). А потом их преобразуем (сколлапсируем) в точки. Выбирая точки по случайному порядку, оцифруем их, согласно очереди выбора. Номер очередной точки присвоим новому числу, с заданной выше структурой. Полученные числа добавляем в созданный массив целых чисел. После выбора и пересчета всех точек и переименования их в числа, зафиксируем графическое изображение, т.е. форму полученного массива. «А не кажется ли Вам, что алгоритм по-детски наивен и очень скучен?!» – воскликнет читатель. «Успокойтесь, дорогой читатель», – зато ничего не потеряем! А как оказалось, там есть что терять!
Итак, нам дан любой отрезок s1s2 (Рисунок 5) на какой-нибудь оси x.
Рисунок 5 отрезок s1s2
Координаты точек s1 и s2 выбраны произвольным образом. Отрезок s1s2 разбили на максимальное количество частей, а именно на (9) крошечных кусочков, конечно только в математике возможна такая ювелирная точность. Теперь координату s1 можно записать как s1(0). А координату точки s2 можно рассматривать двояко – с правой стороны как s2.(0), где в дробной части стоит ноль в периоде, в то же время, с левой стороны, это же число можно представить как s1.(9), где в дробной части имеется девятка в периоде. Математика утверждает, что они равны, а именно
s2 = s1.(9) =s2.(0).
А разность s1(9) – s1(0) = (9), говорит о том, что мы действительно разбили отрезок на (9) равных частей.
В данном исследовании мы откажемся от вышеуказанного утверждения и будем считать, что числа s1.(9) и s2.(0) разные, т.е.
s1.(9) ≠ s2.(0).
Модуль разности между этими числами |s1.(9) – s2.(0)| обозначим через 1с, а именно
|s1.(9) – s2.(0)| = 1с.
Тот факт, что 1c реально существует, как математический объект, определим его Аксиомой 1.
1.2.1 аксиома
Существует бесконечно малое неделимое целое число 1c не равное нулю и равное
1с = |s1.(9) – s2.(0)| = const ≠ 0.
Я взял на себя смелость единицу 1с сделать константой. Я не буду это доказывать, но в данном исследовании она везде будет выступать как неделимая константа и не иначе. Этот факт примем как данный «по наитию».
Полученную разность 1с можно называть по-разному. Например
– бесконечно малое целое число, размерностью (9). 1с представляет собой такую малую неделимую величину, у которой во всех старших разрядах стоит нуль и где-то в недостижимой далекой бесконечности последней стоит одна единственная единица в самом младшем разряде. Схематично, это можно представить как 1с = (0)1. Она неделимая и меньше её целого числа в природе не существует, конечно, кроме пустого числа, содержащего во всех разрядах только нули (0). Размерность, как мы уже договорились, для всех целых чисел равно (9) и для (0) в том числе. Можно сказать, что число 1с является атомом целых чисел. Нижний индекс «c» – указывает на принадлежность этой единицы к множеству целых чисел (constant). Это первое целое число, с которого начинается данное исследование. Оно обозначается через единицу не случайно, как мы увидим далее, именно 1с переводит каждое предыдущее целое число в последующее и наоборот, методом прибавления этой единицы или ее вычитания. Поэтому вместо 1с мы будем использовать обычную единицу (9)-мерную, т.е. 1с = (0)1.
– единичным квантом целых чисел. Так как с его помощью можно любой отрезок непрерывной линии x разбить на отрезки с длиной 1с и далее сколлапсировать полученные единичные отрезки в массив безразмерных точек. Чтобы ничего не потерять мы их сложим в материальный сосуд (Рисунок 6). [Для справки: коллапс – это мгновенное взрывное сжатие объекта внутрь- превращение отрезка в точку.]. Конечно, можно было бы далее работать с единичными отрезками, но автор посчитал, что более красивой будет работа с массивом безразмерных точек в качестве материального носителя единицы измерения. Многие могут придраться к сочетаниям материальная точка, материальный сосуд, которые витают в голове автора. Но раз я их нарисовал, значит я их материализовал, хотя очень схематично и проблематично. Сейчас техника достигла таких вершин, что любое нарисованное или по рукописному наброску «изваяние» можно быстро воплотить в реальное материальное изделие, которое уже можно будет не только увидеть, а даже потрогать и оценить со всех сторон, так что в объективности материальных точек с сосудом можете не сомневаться.
Все эти точки безымянные и обезличенные с практически нулевой размерностью. Все они абсолютно одинаковые и ничем не отличаются друг от друга. А также, никаким образом не связаны между собой. Ничего не мешает их перетасовать, перемешать, или разбросать в разные стороны без всякой закономерности, или просто свалять в любой бесформенный клубок без логической аргументации – короче говоря создать случайный точечный беспорядок {x} из массива полученных точек. Такое бессистемное неупорядоченное множество точек {x} находится в изображенном сосуде (Рисунок 6).
В результате вышеуказанного деления отрезка s1s2 на непрерывной оси x в неупорядоченное множество точек {x} ничего не было потеряно и ничего лишнего не могло появиться. Только бесконечно малой величиной, такой как квантовая единица 1с, удается разбить любой участок непрерывной линии на условно бесконечное множество точек {x} без информативных потерь. Этот метод разбиения является новым использованием метода бесконечно малых величин в математике. Почему загрузили в сосуд условно бесконечное множество точек, а не конечное количество точек, да потому что деление проводилось на (9) частей, где (9) есть недосягаемое число.
Это справедливо также для любых кривых, не замкнутых отрезков и не имеющих внутри точек пересечения сами с собой. К тому же коллапс кривых отрезков в точки ликвидирует разницу между прямыми и кривыми отрезками.
На самом деле, точки невидимы и неотличимы между собой, но ради наглядности рисунка мы значительно увеличили их размеры и условно уменьшили их количество, чтобы они поместились в наш воображаемый сосуд, конечно же в «полном» составе и представлены как россыпь математических неслипающихся точек.
Рисунок 6 Сосуд с множеством точек {x}
Какие наши дальнейшие действия. Мы будем создавать массив целых чисел {N10}, с размерностью каждого числа = (9), используя, как источник, множество точек {x}. Первоначально массив {N10} – пустой. Иначе, {N10} =
Этот номер становится именем следующего нового числа и добавляем его к создающемуся массиву целых чисел {N10}. Короче говоря, вместо точки из сосуда формируем число для массива чисел с размерностью разрядов = (9), а использованную точку выбрасываем в урну, чтобы второй раз она нам на глаза не попадалась. Больше она нам не пригодится. Она выполнила свою присутствующую роль. Дальше мы будем работать только с массивом из целых чисел {N10}, содержащего числа только размерностью (9). Напоминаю, все числа первоначально имеют одинаковую максимальную размерностью = (9) и не изменяют свою размерность в процессе формирования массива целых чисел {N10} в течении работы алгоритма на 1 и 2 этапах .
В принципе можно было бы не считать сколько точек содержит множество {x}, оно и так известно. Так как мы использовали отрезок от s1.(0) до s1.(9), то количество единичных отрезков, конечно же, будет ровно (9) штук. Нам, честно говоря, важно не количество точек в сосуде. Нам важна какая форма массива целых чисел {N10}, которая получится после выполнения данной методики.
Я понял, вы думаете я сумасшедший, собирающийся объять необъятное, т.е. пересчитать все числа арифметики. «Это же невозможно!!! Никто Вам не поверит!!!» – прокричит каждый обыватель, окончивший хотя бы среднюю школу. Ведь никакого времени не хватит, чтобы пересчитать и обработать бесконечное количество точек равное (9).
Да нет! Уже время пришло для этого события, и мы с вами просто обязаны это сделать! Пора начинать наводить порядок в бесхозной бесконечности и как оказалось – это в наших с вами силах. Так давайте начнем, чем чёрт не шутит! Я уже знаю, что у нас всё получится! Главное, не волнуйтесь – всё будет хорошо. Мы с вами осторожненько проскочим через все острые углы массива целых чисел, с помощью разработанного мною алгоритма, не повредив при этом свою и вашу нервную систему. При этом, надо быть очень внимательным, чтобы в спешке не растерять, замеченные уникальные точки.
Переходим к построению формы массива всех целых чисел. Для начала исследования определимся с нулевым элементом множества {x} из сосуда (Рисунок 6). Так как все точки равноценные, каждая из них может быть как нулевой, срединной, так и конечной точкой. Мы можем выбрать любую точку за нуль, плотно закрыв глаза и предоставив выбор делу случая, при этом никаких ограничений на выбор нуля не накладывается. «Ноль – он и в Африке ноль», – как заметил какой-то умный электрик, правда, имел в виду совсем другой ноль – свой электрический.
Поэтому, из-за того, что все точки равноправные и неразличимы между собой, за нулевую точку принимаем первую попавшуюся наугад точку и обозначаем ее как 0 (нуль). Нулевая точка, по умолчанию, является началом всех начал для всех упомянутых систем счисления. Нулевую точку мы трансформируем в нулевое число, являющееся началом массива целых чисел {N10} . Все (9) разрядов у него нулевые и, конечно же, и самый младший разряд. Обозначим полученное нулевое целое число как (0) (Таблица 2– нулевой столбец, где все разряды числа нулевые). Выбрасываем использованную нулевую точку в мусорную корзину и достаем следующую точку из сосуда (Рисунок 6).
Подобным образом получим из очередных точек из сосуда следующие девять чисел для массива {N10}. Параллельно алгоритму мы их можем создать, также, по следующему правилу:
(0)+(0)1 =(0)1; (0)1 +(0)1 =(0)2; (0)2 +(0)1 =(0)3; …; (0)8 +(0)1 =(0)9.
Получаем первое, второе, третье, …, девятое целые числа с размерностью (9) разрядов. И добавляем их в массив {N10}. У них в самом младшем разряде, вместо нуля стоит присвоенная ей по порядку цифра, а остальные разряды нулевые (Таблица 2 – столбцы 1, 2, 3, …, 9).
Из сосуда выбираем следующие 100 точек и преобразуем их таким же образом в цифры
(0)9+(0)1= (0)10; (0)10+(0)1=(0)11; (0)11+(0)1=(0)12; …,
(0)19+(0)1= (0)20; (0)20+(0)1=(0)21; (0)21+(0)1= (0)22; …;
(0)29+(0)1= (0)30; … ; (0)79+(0)1= (0)80; … ; (0)98+(0)1= (0)99.
Получаем десятое, одиннадцатое, двенадцатое и так до девяносто девятое целые числа с размерностью (9) разрядов. И присоединяем их к общему массиву целых чисел {N10}. У этих цифр уже в двух младших разрядах ноли сменились на присвоенные алгоритмом числа. (Таблица 2 – столбцы от 10 до 99).
Таким же образом из сосуда вынимаем уже 1000 точек и преобразуем в цифры
(0)99+(0)1=(0)100; … ; (0)998+(0)1=(0)999.
И присоединяем их к общему массиву чисел. У этих цифр уже в трех младших разрядах стоят вычисленные алгоритмом цифры. (Таблица 2 – столбцы от 100 до 999).
Таким же образом из сосуда вынимаем уже 10000 и преобразуем в цифры
(0)999+(0)1=(0)1000; … ; (0)4999+(0)1=(0)5000; … (0)9998+(0)1=(0)9999.
У этих цифр уже в четырех младших разрядах стоят требующиеся цифры.( Таблица 2 – два последних столбца)
Из данного построения видно, что количество нулевых старших разрядов уменьшается по мере возрастания цифрового номинала числа, правда скачкообразно.
Таблица 2 Начало заполнения массива целых чисел {N10}
Чтобы сделать более визуальным процесс формирования массива целых чисел {N10}, нам пришлось опустить громадное количество операций, заменив их многоточиями, и отразить только те операции, которые отражают важные переходные или спорные моменты. Человеческих жизней не хватит, чтобы пунктуально включить все выполняющие операции, кроме того, все они только затемнят процесс формирования массива целых чисел {N10}, а также размажут истинную картину до неузнаваемости.
Применяя описанную процедуру бесчисленное количество раз, мы должны найти такое число, у которого во всех младших разрядах стояли бы девятки, кроме одного старшего разряда, который должен быть равен нулю, в таблице, указанное число находится внутри овала (Таблица 3). Оно стоит в данной таблице самым последним. Это число записывается так 0(9). При выполнении всех вышеуказанных операционных действий, выполняемых практически автоматически, мы внимательно следили за тем, чтобы случайно не проскочить этот ответственный переходный момент. Как будет показано ниже, после этого числа, а именно со следующего числа 0(9)+(0)1 начинается настоящее путешествие в мир бесконечных целых чисел, с которыми еще не знакомо человечество. И мы с вами, немножко позже, должны успешно в него зайти и попробовать с ним поработать.
И на этом пока остановим на немного процесс формирования массива целых чисел {N10}. Этот проведенный и остановленный период алгоритма назовем 1 этапом. Мы остановили алгоритмический процесс, для того чтобы оценить и изучить важные промежуточные результаты, которые получились в процессе этого этапа. Одним из важных результатов является содержание (Таблица 3), являющейся продолжением (Таблица 2) при функционировании алгоритма до временной остановки. Диагональная линия в таблице на самом деле является ломаной ступенчатой возрастающей линией с кратностью ступенек кратно десяти ( определяется системой исчисления). Ступеньки сгладились из-за принятого огромного внутреннего уменьшительного масштабирования таблицы.
Таблица 3 Массив целых чисел 1 этапа
Итак, в течение 1 этапа активности алгоритма, всего из сосуда (Рисунок 6) были изъяты и «выброшены» в мусорную урну, правда с заменой их на целые числа в массиве {N10}, следующее количество точек:
от числа (0) до числа 0(9) ⇒ 0(9) + (0)1 – (0) = 1(0).
Но сосуд после первого этапа активного использования алгоритма не очень «обеднел», так как в нем ещё осталось громадное количество непереработанных точек, то есть
9(9) – 1(0) = 8(9).
Как оказалось, в сосуде осталось на много больше точек, чем требовалось для первого этапа.
1(0) ≪ 8(9).
Число 8(9) – невообразимо большое число. Если материализовать все оставшиеся точки, находящиеся в сосуде (Рисунок 6), то они плотно заполнят всю солнечную систему до самых дальних окраин. Но самое удивительное в том, что в сосуде останется точек ещё на миллиард подобных солнечных систем. И это еще не предел для такого числа, как 8(9) – оно же бесконечное!
Сосуд (Рисунок 6) является, как бы, сказочным прообразом «волшебного горшочка», он хоть у нас на рисунке очень маленький, как в известной сказке, но вместительные возможности у него сказочно безмерные. Мы циклически из сосуда вынимали и далее будем вынимать необходимое количество точек. И обрабатывать их с помощью своего доморощенного алгоритма до тех пор, пока не достигнем последней точки. Несмотря на то, что количество точек у нас громадно, оно конечно и определяется только величиной крохотного числа (0)1, зависящего исключительно от системы счисления (по умолчанию – десятичная). Мы в начале алгоритма 1 этапа нашли начальную точку, как первую случайно попавшуюся алгоритму, а в конце 2 этапа найдем и оставшуюся конечную точку. Да будет нелегко, но это в наших с Вами силах. Напоминаю, хотя у нас все числа бесконечные – они все имеют начало и конец, так как их длина ограничена недостижимым числом (9). А вот серединой числа, мы часто пренебрегаем, как несущественной частью. Конечно, достичь конца бесконечного числа невозможно, поэтому мы пользуемся концом очень условно – он же у нас есть.
Так что алгоритму еще придётся во 2 этапе работать и работать!
Но пока подведём итоги первого этапа.
Во-первых, выше представленную таблицу (Таблица 3) сокращенно можно записать в виде массива целых чисел следующим образом:
{N101} = {(0), (0)1, (0)2, (0)3, … ,(0)9, … ,(0)99, … ,(0)999, … ,0(9), …}
Сразу же возникает вопрос: как описать бесконечный набор чисел зависящего от самих чисел, полученных алгоритмом в течение 1 этапа. Как из разрозненных цифр создать понятный многогранный образ, воспроизводящий природную сущность массива целых чисел. Он должен быть кратким, отражать характерные моменты работы и динамику алгоритма, иметь начальный (0) и конечный элемент 0(9). Ну и, конечно же, был понятным по написанию? Автор считает, что именно примененный набор чисел наглядно демонстрирует работу алгоритма. Все остальные бесконечные числа, не вошедшие в форму (15), заменены многоточиями, поэтому массив {N101} содержит все найденные бесконечные элементы на этом этапе.
Итак, {N101} является множеством всех целых чисел, полученных алгоритмом в течение 1 этапа. Как было подсчитано ранее их число равно 1(0). Нижний индекс 10 означает, что алгоритм использует десятичную систему счисления, а верхний индекс 1 означает, что данные относятся к первому этапу алгоритма.
Массив целых чисел {N101} представлен не полностью, поэтому в конце у него стоит многоточие (15), требующее продолжение процесса. Массив {N101} будет дополнен окончательно после выполнения следующего второго этапа данного алгоритма.
С арифметической точки зрения сущностью и величиной каждого бесконечного целого числа, является его порядковый номер в таблице (Таблица 3) и больше ничего. Но в течение тысячелетий небезызвестная «наука» нумерология исправно поработала с самими числами и добавила многим из них еще магические свойства, связав их невероятным образом с действительными процессами. Что самое удивительное, его Величество «народ» принял это к сведению и многие его индивидуалы пользуются ими постоянно. Чистая наука пренебрегает магическими свойствами всех чисел, поэтому мы проскочим галопом мимо мистических свойств таких чисел как 7, 13, 666 и многих других подобных, считая их обычными числами без всяких заморочек. Правда, здесь мы входим в маленькое противоречие с великим Пифагором, но чистота науки всё-таки прежде всего. Всё «мистическое» и «волшебное» должно быть выброшено на свалку истории, чтобы перебежавшие через дорогу черные кошки не смогли помешать процветанию ни нашей, ни мировой истории, а, также, исказить наше мнение о числах. Эти мизерные и кратковременные моменты нашего бытия не способны изменить курс истории назад в наскучившее прошлое.
Во-вторых. Полученный алгоритмом в первом этапе массив чисел {N101} представляет собой упорядоченный массив целых чисел от 0(0) до 0(9).Что характерно, что все находящиеся в нем цифры от «мала до велика» не являются бесконечными числами, хотя они могут быть очень большими. Все возникающие вопросы по этому поводу будут критически рассмотрены в конце исследования.
Например, среди них должно быть число зерен на шахматной доске.
264-1 = 18 446 744 073 709 551 615
– предложенное к оплате наивному шаху, не владеющему азами арифметики. Там не может не быть числа снежинок, которые выпали на Землю за всё время существования человечества и восхищающих всех живых созданий и побуждающие к ритмическим жестам. Да оно большое, но не бесконечное.
В истории были зафиксированы случаи, когда мыслитель только упоминал громадные числа, например в I веке н. э. в буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было введено число ≈
Можно загадать любое другое, пришедшее на ум, безумное заоблачное число, например, как 2026777 миллиардов квинтиллионов и оно все равно будет в этом массиве целых чисел, так как оно конечное. Причем выдвигается только единственное условие – оно может быть любым настоящим корректно правильным арифметическим целым числом, а не безграмотной ересью.
Современная арифметика никогда никаких ограничений на номиналы чисел школьного формата не накладывала, так как для нее практически в этом формате нет бесконечности. Что выдумал или всё что пришло на ум – то и существует в действительности и находится в найденной таблице. Никакое число нельзя убить или удалить из в этой таблицы. Оно является вечной неистребимой собственностью массива целых чисел. но каждое число из таблицы можно беспрепятственно применять в любых операциях в неограниченных масштабах! Человечество никогда не задумывалось об обоснованности используемых чисел. Они существуют вне сознания человека и в любом количестве.
