Полная версия:
Системы и методы биржевой торговли
Индекс также играет важную роль как ориентир результативности. Большинство инвесторов полагает, что торговая программа привлекательна только в том случае, если ее соотношение доходности и риска лучше, чем у портфеля, состоящего на 60 % из акций (представленных индексом S&P 500) и 40 % из облигаций (Lehman Brothers Treasury Index). Если ваши результаты лучше, чем у индекса, значит, вы создали альфу и превзошли рынок. Термин кризисная альфа применяется по отношению к тем годам, когда значительные прибыли на фьючерсных рынках компенсируют значительные потери на фондовом рынке, как это произошло в 2008 г.
Построение индексаИндекс представляет собой стандартизированный способ выражения движения цены в виде накопления процентных изменений. По сути, это отражает наращивание (компаундирование) доходности по сложному проценту. Большинство индексов имеет стартовое значение 10. В качестве базисного года может быть выбран любой год, но чаще всего выбирается наиболее «подходящий». В США базисным годом для производительности труда и безработицы является 1982 г., для уверенности потребителей – 1985 г., а для совокупности опережающих индикаторов – 1987 г. Ежегодник CRB Yearbook рассчитывает индекс промышленных цен (PPI) начиная с 1913 г. Например, PPI, публикуемый ежемесячно, имел в октябре 2010 г. значение 186,8, а в сентябре 2010 г. 185,1, продемонстрировав прирост на 0,9184 % за месяц. Величина индекса менее 100 означает, что индекс стал меньше, чем тогда, когда началось его исчисление.
Каждое значение индекса рассчитывается на основе предыдущего значения следующим образом:
Последние расчеты, показанные в табл. 2.3, отражают чистую стоимость активов (NAV), рассчитанную двумя способами. По существу, это доходность, преобразованная в индекс, показывающий доходность в сложных процентах, основанную на дневных прибылях и убытках относительно начальной инвестиции. В столбце F таблицы показана чистая стоимость активов при использовании стандартной доходности, а в столбце G – при использовании логарифмической доходности.
Процесс расчета чистой стоимости активов выглядит следующим образом:
1. Определите размер первоначальной инвестиции, в данном случае $100 000 (верхняя ячейка столбца C). Позднее его можно скорректировать в зависимости от целевой волатильности.
2. Рассчитайте совокупную величину счета, прибавляя дневные прибыли или убытки (столбец B) к предыдущей величине счета (столбец C).
3. Рассчитайте дневную доходность или (a) путем деления сегодняшнего изменения (прибыль или убыток) на вчерашнюю величину счета, чтобы получить r, или (b) путем определения натурального логарифма 1 + r.
4. Если вы используете метод (a), то каждая последующая NAVt = NAVt – 1 × (1 + r), а если используете метод (b), то каждая NAVt = NAVt – 1 + ln(1 + r).
Итоговые значения чистой стоимости активов находятся в последних строках. Американское правительство требует, чтобы чистая стоимость активов рассчитывалась именно так, хотя и не указывает, должна ли доходность основываться на натуральном логарифме. Этот процесс также идентичен индексированию, когда любой ценовой ряд превращается в один индекс, отражающий доходность в процентах.
Компаундирование доходности подразумевает, что весь капитал инвестирован на протяжении всего времени. Результаты тестирования всегда представляют именно сложную доходность. Следовательно, когда вы торгуете, ваша задача – стараться быть полностью инвестированным; в противном случае ваш результат будет ниже ожидаемой сложной доходности.
Длинные и короткие индексные фонды с внешним финансированиемПо мере роста популярности индексных рынков финансовый инжиниринг создает все более широкий ассортимент инновационных торговых инструментов. Взаимные фонды, такие как Rydex и ProFunds, обслуживают интересы маркеттаймеров – групп управляющих капиталом, которые продают и покупают акции фондов раз в несколько дней. Эти фонды близко следуют за крупнейшими индексными рынками, но имеют свои уникальные особенности. Существуют как длинные, так и короткие фонды, и каждый из них может торговаться с использованием левериджа (внешнего финансирования). Если вы покупаете длинный фонд, следующий за S&P 500 (в Rydex его называют Nova), то просто получаете эквивалент длинной позиции в S&P 500. Однако когда вы покупаете короткий фонд S&P, называемый Ursa, вы зарабатываете на падении индекса S&P. Кроме того, и Rydex, и ProFunds предлагают для этих фондов леверидж 1,5 или 2,0, в результате чего рост S&P 500 на 1,0 % означает прибыль в 2,0 % в ProFunds UltraBull S&P fund; падение S&P на 1,0 % дает прибыль в 2,0 % в фонде ProFunds UltraBear fund. Причина появления коротких фондов, или обратных фондов, как они еще называются, заключается в стремлении обойти установленное правительством США правило, не разрешающее пенсионным фондам короткую продажу.
Расчет для длинных фондов с внешним финансированием очень похож на расчет простого индекса, а вот расчет для коротких фондов (где вы выигрываете от понижения цен) производится в обратном порядке, хотя технически так же, как для длинных фондов. Приведенные ниже расчеты позволяют создать длинный и короткий индексы, очень похожие на те, что используются Rydex и ProFunds. Кроме того, здесь в расчет включаются дневные максимумы и минимумы индекса. Если вы хотите создать индекс S&P с левериджем, начните с наличной цены S&P. Используйте эквивалент наличного индекса для каждого из индексов взаимных фондов, которые вы собираетесь воспроизводить.
В следующих расчетах леверидж представляет собой коэффициент левериджа фонда, например 1,5. Начальными значениями индекса и для длинных, и для коротких фондов являются
Каждое последующее значение индекса для длинных фондов рассчитывается так:
Чтобы получить каждое последующее значение для коротких фондов, средний член инвертируется:
где XC, XH и XL – цены закрытия, максимума и минимума индекса с внешним финансированием; C, H и L – закрытие, максимум и минимум базовых цен или индексных значений.
Если левериджа нет, подставьте в уравнениях 1 вместо «леверидж». Обратите внимание, что в этот расчет не включены издержки; следовательно, из окончательных значений для коротких фондов необходимо вычесть стоимость краткосрочных заимствований.
Межрыночные и взвешенные индексыИндексы очень удобно использовать в тех случаях, когда вам нужно сравнить два совершено разных рынка, которые невозможно сравнить другим образом, потому что на них торгуются разные товары. Например, если вы хотите увидеть спред между золотом и IBM, вам нужно проиндексировать каждый из этих рынков, начав с одной и той же даты. Созданные индексы будут иметь одну размерность (проценты), и их можно легко сопоставить.
Чаще всего индекс приводит несколько взаимосвязанных рынков к одному показателю. Простой совокупный индекс представляет собой отношение невзвешенных сумм рыночных цен в определенном году к аналогичным показателям тех же рынков в базисном году. К этому классу относится большинство популярных индексов, например New York Stock Exchange Composite Index. Взвешенный совокупный индекс смещает данные определенных рынков, увеличивая или уменьшая их влияние на совокупное значение. После этого индекс рассчитывается так же, как и в случае простого совокупного индекса. Когда рынки комбинируются с целью получения единого индекса, сумма всех составляющих должна равняться 1, а все веса (составляющие) выражаться в процентах.
Методы расчета основных рыночных индексовНе все рыночные индексы рассчитываются одинаково, даже в США. Ниже приводится краткий список того, как вычисляются самые популярные рыночные индексы.
● Взвешенный по капитализации
Количество акций в обращении × цена. Также называется индексом, взвешенным по рыночной стоимости. Эта группа включает S&P 500, NASDAQ 100, Hang Seng, индекс MSCI EAFE, немецкий DAX и японский TOPIX.
● Взвешенный по цене
Среднее цены всех компонентов. Так рассчитывается промышленный индекс Dow Jones Industrials и Nikkei 225.
● Взвешенный по мировому производству
Товарный индекс Goldman Sachs (GSCI) взвешивается по объему мирового производства составляющих его товаров за последние пять лет, что означает, что чем больше доля товара в мировом производстве, тем больше его влияние на индекс.
● Торгово-взвешенный индекс
Индекс доллара США (DX на Нью-Йоркской бирже и USDX на Межконтинентальной бирже / ICE) представляет собой торгово-взвешенное среднегеометрическое значение корзины шести валют, включающей евро (57,6 %), японскую иену (13,6 %), британский фунт (11,9 %), канадский доллар (9,1 %), шведскую крону (4,2 %) и швейцарский франк (3,6 %).
Индекс доллара повышается, когда доллар США растет относительно других валют. В дневном расчете индекса доллара каждое изменение цены представлено в виде процента. Если, например, евро поднимается на 50 пунктов, с 1,2500 до 1,2550, это изменение пересчитывается как 1,2550/1,2500 = 0,004, а затем результат умножается на весовой коэффициент 0,576, что добавляет к индексу –0,002304 (рост евро означает падение доллара).
● Товарные индексы
В отличие от GSCI, другие товарные индексы имеют очень конкретные веса. По состоянию на 2018 г.:
Товарный индекс Блумберг (BCI) включает: энергоносители 30,57 %, зерно 23,46 %, промышленные металлы 17,39 %, драгоценные металлы 15,29 %, мягкие товары 7,22 % и скот 6,07 %.
Товарный индекс Блумберг (DJ-UBS) включает: энергоносители 36,69 %, сельскохозяйственные товары 28,21 %, промышленные металлы 16,74 %, драгоценные металлы 12,62 %, скот 5,74 %.
Индекс Бюро исследований товарных рынков (Commodity Research Bureau Index – CRB) включает: энергоносители 39 %, сельскохозяйственные товары 41 %, драгоценные металлы 7 % и промышленные металлы 13 %.
Непрерывный равновзвешенный товарный индекс Thomson Reuters (Thomson Reuters Equal Weight Continuous Commodity Index) включает: энергоносители 18 %, сельскохозяйственные товары 47 %, животноводческие товары 12 %, металлы 23 %. Представляет собой простое среднее дневных цен 17 компонентов.
● Индекс, взвешенный по цене и объему
Цена × объем показывает влияние акции. Такой индекс отражает силу движения, а не потенциал, как взвешенный по капитализации индекс. Хотя этот метод расчета предложил Пол Дайзарт еще в 1930-х гг., популярных индексных рынков, рассчитываемых таким образом, так и не появилось.
Вероятность: краткий обзор
Расчет должен измерять неизмеримое.
Диксон УоттсНевозможно заранее знать, по какой цене данная акция будет торговаться завтра или какой эффект вызовет публикация следующего экономического отчета. Мы можем только оценить, но не точно предсказать, возможное событие на основе прошлых данных. Область исследований, имеющая дело с неопределенностью, называется теорией вероятностей. В повседневной жизни мы все оперируем вероятностями. Когда вы говорите кому-то, что «будете через 30 минут», то предполагаете, что:
● ваш автомобиль заведется;
● после этого ничего не сломается;
● у вас не будет ненужных задержек;
● вы сможете ехать на предсказуемой скорости;
● в пути зеленый свет будет загораться с нормальной частотой.
Все эти обстоятельства носят вероятностный характер, тем не менее все люди делают одинаковые предположения. По существу, обещание прибыть через 30 минут – не более чем оценка среднего времени, которое требуется для поездки. Если бы точность прибытия была более важна, то вы увеличили бы эту оценку до 40 или 45 минут, чтобы учесть неожиданные события. В статистике это называется увеличением доверительного интервала. Вы не станете растягивать срок до двух часов, потому что вероятность такой задержки слишком мала. Оценка подразумевает учет только допустимых отклонений, которые считаются нормальными.
Вероятность позволяет измерять неопределенность, окружающую среднее значение. Вероятность измеряется в процентах. Например, если предполагается, что М чисел из совокупности N будет находиться в определенном диапазоне, то вероятность P того, что какое-то число удовлетворит этим критериям, равна
Проводя сделку или предсказывая цены, мы можем говорить только о вероятностях или диапазонах. Мы можем ожидать, что цены повысятся на 30–40 пунктов или что имеется 65 %-ная вероятность заработать на сделке $400. Ничто не является бесспорным, но высокая вероятность успеха очень привлекательна.
Законы вероятностиДва основных принципа вероятности легко объяснить с помощью карточных примеров. В колоде всего 52 карты, или 4 масти по 13 карт каждая. Вероятность вытащить определенную карту в любой момент равна 1/52. Точно так же шансы на вытаскивание конкретной масти или карты определенного старшинства составляют 1/4 и 1/13 соответственно. Вероятность любой из трех этих возможностей равна сумме их индивидуальных вероятностей. Это называется законом сложения вероятностей. Вероятность успеха в выборе карты по старшинству, масти или какой-то определенной карты (т. е. десятки, пиковой карты или дамы червей) равнP
Другой основной принцип – закон умножения – гласит, что вероятность одновременного или поочередного наступления двух событий равна произведению их вероятностей. Вероятность вытаскивания из одной и той же колоды тройки любой масти и любой крестовой карты в два последовательных приема (каждый раз возвращая вынутую карту в колоду) или одновременного вытаскивания одинаковых карт из двух колод равна
С движением цен не все так ясно, как с колодой карт. Между последовательными событиями нередко существует взаимосвязь. Например, в течение двух любых взятых подряд дней цены могут иметь только одну из следующих последовательностей, или суммарных событий: (вверх, вверх), (вниз, вниз), (вверх, вниз), (вниз, вверх), при этом суммарные вероятности этих последовательностей равны 0,40, 0,10, 0,35 и 0,15 соответственно. В данном примере наиболее вероятно, что цены будут расти. Безусловная вероятность повышения цен в первый день показана в табл. 2.4, где видно, что существует 75 %-ная вероятность повышения цен в первый день и 55 %-ная вероятность повышения цен во второй день.
Таблица 2.4. Безусловная вероятность
Какова вероятность результата, «обусловленного» результатом предшествующего события? В примере с суммарной вероятностью это может быть вероятность повышения цены во второй день после снижения в первый. Формула для этой ситуации (вероятность А, обусловленная B) выглядит следующим образом:
откуда
Вероятность повышения цен в день 1 или в день 2 равна:
P(любой день) = P(вверх в день 1) + Р(вверх в день 2) – Р(вверх в день 1 и вверх в день 2) = 0,75 + 0,55 – 0,40 = 0,90.
Цепи МарковаЕсли мы считаем, что сегодняшнее движение цен до некоторой степени основано на том, что случилось вчера, то получаем ситуацию, получившую название условная вероятность. Ее можно выразить как марковский процесс, или цепь Маркова. Результаты цепи Маркова выражают вероятность возникновения какого-то состояния или условия. Например, возможность наступления завтра ясного, облачного или дождливого дня можно связать с сегодняшней погодой.
Матрица переходов дает комбинации зависимых возможностей. В нашем примере с предсказанием погоды существует 70 %-ная вероятность того, что за ясным днем последует еще один ясный день, 25 %-ная вероятность облачного дня и только 5 %-ная вероятность дождя. В табл. 2.5 каждая возможная сегодня погода указана слева, а вероятность ее изменения завтра – в столбцах справа. Сумма каждой строки равна 100 %, т. е. отражает все комбинации погоды. Взаимосвязь между этими событиями можно показать в виде непрерывной сети (см. рис. 2.11).
Таблица 2.5. Матрица переходов
Рис. 2.11. Сеть вероятностей
Марковский процесс может привести сложную взаимосвязь к более простой форме. Для начала рассмотрим процесс с двумя состояниями. Если взять в качестве примера рынки, то какова вероятность роста или снижения цены после дня, закрывшегося ростом, или дня, закрывшегося снижением? Если после дня роста существует 70 %-ная вероятность продолжения роста, а после дня снижения есть 55 %-ная вероятность роста, то какова вероятность того, что любой день будет закрываться ростом?
Начнем с дня роста или снижения и рассчитаем вероятность движения вверх или вниз на следующий день. Это сделать легко, надо просто подсчитать количество случаев, приведенных в табл. 2.6, а, и затем разделить результат для получения процентов, как показано в табл. 2.6, б.
Таблица 2.6, а. Подсчет количества дней роста и снижения
Таблица 2.6, б. Начало матрицы переходов
Поскольку первый день может определяться или как день роста, или как день снижения, он является исключением из общего правила, и ему присваивается вес 50 %. Вероятность того, каким будет второй день – днем роста или снижения, – представляет собой сумму совместных вероятностей:
P(вверх)2 = (0,50 × 0,70) + (0,50 × 0,55)= 0,625.
Вероятность того, что второй день закроется ростом, составляет 62,5 %. Продолжая в том же духе, используем вероятность дня роста (0,625) и дня снижения (0,375), чтобы рассчитать вероятность движения в третий день
P(вверх)3 = (0,625 × 0,70) + (0,375 × 0,55) = 0,64375
и четвертый день
P(вверх)4 = (0,64375 × 0,70) + (0,35625 × 0,55) = 0,64656,
который, как теперь уже можно видеть, демонстрирует схождение. Чтобы обобщить вероятность появления дня роста, посмотрим, что произойдет в день i:
P(вверх)i = [P(вверх)i – 1 × 0,70] + [(1 – P(вверх)i – 1 × 0,55].
Из-за схождения вероятностей мы получаем
P(вверх)i+1 = P(вверх)i,
что можно использовать для решения уравнения
P(вверх)i = [P(вверх)i × 0,70] + [0,55 – P(вверх)i × 0,55],
что дает вероятность того, что любой день в условиях восходящего тренда закончится с ростом, равным
P(вверх)i = 0,64705.
Мы можем найти вероятность появления дня роста или снижения в условиях 5-дневного тренда, просто подставив соответствующее направление 5-дневного тренда (или n-дневного тренда) вместо направления предыдущего дня, показанного в только что приведенном примере.
Предсказание погоды – более сложный случай множественного схождения ситуаций, оно очень хорошо демонстрирует, как новые цены реагируют на старые. Подходя к задаче так же, как в случае с двумя состояниями, присвоим вероятность, равную 1/3, каждой возможной ситуации первого дня. Тогда вероятности второго дня будут равны
P(ясно)2 = (0,333 × 0,70) + (0,333 × 0,20) + (0,333 × 0,20) = 0,3663;
P(облачно)2 = (0,333 × 0,25) + (0,333 × 0,60) + (0,333 × 0,40) = 0,41625;
P(дождь)2 = (0,333 × 0,05) + (0,333 × 0,20) + (0,333 × 0,40) = 0,21645.
Затем, используя результаты второго дня, получаем вероятности третьего
P(ясно)3 = (0,3663 × 0,70) + (0,41625 × 0,20) + (0,21645 × 0,20) = 0,38295;
P(облачно)3 = (0,3663 × 0,25) + (0,41625 × 0,60) + (0,21645 × 0,40) = 0,42791;
P(дождь)3 = (0,3663 × 0,05) + (0,41625 × 0,20) + (0,21645 × 0,40) = 0,18815.
Общая форма решения этих трех уравнений выглядит так
P(ясно)i+1 = [P(ясно)i × 0,70] + [P(облачно)i × 0,20] + [P(дождь)i × 0,20];
P(облачно)i+1 = [P(ясно)i × 0,25] + [P(облачно)i × 0,60] + [P(дождь)i × 0,40];
P(дождь)i+1 = [P(ясно)i × 0,05] + [P(облачно)i × 0,20] + [P(дождь)i × 0,40],
где каждый элемент i + 1 можно установить равным соответствующему значению i. Таким образом, мы имеем три уравнения с тремя неизвестными, которые могут быть решены прямо или методом матричного умножения, как показано в приложении 2 на сопутствующем веб-сайте
P(ясно)i + P(облачно)i + P(дождь)i = 1,00.
Получаем следующие результаты
P(ясно) = 0,400;
P(облачно) = 0,425;
P(дождь) = 0,175.
Теорема БайесаХотя и существуют исторические обобщения исходов событий, конкретная ситуация на текущем рынке может изменять вероятности. Теорема Байеса объединяет расчеты априорной вероятности с вероятностью нового события (основанной на надежности новой информации), позволяя получить апостериорную, или исправленную, вероятность:
Предположим, что оба изменения цены, P(вверх) и P(вниз), являются априорными вероятностями, и при этом ожидается, что вероятность нового события, например отчет об уровне безработицы, внешнеторговом балансе, урожае зерновых, складских запасах или объявление ФРС процентных ставок, окажет на завтрашнее движение преобладающее влияние. Отсюда появляется формула новой вероятности P(вверх | новое событие):
где вверх и вниз являются первоначальными историческими вероятностями.
Теорема Байеса позволяет найти условную вероятность, даже если совместная и безусловная вероятности неизвестны. Новая вероятность P(вверх | новое событие) рассчитывается следующим образом:
где
P(новое событие | вверх) – вероятность того, что новое событие окажется правильным предиктором восходящего движения;
P(новое событие | вниз) – вероятность того, что цены пойдут вниз, когда новое событие покажет вверх.
Например, если имеется 80 %-ная вероятность того, что снижение процентных ставок на четверть процента вызовет рост цен акций, то
P(новое событие | вверх) = 0,80, а P(новое событие | вниз) = 0,20.
Спрос и предложение
Торговые системы не всегда строятся на скользящих средних и импульсных индикаторах. Арбитраж является крупным центром прибыли для финансовых институтов. Бо́льшая часть арбитража основана на поиске разницы в ценах на схожих рынках акций или фьючерсов, соответственно есть аналитики, которые сосредоточены на определении «справедливой стоимости» товара. Это позволяет им покупать, когда текущая цена ниже справедливой стоимости, и продавать, когда она выше. Чтобы понять и построить техническую или эконометрическую модель для оценки справедливой стоимости, требуется знание основ спроса и предложения. В этом разделе мы коротко рассмотрим эти фундаментальные факторы.
