Население Земли как растущая иерархическая сеть

Однако соответствие теории демографическим данным не бог весть какое достоинство, ведь закон роста чрезвычайно прост и «слепить» вменяемую модель на основе (1) не представляет особого труда. Но действительно ли закон квадратичного роста (1) является необходимым и достаточным условием роста численности по гиперболе?

Очень важным, на наш взгляд, является понимание того обстоятельства, что гиперболический рост населения мира мог происходить и при другой, отличной от задаваемой законом (1) зависимости скорости роста от времени.

Иначе говоря, в пространстве множества функций, выражающих зависимость скорости роста численности от времени, существует класс функций «сколь угодно» далеких от квадратичной гиперболы скорости роста, задаваемой (1), но определяющих кривую роста численности, совпадающую с гиперболой Фёрстера с такой же точностью, с какой гипербола Фёрстера соответствует демографическим данным.

Здесь мы имеем дело с еще одним мифом теоретической демографии, поскольку ни один из исследователей гиперболического роста такой возможности не учитывает и считает квадратичную гиперболическую зависимость скорости роста от времени для растущей популяции Homo sapiens – само собой разумеющейся[189].

Но о чем нам говорит исследование Фёрстера и его коллег, которое проводилось методом наименьших квадратов? О том, что в классе степенных функций простая гипербола лучше всего подходит для описания зависимости N(t).

Критерием соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов служит точность определения трех констант степенной функции: ее показателя, постоянной Фёрстера и точки сингулярности.

Высокая точность, полученная Фёрстером для показателя степенной функции и точки сингулярности, говорит о том, что в среднем за некоторое характерное время τ скорость роста численности возрастала по закону квадратичной гиперболы. Причем рост рассматривается Фёрстером на интервале времени в 20 столетий, т. е. гораздо большем, чем это характерное время: ΔТ >> τ.

Критерий же соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов учитывает поведение эмпирической функции лишь в том смысле, что подбираются три константы, наилучшим образом определяющие аппроксимирующую степенную зависимость.

Если же рассматривать другие классы функций, учитывая, что зависимость численности от времени может быть получена интегрированием скорости по времени, а операция интегрирования есть, по сути, операция сглаживающая, нивелирующая, уничтожающая все особенности – то результат может оказаться совершенно иным.

Иначе говоря, действительная зависимость скорости роста от времени могла значительно отличаться от квадратичной гиперболы.

* * *

Здесь мы попытаемся показать, что зависимость эта может выражаться функцией даже немонотонной, причем ее возрастание будет сменяться убыванием десятки раз в течение всего исторического периода, но кривая роста N(t) при этом будет «сколь угодно» мало отличаться от гиперболы Фёрстера.

Возьмем для определенности промежуток исторического времени продолжительностью в две тысячи лет: от начала новой эры и до второй половины ХХ века. Разобьем его на интервалы равной длительности и введем на них сеточную функцию.

Считаем, что сетка равномерная: шаг сетки постоянный, т. е. расстояния между любыми двумя ее соседними узлами – равны. Кроме того, определим сеточную функцию таким образом, чтобы в узлах сетки ее значения совпадали с соответствующими значениями эмпирической гиперболы Фёрстера.

Если выбрать шаг разбиения достаточно малым, то результат интерполяции такой сеточной функцией может «сколь угодно» мало отличаться от гиперболы Фёрстера.

Выберем для простоты линейную интерполяцию, а величину шага положим равной 20 годам. Для той кусочно-линейной функции, которая будет получена нами в качестве альтернативы гиперболе Фёрстера, важным будет интервал длительностью в два шага, т. е. в 40 лет.

Внутри этого интервала, с длительностью равной характерному времени исторических изменений, процесс смоделированного роста будет качественно меняться. (Рост скорости роста будет сменяться ее убыванием.) Что возможно и в реальности, т. е. не противоречит историческим и демографическим данным.

В результате такой интерполяции получим кусочно-линейную функцию, аппроксимирующую гиперболу демографического роста. Причем отличие ее от гиперболы, т. е. отклонение линейного сплайна от гиперболы, будет гораздо меньшим, чем разброс демографических данных. Поэтому такая «кривая» может служить полноценной заменой гиперболе Фёрстера.

Иначе говоря, демографические данные соответствуют этому закону роста, полученному с помощью кусочно-линейной интерполяции, в той же степени, что и гипербола Фёрстера[190].

Конечно, все сказанное не является доказательством и позволяет лишь создать наглядный образ процесса построения необходимой зависимости. Однако доказать существование такой кривой роста или «сколь угодно» мало от нее отличающейся – не представляет особого труда.

* * *

И, наконец, сконструируем еще одну кривую следующим образом: возьмем иголку и прошьем нашу кусочно-линейную функцию по узлам – стежок за стежком. В результате получим то, что изображено на рис. 7. Всего будет 80 стежков.

Т. к. кривизна такой «стежковой» кривой N(t) при трех последовательных проколах меняет (возможно, неоднократно) свой знак, то скорость роста численности dN/dt оказывается немонотонной функцией. Действительно, в точках перегиба вторая производная N(t) меняет свой знак, а первая производная, соответственно, достигает максимума или минимума, т. е. рост (спад) скорости роста сменяется ее спадом (ростом).

«Потянем» теперь  за нитку, которой прошили гиперболу. Дуги стежков можно «сколь угодно близко» подтянуть к отрезкам линейного сплайна, натягивая нитку. Следовательно, такая «стежковая» кривая может быть непрерывной со всеми своими производными и при этом «сколь угодно мало» отличаться от кусочно-линейной функции, т. е., имея немонотонно растущую производную dN/dt, соответствовать демографическим данным в той же степени, что и гипербола Фёрстера.

Рис. 1. Немонотонная зависимость скорости роста от времени при монотонном «гиперболическом» росте численности.

Итак, мы получили закон роста численности населения мира, отвечающий демографическим данным в той же мере, что и эмпирическая гипербола демографического роста, но при этом скорость роста этой численности за время от начала летоисчисления до второй половины ХХ века циклически, десятки раз меняет характер своей монотонности. И закон (1) пропорциональности скорости роста квадрату численности в этом случае, очевидно, уже не выполняется.

Отсюда с необходимостью следует, что все модели первого типа, основанные на (1) как на причинном законе, объяснить такой смоделированный рост не в состоянии.

Здесь может быть такое возражение: внутри интервала длительностью 40 лет скорость роста меняет характер своей монотонности, но при этом рост скорости роста превышает ее спад. А на интервалах, длительность которых значительно больше 40 лет, средняя скорость роста растет по закону квадратичной гиперболы. Следовательно, можно считать, что закон (1) в среднем все-таки выполняется.

Конечно, и для такого смоделированного нами роста среднюю скорость этого роста можно определять с помощью (1), и эта средняя скорость растет по закону (1)[191]. Но можно ли в таком случае вводить мгновенную скорость роста численности и составлять какие-то дифференциальные уравнения, ведь при конечно-разностном приближении производной нужно брать интервалы с длительностью, гораздо большей сорока лет.

Т. е. длительность эта должна составлять как минимум сотни лет, тогда как гипербола Фёрстера получена для исторического периода продолжительностью всего в 20 столетий.

Можно, конечно, учесть циклическую динамику скорости роста внутри интервала длительностью 40 лет, связав ее, например, гипотетически с причинами, порождающими Кондратьевский цикл, но при этом с законом (1) все равно придется распрощаться.

Но что по-настоящему важно, так это то, что для смоделированного здесь роста перестает работать та причинно-следственная связь, которая служит объяснением явлению гиперболического роста во всех моделях первого типа.

Т. е. рост численности может приводить и к спаду скорости роста, что делает неспособной, например, изобретательскую теорию Коротаева с ее формулой: больше людей – больше изобретателей – больше скорость роста – больше людей, объяснить смоделированный здесь рост.

Не работает в этом случае также и принцип демографического императива Капицы, согласно которому рост и развитие в эпоху гиперболического роста причинно определялись (т. е. растущая численность – причина технологического и экономического роста и развития), прежде всего, растущей численностью населения мира.

Приведенная здесь модель роста численности с немонотонной, циклически меняющейся скоростью роста, всего лишь пример, показывающий, что зависимость скорости роста от численности населения Земли могла быть иной, отличной от той, что определяется законом (1).

* * *

Численность населения мира на протяжении тысячелетий (если исключить войны и эпидемии) всегда только росла. Но циклически могла меняться скорость ее роста и производные от нее.

В ХХ веке монотонность скорости роста нарушалась неоднократно, что связано прежде всего с мировыми войнами, однако к началу перехода рост вернулся на ту же самую гиперболу, которой следовал многие тысячи лет. Возможно, существует связь устойчивости роста с его немонотонностью.

Возможно, и в отсутствии катастроф динамика изменения скорости роста численности населения Земли во все времена носила циклический характер, что и обеспечивало устойчивый рост. Возможно, даже «назначение» экономических циклов и, в частности, Кондратьевского цикла как раз и заключается в том, чтобы обеспечивать такую устойчивость. Но это лишь предположение.

А.В. Коротаев дает неверное определение закону гиперболического роста

Закон квадратичного роста (1) Коротаев считает тем причинным, абстрактным законом, который полностью объясняет гиперболический рост. И даже претендует в определенном смысле на роль его первооткрывателя!

Рис. 1. Закон квадратичного роста скорости роста численности от численности (1), и гипербола Фёрстера:  зависимость численности от времени (2).

Считая этот вывод окончательным и не подлежащим сомнению, он использует эту же зависимость для определения закона гиперболического роста численности населения Земли, которое необходимо для его изобретательской теории.

В чем же заключается открытие Фёрстера, и что такое закон гиперболического роста численности населения Земли? Можно ли давать определение закону (2), используя (1)? Коротаев дает такое определение [20]:

Определение 1

«Закон гиперболического роста численности населения Земли состоит в том, что скорость роста численности населения Земли в тенденции пропорциональна квадрату этой численности».

Здесь «в тенденции» означает по мере роста Мир-системы, т. е. с повышением ее системности и, следовательно, адекватности, по мнению Коротаева, его изобретательской теории. Кроме того, характеристика «в тенденции» ассоциируется со случайностью и приближенностью. Это как раз то, что нужно Коротаеву, чтобы читатель поверил в сказку про изобретателей, в которую без подмены закона на тренд поверить невозможно. Вот еще один пример схожего определения, которое можно встретить в статьях по гиперболическому росту:

Определение 2

«Закон гиперболического роста численности населения Земли состоит в том, что скорость роста численности населения Земли примерно пропорциональна квадрату этой численности».

Оба определения ошибочны, и мы здесь это докажем. Отметим пока, что в обоих случаях закон (1) считается причинным законом, хотя нигде это никак не оговаривается. Сразу же дадим правильное определение закону, который открыл Фёрстер. На наш взгляд, здесь не может быть вариантов:

Определение 3

Закон гиперболического роста численности населения Земли как объективно существующая причинная связь, объясняющая гиперболический рост и выражающаяся в форме абстрактного причинного закона, не открыт и до настоящего времени.

По крайней мере, не существует общепринятой теории гиперболического роста. Все существующие теории различаются тем, что в качестве причины роста предлагают какую-то свою единственную причину, отвергая все прочие.

Поэтому, когда говорят о законе роста численности населения Земли, то имеется в виду эмпирическая зависимость (эмпирический закон), открытая Фёрстером и его коллегами, достоверность которой не вызывает сомнения, т. к. подтверждена всеми последующими исследованиями.

И которая заключается в том, что численность населения Земли в течение многих столетий росла в соответствии с эмпирической гиперболой демографического роста.

Рис. 2. Эмпирическая зависимость численности населения Земли от времени – гипербола Фёрстера.

Гипербола Фёрстера – первая из семейства кривых гиперболического роста, различающихся значением постоянной Фёрстера и положением на оси времени точки сингулярности. Показатель степенной функции принимается равным минус единице.

Из закона Фёрстера (2) зависимость (1) можно получить простым дифференцированием, откуда следует, что скорость роста численности на всем протяжении роста в среднем была пропорциональна квадрату этой численности. Но из факта такой пропорциональности в среднем вовсе не следует, что закон (2) можно определять через закон (1).

Действительно, закон квадратичного роста можно использовать в качестве определения закона гиперболического роста лишь в том случае, если будет доказана следующая «теорема»:

Закон квадратичного роста (1) есть необходимое и достаточное условие роста численности населения Земли по закону гиперболы (2).

Необходимость доказывается просто: предположим, что дифференциальное уравнение (1) действительно описывает рост численности населения мира. Проинтегрируем его и получим гиперболическое решение (2).

А вот достаточность, как мы это сейчас покажем, доказать невозможно. Допустим, что рост численности был гиперболическим. Как в таком случае скорость роста зависела от времени и от численности?

Если бы кривая роста была «идеальной гиперболой» или хотя бы «сколь угодно близкой» к непрерывной (со всеми своими производными) гиперболической функции, то продифференцировав ее, мы получили бы закон квадратичного роста и доказали достаточность нашей «теоремы».

Но действительная кривая роста – гипербола Фёрстера (2) – была получена методом наименьших квадратов в результате обработки большого количества демографических данных. Этот метод не позволяет получить зависимость скорости роста от времени с точностью, необходимой для доказательства достаточности нашей «теоремы».

Следовательно, закон квадратичного роста, согласно которому скорость роста численности всегда, а не только в среднем за характерное время, росла по закону квадратичной гиперболы, мог и не выполняться.

Зависимость скорости роста от времени могла быть даже немонотонной, и ее рост мог сменяться спадом десятки раз на протяжении всей истории развития человечества. Существующие демографические данные и гипербола Фёрстера отвечают такому сценарию немонотонного изменения скорости роста с той же точностью, что и закону ее монотонного возрастания по закону (1).

Т. е. закон (1) может и не быть тем причинным динамическим законом, в результате непрерывного действия которого в течение многих сотен лет образовалась гипербола (2). Иначе говоря, причина гиперболического роста может быть никак не связана с уравнением (1), и его нельзя использовать для определения закона гиперболического роста населения Земли, как полагает Коротаев.

* * *

Как же в действительности зависела скорость роста от времени в течение всей эпохи гиперболического роста? Все, чем мы фактически располагаем, приступая к исследованию этого вопроса, – это данные по численности населения мира, причем точность их не слишком высока (даже в ХХ веке она составляет несколько процентов).

Известно, что все они в совокупности хорошо отвечают гиперболической зависимости (2). Можно ли в таком случае считать закон квадратичного роста тем динамическим законом, который обеспечивал рост численности по закону гиперболы?

Закон (1) эмпирическим законом не является. Существует единственный эмпирический закон – гипербола Фёрстера. О том как в действительности росла скорость роста с той точностью, которая необходима для того, чтобы отдать предпочтение какой-нибудь одной из моделей роста, мы, вероятно, так никогда и не узнаем.

Но если повернуться лицом к фактам, следует признать, что никакими данными по скорости роста численности населения мира мы не располагаем; все что нам известно с достаточно высокой степенью надежности, так это данные по ежегодной переписи населения в XX и (в ряде стран) в XIX веке.

По мере же удаления в прошлое точность демографических данных падает и одновременно растет значимость случайных отклонений в динамике относительного прироста численности. И если находить скорость роста методами численного дифференцирования, точность полученных результатов будет падать темпами, значительно превышающими темпы, с которыми падает точность численности. Т. е. аналитические методы также бессильны решить эту проблему.

Но насколько все это важно? В среднем скорость роста, конечно, была пропорциональна квадрату численности. Но есть и нюансы. Интересно было бы, например, узнать ее динамику после каких-то катастроф: природных катаклизмов, войн, эпидемий. Соответствовала ли она тогда закону (1) или была несколько выше? Если была выше, то рост в эти времена, возможно, был круче гиперболического. Знай мы как в действительности менялась скорость роста, возможно, сумели бы уловить черты более сложной модели второго или третьего типа.

* * *

Итак, закон квадратичного роста (1) эмпирическим законом не является и, кроме того, его нельзя также считать надежно установленным динамическим причинным законом. Гиперболический рост численности населения мира мог происходить и при другом, отличном от (1) причинном законе с немонотонной зависимостью скорости роста от времени.

Неясно даже, является ли (1) в действительности причинным законом – нелинейной положительной обратной связью. Возможно, что связь (корреляционная или функциональная) между численностью населения мира и ее годовым естественным приростом в эпоху гиперболического роста была не причинно-следственной, а всего лишь сопутствующей.

Иначе говоря, здесь мы находимся в состоянии неопределенности, когда вопрос о статусе закона (1) не решен, поскольку не существует общепринятой теории роста. Именно поэтому он и не может быть взят за основу при определении закона гиперболического роста численности населения Земли.

Кроме того, закон (1) не может служить определением закону гиперболического роста еще и потому, что при этом изначально исключаются из рассмотрения все теории, объясняющие гиперболический рост на основе моделей второго и третьего типа.

Модели второго типа исключаются, т. к. их математический аппарат должен включать механизм устойчивости роста, который отсутствует при таком определении закона роста. (Закон (1) в таких моделях будет задавать лишь русло, направление роста ведущей переменной.)

Модели третьего типа также должны быть исключены, т. к. строятся на законе с постдетерминацией. Следовательно, такое определение закона гиперболического роста сужает множество объяснительных теорий, оставляя только модели первого типа. В любом случае использовать закон квадратичного роста (1) для определения закона гиперболического роста численности населения Земли (2), очевидно, нельзя.

Так что Определение 1 – это очередной миф Коротаева. Доказывая пропорциональность абсолютной скорости роста численности – квадрату этой численности в тенденции, он полагает, что тем самым полностью объясняет явление гиперболического роста населения Земли. Но такое объяснение – всего лишь нагромождение нелепых ошибок.

Миф о единственности и неизменности закона роста численности населения Земли

Каким должен быть абстрактный причинный закон, описывающий динамику роста численности населения Земли? Если такой закон вообще может быть сформулирован в форме какого-то математического уравнения, то вряд ли это уравнение будет дифференциальным.

Дифференциальные уравнения, системы – обыкновенные и в частных производных – идеально подходят при описания динамических систем, для которых справедливы законы с простой преддетерминацией. Т. е. законы, позволяющие полностью определить состояние системы в любой момент времени по ее состоянию в предшествующий, «сколь угодно» близкий момент времени.

Процесс итераций при численном интегрировании таких уравнений обычно легко сопоставить причинно-следственной итеративной цепи, определяющей динамический процесс. В этом и состоит одна из причин успешного применения аппарата дифференциальных уравнений при решении физических, технических, каких-либо других задач с простой преддетерминацией.

Но можно ли использовать этот же аппарат для описания процессов эволюции и развития: экономических, социальных, исторических, демографических, каким, несомненно, является и рост численности населения Земли?

Это процессы со сложной детерминацией: с запаздыванием, с памятью, с планом, с целью (с постдетерминацией). Аппарат дифференциальных уравнений не соответствует здесь тому механизму причинно-следственных связей, который определяет протекание этих процессов во времени.

* * *

Предположим, что закон квадратичного роста (1) является причинным, реально действующим законом и описывает каузальную связь между численностью населения мира и скоростью ее роста. Тогда его единственность и постоянство (в смысле неизменности постоянной Фёрстера) в течение столетий представляет, пожалуй, самую большую загадку гиперболического роста.

Если бы существовало несколько этапов роста, на каждом из которых какая-то одна, отличная от других, причина вызывала гиперболический рост, и в результате объединения всех этих этапов возникала гипербола Фёрстера, то мы имели бы дело с чудом.

Или, если бы существовало несколько напрямую никак не связанных, разных по своей природе причин, определяющих рост на протяжении всего исторического периода, в результате совместного действия которых и «проявилась» гипербола Фёрстера, то это также было бы чудом. Первое чудо заключается в многоэтапности роста, второе – в его многопричинности.

Если же такие чудеса исключить, то все что остается – при условии невыхода за пределы множества причинных законов с преддетерминацией – так это признать, что рост был каузально детерминирован одной-единственной причиной. Эта возможность и используется во всех моделях первого типа, опирающихся на (1) как на причинный закон.

Однако поверить в единственность причины роста, в неизменный на протяжении столетий закон, управляющий ростом человечества, с учетом тех огромных перемен, которые происходили с человеком и обществом на всем пути исторического развития, очень трудно, практически невозможно.

Даже если считать, что закон, по которому росла скорость роста численности как функция численности, во все времена был квадратичным, а не каким-то иным, – все равно остается без объяснения факт постоянства коэффициента прироста: величины, обратной постоянной Фёрстера, присутствующей в этом законе.

И это воистину кажется непостижимым, ведь постоянная Фёрстера задает гиперболу роста с точностью до положения точки сингулярности, и из ее постоянства вытекает предзаданность этой гиперболы. Если, конечно, считать, что устойчивость роста каким-то образом обеспечена.

Если исходить из феноменологической теории Капицы, численность населения мира в конце глобального демографического перехода может быть определена через постоянную Фёрстера и характерное время исторических изменений: N = πК2 (К2 = C/τ).

Этот вывод хорошо согласуется со всеми существующими оценками для предельной численности: (2–4)К2. Тогда уравнение (1) (в той форме, какую ему придал С.П. Капица) определяет уже не только гиперболу Фёрстера, но и с хорошим приближением численность населения мира в конце перехода, что выглядит уже совсем мистически, т. е. как чудо.