Полная версия:
Логика тихого города
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для записи ходов.
На столе стоят три чашки: А, Б и В. В А лежат 8 фишек, в Б — 1, а В пуста.
За один ход выбирают чашку, в которой есть хотя бы две фишки, берут из неё ровно две и кладут по одной в каждую из двух других чашек.
Других действий с фишками делать нельзя. Ходов может быть сколько угодно.
Можно ли получить по три фишки в каждой чашке?
Данные для решенияНачало: А — 8, Б — 1, В — 0 фишек.
За ход из чашки с хотя бы двумя фишками берут ровно две, по одной кладут в каждую другую чашку. Других действий нет; число ходов не ограничено.
Можно ли получить по три фишки в каждой чашке?
К полному условию
Подсказка Решение
24. Записка из нулей и единиц
К данным для решения
В кружке придумали сообщения, используя только четыре буквы: А, Б, В и Г. Каждую букву заменяют цепочкой нулей и единиц, а полученные цепочки записывают подряд без пробелов.
Коды букв: А — 0; Б — 10; В — 110; Г — 111.
Получена запись 0110101110. Ошибок, пропущенных или добавленных знаков нет.
Какое сообщение записано? Может ли одна и та же запись, составленная по этим правилам, означать два разных сообщения?
Данные для решенияБуквенные коды записаны подряд без пробелов. В полученной строке нет ошибок, пропусков и лишних знаков.
Буква: А; Код: 0
Буква: Б; Код: 10
Буква: В; Код: 110
Буква: Г; Код: 111
Полученная запись: 0110101110
Какое сообщение записано? Может ли одна и та же запись, составленная по этим правилам, означать два разных сообщения?
К полному условию
Подсказка Решение
25. Порядок на узкой полке
К данным для решения
Удобно записывать последовательность перестановок в блокноте.
Шесть папок стоят на узкой полке. На корешках написаны числа от 1 до 6. Слева направо сейчас видны номера 4, 1, 5, 2, 6, 3.
За один ход можно поменять местами только две соседние папки.
Нельзя вынимать папку и сразу ставить её в другое место. Нужно получить порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6 слева направо.
Какое наименьшее число ходов потребуется? Покажите порядок действий и объясните, почему меньшего числа не хватит.
Данные для решенияЗа ход меняют местами только две соседние папки. Вынуть папку и сразу переставить её в другое место нельзя.
Какое наименьшее число ходов потребуется? Покажите порядок действий и объясните, почему меньшего числа не хватит.
К полному условию
Подсказка Решение
26. Три кубика в игровой комнате
К данным для решения
Для сравнения исходов пригодится блокнот.
Для настольной игры изготовили три необычных шестигранных кубика. На некоторых гранях повторяются одинаковые числа.
На кубике А написано: 2, 2, 4, 4, 9, 9. На Б: 1, 1, 6, 6, 8, 8. На В: 3, 3, 5, 5, 7, 7.
Каждая из шести граней любого кубика выпадает с одинаковой вероятностью. Броски независимы.
Первый игрок выбирает один кубик. Второй видит его выбор и берёт один из двух оставшихся. Затем каждый бросает свой кубик один раз. Побеждает большее число.
Может ли второй игрок при любом выборе первого получить вероятность победы больше половины? Укажите, какой кубик ему брать в каждом случае, и найдите эту вероятность.
Данные для решенияГрани равновероятны; броски независимы. Первый игрок выбирает кубик, второй видит выбор и берёт один из оставшихся. Каждый бросает один раз; большее число побеждает.
Куб: А; Числа на гранях: 2, 2, 4, 4, 9, 9
Куб: Б; Числа на гранях: 1, 1, 6, 6, 8, 8
Куб: В; Числа на гранях: 3, 3, 5, 5, 7, 7
Может ли второй игрок при любом выборе первого получить вероятность победы больше половины? Укажите, какой кубик ему брать в каждом случае, и найдите эту вероятность.
К полному условию
Подсказка Решение
27. Марки для открыток
Блокнот поможет проверять суммы.
В сувенирной лавке продаются игровые марки двух номиналов: 4 и 7 жетонов. Для каждой открытки требуется набрать указанную целую положительную сумму точно.
Марок каждого номинала сколько угодно. Можно использовать несколько одинаковых марок или только один номинал.
Разрезать марки, получать сдачу и превышать требуемую сумму нельзя.
Какова наибольшая целая положительная сумма, которую нельзя набрать этими марками? Объясните, почему все большие суммы уже набираются.
Подсказка Решение
28. Наборы для читального сада
К данным для решения
Удобно отмечать покрытые виды в блокноте.
К открытию читального сада нужны таблички восьми видов с номерами от 1 до 8. В кладовой таблички хранятся только готовыми наборами. Можно взять любой набор целиком; лишние экземпляры не мешают.
Набор: А; Виды табличек: 2, 6, 7
Набор: Б; Виды табличек: 3, 7, 8
Набор: В; Виды табличек: 1, 2, 3
Набор: Г; Виды табличек: 1, 5, 8
Набор: Д; Виды табличек: 2, 4, 6
Набор: Е; Виды табличек: 4, 5, 7
Каждый набор можно взять не более одного раза. Нужен хотя бы один экземпляр каждого вида.
Какие наборы нужно взять, чтобы получить все восемь видов и использовать наименьшее число наборов?
Данные для решенияНужны все виды 1–8, хотя бы по одному экземпляру. Наборы берут только целиком, каждый не более одного раза. Лишние экземпляры допустимы.
Набор: А; Виды: 2, 6, 7
Набор: Б; Виды: 3, 7, 8
Набор: В; Виды: 1, 2, 3
Набор: Г; Виды: 1, 5, 8
Набор: Д; Виды: 2, 4, 6
Набор: Е; Виды: 4, 5, 7
Какие наборы нужно взять, чтобы получить все восемь видов и использовать наименьшее число наборов?
К полному условию
Подсказка Решение
29. Шесть гостей читального сада
Для рисунка знакомств и доказательства рекомендуем блокнот.
В читальном саду встретились шесть гостей. Некоторые уже знакомы, другие видят друг друга впервые.
Для каждой пары есть ровно два варианта: гости знакомы друг с другом либо не знакомы. Знакомство взаимно.
Вопрос относится ко всем возможным сочетаниям знакомств. Никаких дополнительных сведений о гостях нет.
Обязательно ли среди шести найдутся либо трое, каждый из которых знаком с двумя остальными, либо трое, никакие двое из которых не знакомы? А для пяти гостей такая гарантия сохраняется?
Подсказка Решение
30. До открытия выставки
К данным для решения
Для расписания и доказательства минимума рекомендуем блокнот.
Два сотрудника готовят небольшую выставку. С начала подготовки нужно выполнить пять работ.
Работа А — расставить подставки, 4 минуты. Работа Б — разложить подписи, 4 минуты. Работа В — подготовить освещение, 6 минут. Эти три работы можно начинать сразу.
Работа Г — расставить экспонаты, 4 минуты. Её можно начать только после полного завершения А и Б.
Работа Д — проверить выставку, 3 минуты. Её можно начать только после полного завершения В и Г.
Каждую работу от начала до конца выполняет один сотрудник, без перерывов. Любой сотрудник может выполнить любую работу. Один человек не может делать две работы одновременно; вдвоём ускорить одну работу нельзя. Переходы между работами времени не занимают.
За какое наименьшее время можно закончить всю подготовку? Составьте расписание и докажите, что быстрее не получится.
Данные для решенияДва сотрудника. Любой выполняет любую работу целиком, без перерывов. Ускорить работу вдвоём нельзя; один не делает две одновременно. Переходы времени не занимают.
Код: А; Мин: 4; После: —
Код: Б; Мин: 4; После: —
Код: В; Мин: 6; После: —
Код: Г; Мин: 4; После: А и Б
Код: Д; Мин: 3; После: В и Г
«После»: обе указанные работы завершены. Прочерк: можно начинать сразу.
За какое наименьшее время можно закончить всю подготовку? Составьте расписание и докажите, что быстрее не получится.
К полному условию
Подсказка Решение
31. Треугольная клумба
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для вычисления площадей.
Во дворе есть прямоугольный участок площадью 48 квадратных метров. Его углы обозначены по порядку: А — снизу слева, Б — снизу справа, В — сверху справа, Г — сверху слева.
Точка М — середина нижней стороны АБ. Точка Н — середина правой стороны БВ.
Для клумбы отвели треугольник ГМН.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Высота — расстояние от противоположной вершины до прямой, на которой лежит основание.
Какую площадь займёт клумба? Длины сторон участка неизвестны.
Данные для решенияПрямоугольник АБВГ имеет площадь 48 м². М — середина АБ, Н — середина БВ. Клумба — треугольник ГМН.
Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту. Высота — расстояние от противоположной вершины до прямой основания.
Какую площадь займёт клумба? Длины сторон участка неизвестны.
К полному условию
Подсказка Решение
32. Лист календаря
На календарном листе сохранилось название месяца и число дней — 31. Числа внутри таблицы стёрлись, но библиотекарь помнит одну особенность этого месяца.
В нём было по пять понедельников, вторников и сред.
Неделя состоит из семи дней в обычном порядке: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
На какой день недели приходились первое и последнее числа месяца?
Подсказка Решение
33. Проверка пропусков
К данным для решения
На столе лежат четыре пропуска. У каждого одна сторона цветная — синяя или белая, а на другой изображён один знак — квадрат или круг.
Видны следующие стороны четырёх разных пропусков: синий цвет, белый цвет, квадрат и круг. Обратные стороны не видны.
Для этих четырёх пропусков проверяют правило: «Если цветная сторона синяя, то на другой стороне квадрат».
Сочетания цвета и знака заранее неизвестны. Пропуски могут повторяться. Каждый выбранный пропуск разрешается перевернуть и посмотреть его скрытую сторону.
Какие пропуски обязательно нужно перевернуть, чтобы наверняка установить, соблюдено ли правило? Выберите наименьший достаточный набор.
Данные для решенияУ каждого пропуска одна сторона синяя или белая, другая — квадрат или круг. Показаны четыре разных пропуска, их сочетания неизвестны и могут повторяться.
Проверяем правило: если цветная сторона синяя, на другой стороне квадрат. Выбранные пропуски можно перевернуть.
Какие пропуски обязательно нужно перевернуть, чтобы наверняка установить, соблюдено ли правило? Выберите наименьший достаточный набор.
К полному условию
Подсказка Решение
34. В обход фонтана
К данным для решения
Для подсчёта маршрутов удобно перерисовать сетку в блокнот.
На плане сквера дорожки образуют прямоугольную сетку. От юго-западного входа до северо-восточного выхода нужно пройти четыре одинаковых участка на восток и три на север.
Идти можно только по дорожкам, каждый раз на один участок на восток или на север. Ходы на запад, на юг и по диагонали запрещены.
Все соседние узлы сетки соединены дорожками, но один узел закрыт: он находится на два участка восточнее и на один участок севернее входа. Через этот узел проходить нельзя.
Разными считаются маршруты, у которых различается хотя бы один шаг. Паузы на число маршрутов не влияют.
Сколько разных маршрутов от входа до выхода осталось?
Данные для решенияВход — снизу слева, выход — сверху справа. Ход: один участок на восток или север. До выхода 4 участка на восток и 3 на север. Все соседние узлы соединены; узел × (2 на восток, 1 на север от входа) закрыт.
Назад и по диагонали ходить нельзя. Маршруты различны, если отличается хотя бы один шаг; паузы не учитываются.
Сколько разных маршрутов от входа до выхода осталось?
К полному условию
Подсказка Решение
35. Гири для сорока порций
К данным для решения
Для доказательства и записи разностей рекомендуем блокнот.
Для мастерской нужно подобрать небольшой набор гирь. С ним хотят уравновешивать любую целую массу от 1 до 40 граммов включительно.
Есть точные чашечные весы. Предмет кладут целиком на левую чашу. Каждую гирю можно оставить в стороне, положить слева вместе с предметом или положить справа.
У каждой гири постоянная положительная целая масса в граммах. Разрешены одинаковые гири. Для каждого предмета можно выбрать своё расположение гирь; требуется получить равновесие одним расположением.
Других предметов, гирь или способов измерения нет. Нужно подобрать сам набор заранее.
Какое наименьшее число гирь достаточно? Предложите массы и докажите, что с ними можно уравновесить каждую массу от 1 до 40, а меньшего числа гирь не хватит.
Данные для решенияТочные чашечные весы. Предмет целиком слева. Любая целая масса предмета от 1 до 40 г.
Набор гирь выбирают заранее. Каждая имеет постоянную положительную целую массу в граммах; одинаковые разрешены.
Для каждого предмета можно по-своему разместить гири: слева, справа или в стороне. Нужно равновесие одним расположением. Других предметов и способов измерения нет.
Какое наименьшее число гирь достаточно? Предложите массы и докажите, что с ними можно уравновесить каждую массу от 1 до 40, а меньшего числа гирь не хватит.
К полному условию
Подсказка Решение
36. Две группы читателей
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для вычислений.
В читальном саду занимались две группы. После встречи каждый участник сообщил, сколько страниц прочитал за занятие.
В первой группе среднее число прочитанных страниц на человека равно 18, во второй — 30.
Всего в двух группах 24 человека. Каждый входит ровно в одну группу.
Если сложить страницы всех 24 участников и разделить на 24, получится 22. Все средние указаны точно, без округления.
Сколько человек было в каждой группе?
Данные для решенияДве непересекающиеся группы, всего 24 человека. Средние — число прочитанных страниц на человека, точно, без округления.
Группа: Первая; Среднее: 18
Группа: Вторая; Среднее: 30
Группа: Все вместе; Среднее: 22
Сколько человек было в каждой группе?
К полному условию
Подсказка Решение
37. Бумажная дорожка
К данным для решения
Для витрины склеивают прямую бумажную дорожку из семи одинаковых полос длиной 12 сантиметров.
Все полосы лежат вдоль одной прямой и направлены в одну сторону. Первую кладут отдельно. Каждую следующую приклеивают к правому концу уже собранной дорожки, накладывая её левый конец ровно на последние 2 сантиметра дорожки.
Полосы не растягивают, не сгибают и не обрезают.
Какой будет длина готовой дорожки?
Данные для решенияСемь одинаковых полос по 12 см. Левый конец каждой следующей полосы накладывают на последние 2 см дорожки.
Все полосы на одной прямой, направлены вправо. Их не растягивают, не сгибают, не обрезают. На схеме две первые полосы разнесены по высоте, чтобы показать перекрытие.
Какой будет длина готовой дорожки?
К полному условию
Подсказка Решение
38. Рамки для соседних афиш
К данным для решения
Для подбора раскраски и доказательства пригодится блокнот.
В библиотеке оформляют шесть афиш. Пять из них обозначены буквами А, Б, В, Г и Д, а шестая — буквой Ц. Для каждой рамки нужно выбрать один цвет.
Разные цвета обязательны для следующих пар: А–Б, Б–В, В–Г, Г–Д, Д–А.
Рамка Ц должна отличаться по цвету от каждой из пяти остальных.
Других ограничений нет. Один цвет можно использовать у нескольких рамок, если это не нарушает указанные требования.
Какое наименьшее число цветов понадобится? Покажите подходящую раскраску и объясните, почему меньшего числа недостаточно.
Данные для решенияЛиния соединяет рамки, которые обязательно должны иметь разные цвета.
Других ограничений нет. Один цвет можно использовать у нескольких рамок, если требования выполнены.
Какое наименьшее число цветов понадобится? Покажите подходящую раскраску и объясните, почему меньшего числа недостаточно.
К полному условию
Подсказка Решение
39. Не повторять ход
К данным для решения
Для разбора состояний и выбора ходов рекомендуем блокнот.
В клубе играют вдвоём. На столе лежат 11 деревянных листочков. Игроки ходят по очереди.
За ход можно забрать один, два или три листочка, если на столе хватает листочков.
Нельзя забрать столько же листочков, сколько забрал соперник своим предыдущим ходом. На первом ходу этого ограничения нет.
Тот, кто в свою очередь не может сделать разрешённый ход, проигрывает. Это может случиться и тогда, когда на столе ещё есть листочки.
Сколько листочков нужно забрать первым ходом, чтобы обеспечить себе победу при любой игре соперника? Объясните, как затем выбирать ходы.
Данные для решенияДва игрока, 11 листочков. Ходят по очереди: берут 1, 2 или 3, если листочков хватает.
Нельзя повторять число листочков предыдущего хода соперника. На первом ходу ограничения нет.
Не можешь сделать разрешённый ход — проиграл, даже если листочки ещё остались.
Сколько листочков нужно забрать первым ходом, чтобы обеспечить себе победу при любой игре соперника? Объясните, как затем выбирать ходы.
К полному условию
Подсказка Решение
40. Посылки через четыре склада
К данным для решения
Для записи маршрутов и доказательства максимума рекомендуем блокнот.
Из почтового пункта П нужно за день доставить в читальный дом Ч как можно больше одинаковых посылок. По дороге можно пользоваться четырьмя складами: А, Б, В и Г.
Разрешены только перечисленные направления. После стрелки указано наибольшее число посылок за день: П→А — 7; П→Б — 6; А→В — 5; А→Г — 2; Б→В — 3; Б→Г — 4; В→Г — 1; В→Ч — 4; Г→Ч — 8.
Каждая посылка идёт целиком от П до Ч по одному маршруту. На складах посылки можно передавать дальше; к концу дня оставлять их там нельзя. Разделять или копировать посылки нельзя.
Ограничение каждого направления относится к суммарному числу прошедших по нему посылок. На складах нет других ограничений. Время пути учитывать не нужно: любой маршрут успевает завершиться за день.
Сколько посылок удастся доставить за день? Укажите маршруты и количество посылок на каждом. Докажите, что больше доставить нельзя.
Посылки целиком идут из П в Ч; оставлять их на складах, делить или копировать нельзя.
Только указанные направления. Предел — суммарно за день; на складах иных ограничений нет. Любой маршрут успевает за день.
Путь: П → А; Предел: 7
Путь: П → Б; Предел: 6
Путь: А → В; Предел: 5
Путь: А → Г; Предел: 2
Путь: Б → В; Предел: 3
Путь: Б → Г; Предел: 4
Путь: В → Г; Предел: 1
Путь: В → Ч; Предел: 4
Путь: Г → Ч; Предел: 8
Сколько посылок удастся доставить за день? Укажите маршруты и количество посылок на каждом. Докажите, что больше доставить нельзя.
К полному условию
Подсказка Решение
41. Стопка перед переплётом
К данным для решения
Для перестановок листов пригодится блокнот.
Для маленького альбома приготовили шесть листов с буквами А, Б, В, Г, Д и Е. Каждый лист встречается один раз. Помощник выполнил со стопкой четыре действия, а затем обнаружил, что сверху вниз листы лежат в порядке А, Б, В, Г, Д, Е.
Сначала он изменил порядок верхних трёх листов на обратный; нижние три остались на своих местах.
Затем перенёс самый нижний лист наверх. Порядок остальных листов сохранился.
После этого снял верхние два листа вместе и положил их под остальные четыре. Порядок листов внутри каждой части не изменился.
Наконец, изменил порядок всей стопки на обратный. Во всех действиях важен только порядок листов сверху вниз, а не то, какой стороной они лежат.
В каком порядке сверху вниз лежали листы до первого действия?
Данные для решенияШесть разных листов А, Б, В, Г, Д, Е. После четырёх действий порядок сверху вниз: А, Б, В, Г, Д, Е. Важен только порядок, не сторона листа.
1. Развернуть порядок верхних трёх; нижние три не менять.
2. Нижний лист перенести наверх. Остальные сохраняют порядок.
