Полная версия:
Логика тихого города
А. Эларин
Логика тихого города
Как пользоваться книгой
В книге сто задач. Сначала прочитайте условие; если нужна помощь, перейдите к подсказке. Подсказки и подробные решения собраны в отдельных разделах. Для записи ходов и вычислений может пригодиться блокнот.
Размер текста можно настроить в приложении для чтения. Схемы и рабочие блоки повторяют необходимые данные. Оглавление доступно в меню читалки.
Задачи
1. Очередь у маяка
В день открытых дверей четыре фотографа пришли на маяк: Ася, Борис, Вера и Глеб. Они пришли в 9:00, 10:00, 11:00 и 12:00, по одному человеку в каждый из этих часов.
Борис пришёл раньше Аси.
Ася пришла ровно за час до Глеба.
Вера пришла не первой.
Глеб пришёл не в 11:00.
Восстановите время прихода каждого фотографа.
Подсказка Решение
2. Звезда на кальке
К данным для решения
На клетчатой бумаге нарисовали звезду. Её положение записали парой (2; 1): первое число показывает расстояние вправо от начала отсчёта, второе — вверх. Одна единица равна стороне клетки.
Сначала положение звезды отразили относительно вертикальной прямой, проходящей через все точки с первым числом 4.
Полученную точку затем отразили относительно горизонтальной прямой, проходящей через все точки со вторым числом 3.
При отражении точка переносится на другую сторону прямой на такое же расстояние от неё, по перпендикуляру к прямой: для вертикальной прямой — по горизонтали, для горизонтальной — по вертикали. Обе прямые остаются на месте.
В какой точке окажется звезда? Изменится ли результат, если выполнить эти два отражения в обратном порядке?
Данные для решенияЗвезда (2; 1), клетка = 1. Сначала отражение в вертикали 4, затем в горизонтали 3.
Отражение: на другую сторону прямой, на равное расстояние по перпендикуляру. Прямые неподвижны.
В какой точке окажется звезда? Изменится ли результат, если выполнить эти два отражения в обратном порядке?
К полному условию
Подсказка Решение
3. Коробки архива
Блокнот может пригодиться для записи чисел.
В архиве стоят четыре коробки, пронумерованные от 1 до 4. В каждой лежит от одной до девяти папок включительно. Во всех коробках разное количество папок. Архивариус помнит четыре точных соотношения.
В коробках 1 и 2 вместе 9 папок.
В коробках 2 и 3 вместе 11 папок.
В коробках 3 и 4 вместе 13 папок.
В коробке 3 вдвое больше папок, чем в коробке 1.
Сколько папок в каждой коробке?
Подсказка Решение
4. Фишки для мозаики
В непрозрачном мешочке лежат 2 жёлтые, 4 синие и 5 зелёных фишек. Они одинаковы на ощупь. Для маленькой мозаики нужны три фишки одного цвета.
Фишки достают по одной, не заглядывая в мешочек, и не возвращают обратно.
Нужна гарантия при любом порядке извлечения, даже самом неудачном.
Сколько фишек достаточно достать, чтобы среди них обязательно нашлись три одного цвета? Найдите наименьшее такое число.
Подсказка Решение
5. Дорога за новой книгой
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для сравнения маршрутов.
Маша идёт из дома в библиотеку. На маленькой карте отмечены дом, сквер, почта, мост и библиотека. Между ними есть только перечисленные ниже дорожки. По каждой можно идти в обе стороны; время в обоих направлениях одинаково. На остановки время не тратится.
Дом — сквер: 3 минуты; дом — почта: 6 минут.
Сквер — почта: 2 минуты; сквер — мост: 5 минут.
Почта — мост: 2 минуты; почта — библиотека: 7 минут.
Мост — библиотека: 3 минуты.
Какой маршрут из дома в библиотеку займёт меньше всего времени и сколько минут понадобится?
Данные для решенияНайдите кратчайший путь от дома до библиотеки. Числа на дорожках — минуты.
Есть только показанные дорожки. По каждой можно идти в обе стороны за одинаковое время. Остановок нет.
Какой маршрут из дома в библиотеку займёт меньше всего времени и сколько минут понадобится?
К полному условию
Подсказка Решение
6. Перепутанные этикетки
В мастерскую привезли три закрытые коробочки с бусинами. Одна содержит только синие бусины, другая — только белые, третья — и синие, и белые.
На коробочках наклеены этикетки «Синие», «Белые» и «Синие и белые» — по одной каждого вида. Все три этикетки неверны.
Каждая коробочка непустая; в смешанной есть бусины обоих цветов. Можно выбрать одну коробочку и вынуть из неё одну бусину, не видя остальных.
Из какой коробочки нужно вынуть бусину, чтобы наверняка восстановить содержимое всех трёх? Объясните оба возможных результата.
Подсказка Решение
7. Конверт со звездой
К данным для решения
Для игры приготовили три одинаковых снаружи конверта. В первом лежат две карточки со звёздами, во втором — звезда и круг, в третьем — два круга. Все шесть карточек одинаковы по размеру и на ощупь.
Ведущий случайно выбирает один конверт: каждый из трёх имеет одинаковый шанс быть выбранным.
Из выбранного конверта он случайно достаёт одну карточку: каждая из двух имеет одинаковый шанс.
На вынутой карточке оказалась звезда. Оставшуюся карточку пока не смотрели.
Какова вероятность, что оставшаяся в этом конверте карточка тоже со звездой?
Данные для решенияКонверт выбирают наугад из трёх, затем карточку наугад из двух. На каждом шаге варианты равновероятны.
Вынута звезда. Оставшуюся карточку пока не смотрели.
Какова вероятность, что оставшаяся в этом конверте карточка тоже со звездой?
К полному условию
Подсказка Решение
8. Два выреза для витрины
К данным для решения
Для витрины вырезали два одинаковых прямоугольника из картона размером 8 на 5 сантиметров. Из каждого убрали квадрат со стороной 2 сантиметра, но в разных местах.
У первого прямоугольника квадрат вырезали из угла: две соседние стороны квадрата лежали на сторонах прямоугольника.
У второго квадрат вырезали посередине стороны длиной 8 сантиметров: одна сторона квадрата лежала на этой стороне прямоугольника, а три остальные — внутри него.
Периметр — полная длина границы оставшейся фигуры, включая края выреза.
Чему равен периметр каждой оставшейся фигуры? У какой он больше и на сколько?
Данные для решенияИсходные прямоугольники: 8 × 5 см. Каждый вырез: квадрат 2 × 2 см.
Периметр включает всю границу оставшейся фигуры, в том числе края выреза.
Чему равен периметр каждой оставшейся фигуры? У какой он больше и на сколько?
К полному условию
Подсказка Решение
9. Код мастерской
Блокнот может пригодиться для записи вариантов кода.
Для настольной головоломки нужен код из трёх разных цифр от 1 до 5. После каждой попытки устройство отдельно считает две группы: цифры кода на своих местах и цифры кода на других местах. Если цифра попытки есть в коде, она учитывается только в одной группе. Остальных цифр попытки в коде нет. Сообщения устройства точные.
Попытка 123: одна цифра на своём месте, ни одной на чужом.
Попытка 345: одна цифра на своём месте, одна на чужом.
Попытка 524: одна цифра на своём месте, две на чужих.
Найдите единственный код.
Подсказка Решение
10. Два ряда жетонов
К данным для решения
На столе лежат два ряда по семь жетонов. Места в каждом ряду пронумерованы слева направо от 1 до 7. Играют двое по очереди.
За ход игрок убирает либо один жетон, либо два жетона одного ряда, стоящие на соседних пронумерованных местах. Пустые места остаются пустыми: жетоны не сдвигают.
Брать жетоны из обоих рядов одним ходом нельзя. Побеждает тот, кто убрал последний жетон. Пропускать ход нельзя.
Кто может гарантировать победу — первый или второй игрок? Опишите стратегию против любых ходов соперника.
Данные для решенияДва ряда по 7 жетонов. Ход: убрать один жетон или два на соседних местах одного ряда.
Играют по очереди, ход не пропускают. Жетоны не сдвигают; пустые места сохраняются. Кто убрал последний жетон, выигрывает.
Кто может гарантировать победу — первый или второй игрок? Опишите стратегию против любых ходов соперника.
К полному условию
Подсказка Решение
11. Три открытки
Блокнот может пригодиться для записи соответствий.
Ира, Лев и Нина отправили по одной открытке. Одна ушла в Кедровск, другая в Луговск, третья в Сосновск. На каждой открытке была одна марка: «Лиса», «Маяк» или «Мост». Каждый город и каждая марка встречаются ровно один раз.
Ира отправила открытку не в Кедровск.
У Льва была марка «Маяк».
Открытка в Сосновск была с маркой «Мост».
Нина отправила открытку не в Сосновск.
Лев отправил открытку не в Луговск.
Кто в какой город отправил открытку и какая марка была на каждой открытке?
Подсказка Решение
12. Прогулка к пристани
От дома до пристани 6 километров по одной дорожке. Лена прошла по ней до пристани и вернулась той же дорогой.
До пристани она шла с постоянной скоростью 3 километра в час, обратно — 6 километров в час.
Остановок не было. Средняя скорость за всю прогулку — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время.
Какова средняя скорость Лены за всю прогулку?
Подсказка Решение
13. Коробочка с шестью буквами
К данным для решения
Для маленькой коробочки вырезали развёртку куба из шести одинаковых квадратов. На каждом написали одну букву: А, Б, В, Г, Д или Е.
Положите квадрат А перед собой. Вплотную справа от него расположен Б, ещё правее — В. Вплотную слева от А расположен Г, сверху от А — Д, снизу от А — Е. Все соседние квадраты соприкасаются полной стороной.
Точная запись положений центров квадратов в клетках: А — (0; 0), Б — (1; 0), В — (2; 0), Г — (−1; 0), Д — (0; 1), Е — (0; −1). Первое число растёт вправо, второе — вверх.
Развёртку сгибают по общим сторонам квадратов в закрытый куб, не разрезая её и не накладывая грани друг на друга.
Какие три пары букв окажутся на противоположных гранях куба?
Данные для решенияВсе квадраты одинаковы. Согните развёртку по общим сторонам в закрытый куб без разрезов и наложений.
Какие три пары букв окажутся на противоположных гранях куба?
К полному условию
Подсказка Решение
14. Номер на обороте
Блокнот может пригодиться для проверки вариантов.
На обороте старой фотографии записан трёхзначный номер. Смотритель помнит три его свойства.
Сумма цифр номера равна 12.
Номер делится на 5 без остатка.
Если записать его цифры в обратном порядке, получится число на 198 меньше исходного. Начальный ноль, если он появится, не меняет значения числа: например, 042 означает 42.
Какой номер записан на фотографии?
Подсказка Решение
15. Окошки прибора
К данным для решения
Блокнот поможет сравнивать результаты проверок.
В мастерской перепутали шесть образцов ткани: Астру, Берег, Ветер, Дюну, Ель и Зарю. Прибор узнаёт образец по четырём проверкам: А, Б, В и Г. Каждая проверка выдаёт «да» или «нет». Ниже приведены точные результаты для каждого образца, всегда в порядке А, Б, В, Г.
Данные для решенияВ списке + означает «да», − означает «нет».
Ткань: Астра; А: −; Б: −; В: −; Г: −
Ткань: Берег; А: −; Б: −; В: −; Г: +
Ткань: Ветер; А: −; Б: −; В: +; Г: −
Ткань: Дюна; А: −; Б: −; В: +; Г: +
Ткань: Ель; А: −; Б: +; В: −; Г: −
Ткань: Заря; А: +; Б: +; В: −; Г: +
Нужно заранее выбрать один и тот же набор проверок для всех образцов. Выбирать следующую проверку по результату предыдущей нельзя. Других способов различать образцы нет.
Какое наименьшее число проверок достаточно и какие именно проверки нужно выбрать, чтобы всегда однозначно узнать образец?
К полному условию
Подсказка Решение
16. Часы по обе стороны площади
В 8:00 часы на библиотеке и часы на почте выставили по точному времени. Оказалось, что оба механизма идут равномерно, но неверно.
За каждый час настоящего времени библиотечные часы отсчитывают 62 минуты, а почтовые — 59 минут.
Позже в тот же день, до 20:00, библиотечные часы показывали время на 18 минут позже почтовых. Показания сравнивают с учётом часа, а не только положения минутных стрелок. Часы после 8:00 не переводили.
Какое настоящее время было в момент сравнения? Что показывали каждые часы?
Подсказка Решение
17. Места для открыток
К данным для решения
Удобно записывать наборы номеров в блокноте.
На выставочной рейке семь мест для открыток, пронумерованных слева направо от 1 до 7. Библиотекарь хочет занять ровно три места.
Между любыми двумя занятыми местами должно оставаться хотя бы одно свободное: соседние места одновременно занимать нельзя.
Хотя бы одно крайнее место — 1 или 7 — должно быть занято. Можно занять оба крайних.
Считаются только наборы занятых мест. Какие именно открытки на них стоят, значения не имеет. Отражённые слева направо наборы считаются разными, если номера занятых мест различаются.
Сколько разных наборов из трёх мест удовлетворяет условиям?
Данные для решенияЗанять ровно 3 места из 7. Соседние места занимать нельзя. Хотя бы одно из мест 1 и 7 занято; можно оба.
Считаются наборы номеров, не открытки. Отражённые наборы различны, если номера различаются.
Сколько разных наборов из трёх мест удовлетворяет условиям?
К полному условию
Подсказка Решение
18. Пуговицы для мастерской
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для записи выбранных количеств.
В мастерскую привезли четыре банки одинаковых на вид пуговиц. В трёх банках каждая пуговица весит ровно 10 граммов, а в одной — ровно 11 граммов. Известно, что тяжёлая банка только одна, но неизвестно какая. В каждой банке пуговиц достаточно.
Есть точные электронные весы. Разрешено один раз положить на них вместе выбранные пуговицы и прочитать общий вес в граммах.
До взвешивания можно взять из каждой банки любое целое неотрицательное число пуговиц, в том числе ни одной. Вы помните, сколько взяли из каждой банки.
Взвешивать банки, добавлять другие предметы или сравнивать пуговицы каким-либо иным способом нельзя.
Какое наименьшее общее число пуговиц нужно взять, чтобы по единственному взвешиванию наверняка определить тяжёлую банку? Приведите один способ.
Данные для решенияЧетыре банки: в трёх пуговицы по 10 г, в одной по 11 г. Пуговиц достаточно.
Выберите из каждой банки целое число пуговиц, можно 0. Помните, откуда сколько взяли. Один раз взвесьте всё вместе на точных электронных весах.
Банки и другие предметы взвешивать нельзя. Иные сравнения запрещены.
Какое наименьшее общее число пуговиц нужно взять, чтобы по единственному взвешиванию наверняка определить тяжёлую банку? Приведите один способ.
К полному условию
Подсказка Решение
19. Один зал на утро
К данным для решения
Удобно отмечать выбранные встречи в блокноте.
Для встреч в небольшом зале поступило восемь заявок. Каждая заявка относится к отдельной встрече, а время перенести нельзя.
А — с 10:00 до 10:40. Б — с 10:00 до 10:20. В — с 10:20 до 10:45. Г — с 10:40 до 11:00.
Д — с 10:45 до 11:05. Е — с 11:00 до 11:30. Ж — с 11:05 до 11:30. З — с 10:20 до 11:00.
В зале может проходить только одна встреча. Если одна закончилась ровно в момент начала другой, обе заявки совместимы: времени на подготовку не требуется.
Цель — принять как можно больше заявок, независимо от длительности встреч.
Сколько заявок можно принять? Какие именно? Объясните, почему большего числа не получится.
Данные для решенияВремя встреч фиксировано. Совпадение конца одной и начала другой допустимо. Подготовка не нужна.
Принимаем максимум заявок, независимо от длительности. Одновременно идёт только одна встреча.
Заявка: А; Начало: 10:00; Конец: 10:40
Заявка: Б; Начало: 10:00; Конец: 10:20
Заявка: В; Начало: 10:20; Конец: 10:45
Заявка: Г; Начало: 10:40; Конец: 11:00
Заявка: Д; Начало: 10:45; Конец: 11:05
Заявка: Е; Начало: 11:00; Конец: 11:30
Заявка: Ж; Начало: 11:05; Конец: 11:30
Заявка: З; Начало: 10:20; Конец: 11:00
Сколько заявок можно принять? Какие именно? Объясните, почему большего числа не получится.
К полному условию
Подсказка Решение
20. Вода для двух клумб
К данным для решения
Для поиска ходов и проверки минимума рекомендуем блокнот.
У садовника три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. В первом ровно 8 литров воды, два остальных пусты. Для двух клумб нужны две порции по 4 литра.
На сосудах нет делений. За один ход воду переливают из одного сосуда в другой до тех пор, пока первый не опустеет или второй не наполнится. Остановить переливание раньше нельзя.
Нельзя добавлять или выливать воду, пользоваться другими ёмкостями или определять объём на глаз.
В конце в восьмилитровом и пятилитровом сосудах должно оказаться по 4 литра, а трёхлитровый должен быть пуст.
Как получить нужное распределение за наименьшее число ходов? Объясните, почему быстрее не получится.
Данные для решенияОдин ход: переливать до опустошения первого или заполнения второго сосуда. Раньше остановиться нельзя.
Делений нет. Добавлять и выливать воду, брать другие ёмкости и мерить на глаз нельзя.
Как получить нужное распределение за наименьшее число ходов? Объясните, почему быстрее не получится.
К полному условию
Подсказка Решение
21. Одна верная записка
К данным для решения
В библиотеке устроили игру. Тетрадь спрятали в один из четырёх ящиков с номерами 1, 2, 3 и 4. Рядом лежат четыре записки. Организатор гарантирует: ровно одна записка сообщает правду, а три остальные ошибочны.
Записка А: «Тетрадь в ящике 1».
Записка Б: «Тетрадь не в ящике 2».
Записка В: «Тетрадь в ящике 2 или в ящике 3».
Записка Г: «Тетрадь в ящике 4».
В каком ящике тетрадь? Какая записка верна?
Данные для решенияТетрадь в одном из ящиков 1–4. Ровно одна записка верна, остальные три ложны.
Записка: А; Утверждение: В ящике 1
Записка: Б; Утверждение: Не в ящике 2
Записка: В; Утверждение: В ящике 2 или 3
Записка: Г; Утверждение: В ящике 4
В каком ящике тетрадь? Какая записка верна?
К полному условию
Подсказка Решение
22. Синяя модель
К данным для решения
Блокнот может пригодиться для рисунка куба.
В студии собрали большой куб из 27 одинаковых маленьких кубиков: по три кубика в длину, ширину и высоту. Между ними нет зазоров. Всю наружную поверхность большого куба покрасили синей краской. Краска не проникала внутрь, под соседние кубики. После высыхания модель разобрали.
Нужно считать именно грани маленьких кубиков, покрытые краской, а не отдельные пятна или рёбра.
Краска нанесена на все шесть сторон большого куба, включая нижнюю.
У скольких маленьких кубиков окрашены ровно две грани?
Данные для решенияКуб 3 × 3 × 3 собран без зазоров из 27 одинаковых кубиков. Окрашены все шесть наружных сторон, включая нижнюю. Внутрь краска не проникла.
Считайте окрашенные грани маленьких кубиков, не пятна и не рёбра.
У скольких маленьких кубиков окрашены ровно две грани?
К полному условию
Подсказка Решение
23. Три чашки с фишками
