Наука под вопросом. Философия науки XXI века

Пример с букмекером часто вызывает у читателя законное недоумение. Что за дело физику до пари? Никто не заставляет его заключать ставки, да и голландских букмекеров на свете немного. Но, как и подчёркивает Годфри-Смит, суть не в букмекере. Букмекер здесь такая же наглядная выдумка, как поезда у Эйнштейна. Настоящий смысл в том, что произвольные на первый взгляд правила теории вероятностей оказываются условиями внутренней последовательности человека, которому вообще приходится действовать при неопределённости. А такому положению подвержены все.

Следующий шаг сделал итальянский математик Бруно де Финетти (1906–1985). Он пришёл к тем же идеям независимо от Рамсея, изложил их на конгрессе математиков в Болонье в 1928 году и окончательно в лекциях, напечатанных в 1937 году. Де Финетти был радикальнее. Для него никакой вероятности помимо степени уверенности вообще нет, и в предисловии к итоговой книге он написал прописными буквами: вероятности не существует. Это заявление надо понимать буквально. Он утверждал, что вероятность объективная, какое-то свойство монеты или мира, есть такое же мнимое понятие, как флогистон или эфир, а те, кто говорит о «случайности» монеты, просто неудачно выражают собственное незнание. Логика вероятного, писал он, не добавляет от себя ничего, а только помогает увидеть то, что уже содержалось в наших исходных оценках.

Но что же тогда делать с частотами и с очевидным успехом статистики? Здесь де Финетти предъявил математический результат, из-за которого его подход и стал работоспособным. Этот результат известен как теорема о представлении. Если человек считает порядок испытаний неважным (то есть для него важно, сколько выпало орлов, а не в какой последовательности), то при поступлении всё новых данных он будет рассуждать в точности так, как если бы у монеты была неизвестная объективная частота орла, и его оценка будет к этой частоте приближаться. Иначе говоря, поведение, которое кажется признанием объективной вероятности, можно получить без всякой объективной вероятности. Понятие случайности оказывается удобной моделью для упорядочивания наших ожиданий, а не сведением о том, что существует в монете.

Читатель прошлых томов может заметить здесь знакомую интонацию. Юм говорил, что мы не видим необходимой связи, а видим только привычку ожидания. Мах говорил, что сила в механике есть описание, а не вещь. Де Финетти говорит это о случайности. Причём для этого подхода вопрос о том, что в действительности стоит за нашими оценками, просто не возникает. Степени уверенности оцениваются по тому, согласованны ли они и хорошо ли срабатывают. Такое понимание вероятности вполне устраивает того, кто считает теории инструментами для связи одних наблюдений с другими. И в то же время оно оскорбляет другую часть философов, которые считают, что есть факт, а уверенность должна с ним сообразовываться. К этому столкновению мы ещё вернёмся.

Третьим в этом ряду обычно называют американского математика Леонарда Сэвиджа, чья книга «Основания статистики» (1954) соединила рамсеевскую идею с полной математической теорией решений. Сэвидж показал: если предпочтения человека удовлетворяют нескольким требованиям последовательности, то его поведение можно описать так, как будто у него есть определённая система вероятностей и определённая шкала ценностей, и он выбирает наибольшую ожидаемую выгоду. С этого времени такой подход стал рабочим инструментом экономистов и специалистов по решениям. И с этого же времени начинается то, что называют неклассической, а чаще просто байесовской статистикой.

Вся вторая половина XX века прошла в статистике под знаком войны двух лагерей. Частотники напоминали, что наука должна быть объективна, и обвиняли байесианцев в том, что те подмешивают в анализ субъективные мнения. Байесианцы отвечали, что субъективность есть у всех, только частотники прячут её в выборе модели и порога значимости, и насмешливо перечисляли логические нелепости частотных процедур. Практика при этом шла своим путём. Методы, связанные с обратной вероятностью, применялись тихо там, где результат важнее чистоты теории. По некоторым свидетельствам, ими пользовался во время войны в Блетчли-парке Алан Тьюринг, взламывая немецкие шифры, а потом их применяли при поиске подводных лодок и в прогнозах погоды. Настоящее распространение пришло с компьютерами, потому что байесовские расчёты для сколько-нибудь сложных задач вручную почти невозможны. Сегодня статистики всё чаще относятся к обоим подходам как к разным инструментам, а не вероисповеданиям.

Как устроены эти методы изнутри, что такое значимость, доверительный интервал и мощность критерия и откуда взялись все эти сорта вероятности, мы здесь разбираем лишь настолько, насколько этого требует спор о свидетельстве. Математическая статистика заслуживает своего подробного и столь же нескучного разговора, и популярную книгу о ней мы тоже скоро напишем: это наши ближайшие планы. А здесь пойдём дальше по философской линии и посмотрим, что байесианство способно объяснить в работе учёных.

Что байесианство объясняет

В 1989 году английские философы Колин Хоусон и Питер Урбах выпустили книгу «Научное рассуждение», которая выдержала три издания и стала главным манифестом байесианства в философии науки. Их замысел был смелым: взять не отдельные примеры, а весь накопленный XX веком список загадок о подтверждении и показать, что они решаются одной формулой, причём без дополнительных допущений. Посмотрим, что из этого вышло. Для начала вернёмся к тем загадкам, что остались от Гемпеля.

Вот белый ботинок. По Гемпелю, он подтверждает гипотезу о чёрных воронах. Байесианец отвечает на это неожиданно спокойно: да, может подтверждать, но вес его ничтожен, а иногда и вовсе обратен. Всё зависит от того, что нам уже известно. В статье о подтверждении, написанной американскими философами Аланом Хайеком и Джеймсом Джойсом, разобрано несколько случаев. Если мы знаем, что воронов либо очень мало и все они чёрные, либо их много и попадаются белые, то встреча с чёрным вороном говорит скорее в пользу второго варианта и потому снижает вероятность гипотезы о том, что все они чёрные. На это ещё в 1967 году указал английский статистик Ирвинг Гуд. Если же положение такое, как в действительности, и нечёрных предметов в мире неизмеримо больше, чем воронов, то и чёрный ворон, и белый ботинок поднимают вероятность гипотезы, только в очень разной мере. Проверить одного ворона значит серьёзно рискнуть гипотезой: он мог оказаться белым. Проверить один нечёрный предмет почти ничем не рисковать: он почти наверняка окажется не вороном. Отсюда и наше ощущение, что орнитология не делается в гардеробной. Интуиция Гемпеля и интуиция здравого смысла примиряются без всякой логической хирургии.

Вот гномы, которых мы приклеили к закону. Если H предсказывает E, то и «H и гномы» предсказывает E, и E действительно поднимает вероятность этой составной гипотезы. Логика ничего не может с этим поделать. Но формула показывает, насколько поднимает: прирост умножается на вероятность гномов при условии H. А эта величина мала, так что гномам от чужого подтверждения почти ничего не достаётся. Глупое следствие оказывается не ошибкой теории, а верным, но ничтожным численным фактом.

Интереснее обстоит дело с проблемой Дюгема, которую мы подробно обсуждали во втором томе. Опыт проверяет не гипотезу, а гипотезу вместе со всеми вспомогательными допущениями: что прибор исправен, что образец чист, что наблюдатель не ошибся. Когда предсказание не сбывается, логика говорит лишь, что что-то неверно, но не говорит, что. Дюгем ссылался на «здравый смысл» учёных, не поясняя, как он устроен. Байесианец предлагает расчёт. Если у нас есть априорные вероятности основной гипотезы и вспомогательного допущения, то формула определяет, какая из них пострадает от неудачи сильнее. Иногда неудачный опыт понижает основную гипотезу и почти не трогает допущение. Иногда бывает наоборот: допущение падает, а гипотеза стоит. Возможен даже случай, когда гипотеза от опровержения слегка выигрывает.

Хоусон и Урбах разбирают случай английского врача и химика Уильяма Праута. В 1815 году он предположил, что атомные веса всех элементов кратны весу водорода. Многие элементы подтверждали это прекрасно. Но хлор упорно давал вес около 35,5. По Попперу, гипотезу надо было отбросить. А химики XIX века долго этого не делали, полагая, что дело в недостаточной очистке образцов и неточности методов. Это выглядит как нечестная защита от опровержения. Но если оценить, насколько уверены были тогда в красивой гипотезе и насколько в методах очистки, расчёт показывает, что основной удар должны были принять на себя методы. Химики были, в этом смысле, рациональны. А в XX веке обнаружилось, что и гипотеза, и данные были по-своему верны: природный хлор есть смесь изотопов с разным весом.

Отсюда же получается и объяснение тому, что так смущало в Куне. Кун показал, что нормальный учёный не бросает основную теорию из-за аномалии, а ищет ошибку у себя. Его последователи увидели в этом иррациональность. Но если основная теория имеет высокую априорную вероятность, потому что за ней много успехов, а вспомогательные допущения имеют более низкую, то именно такое поведение и предписывается формулой. Перестаёт быть загадкой и обратное: когда аномалии накапливаются, вероятность основной теории всё-таки падает, и в какой-то момент рационально начать искать другую. Лакатосовский защитный пояс вокруг твёрдого ядра тоже получает численное истолкование. Для философии, которая полвека билась над этими вопросами, это выглядело сильно.

Та же логика объясняет, почему разнообразие свидетельств ценится выше простого повторения. Первое повторение опыта поднимает вероятность гипотезы, но и делает следующее повторение менее неожиданным. Если результат уже получен сто раз одним и тем же способом, то сто первый почти ничего не добавит, потому что его и так все ждали. Зато результат другим способом, другим прибором, в другой области, для которого прежнее подтверждение почти ничего не предсказывало, добавит много. Заметим одну важную оговорку, которая понадобится нам в следующей главе: сколько ни повторять опыт с одной и той же систематической ошибкой, вероятность того, что результат вызван этой ошибкой, не снизится. Перл вспоминает, как Фишер, защищая табак, язвительно замечал, что девятнадцать одинаково смещённых исследований не лучше одного. В этом пункте Фишер был прав, хотя в главном вопросе и он, и табак ошибались.

А как быть с Поппером? Байесианство включает его в себя как предельный случай. Если гипотеза H логически влечёт E, а наблюдается отсутствие E, то вероятность гипотезы по формуле падает точно до нуля. Это и есть опровержение: его можно получить как частный случай правила, при совершенно точном и надёжном наблюдении. То, что Поппер называл смелой гипотезой и строгой проверкой, тоже находит точное выражение: чем менее вероятно предсказанное без гипотезы, тем сильнее его удача её поднимает. Гипотеза, пережившая проверку, грозившую её погубить, становится вероятнее, и чем больше была угроза, тем заметнее. Но Поппер считал, что ничего подобного происходить не может, и всю жизнь с этим боролся. Его главный довод заключался в том, что всякий всеобщий закон, охватывающий бесконечное число случаев, имеет нулевую вероятность. Байесианцы отвечают, что это следует только из определённого способа распределять вероятности, вроде карнаповского, а никто не обязан распределять их так. Инженер, выбирающий проверенную теорию для моста, теперь получает то, чего ему не дал Поппер: основание считать проверенную теорию более вероятной. Именно поэтому многие физики и биологи, называющие себя попперианцами, рассуждают в действительности как байесианцы, сами о том не догадываясь.

Наконец, простота. Почему из бесконечного множества кривых, проходящих через те же точки, мы выбираем самую простую? Английский геофизик Гарольд Джеффрис, одна из центральных фигур байесианства в период его непопулярности, заметил, что сложная кривая с большим числом настроек способна подогнаться под что угодно. Если мы будем менять закон с каждым новым наблюдением, писал он, то исчезнет сама идея, что закон что-либо значит за пределами исходных данных. В байесовском изложении это выглядит так: гипотеза, которая могла объяснить любой результат, распределяет свою вероятность между очень многими исходами и каждому достаётся мало. Гипотеза узкая ставит на один исход. Если исход случился, то узкая гипотеза выигрывает. Это рассуждение прямо применимо к демаркации, поскольку теория, объясняющая что угодно, расплачивается за всеядность весом каждого отдельного объяснения. Психоаналитик или конспиролог, объясняющий любой исход, в итоге получает от любого исхода почти ничего. Правда, Джеффрис и его наследники вынуждены здесь вводить дополнительные допущения о простоте, и их обоснованность остаётся спорной. Ниже мы к этому вернёмся.

Добавим ещё один пример, который показывает одновременно силу теории и слабость нашей интуиции. В сентябре 1990 года американская журналистка Мэрилин вос Савант ответила читателю популярного журнала на задачу из телевикторины. Перед вами три двери. За одной автомобиль, за двумя козы. Вы выбираете дверь. Ведущий, который знает, где что находится, открывает другую и показывает козу. Стоит ли теперь поменять выбор? Вос Савант ответила: да, это удваивает шанс на выигрыш, с одной трети до двух третей. Она получила больше десяти тысяч писем, многие от людей с учёными степенями, и писали ей с раздражением и поучениями. Венгерский математик Пал Эрдёш, говорят, поверил только компьютерной симуляции. Расчёт по Байесу вполне прост: дверь, которую вы выбрали, не подвергалась никакой опасности, потому что ведущий не мог её открыть. А третья дверь подверглась и выжила. Но самое важное обнаруживается в варианте задачи. Если ведущий не знает, где автомобиль, и открывает дверь наугад, причём случайно оказывается коза, то данные выглядят точно так же, а менять выбор бесполезно: вероятности равны.

Те же самые факты, та же открытая дверь и та же коза, а ответ другой. Вес свидетельства зависит не только от самого факта, но и от того, каким путём он до нас дошёл. Как заметил Перл, способ получения сведений важен не меньше самих сведений. Запомним это. Именно этим различием статистика Фишера пренебрегала, называя свою задачу сокращением данных. И именно этого не замечают те, кто выбирает из десятка анализов удачный и докладывает его как единственный. Но об этом следующая глава.

Впечатляющий список, не правда ли? Подтверждение, вороны, гномы, Дюгем, Кун, Поппер, простота. В конце XX века многие всерьёз считали, что центральная проблема философии науки решена. И здесь нам пора вспомнить совет самой теории: когда кто-то предъявляет объяснение всего при помощи одной формулы, спроси, не слишком ли дёшево оно досталось. Обратите внимание на слова, которыми заканчивались почти все перечисленные решения: «если у нас есть априорные вероятности». Откуда?

Возражения: откуда берётся уверенность

Сам Годфри-Смит, чьё изложение мы использовали выше, прямо пишет, что не принадлежит к байесовскому лагерю, хотя признаёт силу этих идей. Вот что заставляет его и многих других колебаться.

Откуда брать априорные вероятности? На этот вопрос у байесианцев два ответа, и оба неудобны. Объективисты, такие как Джеффрис и американский физик Эдвин Джейнс, считают, что существуют правильные исходные распределения, и надо лишь найти правило для их выбора. Самое старое правило называется принципом безразличия: если нет оснований предпочесть один исход другому, считай их равновероятными. Кажется очевидным, но ведёт к противоречиям, поскольку результат зависит от того, в каких словах описать варианты. Пусть о кубике известно только то, что ребро его имеет длину от одного до двух сантиметров. Значит, объём от одного до восьми кубических сантиметров. Безразличие по длине ребра говорит, что с равной вероятностью ребро окажется короче полутора сантиметров или длиннее. Ребру в полтора сантиметра соответствует объём примерно 3,4. Безразличие по объёму говорит, что равновероятно окажется меньше или больше объёма 4,5. Два ответа на один вопрос, при одинаковом незнании. Как замечает Хоусон, выбор исходного разбиения на равные части зависит от выбора языка описания. Джейнс предложил более изощрённое правило максимальной неопределённости, но там, где никаких исходных данных нет, оно возвращается к тому же равномерному распределению со всеми его бедами. Джеффрис предлагал давать большую вероятность более простым законам, но что считать простым, снова зависит от языка.

Субъективисты, как Рамсей и де Финетти, разрубают узел: не надо никакого правила. Выбирайте какие хотите априорные вероятности, лишь бы они были согласованы между собой. Логика тоже не проверяет посылок. Этот ответ снимает все вычислительные трудности. Но посмотрите, что за него приходится платить. Вообразим человека, который начал с вероятности 0,99 в пользу того, что положением планет определяется судьба. Он согласован, следует формуле, ни один букмекер его не поймает. С точки зрения строгого субъективиста упрекнуть его не в чем. Теория, которая должна была объяснить, чем наука рациональнее астрологии, объявляет астрологию рациональной, если только она последовательна в своих вычислениях.

Смоет ли данные всю разницу? Байесианцы отвечают, что всё это не страшно. Начальные вероятности со временем смываются поступающими данными. Существуют точные теоремы о схождении мнений: если два человека начинают с разных априорных вероятностей и видят одни и те же данные, то их оценки сближаются и в пределе становятся сколь угодно близкими. Астролог и астроном, стоит им только наблюдать достаточно долго, должны сойтись. Вот объяснение объективности науки, и притом без всякой объективной вероятности. Красиво.

Возражений несколько. Сближение может занять сколько угодно времени, и никто не знает сколько. Американский философ Генри Кайберг любил напоминать обратную сторону той же теоремы: при любом количестве данных найдутся такие исходные оценки, что двое и в конце останутся несогласными. Хоусон указывает ещё на математическое обстоятельство: сильнейшие теоремы о схождении опираются на спорную аксиому счётной аддитивности, которую сам де Финетти отвергал как принятую ради математического удобства. Но важнее возражение Годфри-Смита. Все эти доказательства предполагают, что два человека, расходясь в априорных вероятностях гипотезы, совпадают в правдоподобиях: оба одинаково оценивают, какова вероятность каждого наблюдения при истинной гипотезе и при ложной. В задаче с монетой это естественно. Но в настоящем споре правдоподобие зависит от всего, во что человек верит.

Возьмём сторонника теории заговора. Для него отсутствие доказательств заговора вполне ожидаемо, раз заговорщики хорошо заметают следы. Опровержение от учёных тоже ожидаемо, раз они подкуплены. Настоящие улики ещё более ожидаемы. Его правдоподобия устроены так, что любое возможное наблюдение либо поднимает гипотезу, либо оставляет как есть. Он согласован. Он честно применяет формулу. И он не сойдётся со своим оппонентом никогда. Бельгийский философ Маартен Будри, о котором подробно пойдёт речь в последней главе, называет подобные приёмы защитными механизмами системы убеждений. Настоящая разница между наукой и её имитацией оказывается не в формуле обновления, а в том, откуда взялись сами правдоподобия и можно ли их проверить независимо от гипотезы. Этого теорема о схождении дать не может.

Догматик. Рассмотрим крайний случай. Если априорная вероятность гипотезы равна единице или нулю, то формула перестаёт работать совсем: ноль после любого умножения останется нулём, и никакое свидетельство его не сдвинет. Английский статистик Деннис Линдли, один из вождей байесианства второй половины века, назвал это правило именем Кромвеля. 3 августа 1650 года, перед сражением при Данбаре, Оливер Кромвель писал пресвитерианам шотландской церкви, совершенно уверенным в своей правоте: заклинаю вас, подумайте, что можете ошибаться. Правило Кромвеля гласит: никогда не присваивай эмпирическому утверждению вероятность ноль или единицу. Оставь немного, говорил Линдли, хотя бы одну миллионную, и на то, что Луна сделана из зелёного сыра, иначе армия астронавтов с образцами сыра ничего для тебя не изменит.

Вот это, пожалуй, самое важное, что байесианство может сказать о демаркации. Важно не содержание убеждений. Важно, оставлен ли зазор, через который данные могут войти. Прайс и его миллион приливов учили тому же: очень мало и ноль — вещи разной природы. Потомственный ясновидящий, которого ничто не может разубедить, и разоблачитель, которого тоже ничто не может разубедить, стоят с этой точки зрения рядом. У науки, если говорить коротко, нет привилегированного содержания, зато есть требование не закрывать дверь. Но заметим и другое: правило Кромвеля не следует из теории вероятностей. Это дополнительное требование, и притом нормативное. Согласованность сама по себе его не даёт, а вероятность в одну стомиллиардную мало чем отличается от нуля на практике. Придётся сказать, что к логике согласованности уже что-то добавлено со стороны, и добавлено именно то, что нас интересует.

Старые свидетельства. В 1980 году американский философ Кларк Глимур, о котором мы подробно поговорим в третьей главе, указал на затруднение, которое кажется то пустяковым, то смертельным. С середины XIX века астрономы знали, что перигелий Меркурия смещается не совсем так, как положено по Ньютону. В ноябре 1915 года Эйнштейн обнаружил, что его новая теория даёт как раз нужную величину, и, по его собственным воспоминаниям, несколько дней не помнил себя от радости. Физики считали это одним из сильнейших свидетельств в её пользу, вероятно, более сильным, чем предсказанное отклонение света. Но смещение перигелия было уже известно. Значит, его вероятность равна единице, а значит, формула не даёт никакого прироста: и при данной теории, и при всех других вероятность известного факта равна единице. Получается, что старый факт ничего не подтверждает. А ведь именно старый факт и убедил физиков.

Предложено несколько выходов. Может быть, подтверждает не сам факт, а открытие, что теория его влечёт. Хоусон возражает: логические отношения трудно считать случайными величинами, да и не всякое подтверждение устроено так. Может быть, надо считать по той вероятности, какую факт имел бы, если бы мы о нём не знали. Это правдоподобно, но как определить такое знание за вычетом одного факта, если он переплетён со всем остальным? Хайек и Джойс предлагают различать два понятия опоры: прирост, который свидетельство даёт сейчас, и вес, какой оно имеет в общей совокупности данных. Старые свидетельства не дают прироста, но имеют вес. Вопрос этот не закрыт, а его значение в том, что формула, как обнаруживается, описывает не логическую связь гипотезы и свидетельства, а биографию одной головы, и в этой биографии есть порядок поступления сведений. Но ведь у науки биография другая, она коллективна.

Логическое всеведение. Правила вероятностей требуют, чтобы всякой логической истине приписывалась единица. Значит, идеальный байесианец знает все следствия из своих убеждений и все теоремы математики. Настоящий учёный ничего подобного не знает, а открытие того, что из его теории следует неожиданный вывод, есть основная часть его работы. Хоусон замечает, что упрёк теряет силу, если считать аксиомы описанием согласованности, а не предписанием к действию. Но тогда теория рациональности теряет немало своей предписывающей силы.

Гипотеза, которой ещё никто не придумал. В знаменателе формулы стоит вероятность свидетельства при всех остальных возможностях. Что входит в эти остальные возможности? Всё, что ещё не пришло никому в голову. Каким числом Ньютон или Лаплас могли бы оценить вероятность движения планет при условии, что истинна неньютоновская теория, если никто не имел о ней понятия? Обычно поступают просто: сравнивают уже имеющиеся теории и молча считают, что других нет. Но это означает, что апостериорная вероятность в 0,99 говорит только о том, какая из имеющихся теорий лучше. Появление же новой теории в байесовской схеме вообще не предусмотрено: распределение было задано заранее на всём, что мыслимо, а новая идея по определению в него не входила. Ни одно правило не говорит, как перераспределить уверенность, когда кто-то выдвигает гипотезу, о которой прежде не думали. А ведь это и есть самое интересное событие в истории науки. Разговор об этой трудности мы продолжим в восьмой главе у Кайла Стэнфорда, для которого она стала основанием целой позиции.

Зелубые изумруды никуда не делись. Стандартный байесовский ответ Гудмену таков: обе индукции законны, и зелёная, и зелубая. Наблюдения поддерживают обе одинаково. Но у зелёной гипотезы большая априорная вероятность, поэтому она и после наблюдений остаётся впереди. Годфри-Смит спрашивает: а почему? Что мешает кому-то начать наоборот? Строгий субъективист не может сказать ничего. Загадку не решили, а только перенесли в то место теории, где правила молчат. И это место, заметим, то же самое, что и в предыдущих случаях. Вся содержательная работа совершается в априорных вероятностях и в правдоподобиях, а сама формула лишь аккуратно передаёт её дальше.