Методика преподавания математики в начальной школе

= n(A) + n(B U С) = a + (b + c).

Следовательно, (а+в) + с = а + (в+с).

Теоретико-множественный смысл

разности

План:

I. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.

II. Теоретико-множественный смысл равенств а – 0 = а и а – а = 0.

III. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.

IV. Теоретико-множественный смысл понятий «больше на …», «меньше на …».

I. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.

Пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А \ В (когда В c А, можно обозначить В´ ) тоже конечно, причем выполняется равенство n(А \ В) = n (A) – n (B)

Доказательство:

Так по условию В – собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так:

       А

А \ В

А

В

Разность А \ В на этом рисунке заштрихована. Хорошо видно, что В и А \ В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n (A) = n (B) + n(A \ B), откуда по определению вычитания как операции обратной сложению, получаем

n(A \ B) = n (A) – n (B).

Из этого следует определение разности натуральных чисел:

С теоретико-множественной позиции разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), b = n (B) и В c А:

а – b = n (A) – n (B) = n(A \ B), если В c А, В ≠ А, В = Ø.

Взаимосвязь вычитания и разности множеств позволяет обосновывать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему задача решается действием вычитания:

У Антона 11 машинок. 3 машинки он подарил другу. Сколько машинок стало у Антона?

      В задаче рассматриваются три множества: множество А – машинки у Антона; множество В – машинки подаренных Антоном другу, которое является подмножеством множества А; множество С – дополнение множества В до множества А – машинки, оставшиеся у Антона после того, как он подарил несколько другу. В задаче нужно найти число элементов в дополнении. Т.к. по условию n (A) = 11, n (B) = 3 и В c А, то n(C) = n(A \ B) = n (A) – n (B) = 11 – 3. Разность 11 – 3 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 11 – 3 = 8. Следовательно, у Антона осталось 8 машинок.

Задание для самостоятельной работы

Обоснуйте с теоретико- множественной точки зрения выбор действий при решении текстовых задач.

а) В корзине 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине?

б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, трое из них ушли. Сколько мальчиков осталось во дворе?

II. Теоретико-множественный смысл равенств а – 0 = а и а – а = 0.

По аналогии трактуется вычитание нуля и вычитание а из а.

Т.к. А \ Ø = А, А \ А = Ø, то а – 0 = а и а – а = 0.

III. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Рассматриваемый подход позволяет толковать правила, которыми пользуются при рациональных способах вычитания:

– вычитание числа из суммы,

– вычитание суммы из числа.

Если а, b, с – натуральные числа, то (а + b) – с = (a – c) + b.

a + (b – c)

Доказательство:

Пусть А, В и С – такие множества, что а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø, С c А.

Докажем, что (А U В) \ С = (А \ С) U В.

n ((А U В) \ С) = n(А U В) – n(C) = (а + b) – c

n((А \ С) U В) = n(A \ C) + n(B) = (a – c) + b

И, следовательно, (а + b) – c = (a – c) + b, если а > с.

А

А

С

В

а – (b + с) = (a – b) – c.

(a – c) – b.

IV. Теоретико-множественный смысл понятий «больше на …», «меньше на …».

В аксиоматической теории понятия «меньше на …» («больше на …») вытекает из определения отношения «меньше».

Из того, что а < b, тогда и только тогда, когда существует число с, что

а + с = b. А значит, «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n (A), b = n (B) и установлено, что а < b, то опираясь на теоретико-множественный подход понятия «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество В \ В1.

Если число элементов в множестве В \ В1 обозначить как с (с ≠ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в множестве А и еще с:

n (B) = n (B)+ n (B \ В1) или b = а + с, что подразумевает, что «а меньше b на с» («b больше а на с»).

Таким образом, с теоретико-множественной позиции понятия «а меньше b на с» («b больше а на с») означают, что

если а = n (A), b = n (B),

то в множестве В содержится столько же элементов, сколько в множестве А и еще с элементов.

Пользуясь этим можно вывести способ действия при сравнении числа элементов в множествах.

Т.к. с = n (B \ В1), где В1 с В, где n (B) = b, n (B1) = а, то по определению разности с = а – b. Следовательно, можно вывести правило:

Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.

Это правило применяется при решении текстовых задач на разностное сравнение:

Мальчики играли в футбол. Юра забил 8 голов, а Толя – 6 голов. Кто из мальчиков забил голов больше и на сколько?

В задаче три множества: А множество голов, забитых Юрой, В – множество голов забитых Толей и С – множество голов, являющихся дополнением множества В до множества А – множество голов, являющихся дополнением к множеству голов, забитых Толей до множества голов, забитых Юрой. А значит, чтобы узнать численность дополнения, нужно из численности множества голов, забитых Юрой вычесть численность множества голов, забитых Толей (из большего вычесть меньшее):

А

А1 А \ А1

В

( где А \ А1 = С)

В задачах с понятиями «больше на …», «меньше на …» также можно обосновать выбор действий с точки зрения теории множеств, переводя их на действия с числами:

Катя знает 7 стихотворений, а Маша выучила на одно стихотворение больше. Сколько стихотворений знает Маша?

В задаче два множества – множество стихотворений, которые знает Катя – (А) и множество стихотворений, выученных Машей – (В). Известно, что в первом множестве 7 элементов, т.е. n (A) = 7. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 1 элемент больше, чем в первом множестве. Отношение «на одно больше» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в множестве А, и еще 1 элемент.

А

В1 В \ В1

В

Т.е. Маша выучила столько же стихотворений, сколько Катя и еще одно. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n (B) = n (B1)+ n (B \ В1)= 7 + 1. Т.к. 7 + 1 = 8, то ответ – Маша выучила 8 стихотворений.

Рассмотрим другую задачу:

Маша съела 6 печений, а Катя на 3 печенья меньше. Сколько печений съела Катя?

В задаче два множества – множество печений, съеденных Катей (А) и множество печений, съеденных Машей (А).      Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n (A) = 6. Число элементов во втором надо найти при условии, что в нем на 3 элемента меньше, чем в первом. Отношение «на одно меньше» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в множестве А, но без трех.

А

А1 А \А1

В

Это значит, что n(B) = n(A1) = n(A) – n(А \А1) = 6 – 3 = 3.

Арифметические действия

и методика их изучения в курсе математики начальной школы.

Формирование вычислительных навыков

у учащихся начальной школы

Устные приемы сложения и вычитания целых неотрицательных чисел.

Методика формирования вычислительного навыка младших школьников в пределах 10

План:

I. Понятия вычислительного приема.

II. Вычислительный навык и его характеристика.

III. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка.

I. Понятия вычислительного приема

Формирование вычислительных умений считается одной из ведущих и самых «трудоёмких» тем в начальной школе. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане, так считает С.В. Белошистая: «Программа по математике требует от учителя формирования у детей твердых навыков устных и письменных вычислений. Однако широкое распространение калькуляторов «жёсткой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее владение арифметическими вычислениями с математическими способностями и с математической одаренностью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является особенностью для русской методической школы. В связи с этим значительная часть материала во всех существующих сегодня учебниках математики для начальной школы отведена формированию устных вычислительных умений и навыков». С этой целью учащиеся знакомятся с рациональными приемами вычислений.

Вычислительные приёмы – это последовательность выполняемых операций, каждое из которых опирается на какое-то математическое понятие.

II. Вычислительный навык и его характеристика

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется

– правильностью,

– осознанностью,

– рациональностью,

– обобщенностью,

– автоматизмом,

– прочностью.

Правильность – это характеристика действия, при котором ученик верно находит результат арифметического действия, то есть оптимально выбирает и выполняет операции, составляющие приём.

Осознанность – ученик понимает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить, как он решал и почему так целесообразно действовать.

Рациональность – ученик выбирает для данного случая более короткий способ действия, то есть выбирает те из возможных операций, выполнения которых легче других и быстрее приводит к результату.

Обобщенность – ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть, способен перенести определенный приём вычисления на новые случаи.

Автоматизм – ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

      Формируя устные вычислительные навыки у младших школьников, учитель знакомит их с      рациональными приемами вычислений, которые каждый человек выполняет ежедневно, практически не замечая этого. Т.е. для обладания навыками вычислений нужно владеть знаниями наиболее удобных способов при нахождении результата арифметических действий. Ими и являются вычислительные приемы.

III. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка

Все вычислительные приемы имеют теоретическую основу, т.е. это те математические факты (понятия), на которые опираются при выполнении каждой из операций приема.

В приведённой ниже таблице отражены основные виды устных вычислительных приёмов сложения и вычитания однозначных чисел в пределах 10 (1 класс).

Первоначально дети знакомятся со сложением и вычитанием однозначных чисел, результат которых не превышает число 10.

Виды

вычислительных приёмов

Необходимые знания

(теоретическая основа)

1. Присчитывание и отсчитывание по единице:

7 + 1, 4 – 1.

Знание натурального ряда чисел и принципа его построения.

2.Прибавление 2, 3, 4 (по частям):

5 + 4, 8 – 3.

1) знание смысла действий сложения и вычитания,

2) знание состава чисел 2, 3, 4.

3.Прибавление 5, 6, 7, 8, 9:

3 + 6, 2 + 8.

Знание переместительного свойства сложения.

4. Вычитание 5, 6, 7, 8, 9, 10:

9 – 6, 7 – 5.

1) знание взаимосвязи между компонентами и результатом сложения;

2) знание состава однозначных чисел (таблица сложения однозначных чисел).

1) Прибавляя и вычитая 1, например: 7 + 1 = 8, 9 – 1 = 8, учащиеся при этом рассуждают так: «Если к числу прибавить 1, то значит, получится следующее число ряда. Если из числа вычесть 1, то получится предыдующее число ряда».

2) Прибавляя числа по частям в случаях 4 + 3 = 7,       8 – 2 = 6

учащиеся выполняют действия по частям: «К 4 прибавим вначале 1 – получим 5, а потом еще 2 – получим 7». По аналогии и вычитают.

3) В дальнейшем действия осуществляют на основе переместительности и взаимосвязи между компонентами и результатом сложения:

3 + 6 = 9

«Чтобы к 3 прибавить 6 поменяем местами слагаемые, т.к. от перестановки слагаемых сумма не изменится. К 6 прибавим 3 по частям (2 и 1), получим 9».

4) Вычитая числа 5, 6, 7, 8, 9, рассуждают таким образом: «7 – это 5 и 2. Значит, если из 7 вычесть 5, то получим 2»: 7 – 5 = 2.

Арифметические действия

и методика их изучения в курсе математики начальной школы.

Формирование вычислительных навыков

у учащихся начальной школы

Устные приемы сложения и вычитания

двузначных чисел в пределах 100.

Методика формирования вычислительного навыка младших школьников

План:

I. Устные приемы сложения и вычитания двузначных чисел.

II. Приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными и т.д. числами.

III. Методические приемы формирования устных вычислительных навыков сложения и вычитания.

I. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка

Во втором классе учащиеся подробно изучаю уже устные вычислительные приемы сложения и вычитания двузначных чисел, не являющихся табличными, т.к. сложение однозначных обобщено таблицей. Поэтому они так и называются внетабличными, а значит, их нельзя заучить. Важно видеть рациональный способ вычисления.

Виды

вычислительных приёмов

Необходимые знания и умения

(теоретическая основа)

1.Сложение и вычитание двузначных чисел, оканчивающихся 0:

30 + 20,

80 – 30.

1) знание разрядного состава двузначного числа;

2) умение выполнять действия с разрядными единицами;

3) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.

2.Сложение и вычитание двузначного числа и однозначного числа (без перехода через разряд):

53 + 4,

68 – 5.

1) знание разрядного состава двузначных чисел;

2) знание сочетательного свойства сложения; правило вычитания числа из суммы;

3) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.

3.Сложение и вычитание двузначных чисел, одно из которых оканчивается 0:

63 + 20,

72 – 60.

1) знание разрядного состава числа;

2) знание сочетательного свойства сложения;

3) знание соотношения между разрядными единицами;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания;

5) умение выполнять действия с двузначными числами также как с однозначными.

4.Сложение и вычитание двузначного числа и однозначного с переходом через разряд:

62 + 9,

73 – 7.

1) знание разрядного состава числа;

2) знание сочетательного свойства сложения;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания с переходом через десяток в пределах 20.

5.Сложение двузначного и однозначного числа, когда в результате получается число оканчивающейся 0, вычитание из числа, оканчивающегося 0:

52 + 8,

60 – 4.

1) знание разрядного состава числа;

2) знание состава числа 10;

3) знание соотношения между разрядными единицами;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10.

6. Прибавление двузначного числа к двузначному, оканчивающемуся 0; вычитание двузначного числа из двузначного, оканчивающегося нулем:

60 + 32,

90 – 32

1) знание разрядного состава числа;

2) знание состава числа 10;

3) знание соотношения между разрядными единицами;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10.

7. Сложение и вычитание двух двузначных чисел, без перехода через разряд:

34 + 13,

76 – 14.

1) знание разрядного состава двузначного числа;

2) знание сочетательного свойства сложения;

3) знание соотношения между разрядными единицами;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.

II. Приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными числами.

По аналогии выделяются приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными и т.д. числами. Но базой для выполнения действия, и конкретно каждого шага преобразований с ними в процессе вычисления результата являются действия с однозначными числами или двузначными числами.

Виды

вычислительных приёмов

Необходимые знания и умения

1.Сложение и вычитание трехзначных чисел, оканчивающихся нулями (как однозначных):

300 + 200, 400 – 100.

1) знание соотношения между разрядными единицами;

2) знание табличного сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания;

3) умение складывать и вычитать однозначные числа.

2.Сложение и вычитание трехзначных чисел, оканчивающихся 0 (как двузначных):

530 + 140,

680 – 500.

1) знание разрядного состава числа;

2) знание соотношения между разрядными единицами;

3) знание сочетательного свойства сложения и правила вычитания числа из суммы;

4) умение складывать и вычитать двузначные числа.

3.Сложение и вычитание двух трехзначных чисел, оканчивающихся 0, с переходом через разряд (как двузначных):

340 + 190, 760 – 190.

1) знание разрядного состава трехзначного числа;

2) знание сочетательного свойства сложения;

3) знание соотношения между разрядными единицами;

4) знание таблицы сложения однозначных чисел с переходом через десяток в пределах 20 и соответствующих случаев вычитания.

Для осознанного выполнения приемов сложения и вычитания двузначных и трехзначных чисел учащиеся должны хорошо знать:

а) нумерацию чисел в пределах 100 (разрядный состав чисел, соотношение между разрядными единицами);