скачать книгу бесплатно
Математика
Как известно, в любой науке столько истины – сколько в ней математики. Предлагаемая здесь теория описывает гиперболический рост населения мира на языке математики. Язык этот тяжел для восприятия, поэтому автор настоятельно рекомендует при первом чтении лишь просмотреть математические выкладки. Прочитать нужно только «Основные определения» и «Выводы по растущим иерархическим сетям».
Математика здесь несложная, но необычная; автор не знает аналогов, хотя, возможно, они и существуют. Все вставки – работающие листинги из системы MathCAD, так что тем, кто умеет с ней работать – легко все проверить.
Основные определения
Сетью называется граф, в котором вершины (узлы) соединены между собой связями, в данном случае двунаправленными (изображаемые ненаправленными) отрезками. Сеть, в которой каждый узел связан с каждым, называется гипертетраэдральной, а граф, обладающий таким свойством, – полным. (Только такие сети здесь и будем рассматривать.) Число связей, исходящих из одного узла, на единицу меньше числа узлов. Общее число связей S = N(N – 1)/2, например, сеть из пяти узлов содержит десять связей:
Рис. 1. Сеть, содержащая пять узлов; число связей S = 5·4/2 = 10.
Узлы сети могут быть соединены связями как непосредственно, так и через магистральный узел. Магистральный узел сети – это узел, к которому сходятся все связи растущей сети. Сеть, в которой число узлов равно 2
назовем гармонической, например, сеть из восьми узлов:
Рис. 2. Гармоническая сеть, содержащая 8 узлов; число связей равно 28.
Совершенной сетью назовем гармоническую сеть, содержащую число узлов, равное:
Где R – это ранг сети. Примеры совершенных сетей:
Рис. 3. R = 0, сеть содержит 2 узла, число связей равно единице.
Рис. 4. R = 1, сеть содержит 4 узла, число связей равно шести.
Рис. 5. R = 2, сеть содержит 16 узлов, число связей равно 120.
Дадим рекурсивное определение совершенной иерархической сети (СИС). Совершенной иерархической сетью ранга R будем называть такую совершенную сеть ранга R, вершиной которой является СИС ранга R ? 1. Эту сеть с рангом равным R ? 1 назовем сетеобразующим клаттером сети ранга R. Магистральный узел клаттера – это узел, к которому сходятся связи от магистральных узлов клаттеров на единицу меньшего ранга, составляющих данный клаттер. (Один из узлов-носителей каждого клаттера берет на себя функцию магистрального узла этого клаттера.)
Таким образом каждому узлу СИС сопоставляется также СИС, но на единицу меньшего ранга. Спускаясь по этой лестнице вниз, дойдем до первого этажа, точнее подвала (R = 0) в этой метафоре (если отождествлять ранг с этажом), который назовем уровнем носителя.
Чтобы рекурсия заработала дополнительно определим СИС ранга нуль как СИС, которая состоит из двух узлов, соединенных связью, которые назовем носителями. Под носителем при таком определении также понимается СИС (клаттер), но СИС эта не представляется в данной упрощенной модели как вершина иерархии сетей меньшего ранга, а рассматривается лишь как наименьшая, неделимая далее и не имеющая ранга структурная единица иерархической сети.
Узел-носитель (клаттер-носитель) есть величина постоянная; он обеспечивает функционирование сети и ее эволюцию. Чтобы связать сеть и мировую демографию будем считать, что этот узел-носитель не может существовать без своего «двойника», носителя-человека. Носитель-человек – это живущий и обладающий сознанием человек, временно «прикрепленный» к узлу-носителю сети и постоянно сменяющийся в процессе ее роста. Далее, для краткости изложения и в зависимости от контекста, будем называть единство узла-носителя и связанного с ним носителя-человека – носителем сети или просто носителем. Принимаем также, что связь самого нижнего уровня подключается к каждому узлу-носителю и к магистральному узлу клаттера ранга нуль, причем узел-носитель может поддерживать только одну такую связь.
Каждый узел-носитель рассматривается как уникальный, отличный от других носителей, клаттер сети ранга нуль. Выделенность носителя среди прочих СИС заключается в том, что рост сети любого ранга происходит путем копирования ее носителей (см. далее)[26 - Еще раз отметим, что носитель сети в приложении рассматриваемой здесь математической модели к процессу гиперболического роста населения Земли – это не человек, а совершенная сеть, связанная с каждым обладающим сознанием человеком, сформировавшаяся на предыдущем этапе эволюции при переходе от млекопитающих к первым приматам. Сеть, эволюция которой продолжалась и на гоминидном этапе универсальной эволюции.Эта сеть – клаттер-носитель – в определенном смысле бессмертна, она связана с человеком-носителем и так же как человек непрерывно эволюционирует на пути к Финалу.Рост сети – это рост числа ее клаттеров-носителей, вместе с которыми растет и население Земли. Поэтому под носителем сети будем понимать прежде всего клаттер-носитель, хотя в некоторых случаях, что будет ясно из контекста, под носителем будет пониматься и сам человек.].
Ранг СИС может принимать в данной модели следующие значения: R = 0, 1, 2… СИС минимального ранга – ранга нуль – это тот кирпичик, из которого строятся все остальные иерархические сети:
Рис. 6. СИС ранга нуль, R = 0.
Рис. 7. СИС ранга один, R = 1.
Рис. 8. СИС ранга два, R = 2.
Число клаттеров СИС равно числу носителей в ее клаттере (рис. 8). Гармонической иерархической сетью (ГИС) ранга R назовем такую иерархическую сеть, каждым клаттером которой является СИС ранга R, а число этих клаттеров равно двойке в некоторой степени: 2
, n = 1, 2… R – 1. Всякая СИС является так же и ГИС.
Если же число клаттеров иерархической сети не равно 2
, то такую сеть назовем несовершенной или просто иерархической сетью (ИС) ранга R[27 - Т. е. ранг такой, «просто иерархической сети», будем считать равным рангу ее сетеобразующего клаттера.]. Вес клаттера P определим как число носителей, которое он содержит:
Рис. 9. Вес клаттера сети ранга R.
Магистральный узел ИС/клаттера – это узел, к которому сходятся все связи от магистральных узлов слагающих ее/его клаттеров. Размер сети L – это число клаттеров, которое она содержит. Число носителей ИС равно произведению веса клаттера на ее размер: N = PL. Число носителей СИС равно квадрату веса ее клаттера: N
= P
. Пример:
Рис. 10. ИС ранга 3, размером в три клаттера, вес каждого равен 256, число носителей 256·3 = 768. (Клаттеры для наглядности связаны непосредственно, а не через магистральный узел.)
Здесь мы дали определение биниальной иерархической сети (БИС), т. е. сети, клаттером которой является совершенная биниальная иерархическая сеть на единицу меньшего ранга. Теоретически можно рассмотреть тринитарную иерархическую сеть или даже сети более высокого порядка. Но, как утверждают сторонники биниальной парадигмы, приводя тому многочисленные примеры, именно дихотомическая (парная) структура прослеживается на всех иерархических уровнях организации макро и микромира.
Иначе говоря, все существующие природные объекты обнаруживают парность (биниальность, от лат. bini – пара), когда единое целое (атом, живая клетка, планета, звезда и т. д.) состоит только из двух частей (бинитаксонов), каждая из которых на нижеследующем иерархическом уровне вновь делится на две составляющие и т. д. Именно поэтому простейшая из возможных иерархических сетей, сеть минимального порядка, биниальная иерархическая сеть (в дальнейшем просто иерархическая сеть) лучше всего отвечает биниальной парадигме.
Далее, мы рассмотрим растущую, т. е. увеличивающую свой размер, а затем и ранг ИС и подберем для нее такой алгоритм роста, который наилучшим образом отвечает идее эволюции.
Растущая иерархическая сеть
Растущая ИС – это сеть, число клаттеров которой растет согласно некоторому алгоритму. Этот рост будем связывать с операцией самокопирования ИС, которая происходит циклически. Цикл самокопирования ИС определим как такой этап ее роста, на котором копируются все (в произвольном порядке и без повторения) клаттеры, имеющиеся в ней к моменту входа в этот цикл[28 - В приложении этой модели к процессу роста населения Земли время начала роста Сети человека, так же как момент входа в каждый новый цикл, должны быть в точности предопределены на шкале абсолютного вселенского времени.]. Звено самокопирования ИС определим как такую последовательность клаттеров, на которой собирается и устанавливается в сеть еще один новый клаттер. Длина звена Z – это количество клаттеров, входящих в звено.
Операция самокопирования заключается в следующем: ИС последовательно (клаттер за клаттером) копирует носителями по определенному правилу текущее число клаттеров[29 - Копирование клаттера сети происходит путем копирование носителей. Копирование носителя можно представить следующим образом: создается точная копия одного из клаттеров-носителей (входящих в копируемый клаттер сети) выбранного произвольно или по какому-то правилу (или инициируется его репликация, по аналогии с живой клеткой). Затем эта копия клаттера-носителя подключается к одному из вошедших в демографическую систему человеку. Далее эта пара как носитель сети устанавливается в собираемый клаттер.], собирает новый, устанавливает его в себя и увеличивает свой размер на единицу. Правило самокопирования выберем таким:
Новый клаттер собирается в процессе копирования носителями связей каждого клаттера и его магистрального узла. Т. е. (чисто схематически) копируется магистральный узел сетеобразующего клаттера[30 - Магистральный узел клаттера будем считать особенным. Если все остальные узлы служат для поддержания простых связей сети (один узел – на одну связь), то этот узел определим как коммутатор, осуществляющий связь между узлами клаттера и магистральным узлом сети. Такое определение магистрального узла клаттера в приложении этой модели к процессу гиперболического роста населения Земли возможно справедливо, возможно нет. Для математической модели существенно только то, что в каждом клаттере сети существует узел, который используется не для поддержания связей, а для их коммутации. И максимально возможный размер ИСС равен числу носителей в клаттере.] и каждая входящая в него связь. Можно сформулировать иначе: с каждого сетеобразующего клаттера в текущем цикле копируется и устанавливается в собираемый клаттер число носителей, равное текущему размеру сети[31 - Что в демографическом приложении этого формализма может быть интерпретировано следующим образом: в каждом клаттере имеются наиболее перспективные, «продвинутые» узлы-носители, число которых равно текущему размеру сети. Из копий этих узлов-носителей и прикрепленных к ним людям и собирается очередной дочерний клаттер. При том, что основной поток человеческого материала из растущей демографической системы идет на то, чтобы затыкать бреши в уже существующих клаттерах сети, т. е. при неизменных узлах-носителях этих клаттеров восполнять естественную демографическую убыль их поддержки.].
Клаттеры, собранные внутри цикла на втором этапе роста сети (см. далее), в очередь на копирование в текущем цикле не ставятся. Процесс копирования клаттеров на всех этапах роста сети можно представить следующим образом: сначала создается копия магистрального узла клаттера и соединяется с магистральным узлом растущей сети. Затем копируются магистральные узлы клаттеров нижнего уровня, составляющих копируемый клаттер, и только после этого последовательно копируются все остальные узлы (носители) и через магистральные узлы клаттеров нижнего уровня подключаются к магистральному узлу собираемого клаттера. При таком сценарии каждый вновь поступающий носитель оказывается сразу же подключенным ко всей сети.
Почему выбирается именно такой алгоритм? В соответствии с системным подходом сложность, эволюционная зрелость любой развивающейся системы определяется, прежде всего, ее связями. Если связи растущей системы однородны, то скорость ее эволюции (в простейшем случае роста) зависит только от их числа. Чем больше связей – тем быстрее эволюционирует, развивается, растет система.
Поэтому логично постулировать, что прирост клаттеров-носителей с каждого сетеобразующего клаттера, получаемый в процессе его копирования, должен быть пропорционален, а в простейшем случае просто равен числу его связей с другими клаттерами. И в этом простейшем случае оказывается, что алгоритм хорошо описывает рост Сети человека на втором этапе (см. далее) и, соответственно, гиперболический рост населения мира после неолита.
Но если применить его при описании роста сети на первом этапе (см. далее) и, соответственно, роста численности первых архантропов, то получим, что положение циклов эволюции на оси времени и время появления рода Homo, рассчитанные теоретически, не согласуются с данными палеодемографии.
Однако, если слегка модифицировать алгоритм так, чтобы при подсчете прироста носителей с каждого клаттера добавлять к числу его связей единицу, формально полагая, что копируются не только входящие в клаттер связи, но и его магистральный узел (т. е., если считать, что число копий клаттеров-носителей, снимаемых с каждого сетеобразующего клаттера за цикл, равно текущему размеру сети), что совершенно несущественно на втором этапе, когда таких клаттеров и, соответственно, подключенных к ним связей сотни, тысячи и даже десятки тысяч – то вот такой алгоритм будет правильно описывать эволюцию, историю и рост населения мира на всех этапах[33 - В приложении этой математической модели к росту населения Земли, можно предположить, как мы уже отмечали ранее, что на каждом клаттере копируются некоторые «продвинутые» клаттеры-носители, т. е. «продвинутые» СИС-ы в данной упрощенной модели не имеющие ранга и являющиеся сетеобразующими клаттерами сети ранга нуль. К этим СИС-ам (плюс к открепленным от умерших) прикрепляются дозревшие (дети) или по какой-либо причине открепленные ранее (кома, клиническая смерть…), но восстановившиеся материальные носители из растущей мировой демографической системы.].
Дополнительно хотелось бы отметить, что выбранный алгоритм при учете правила финализации звена и цикла (которое, хотя и может быть сформулировано по-разному, но не оказывает практически никакого влияния на результат) хорош уже тем, что чрезвычайно прост и эстетичен.
Даже если бы оказалось, что он не имеет никакого отношения к реальному росту населения Земли, модель все равно заслуживала бы внимания уже только потому, что при минимальных предпосылках позволяет правильно описывать как количественно, так и качественно динамику роста (начало роста, неолит, переход), а также цикличность глобального развития: сокращающиеся по закону прогрессии циклы эволюции, глобальные исторические и экономические циклы.
В таком случае модель можно было бы рассматривать как простую и эффективную схему, позволяющую систематизировать многочисленные демографические и исторические данные. Но вопросов о том, почему это стало возможным, почему такая простая модель столь точно соответствует действительности, почему она вмещает в себя такой большой объем информации, случайно ли? – все равно не избежать.
* * *
Применим данный алгоритм для описания роста биниальной иерархической сети ранга R. Будем считать, что рост этот всегда начинается с двух клаттеров. В таком случае его можно разбить на три качественно отличающихся этапа:
Первый этап (?P < Z ? P/2) – рост от двух до ?P клаттеров. (P = 2^(2^R) – вес клаттера или число носителей, которое он содержит. Z – длина звена копирования или число клаттеров, в процессе копирования которых собирается очередной дочерний клаттер.)
Второй этап (1 < Z ? ?P) – рост от ?P до Р клаттеров. На втором этапе новоиспеченные клаттеры в сеть включаются в процессе их сборки, но в текущем цикле в очередь на копирование не ставятся, копируются только подключенные к ним связи[10 - Если бы собранные в течение цикла клаттеры на втором этапе устанавливались в сеть не в процессе их сборки, а в момент завершения цикла, то скорость роста внутри цикла была бы в идеальном случае постоянной, а сам рост описывался кусочно-линейной функцией. Что противоречит данным мировой демографии за последние 350 лет, согласно которым на интервалах длительностью порядка времени цикла этот рост был гиперболическим. Особенно хорошо это видно на последних циклах роста Сети человека (см. параграф «Миф о том, что население Земли не росло по закону гиперболы»).На самом деле все обстоит несколько сложнее. Согласно сетевой модели рост внутри каждого цикла никак не регламентируется, он может быть в принципе любым, даже случайным. И лишь в момент его завершения, в соответствии с установками на приоритет нижнего уровня и принцип эквифинальности, размер сети должен соответствовать плановому значению. Если бы собранные в течение цикла клаттеры включались в сеть в момент завершения цикла, то в начале следующего был бы скачок скорости роста. Чего в демографической картине роста населения мира никак не прослеживается (начало цикла 1942—1982 гг. скачком скорости роста никак не отмечено). И, кроме того, в этом случае значительная часть носителей в течение последних циклов будет находиться вне сети. Поэтому такой сценарий роста Сети человека не может считаться приемлемым.].
Третий этап (Z = 1) – операция репликации: создание одной копии полученной совершенной сети[9 - Рост сети ранга R, и это логично, следует считать законченным тогда, когда будет построена совершенная сеть ранга R + 1. Поэтому операция репликации не может считаться каким-то отдельным этапом роста сети ранга R. Кроме того, операция репликации ИСС ранга R + 1 не может также считаться (по принятому здесь алгоритму) началом роста этой сети. Следовательно, операция репликации – это отдельный этап эволюции: построение стартовой конфигурации сети ранга R + 1, но для простоты изложения будем определять его в дальнейшем как третий, завершающий этап роста сети ранга R.].
На первом этапе звено состоит из повторяющихся циклов, причем каждое последующее звено короче предыдущего; на втором этапе – цикл состоит из некоторого числа укорачивающихся звеньев. Длина звена за весь период роста уменьшается от P/2 до единицы.
* * *
Рассмотрим теперь все этапы роста ИС на примере сети ранга 3. Вес клаттера Р = 2^(2^3) = 2
= 256, т. е. число носителей в клаттере равно 256. Корень из веса ?Р = 16. Стартовый размер сети полагаем равным двум.
Первый этап роста сети (16 < Z ? 128)
Рис. 1. Старт роста сети 256.
Алгоритм копирования следующий: на каждую связь и на каждый магистральный узел копируемого клаттера устанавливается носитель. Связи клаттера соединяют все другие его узлы с магистральным, а тот, в свою очередь, соединен с магистральным узлом сети. Но в приведенных схемах для наглядности будем изображать связи отрезками, соединяющими клаттеры. Кроме того, будем безо всякого ущерба для математики считать, что собираемый клаттер не подключен к сети и устанавливается в нее лишь в момент его полной сборки.
В данном случае связь одна, магистральный узел всегда один. Всего на клаттере копируем два носителя. Нужно собрать 256 носителей, поэтому переходим к следующему клаттеру и копируем еще два носителя.
Собрали четыре носителя. Цикл закончился, он оказался пустым, т. к. все имеющиеся на момент входа в цикл клаттеры скопированы, а новый собрать не удалось. Всего имеем 63 пустых цикла. На 64-м цикле и 128-ой по счету операции копирования (длина звена составила 128 клаттеров) получаем 256 носителей. Сборка клаттера завершена; устанавливаем его в сеть, прокладываем связи.
Рис. 2. Собран первый клаттер.
Теперь каждый клаттер имеет уже две входящие в него связи, поэтому копируем по три носителя на клаттере или 3
= 9 девять за цикл. Число 256 не делится нацело на 9, как в предыдущем случае, и для создания четвертого клаттера потребуется 256/9 = 28 полных циклов, плюс 4/9 цикла; поэтому последний 29-й цикл будет неполным, т. к. первый клаттер на нем будет скопирован полностью (3 носителя), второй – частично (один носитель), а третий – останется нескопированным. И здесь возникает неопределенность в вопросе как начинать следующее звено: с продолжения предыдущего неполного цикла или с начала нового?
Непонятно также следует ли учитывать неполный цикл при подсчете общего числа циклов звена. Ведь в приложении этой математической модели к росту населения Земли наиболее важными законами роста являются закон постоянства времени цикла и синхронности (синфазности) роста и развития. Неясно, правда, должна ли такая синхронность (синфазность) роста строго выполняться для каждого цикла или только для моментов гармонического достижения; а может быть синхронно должен завершаться только последний цикл роста сети данного ранга, на момент окончания которого она становится совершенной? (Учитывая факт гиперболического роста населения мира, этот вариант вряд ли следует принимать во внимание.)
Если считать, что каждое следующее звено начинается с нового цикла, что представляется наиболее логичным, то время роста сети в приложении этой математики к процессу эволюции может быть выражено только целым числом циклов. В таком случае определение цикла как операции самокопирования сети, при которой единожды копируются все клаттеры, имеющиеся в наличии в момент входа в цикл, должно быть расширено. А именно: некоторые такие операции, завершающие звено (или находящиеся внутри него[11 - Недостаток или избыток носителей необязательно должен приходиться на последний цикл звена. Он может быть распределен и по некоторым внутренним его циклам.]), могут быть неполными или избыточными и тем не менее такие операции должны считаться циклами.
Возвратимся теперь к нашему примеру, сколько все-таки следует взять циклов: 28 или 29?
Здесь возможны четыре варианта. 1) По минимуму: отдаем остаток 4 носителя 28-му циклу (т. е. копируем с последнего клаттера 28-го цикла дополнительно еще какие-то четыре носителя), или распределяем его по каким-то предыдущим, при этом получаем 28 циклов, на некоторых из которых будет скопировано более девяти носителей; т. е. носители некоторых клаттеров (возможно[12 - Или будут скопированы другие носители, ранее не копировавшиеся в текущем цикле.]) будут скопированы дважды. 2) По максимуму: добавляем еще один 29-й цикл и переносим в него весь остаток, при этом некоторые носители оказываются в последнем цикле звена нескопированными. 3) Этот вариант среднее между первым и вторым: если остаток меньше или равен половине квадрата размера сети (3
/2 = 4,5) выбирается первый вариант, в противном случае – второй[13 - Для всех этих вариантов финализации цикла на первом этапе должно быть выполнено основное положением сетевой модели о постоянства времени цикла, а именно — длительность всех «нестандартных» циклов, с отличным от L числом операций копирования, не должна отличаться от длительности всех остальных.].
Возможен также вариант с перехлестом», при котором звено копирования замыкается не в момент завершения цикла, а где-то у него внутри. После прокладки дополнительной связи следующее звено начинается с завершения предыдущего цикла т. е. с копирования нескопированных носителей заключительного цикла предыдущего звена (плюс один носитель с дополнительной связи)[14 - Здесь также существует неоднозначность, которая заключается в том, когда устанавливать дочерний клаттер в сеть: в момент его полной сборки внутри последнего цикла текущего звена или в момент завершения этого последнего цикла (в начале первого полного цикла следующего звена), когда в сценарии «с перехлестом» уже идет сборка нового клаттера. От этого зависит добавлять или не добавлять еще одну связь в момент завершения сборки последнего клаттера предыдущего звена. Выбираем для определенности первый вариант.][15 - В этом случае звено на первом этапе состоит из нецелого числа циклов, и завершение такого звена (и начала следующего) оказывается не в конце, а внутри его последнего цикла. В соответствии с основным положением сетевой модели о постоянства времени цикла, длительность этого последнего нестандартного цикла не должна отличаться от длительности всех остальных.][16 - В приложении этой модели к процессу роста населения Земли данный сценарий на первом этапе роста представляется наименее подходящим. Дело в том, что в теории фундаментальное значение имеет понятие цикла роста сети. Каждый такой цикл – это минимальный в эволюционном смысле шаг на пути прогресса. Причем время цикла сети – величина постоянная на всех стадиях ее роста. Момент завершения каждого цикла и начала следующего есть, по сути, момент эволюционного достижения растущей системы «все человечество в целом». Поэтому представляется логичным, что именно в этот момент времени должен быть собран и установлен в сеть очередной дочерний клаттер.].
При подсчете числа циклов роста сети до совершенной (и числа циклов роста ее до каждого гармонического размера) все рассмотренные сценарии финализации звена дают практически одинаковый результат. Для определенности выбираем второй вариант, получаем 29 циклов. Собираем второй клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи.
Рис. 3. Собран второй клаттер.
Далее, на каждом клаттере копируем по 4 носителя; за цикл их набирается 16. Третий клаттер собираем за 16 циклов, т. к. 16·16 = 256. Длина звена 16·4 = 64 клаттера.
Рис. 4. Собран третий клаттер.
Пять носителей на клаттер, 25 – с цикла; всего потребуется 11 циклов по второму сценарию и т. д.
На 13-ом по счету звене копирования сети и при L = 15 для сборки нового клаттера потребуется два цикла, поскольку первый цикл будет пустым: 15·15 = 225 < 256. С 14-го звена начинается второй этап роста сети. Теперь клаттер можно собрать не выходя за пределы одного цикла: 16·16 = 256.
Второй этап роста сети (1 < Z ? 16)
Рис. 5. Собрано 16 клаттеров.
Рис. 6. Звено копирования фрагмента сети 256 по первому варианту.
Прирост клаттеров за цикл с этого момента при постоянстве времени цикла идет уже по другой, как мы покажем далее, гораздо более быстрой гиперболе. Т. е. процесс роста сети претерпевает качественный скачок. Допустим, что сеть выросла до размера 71, т. е. содержит 71 клаттер. Для фрагмента сети, изображенного на рисунке, имеем следующее: после копирования четырех клаттеров (Z = 4) получаем (70 + 1)·4 = 284 носителя. Здесь, так же как на первом этапе роста, возможны первые три варианта финализации звена: по минимуму, по максимуму и средний между первым и вторым. Длина звена равна четырем (по первому варианту).
После установки собранного клаттера в сеть число связей возрастает на единицу, и в процессе эволюции сети происходит качественный скачок. Поскольку длительность звена, в отличие от длительности цикла, в приложении этой модели к явлению роста населения Земли, не является постоянной, процесс ее уменьшения может идти с небольшими отклонениями. В таком случае для второго этапа должен быть рассмотрен еще один, четвертый вариант сценария финализации звена, а именно: с перехлестом, когда следующее звено начинается с копирования нескопированных носителей последнего клаттера предыдущего звена.
Рис. 7. Звено копирования фрагмента сети 256 с перехлестом.
Выбираем один из рассмотренных четырех вариантов финализации звена, собираем новый клаттер, устанавливаем в сеть, увеличиваем число связей на единицу (71). Алгоритм роста на втором этапе необходимо дополнить правилом финализации цикла, сходным с правилом финализации звена[17 - Следующий (после рассмотренного) цикл для первых трех вариантов начинается с некоторого «начального» или произвольного клаттера.]:
1. Копируются клаттеры, которые имеются в сети, по одному из рассмотренных вариантов финализации звена. Как только новый клаттер из оставшихся на копирование в завершающем звене цикла по сумме позиций собрать не удается – цикл завершается. При этом остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.
2. Все то же самое, но как только новый клаттер из остатка собрать не получается, сеть копирует оставшиеся нескопированными клаттеры, заходит на следующий виток[18 - Т. е. начинает копировать клаттеры уже скопированные в этом цикле.] и финализирует цикл. При этом некоторые клаттеры в данном цикле оказываются скопированными дважды.
3. Этот вариант среднее между первым и вторым. Копируются клаттеры, устанавливаются в сеть, число связей растет. Если новый клаттер, из оставшихся на копирование в последнем звене цикла собрать невозможно, но общее число неоткопированных позиций превосходит половину веса клаттера, то сеть заходит на новый виток. В противном случае – нет. Цикл на втором этапе может состоять из одного или двух витков.
4. Возможен также сценарий, при котором цикл самокопирования сети завершается в тот момент, когда из оставшихся на копирования клаттеров новый собрать невозможно, а следующий цикл начинается с нескопированных носителей этих клаттеров. Здесь, так же как в первом варианте финализации цикла, остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл[21 - По тем же причинам, что и в случае финализации звена по сценарию «с перехлестом», этот вариант представляется наименее подходящим. Время старта каждого нового цикла в демографической модели должно, по-видимому, совпадать с моментом установки очередного дочернего клаттера в сеть.].
Все рассмотренные сценарии финализации звена на первом и втором этапе роста и цикла на втором дают для полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) практически одинаковые результаты.
Рассмотрим в качестве примера рост сети 256 на втором этапе по четвертому сценарию финализации звена (с перехлестом) и по третьему сценарию финализации цикла. Пусть сеть 256, размер которой составляет 20 клаттеров, входит в цикл. Копирование идет с 13 клаттеров, составляющих одно звено: 13·20 = 260 > 256 (20-й клаттер скопирован не полностью, с него начнется следующее звено); собираем дочерний клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи; остается 7 нескопированных клаттеров (плюс нескопированные носители 20-го клаттера).
Т. к. 4+1+7·21 = 152 > 128 – копируем эти 7 клаттеров, заходим на второй виток, собираем и устанавливаем в сеть еще один клаттер. На этом цикл завершается. На втором витке в процесс копирования будут вовлечены клаттеры, уже скопированные в данном цикле. В следующем цикле клаттеры, скопированные в предыдущем цикле дважды, копируются так же, как клаттеры скопированные единожды.
Третий этап (Z = 1)
Формально модель третьего этапа проста: создается копия совершенной финальной сети, прокладываются связи, запускается рост сети четвертого ранга. Попробуем тем не менее безо всякого ущерба для этого формализма создать наглядный образ (ни на что, впрочем, не претендующий) завершающего этапа роста сети и операции ее репликации.
Когда сеть 256 достигает совершенства ее размер (число клаттеров в сети) становится равным весу клаттера Р (числу носителей в клаттере). Рассмотренный здесь алгоритм роста не может больше работать, т. к. все носители каждого клаттера, связанные с его магистральным узлом[22 - Магистральный узел каждого клаттера соединен с магистральным узлом растущей сети.], оказываются задействованными на поддержание внутрисетевых связей. Число связей клаттера совершенной сети не может быть увеличено, поэтому она и не может расти дальше.
Но, что такое связь? Можно создать наглядный образ связи, который следует понимать только как метафору. Будем считать, что связь от носителя каждого клаттера через магистральные узлы всех клаттеров более низкого ранга, в порядке иерархии составляющих сетеобразующий клаттер, идет к магистральному узлу этого клаттера, который соединяется через магистральный узел сети с носителями других клаттеров. При этом магистральные узлы клаттеров всех уровней и магистральный узел сети выступают в качестве «коммутаторов», обеспечивающих независимый обмен информацией между носителями.
Здесь предполагается, что каждый носитель может быть связан в данный момент времени только с каким-то одним носителем в своем или любом другом клаттере сети.
Переходим к операции репликации. В процессе роста сети третьего ранга длина звена, с которого собирается клаттер, уменьшалось от 128 до 2. На последнем цикле дочерний клаттер копировался с двух, а в его конце – практически с одного материнского.
Поэтому логично считать продолжением этого процесса операцию репликации (перехода), во время которой звено копирования минимально и равно единице, т. е. операцию, в процессе которой происходит точное копирование «клаттер в клаттер», с установкой копий носителей в новую в сеть.
Операцию репликации можно считать последней, предельной операцией копирования сети данного ранга. Чисто теоретически она может состоять из некоторого количества циклов, в процессе которых итоговая СИС и ее клоны самореплицируются до момента достижения некой стартовой конфигурации. Однако в дальнейшем всегда будем считать, что сеть, точно так же как живая клетка при делении, всегда создает только одну собственную копию.
Для обеспечения глобальной связности носителей СИС в процессе ее репликации сначала копируется магистральный узел полученной СИС четвертого ранга – он становится магистральным узлом второго клаттера растущей ИС четвертого ранга. Затем создается еще одна копия магистрального узла полученной СИС, которая кладется в основу магистрального узла растущей СИС четвертого ранга. Между этими тремя узлами прокладываются связи ИС четвертого ранга. Затем последовательно, клаттер за клаттером, создается копия итоговой совершенной ИС.
При этом в процессе операции репликации, так же как в процессе самокопирования ИС, каждый вновь поступающий носитель после установке его в сеть оказывается связанным с каждым носителем итоговой СИС и ее растущей копией.
