Учение о бытии

По поводу сохранения отношения при исчезновении соотносящихся определенных количеств встречаются (в другом месте, напр., у Карно – Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины продолжают сохранять то отношение, которое было между ними до их исчезновения. Это представление выражает собою истинную природу дела, поскольку, однако, тут разумеется не непрерывность определенного количества, имеющая место в бесконечном прогрессе и могущая так сохраняться при своем исчезновении, чтобы по ту сторону вновь возникало конечное определенное количество, новый член ряда, непрерывный же прогресс постоянно представляется так, как будто проходятся имеющие еще значение конечные определенные количества. Напротив, в том переходе, который совершается в истинное бесконечное, непрерывное есть отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что этот переход, собственно говоря, состоит именно в том, что выделяет чистое отношение, а безотносительное определение, т. е. определенное количество, как член отношения, положенное вне этого отношения, еще как определенное количество, исчезает. Это очищение количественного отношения есть поэтому не что иное, как понимание эмпирического существования. Последнее так возвышается над самим собою, что его понятие содержит те же определения, как и оно само, но схваченные в их существенности и в единстве понятия, причем они утрачивают свое безразличное, чуждое понятию существование.

Столь же интересна другая форма ньютонова изложения, касающегося рассматриваемых теперь величин, именно как величин производящих или начал. Производная величина (genita) есть произведение или частное, прямоугольники, квадраты, так же стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. «Рассматривая ее, как переменную, как увеличивающуюся или уменьшающуюся в постоянном движении и течении, он означает ее моментальные приращения или убывания названием моментов. Но последние не должны быть принимаемы за части определенных величин (particulae finitae). Последния суть не самые моменты, но величины, произведенные моментами; последние же должны быть понимаемы, как находящиеся в становлении принципы или начала конечных величин». Определенное количество отличено здесь само от себя, с одной стороны, как продукт или существующее, а с другой – в своем становлении, в своем начале или принципе, т. е. в своем понятии или, что то же самое, в своем качественном определении; в последнем количественные различия, бесконечные приращения или убывания, суть лишь моменты; происшедшее есть лишь перешедшее в безразличие существования и во внешность, определенное количество. Но если философия истинного понятия и должна принять эти связанные с приращениями и убываниями определения бесконечного, то все же следует заметить, что самые формы приращения и т. п. находятся внутри категории непосредственного определения количества и вышеупомянутого непрерывного прогресса, и что поэтому представления приращения, прироста, прибавления с dx или i к х и т. п. должны считаться присущим этим методам коренным недостатком, – постоянным препятствием к возвышению от представления обычного определенного количества к чистому определению количественно-качественного момента.

Вышеприведенным определениям далеко уступает представление безконечно малых величин, связанное с самыми приращением и убыванием. По этому представлению они таковы, что не только они относительно конечных величин, но и высшие их порядки относительно низших, а равно произведения многих их относительно одного, должны быть пренебрегаемы. У Лейбница особенно сильно выступает это требование пренебрежения, находимое также и у предыдущих изобретателей методов, касающихся сказанных величин. Именно это обстоятельство сообщает исчислению, при выигрыше в удобстве, видимость неточности и явной неправильности в ходе его действий. По своему способу популяризовать вещи, т. е. лишать чистоты их понятий и заменять их неправильными чувственными представлениями, Вольф пытался сделать этот прием понятным для рассудка. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действий геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с ее вершины, или с пренебрежением высотою домов и башен при вычислениях лунного затмения (Elem. mathes. univ. T. I. Gl. analys. math. p. II, C. I Schol.).

Если суд обычного человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергают ее. Само собою очевидно, что в науке математики совсем не может быть речи о такой эмпирической точности, и что математическое измерение посредством вычисления или построений и доказательства геометрии, совершенно различно от землемерия, измерения данных на опыте линий, фигур и т. под. Сверх того, как уже было упомянуто, через сравнение результатов, получаемых строго геометрическим путем и посредством метода бесконечно малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бóльшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием – пренебрегать величинами вследствие их незначительности – несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.

По этому вопросу следует, главным образом, привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он настаивает на том, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, причем однако, бесконечно малая разность, как таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину; но именно потому с одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также приращениями и убываниями и разностями. В основе этого определения лежит то предположение, что нечто прибавляется к предварительно данной конечной величине или убавляется от нее, что происходит вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Переход от функции переменной величины к ее дифференциалу должно, напротив, понимать так, что последний имеет совершенную отличную от нее природу, именно, как было объяснено, что он есть возврат конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. С другой стороны, ошибочным оказывается и то, когда говорят, что приращения суть для себя нули, что следует принимать в расчет лишь их отношения; ибо нуль вообще не имеет никакой определенности. Хотя это представление и доходит таким образом до отрицания количественного и определенно высказывает его, но оно не схватывает этого отрицания вместе и в его положительном значении качественно-количественных определений, которые становятся нулями, лишь будучи вырваны из отношения и приняты за определенные количества.

Лагранж (Théorie des fonct. analyt. Introduction) говорит о представлении предельных или последних отношений, что если и возможно представить себе отношение двух величин, покуда они остаются конечными, то в рассудке не получается никакого отчетливого и определенного понятия об этом отношении, коль скоро его члены остановятся нулями. Действительно, рассудок должен возвыситься над тем простым отрицанием, по которому члены отношения, как определенные количества, суть нули, и понять их положительно, как качественные моменты. А то, что Эйлер (там же параграф 84 и сл.) прибавляет далее относительно данного им определения для того, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые должны быть не чем иным, как нулями, находятся однако во взаимном отношении и потому для них допустимы не только знак нуля, но и другие знаки, не может считаться удовлетворяющим мысль. Он хочет обосновать это на различии арифметического и геометрического отношения; при первом мы обращаем внимание на разность, при втором – на частное, и хотя первая между двумя нулями также равна нулю, но этого нельзя сказать о геометрическом отношении; если 2:1=0:0, то по свойству пропорции, так как первый член вдвое более второго, и третий член должен быть вдвое более четвертого; потому на основании этой пропорции отношение 0:0 должно быть равно отношению 2:1. Так и по обычной арифметике n:0=1:0[15], следовательно, n:1=0:0. Однако именно потому что 2:1 или n:1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0:0.

Я воздерживаюсь от дальнейших ссылок, так как сказанное в достаточной степени обнаруживает, что они, без сомнения, имеют дело с истинным понятием бесконечного, но что это понятие не выделено и не понято в своей определенности. Поэтому, когда совершается переход к самим действиям, то нельзя ожидать, чтобы в них проявлялось истинное определение понятия; напротив, в нем возвращаются к конечной определенности количества, и действие не может освободиться от представления лишь относительно малого. Исчисление приводит к необходимости подвести так называемые бесконечные величины под обычные арифметические действия сложения и т. п., применяемые к природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признать первые величины конечными и обращаться с первыми, как со вторыми. Требовалось бы оправдать исчисление в том, что оно, с одной стороны, понижает бесконечные величины в сферу конечности и обращается с ними, как с приращениями или разностями, а с другой стороны, применив к ним формы и законы конечных величин, пренебрегает ими, как определенными количествами.

Я привожу еще наиболее существенное о попытках геометров устранить эти затруднения.

Более старые аналитики не затрудняли себя по этому доводу большими сомнениями; но старания более новых были направлены главным образом к тому, чтобы привести исчисление бесконечных к очевидности собственно геометрического метода и достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражение Лагранжа). Но так как принцип анализа бесконечных выше, чем принцип математики конечных величин, то первый сам собою немедленно должен был отказаться от этого рода очевидности; подобно тому, как философия не может притязать на такую отчетливость, какую имеют науки о чувственном, напр., естествознание, или как еда или питье считаются за более рассудительные занятия, чем мышление и понимание. Поэтому можно говорить лишь о старании достигнуть строгости доказательств древних.

Многие пытались совершенно обойтись без понятия бесконечного и достигнуть без него тех же результатов, какие достигаются при его употреблении. Лагранж говорит, например, о методе, изобретенном Ланденом, и объясняет, что этот метод совершенно аналитический и не прибегает к бесконечно малым разностям, но сначала вводит различные значения переменных величин, а потом приравнивает их между собою. Впрочем, Лагранж заявляет, что при этом утрачиваются преимущества, свойственные дифференциальному исчислению, – простота метода и легкость действий. Этому приему отчасти соответствует тот, от которого исходит Декарт в своем методе касательных, о коем будет еще подробнее сказано далее. Здесь можно заметить, – что и теперь уже в общем ясно, – что вообще метод, состоящий в том, чтобы придавать различные значения переменным величинам и затем приравнивать их одну другой, принадлежит другому кругу математических соображений, чем метод самого дифференциального исчисление, и что первым не обращается внимания на подлежащую далее ближайшему рассмотрению особенность того простого отношения, к которому приводится его истинно конкретное определение, – именно отношения производной функции к первоначальной.

Старейшие из новых, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались применением бесконечно малых к тому, что впоследствии выработалось в дифференциальное и интегральное исчисление, затем также Лейбниц и др., равным образом Эйлер, постоянно открыто признавали возможным пренебрегать произведениями бесконечно малых разностей так же, как и наивысшими степенями, лишь потому, что они могут считаться исчезающими относительно низших степеней. У всех них это является единственным основоположением, именно определением того, что такое дифференциальные произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Прочее есть отчасти механизм действий, отчасти приложение, к которым однако, как будет показано далее, в действительности и сводится главный или, правильнее сказать, единственный интерес. В настоящее время достаточно провести лишь элементарное положение, что по тому же основанию незначительности, как главного положения, касающегося кривых, признается, что элементы кривых, именно приращения абсциссы и ординаты, имеют между собой то же отношение, как подкасательная и ордината; с целью получить подобные треугольники дуга, составляющая с обоими приращениями третью сторону треугольника, правильно названного перед тем характеристическим треугольником, принимается за прямую линию, за часть касательной, и потому одно из приращений за доходящее до касательной. Этими допущениями определения, с одной стороны, возвышаются над свойствами конечных величин; но с другой стороны к признаваемым за бесконечные моментам применяется прием, правомерный лишь относительно конечных величин, при котором мы не имеем права ничем пренебрегать по причине незначительности. Затруднение, тяготеющее над методом, остается при таком образе действия во всей своей силе.

Здесь нужно указать на замечательный прием Ньютона (Prin. math. phil. nat. lib. II lemma II после propos VII); он изобрел остроумный фокус (Kunststück) для устранения арифметически неправильного пренебрежения произведениями бесконечно малых разностей и высшими их порядками при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения – из которого легко потом вывести дифференциалы частного, степени и т. п. – следующим путем. Произведение х и у, если уменьшить каждый множитель наполовину его бесконечно малой разности, есть ху – xdy/2–ydx/2+dxdy/4, если же увеличить его настолько же, то произведение будет ху+xdy/2+ydx/2+dxdy/4. Если от этого произведения отнять первое, то получится разность ydx+xdy, которая есть приращение на целые dx и dy, так как на эту величину различаются оба произведения; следовательно это дифференциал ху. Как видно, при этом сам собою отпадает член, представлявший главное затруднение, произведение обеих бесконечно малых разностей dxdy. Но несмотря на имя Ньютона, следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неверно.

Неверно, будто (x+dx/2)(у+dy/2) – (х – dx/2)(у – dy/2) = (х+dx)(y+dy) – ху[16]. Лишь потребность, при важности исчисления флюксий, обосновать его могла побудить такого математика, как Ньютон, впасть в заблуждение подобного доказательства.

Другие формулы, с которым прибегает Ньютон для вывода дифференциала, связаны c конкретными относящимися к движению значениями элементов и их степеней. При употреблении формы ряда, которая вообще характерна для его метода, он близок к тому, чтобы сказать, что всегда в его власти путем прибавления дальнейших членов достигнуть потребной степени точности, вообще что результат есть некоторое приближение; он и здесь как бы довольствуется тем же основанием, к которому прибегает его метод решения уравнений высших степеней, при коем путем приближения высшие степени, возникающие через подстановку в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, отбрасываются по грубому основанию их малости; см. Lagrange Equations numériques p. 125.

Ошибка, в которую впал Ньютон в деле разрешения задачи путем пренебрежения существенными для нее высшими степенями, которая дала его противникам повод торжествовать триумф своего метода над его методом, и истинный источник которой обнаружил Лагранж в своих новейших исследованиях (Théorie des fonct. analyt L. P. 3 Ch. 14), доказывает, что формализм и неточность еще господствуют в деле употребления этого орудия. Лагранж показывает, что Ньютон потому впал в ошибку, что он пренебрегал членом ряда, содержащим именно ту степень, которая имела значение для данной задачи. Ньютон держался за формальный, поверхностный принцип пренебрежения членами в виду их относительной малости. Известно, что в механике членам ряда, в котором развивается функция движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция относится к моменту скорости, вторая – к силе ускорения, а третья – к сопротивлению сил. Поэтому члены ряда должны быть рассматриваемы тут не только, как части некоторой суммы, но как качественные моменты целостного понятия. Тем самым пренебрежение прочими членами, принадлежащими ложно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно различный от пренебрежения ими на основании относительной малости[17]. Ньютоново разрешение задачи ошибочно не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда, лишь как части некоторой суммы, но потому, что не принимается во внимание член, содержащий именно то качественное определение, которое в данном случае важно.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего зависит прием. В связи с тем можно тотчас же установить общее утверждение, что все затруднение принципа было бы устранено, если бы формализм определения дифференциала в дающей ему имя задаче, был заменен различением некоторой функции от ее изменения при приращении переменной величины, если бы было выяснено качественное значение принципа, и действия были бы поставлены от того в зависимость. При этом условии дифференциал хn вполне исчерпывается первым членом ряда, получающегося через развитие (x+dx)n. Что прочие члены при этом не принимаются во внимание, зависит, стало быть, не от их относительной малости; тут не предполагается неточности, ошибки или заблуждения, которые могли бы быть исправлены или улучшены другим заблуждением. Таков взгляд, коим Kapно преимущественно оправдывает обычный метод исчисления бесконечных. Так как здесь дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал оказывается вполне найденным посредством первого члена; а там, где есть нужда в дальнейших членах, в дифференциалах высших порядков, то их нахождение состоит не в продолжении ряда, как суммы, но в повторении того же самого отношения, которое одно есть искомое, и которое найдено вполне уже в первом члене. Потребность суммирования формы их ряда и то, что с ним связано, должны таким образом быть совершенно отделены от этого интереса отношения.

Объяснения, которые Карно дает методу бесконечных величин, являются наиболее очищенным и ясно изложенным из всего, что содержится в вышеупомянутых представлениях. Но при переходе к самым действиям и у него выступают более или менее обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов сравнительно с другими. Он оправдывает метод более фактом правильности его результатов и пользою, приносимою для упрощения и сокращения вычисления употреблением, как он их называет, несовершенных уравнений, т. е. таких, в которых допущено такое арифметически неверное опущение, чем природою самого дела.

Лагранж, как известно, вновь прибег к первоначальному методу Ньютона, методу рядов, для того, чтобы преодолеть трудности, связанные как с представлением бесконечно малых, так и с методами первых и последних отношений и пределов. Достаточно привести из его учения о функциях, преимущества которого в отношении точности, отвлеченности и всеобщности признаны, впрочем, в достаточной мере, что оно покоится на том основоположении, что разность, не становясь нулем, может быть принята столь малою, чтобы каждый член был более суммы всех остальных членов. При этом методе также начинают с категорий приращения и разности функции, переменная величина которой содержит приращение первоначальной функции, с которым является докучный ряд; равно как в дальнейшем отбрасываемые члены ряда принимаются в соображение, лишь как сумма, и основание, почему они отбрасываются, полагается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, стало быть, и здесь определяется вообще не тою точкою зрения, которая отчасти имеет место при некоторых приложениях, при которых, как упомянуто выше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, но потому, что они незначительны по качеству; отчасти же отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом приложении дифференциального исчисления у Лагранжа, о чем еще будет говориться подробнее в следующем примечании.

Качественный характер вообще оказывается свойствен рассматриваемой здесь форме величины, которая называется бесконечно малым, что обнаруживается всего непосредственнее в вышеприведенной категории предела отношения; это ее проведение в исчислении образует своеобразный метод. Из того, что говорит Лагранж по поводу этого метода, именно что ему недостает легкости приложения, и что выражение предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе его аналитическое значение. В представлении предела именно и заключается вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами, ибо входящие в него формы их, dx и dy, должны быть взяты просто лишь как моменты dy/dx, и самое dy/dx должно считаться единым нераздельным означением. Здесь нужно оставить в стороне то обстоятельство, что тем самым механизм исчисления особенно в его приложении утрачивает преимущество, извлекаемое им из того, что члены дифференциального коэффициента отделяются один от другого. Этот предел должен быть пределом данной функции; он должен иметь известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. С простою категориею предела мы не подвинулись бы далее, чем с тем, с чем мы имеем дело в этом примечании, именно показали бы только, что бесконечно малое, изображаемое в дифференциальном исчислении, как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не конечной, не данной величины, как например, когда говорится «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., но определенный смысл качественной определенности количественного, моментов отношения, как таковых. Эта категория в таком виде не имеет еще никакого отношения к тому, что есть некоторая данная функция, не помогает еще сама по себе ее разработке и не приводит к употреблению, которое должно бы иметь место при таком определении; таким образом представление предела, ограниченное такою указанною ему определенностью, не приводило бы ни к чему. Но выражение «предел» содержит уже в себе самом указание на то, что он есть предел нечто, т. е. имеет известное значение, определяемое функциею переменных величин; и должно рассмотреть, к чему приводит этот его конкретный смысл. Он должен быть пределом отношения двух приращений, на которые признаются увеличивающимися две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна считается функциею другой; приращение принимается здесь неопределенно и вообще, и поэтому о бесконечно малом нет еще и речи. Но ближайшим образом путь к нахождению этого предела приводит к таким же непоследовательностям, какие свойственны и другим методам. А именно этот путь таков. Если fx=y, то, при переходе у в у+k, fx переходит в fx+ph+gh2+rh3 и т. д., следовательно k=ph+gh2+rh3 и т. д. а k/h=p+gh+rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезают все члены ряда, кроме p, который и оказывается пределом отношения обоих приращений. Отсюда видно, что хотя h и k, как определенные количества, полагаются =0, но что оттого k/h еще не обращается в 0/0, но остается некоторым отношением. Но представление предела должно обладать тем преимуществом, что оно устраняет заключающуюся тут непоследовательность; р должно быть не тем действительным отношением, которое превратилось в 0/0, но иметь лишь определенное значение, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать менее всякой данной разности. Более определенный смысл приближения в отношении к тому, что собственно должно между собою сближаться, будет рассмотрен ниже. Но что количественное различие, определяемое не только, как могущее, но как долженствующее быть менее всякой данной величины, не есть уже количественное различие, это ясно само по себе и настолько очевидно, насколько может быть что-нибудь очевидно в математике; тем самым, однако, мы не подвигаемся далее dy/dx=0/0. Если же, напротив, dy/dx принимается за р, т. е. за определенное количественное отношение, как это и есть в действительности, то, наоборот, является затруднение в предположении h=0, в предположении, путем которого единственно и получается k/h=p. Если же допустить, что k/h=0, причем, однако, вместе с h=0 и самое k=0 (так как приращение k имеет место лишь при условии существования h), то является вопрос, куда же девается р, которое имеет совершенно определенное количественное значение. На это нам тотчас же дается простой и сухой ответ, что р есть коэффициент, возникающий путем такого-то вывода – известным определенным образом полученная первая производная функция первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как по существу дела довольствуется им Лагранж, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно самая та форма, которая именуется теориею пределов, окажется освобожденною от приращений, от их бесконечной или любой малости, от затруднения, состоящего в том, что кроме первого члена или, правильнее, лишь коэффициента первого члена устраняются дальнейшие члены ряда, кроме тех, которые неустранимы при употреблении данных приращений; кроме того, она очищается и от другого, связанного с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, далее бесконечного приближения и других столь же пустых категорий непрерывных величин[18] и всего того, что считается нужным ввести, как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае нужно бы было показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейшей математической потребности, имеет р, независимо от того совершенно достаточного для теории сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем развития бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.