Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

• Рецензент пишет, что «В математическом сообществе нет строгого правила, что включать в понятие конечная математика». Мне казалось, что этот вопрос ясен т.к. есть даже учебники с названиями «Конечные поля» или «Кольца Галуа». Теперь некоторые из этих учебников включены в ссылку [1], а в тексте я объясняю этот термин и то как понимаю физику, основанную на конечной математике, которую называю FQT.

• Рецензент пишет, что я не признаю свои ошибки т. к. в предыдущих работах называл p константой, а теперь это параметр связанный со временем. Теперь я отмечаю, что терминология в физике не вполне четкая. Например, величины (c,ћ,G) называют фундаментальными константами, но нет доказательства, что они одинаковые на протяжении всей истории Вселенной (вопрос о c особый т.к. просто выбирается система единиц, в которой постоянство c постулируется). В предыдущих работах я не обсуждал проблему времени, но в [3] отметил, что p может быть связано со временем.

• В предыдущем варианте статьи я обсуждал две фундаментальные проблемы:

а) Стандартная квантовая теория является частным вырожденным случаем FQT в формальном пределе p→∞.

б) Даже классическая математика сама по себе является частным вырожденным случаем конечной математики в формальном пределе p→∞.

В письме в редакцию я писал, что эти проблемы являются даже фундаментальнейшими т.к. они меняют стандартную парадигму о том какая физика и какая математика являются самыми фундаментальными. Я думаю, что доказательство а) и б) было дано на уровне принятом в теоретической физике. Но Рецензент считает, что «Предложенное автором доказательство выполнено на научно-популярном уровне, практически ‘на пальцах’ и базируется на физических аналогиях». До этого Рецензент пишет, что «профессиональный подход к этому вопросу должен опираться на строгую математику, например, в стиле известных книг Бурбаки». Недавно я сделал работу (поместил ее в интернете и послал в математический журнал), в которой дано строгое математическое доказательство утверждений а) и б). При этом, одним из необходимых условий для выполнимости б) является выполнимость а). Учитывая это, слова Рецензента и то, что ЭЧАЯ является обзорным журналом, я включил это доказательство в новый вариант статьи.

Теперь о замечаниях Рецензента, которые не учтены.

• О теоремах Гёделя. В ответе на первую рецензию я пытался объяснить почему утверждения Рецензента о теоремах Гёделя неправильные. Теоремы говорят, что проблемы с обоснованием классической математики возникают из-за того, что эта математика использует весь бесконечный натуральный ряд. В конечной математике нет бесконечных множеств и здесь теоремы Гёделя неприменимы. Я писал, что конечная математика начинается с набора чисел (0,1… p-1) но не называл эти числа натуральными, чтобы не возникло впечатления, что конечная математика начинается со всего натурального ряда. Конечно, числа в этом наборе можно назвать натуральными, но с таким же успехом их можно назвать действительными или комплексными. Однако, Рецензент утверждал, что я использую натуральный ряд как исходный строительный материал, и поэтому теоремы Гёделя относятся к конечной математике тоже. Теперь же Рецензент цитирует второй абзац сверху на стр. 9 и говорит: «Разве отсюда не следует, что эти теоремы относятся и к подходу автора, так как он пользуется натуральными числами при построении кольца Rp?» и делает вывод: «Очевидно, автор окончательно запутался с теоремами Гёделя». Т. е. логика Рецензента по-прежнему такая, что раз числа (0,1….p-1) натуральные, то я использую натуральный ряд и поэтому теоремы Гёделя относятся и к конечной математике. Т. е. запутался именно Рецензент т. к. он по-прежнему не понимает, что теоремы Гёделя относятся только к теориям, использующим весь бесконечный натуральный ряд, а в конечной математике не может быть бесконечных множеств по определению.

• О конечной математике в преподавании. Я писал, что основатели квантовой теории не использовали конечную математику и даже сейчас дискретная и конечная математика не входит в стандартное математическое образование на физических факультетах. Рецензент увидел в этой фразе тайный смысл, что якобы, я призываю к реформе математического образования, особенно в России. В ответе на первую рецензию я пытался оправдаться, что никакого тайного смысла в этой фразе нет и что она является просто констатацией фактов. Однако, во второй рецензии Рецензент мои оправдания не принимает и пишет: «И если эта фраза – просто констатация факта, то есть без смысловой нагрузки, то почему автор не удалил ее в ответ на замечание рецензента. Таким образом, мотивация указанная мной, является единственным логическим объяснением данной фразы автора». Конечно, если фраза не несет смысловой нагрузки, то она смысла не имеет. Но она как раз несет очень большую смысловую нагрузку. Как я отмечаю в работе, понятия бесконечно малых/больших, непрерывности и т.д. ввели Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и думали, что любое вещество можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но теперь мы знаем, что это не так т.к. когда доходим до уровня атомов и элементарных частиц, то дальнейшее деление теряет смысл. В природе нет бесконечно малых и непрерывности. Поэтому указанная фраза объясняет очень странный феномен: хотя уже все знают, что есть элементарные частицы, природа дискретна и в ней нет бесконечно малых, но даже после 90+ лет квантовой теории она основана на непрерывной математике, и до сих пор абсолютное большинство физиков думают, что фундаментальные проблемы квантовой теории надо решать в рамках непрерывной математики.

В подтверждение своей интерпретации Рецензент напоминает мне о том, что я учил в студенческие годы. Он пишет: «Разве линейная алгебра, теория групп, теория представлений групп, методы вычислений, программирование и т.д. не являются основой конечной математики и самой конечной математикой? Все это преподается на физических факультетах. Разве автор не изучал эти предметы в свои студенческие годы? Или он просто забыл это и только поэтому ратует за реформу математического образования?»

Методы вычислений и программирование – это не математика. Поэтому рассмотрим линейную алгебру, теорию групп и представления групп, которые, как я надеюсь, я не забыл. В стандартной линейной алгебре пространства конечномерные, но координаты векторов могут быть любыми действительными или комплексными числами, т. е. они принадлежат бесконечным множествам. Поэтому стандартная линейная алгебра, по определению, не относится к конечной математике. В теории кристаллов рассматриваются конечные группы, но группы, которые изучают в квантовой теории (группа вращений, группа Лоренца, группа Пуанкаре и т.д.) используют бесконечно много действительных чисел, т.е., эти группы являются бесконечными множествами. Представления этих групп рассматриваются в линейных пространствах, в которых координаты векторов также могут быть любыми действительными или комплексными числами. Т. е. эти предметы не входят в конечную математику. В последней линейные пространства могут быть над конечным кольцом или полем. Но этих понятий на физфаках не преподают. Более того, я общался со многими физиками из ИФВЭ, ИТЭФ и ОИЯИ и не заметил, чтобы кто-нибудь из них, кроме М.А. Ольшанецкого (кстати, редакция может спросить его мнение о моей статье) использовал линейные пространства над конечными кольцами или полями.

• О проблеме времени. В ответе на первую рецензию я подробно объяснил, что в классических теориях время считается непрерывным, а в квантовой теории даже нет оператора времени. Но, как отмечено выше, в природе нет непрерывности, непрерывность является идеализацией и никакую величину, которая предполагается непрерывной нельзя измерить с абсолютной точностью. В частности, то, что время строго непрерывно тоже является идеализацией. Поэтому дискретные модели могут давать хорошее экспериментальное описание времени. Никаких возражений Рецензент не привел и поэтому непонятно, понял ли он мои утверждения. Но все равно пишет, что это логическая каша, которую я направляю в ЭЧАЯ. Судя по словам Рецензента, он считает, что раз время – классическое понятие, то, по определению, разрешаются только те подходы, в которых время непрерывно. Никаких физических аргументов в пользу этой догмы Рецензент не приводит, но объявляет неприемлемым то, что в эту догму не укладывается.

• Рецензент пишет, что раз p безразмерно, а я сравниваю с ним физические величины, то это абсурд. Но я подробно объясняю, что в самых фундаментальных физических теориях все величины безразмерны, а размерные параметры (c,ћ,R) нужны только для перехода от более общих теорий к менее общим. Никаких возражений против этого рецензент не привел.

• В заключение о том, что в менталитете Рецензента для меня неприемлемо, независимо от того что он знает или не знает по конкретным проблемам.

Я действительно считаю, что утверждения а) и б) являются фундаментальнейшими и имеют значение не только для физики, но и для обоснования математики. В предыдущем письме в редакцию я пытался объяснить почему мои попытки убедить математиков пока являются, в целом, безуспешными. Рецензент прав в том, что в математическом сообществе «нет общепринятого деления математики на фундаментальную и нефундаментальную». Мой опыт общения с математиками тоже показывает, что обычно кругозор математика ограничивается тем чем он занимается. В частности, «конечные» математики считают, что у них свои проблемы, у «непрерывных» математиков свои и эти проблемы не пересекаются. Когда я пытался убедить «конечных» математиков в том, что конечная математика более фундаментальная чем непрерывная, то они говорили, что самолеты летают, мосты строят и все это основано на дифуравнениях. Мои попытки объяснить им, что эти дифуравнения идут из классической физики и поэтому являются только приближенными, успеха не имели т. к. они не понимают разницу между классической и квантовой физикой. Но в физическом сообществе хорошо известно какие теории являются более, а какие менее фундаментальными. Однако, Рецензент использовал мои объяснения против меня. Он пишет, что раз мои результаты до сих пор не вызвали интереса в научной среде, то незачем их «раскручивать».

Когда Шрёдингер и Гайзенберг создавали квантовую механику, то ее почти никто не понимал (и многие физики не понимают до сих пор). Если бы вопрос о публикации работ Шрёдингера и Гайзенберга зависел от людей с менталитетом Рецензента, то эти работы никогда бы не были опубликованы. В моем случае ситуация очень простая. Я утверждаю, что даю строгое математическое доказательство утверждений а) и б). В частности, в доказательстве даю определение, какая теория является фундаментальной, а какая является ее частным случаем. Наверное, нет сомнений, что утверждения а) и б) меняют стандартную парадигму о том какая физика и какая математика являются фундаментальными. Поэтому научный подход должен быть не такой сколько человек этим интересуется, а такой: правильное или неправильное мое доказательство. Если кто-то может опровергнуть мое доказательство, то я был бы очень благодарен и сразу бы отозвал свою статью. Рецензент считает, что в моих работах по FQT нет никаких физических результатов и что в них конечная математика показала свою беспомощность в физике. Конечно, он имеет право иметь такое личное мнение. Но уж теперь, если он не может опровергнуть а) и б), то высказывать такое мнение официально по меньшей мере неэтично.

Можно говорить о больших успехах стандартной квантовой теории (и я с этим согласен) или о том, что в этой теории есть проблемы (и с этим я тоже согласен), но если утверждения а) и б) верны, то будущая квантовая теория не может быть основана на непрерывной математике. Рецензент пишет, что мое доказательство должно обсуждаться прежде всего с профессиональными математиками, что для физиков оно представляет лишь академический интерес и поэтому представление статьи в ЭЧАЯ является "не по адресу". Конечно, я буду пытаться убедить математиков тоже, но, как я писал, здесь проблема, что у многих из них менталитет такой же как у Рецензента только с инверсией физика↔математика: они видят, что мотивировка идет из физики, которую они не знают, поэтому они не пытаются вникнуть в математическое доказательство а) и б). В то же время, довольно странно, что Рецензент думает, что у всех физиков менталитет такой же как у него, что математические доказательства для них это всего лишь что-то академическое и что им важны только применения.

Надеюсь, что среди физиков есть и такие, которые могут применять какую-то теорию не только веря, что она правильная, но и если они сами в этом убедятся. Исторически, как правило, новые физические теории возникали когда привлекалась математика, которая раньше в физике не применялась. Например, до квантовой теории Гильбертовы пространства не применялись в физике. Наверное, Рецензент не сомневается, что Дирак – великий физик. Приведу его слова, которые, с точки зрения Рецензента, являются полной крамолой: «I learned to distrust all physical concepts as a basis for a theory. Instead one should put one's trust in a mathematical scheme, even if the scheme does not appear at first sight to be connected with physics. One should concentrate on getting an interesting mathematics.» Отмечу также, что ЭЧАЯ публикует много работ, в которых рассматриваются чисто математические проблемы квантовой теории, т. е. предполагается, что есть физики, для которых математика представляет не только академический интерес.

Что мне понравилось в подходе этого рецензента: он не играет в дипломатию, режет правду-матку (как он ее понимает) и не боится, что выяснится, что он чего-то не понимает. Поэтому отвечать на его рецензии легко т.к. ясно, что он утверждает. Например, западные рецензенты обычно намного хитрее. Когда они понимают, что некомпетентны, то стараются так обойти углы, чтобы это не проявилось, поэтому произносят какие-то общие слова и надо думать как ответить, чтобы было ясно, что рецензент без понятия.

После этого ответа получил рецензию второго рецензента:

Review of the article by Felix M. Lev

"Finite mathematics, finite quantum theory and a conjecture on the nature of time"

The author considers an extremely non-standard approach to quantum theory (QT) based on finite ring or field with characteristic p1 (the finite quantum theory (FQT). Author, in particular, shows that the conventional QT is a limiting case of FQT as p1. In the QFT approach, the characteristic $p$ is a fundamental evolving [!] parameter which defines how the classical equations of motions arise as a consequence of changing of p; moreover, p may be (this is an author's conjecture) the “precursor" of notion of time itself (»…the existence of classical time is a consequence of the fact [!?] that p changes»). Well, although our physiology (and/or psychology?) does not provide a chance to understand what is evolution of Universe (or its part) out of time, the reader may believe that the author understand it and then try to follow the formal (finite) mathematics. Nonetheless, if p changes, there must be even more fundamental cause governing this «fact»… but let's stop the metaphysics. Obviously, the very unconventional concepts formulated in the paper under review (as well as in the previous publications by the author (Refs. [1–3]) are highly disputable, but they are nontrivial and thus interesting. So these concepts must be presented to the community at least as a subject of criticism, controversy… or silence. A handicap of the paper (from my personal point of view) is its volume together with too lengthy explanations of comparatively simple and known things and too lapidary discussion of the specific axiomatics and (even more important) implications and (potentially) falsifying effects of the FQT.

1 The article looks like a novel about Cabbages and Kings (in other words, about everything known to the author). I guess that many items could be ejected in order to simplify understanding of the main ideas and results and to classify the ins and outs of the theory; this is not a demand but just a suggestion. In fact I have a lot of questions and even objections against the author's categorical statements, but I would not like to force a further increase in the length of the text. In conclusion, I think that the writeup under review is of interest for the community and thus is suitable for publication.

And yes, «Viennese School's philosophy» still predominates in physics, if we are able to separate postulates and consequences. This philosophy simply suggests to compare the consequences (and not the postulates) with the relevant empirical facts, but it does not demand to test the axioms of mathematics.

Я благодарен рецензенту за эту рецензию, после которой откорректированный вариант статьи был принят и опубликован в [21].

Глава 15. Попытка опубликовать монографию в Springer

15.1. Предложение о монографии

Свой подход к квантовой теории и свои результаты решил изложить в монографии. Мое предложение о монографии, посланное в Springer такое:

Dear Dr. Lahee,

Please consider my monograph proposal. The monograph will be based on my paper https://arxiv.org/abs/1104.4647 which contains 259 pages. Probably the final version will be longer but not considerably. The title of the monograph is:

Finite Quantum Theory and Applications to Gravity and Particle Theory and the abstract is:

We argue that the main reason of crisis in quantum theory is that nature, which is fundamentally discrete and even finite, is described by continuous mathematics. Moreover, the ultimate physical theory cannot be based on continuous mathematics because it has its own foundational problems which cannot be resolved (as follows, in particular, from Gödel's incompleteness theorems). In the first part of the work we discuss inconsistencies in standard quantum theory and reformulate the theory such that it can be naturally generalized to a formulation based on finite mathematics. It is shown that: a) as a consequence of inconsistent definition of standard position operator, predictions of the theory contradict the data on observations of stars; b) the cosmological acceleration and gravity can be treated simply as kinematical manifestations of de Sitter symmetry on quantum level (i.e. for describing those phenomena the notions of dark energy, space-time background and gravitational interaction are not needed). In the second part we consider a quantum theory based on finite mathematics with a large characteristic p. In this approach the de Sitter gravitational constant depends on p and disappears in the formal limit p→∞, i.e. gravity is a consequence of finiteness of nature. The application to particle theory gives that: a) the electric charge and the baryon and lepton quantum numbers can be only approximately conserved (i.e. the notion of a particle and its antiparticle is only approximate); b) particles which in standard theory are treated as neutral (i.e. coinciding with their antiparticles) cannot be elementary. We consider a possibility that only Dirac singletons can be true elementary particles. Finally we discuss a conjecture that classical time t manifests itself as a consequence of the fact that p changes, i.e. p and not t is the true evolution parameter.

The monograph will be based on my results published in:

[1] F. M. Lev, Some Group-theoretical Aspects of SO(1,4)-Invariant Theory. J. Phys., A21, 599–615 (1988).

[2] F. Lev, Representations of the de Sitter Algebra Over a Finite Field and Their Possible Physical Interpretation. Yad. Fiz., 48, 903–912 (1988).

[3] F. Lev, Modular Representations as a Possible Basis of Finite Physics. J. Math. Phys., 30, 1985–1998 (1989).

[4] F. Lev, Finiteness of Physics and its Possible Consequences. J. Math. Phys., 34, 490–527 (1993).

[5] F. Lev, Exact Construction of the Electromagnetic Current Operator in Relativistic Quantum Mechanics. Ann. Phys. 237, 355–419 (1995).

[6] F. M. Lev, The Problem of Interactions in de Sitter Invariant Theories. J. Phys., A32, 1225–1239 (1999).

[7] F. Lev, Massless Elementary Particles in a Quantum Theory over a Galois Field. Theor. Math. Phys., 138, 208–225 (2004). The journal is published by Springer.

[8] F. M. Lev, Could Only Fermions Be Elementary? J. Phys., A37, 3287–3304 (2004).

[9] F. Lev, Why is Quantum Theory Based on Complex Numbers? Finite Fields and Their Applications, 12, 336–356 (2006).

[10] F. M. Lev, Quantum Theory and Galois Fields, International J. Mod. Phys. B20, 1761–1777 (2006).

[11] F. M. Lev, Positive Cosmological Constant and Quantum Theory. Symmetry 2(4), 1401–1436 (2010).

[12] F. M. Lev, Introduction to a Quantum Theory over a Galois Field. Symmetry 2(4), 1810–1845 (2010).

[13] F. M. Lev, Is Gravity an Interaction? Physics Essays, 23, 355–362 (2010).

[14] F. Lev, Do We Need Dark Energy to Explain the Cosmological Acceleration? J. Mod. Phys. 9A, 1185–1189 (2012).

[15] F. Lev, de Sitter Symmetry and Quantum Theory. Phys. Rev. D85, 065003 (2012).

[16] F. M. Lev, A New Look at the Position Operator in Quantum Theory. Physics of Particles and Nuclei, 46, 24–59 (2015). The journal is published by Springer.

[17] F. M. Lev, Why Finite Mathematics Is The Most Fundamental and Ultimate Quantum Theory Will Be Based on Finite Mathematics. Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei Letters, 14, 77–82 (2017). The journal is published by Springer.

[18] F. M. Lev, Fundamental Quantal Paradox and its Resolution. Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei Letters, 14, 444–452 (2017). The journal is published by Springer.

and possibly in other journals.

I graduated from the Moscow Institute for Physics and Technology, got a PhD from the Institute of Theoretical and Experimental Physics in Moscow and a Dr. Sci. degree from the Institute for High Energy Physics (also known as the Serpukhov Accelerator). In Russia there are two doctoral degrees; Dr. Sci. degree is probably an analog of Habilitationsschrift in Germany. In Russia I worked at the Joint Institute for Nuclear Research (Dubna, Moscow region) and now I work at a software company in Los Angeles, USA.

I have many papers published in known journals (Ann. Phys., Few Body Systems, J. Math. Phys., J. Phys. A, Nucl. Phys. C, Phys. Rev. C and D, Phys. Rev. Letters and others). The majority of those papers are done in the framework of more or less mainstream approaches. On the other hand, the proposed monograph will be done in the fully new approach which I am working on for many years. In this approach quantum theory is based on finite mathematics.

I think that the main problems in convincing physicists that ultimate quantum theory will be based on finite mathematics are not scientific but subjective. First of all, the majority of physicists do not have even a very basic knowledge in finite mathematics. This is not a drawback because everybody knows something and does not know something and it is impossible to know everything. However, many physicists have a mentality that only their vision of physics is correct, they do not accept that different approaches should be published and if they do not understand something or something is not in the spirit of their dogmas then this is pathology or exotics which has nothing to do with physics.

Probably this situation has happened in view of several reasons. For example, the successes of QED at the end of the 40th were very impressive and it is of course impressive that the theory gives correct eight digits for the electron and muon magnetic moments and five digits for the Lamb shift. From mathematical point of view QED has several inconsistencies the reasons of which are clear. The above famous results are obtained by subtracting infinities from each other. However, in view of these and other results the mentality of the majority of physicists is that agreement with the data is much more important than mathematical consistency and many of those physicists believe that all fundamental problems of quantum theory can be solved in the framework of QFT or string theory (which has similar mathematical inconsistencies).

The meaning of «quantum» is discrete and historically the name «quantum theory» has arisen because it was realized that some physical quantities have discrete spectrum. The founders of quantum theory were highly educated physicists but they used only standard continuous mathematics, and even now discrete and finite mathematics is not a part of standard mathematical education at physics departments. Several famous physicists (e.g. Schwinger, Wigner, Nambu, Gross and others) discussed a possibility that ultimate quantum theory will be based on finite mathematics. One of the reasons is that in this case infinities cannot exist in principle. However, standard quantum theory is based on continuous mathematics. Efforts of many physicists to resolve fundamental difficulties of this theory (e.g. existence of infinities) have not been successful so far. Continuous mathematics describes many data with high accuracy but this does not necessarily imply that ultimate quantum theory will be based on continuous mathematics. For example, classical mechanics describes many data with high accuracy but fails when v/c is not small. Continuous mathematics is not natural in quantum theory. For example, the notions of infinitely small and infinitely large have arisen when people did not know about atoms and elementary particles and believed that any object can be divided by any number of parts. Ultimate quantum theory cannot be based on continuous mathematics because the latter has its own foundational problems (as follows, for example, from Gödel’s incompleteness theorems).