Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Когда мы разрываем окружность, то теряем симметрию т. к. окружность – более симметричная фигура чем бесконечная прямая. Это следует из того, что если возьмем aϵZ и будем все время прибавлять 1, то не исчерпаем всё Z. Для этого надо к a прибавлять +1 и -1, причем бесконечное число раз. И, когда мы разорвали окружность и получили набор целых чисел, то теперь с ними можем наводить большую науку, вводить, рациональные, действительные числа и т.д. Как я объясняю в своих работах (см. также новый вариант статьи), рациональные и действительные числа являются искусственными и для квантовой теории они не нужны. Никто не спорит, что техника стандартного анализа полезна во многих приложениях, но эта техника часто является хорошим приближением потому, что p очень большое. И раз стандартная математика часто хорошо описывает данные даже в квантовой теории, то это не значит, что всегда будет достаточно применять стандартную математику. Например, классическая механика описывает много данных с высокой точностью, но перестает работать когда v/c не мало.

Итак, стандартная математика может трактоваться как формальный предел конечной при p→∞. Конечная математика является более общей (или фундаментальной) т.к. она может воспроизвести все результаты стандартной математики, если взять p достаточно большим. И наоборот, в отличие от того, что пишет рецензент, когда мы уже перешли к пределу p→∞, то вернуться назад мы уже не можем. Стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной т. к. в стандартной математике уже нет операций по модулю p. Ситуация полностью аналогична той, которая описана выше для трех случаев: менее общая теория получается из более общей, когда некоторый параметр, который в более общей теории конечен, формально устремляется к нулю или бесконечности. Это я объясняю в своих работах, в том числе в [15], которую рецензент читал. Но т. к. это не убедило рецензента, то в новом варианте я это объясняю более подробно, тем более, что ЭЧАЯ является обзорным журналом.

Рецензент пишет, что в [15] p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, а в настоящей работе"…p характеристика конечного поля или кольца. Какая именно характеристика автор не уточняет.". В учебниках по конечной математике число p называется характеристикой конечного поля или кольца, так что все операции производятся по модулю p. Это я писал в предыдущих работах. В настоящей работе смысл p объясняется и в конце раздела 2 говорится, что в теории чисел p – это стандартное обозначение для характеристики поля или кольца, так что тоже объясняется в каком смысле p характеристика. Но все же, в связи с замечанием рецензента, теперь и в новом варианте статьи, как только ввожу p, то сразу пишу, что оно называется характеристикой.

Итак, и в моих предыдущих работах и в данной работе p – это одна и та же величина. Слова рецензента, что p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, в общем случае, неправильные. Например, квадратичное расширение колъца Rp является конечным аналогом комплексных чисел и здесь число объектов равно p2. И логика рецензента противоречива: в одном месте он говорит, что я использую натуральный ряд (т. е., бесконечное множество) как "исходный строительный материал" и выбросил упоминание о натуральном ряде, а в другом, что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов. Из этих рассуждений следует, что в любой физической теории основанной на конечной математике обязательно есть конечный параметр p, который является характеристикой конечного поля или кольца. Можно было бы сказать, что стандартная теория лучше т. к. в ней нет такого параметра. Но это аналогично тому, что в рассмотренных выше примерах физических теорий сказать, что нерелятивистская классическая теория без гравитации является самой лучшей т.к. в ней нет никаких параметров.

Возникает вопрос, есть ли какие-то соображения для выбора p. Рецензент пишет, что в данной работе "В процессе эволюции Вселенной параметру p необходимо придавать различные значения. По какому закону это надо делать – автор не указывает. Как это согласуется с утверждением, что p – это фундаментальная константа (см пункт (а)), автор не поясняет.".

Вопрос о выборе p очень сложный и, т.к. FQT – еще далеко не законченная теория, в ней нет однозначного ответа на этот вопрос. Когда я начинал работать над FQT, то предполагал, что эта теория должна быть основана на конечном поле. В этом случае p обязательно должно быть простым и, например в [23] обсуждаются различные варианты. Но, после изучения работ M. Saniga и переписки с ним, сейчас думаю, что это необязательно и, т.к. деление не является фундаментальной операцией, то теория над кольцом более привлекательна. В этом случае p необязательно должно быть простым.

В первоначальных работах по FQT я не рассматривал эволюцию, трактовал p как фундаментальный параметр, но не писал, что p – это константа, которая одинакова на всех стадиях эволюции Вселенной. Например, в современных теориях величины cћG считаются фундаментальными константами, но нет закона, что в процессе эволюции Вселенной они все время одинаковы, особенно большие дебаты идут о том меняется ли G со временем. В настоящей работе я рассматриваю гипотезу, что то, что мы воспринимаем как классическое время является следствием того, что p разное на разных стадиях эволюции Вселенной. Т. е. я не говорю, что p меняется со временем т. к. в этой гипотезе само существование времени – следствие того, что p меняется. Основная цель работы – привести аргументы в пользу этой гипотезы. Отмечу, что многие известные факты в науке первоначально были сформулированы как гипотезы и некоторые из них не доказаны до сих пор, например, гипотеза Римана о дзета-функции. Но вокруг этой гипотезы идут большие споры, так что неправильно сказать, что Риман не должен быть публиковать свою гипотезу.

Если моя гипотеза верна и на каждом шаге эволюции то что мы воспринимаем как время каждый раз меняется на одну и ту же величину, то, как следует из формулы (77), величина Δlnp каждый раз меняется приблизительно на одну и ту же величину. Но этот вопрос требует дальнейшего исследования. Надеюсь, что итог этого длинного рассуждения ясен: конечная математика является более фундаментальной чем стандартная. Если рецензент имеет возражения и все равно считает, что вопрос неясен, то буду признателен за любую конструктивную критику.

Рецензент прав, что в [15] FQT трактуется как теория, которую только предстоит построить. Однако, я не понимаю, почему рецензент решил, что в данной работе FQT трактуется как реальная теория. Таких утверждений в статье нет. На стр. 9 написано: «In Refs. [13, 9] and other publications we have proposed an approach called FQT (Finite Quantum Theory) when Lie algebras and representation spaces are over a finite field or ring with characteristic p». Т. е., FQT характеризуется как подход, а не как уже сформировавшаяся теория.

2. Об энергии вакуума

Рецензент пишет: «Автор сознательно умалчивает о том, что «предсказание» окончательной квантовой теории (FQT) о равенстве нулю вакуумной энергии… противоречит хорошо известному в современной физике эффекту Казимира. В рецензируемой статье автор не упоминает об этом «предсказании» FQT… и пояснений не дает». Опишу в чем смысл моего результата о нулевой вакуумной энергии. Возьмем какую-то стандартную QFT, например QED. Здесь считается, что энергия вакуума должна быть нулевой, но после квантования для нее получается бесконечное выражение. Чтобы избежать этого, говорят, что операторы рождения-уничтожения должны быть записаны в нормальной форме. Из постулатов теории это не следует, просто мы хотим иметь нулевую энергию вакуума. В работе [15], которую упоминает рецензент, я ссылаюсь на свое подробное вычисление, например, в [3]. Это вычисление заключается в следующем. Во-первых, как написано в [15], я рассматриваю случай когда частицы не нейтральны, т.е., не совпадают со своими античастицами. Беру выражение для энергии вакуума, которое в стандартной теории является бесконечным, но считается, что энергия должна быть нулевой. Вычисляю эту же сумму, но над конечным полем и получаю что для частиц со спином 1/2 сумма равна нулю. Далее в [15] я пишу: “Our conclusion is that while in standard theory the vacuum energy is infinite, in FQT it is not only finite (in finite mathematics it cannot be infinite) but is exactly zero if s=1 (i.e. s=1/2 in the usual units)”.

Так что результат чисто технический: просто вычисляется сумма, которая в стандартной теории бесконечна и показывается, что в FQT для не нейтральных частиц со спином 1/2 она равна нулю. Не буду обсуждать насколько результат фундаментальный, но, во всяком случае, чисто формально никакого противоречия с эффектом Казимира нет.

Но все же замечу следующее. Во-первых, в литературе обсуждается, согласуется ли эффект Казимира с тем, что в квантовой гравитации считается, что энергия вакуума обязана быть нулевой. Кроме того, в эффекте Казимира речь идет не о вакуумной энергии всей системы, а о вакуумной энергии только электромагнитного поля в присутствии других тел. Т.е., даже не совсем понятно, может ли в таком случае термин «вакуумная энергия» быть физически правильным т.к. среднее значение оператора энергии электромагнитного поля не равно нулю не в вакууме, а когда есть другие тела.

Так что заявление рецензента, что я сознательно скрыл свой результат, чтобы не показать противоречие FQT с эффектом Казимира, необоснованно. Противоречия никакого нет, и к данной работе этот результат не имеет отношения.

3. Проблема времени в квантовой теории.

Вначале о чисто техническом вопросе, который обсуждает рецензент. Он говорит, что в разделе 8 формулы (77) вообще нет. Это не так т.к. на стр. 33 четвертая строка снизу написано: Since time is a dimensionful parameter, we define time such that its variation is given by Δt = RΔlnp/lnp. Это как раз формула (77), но в единицах c=1, которые приняты в данном разделе. Далее рецензент пишет: «…величины n и p в правой части формулы (77) – целые числа, поэтому Δt может принимать только дискретные значения, что, очевидно, не позволяет трактовать t как классическое время. Таким образом, предположение автора о природе (классического) времени (формула (77)) совершенно несостоятельно».

Видимо, здесь описка т.к. в (77) величины n нет совсем, но смысл утверждения рецензента кажется понятным. Опять-таки, как я писал выше, если у меня есть неясность, то я стараюсь не заключать сразу, что кто-то другой не понимает. Но в данном случае опять не могу найти другого объяснения чем то, что представление рецензента о классическом времени (мягко говоря) довольно странное.

В стандартных теориях величина t считается непрерывной т.к. эти теории используют непрерывную математику. Но понятие бесконечно малых было введено Ньютоном и Лейбницем когда люди не знали, что есть атомы и элементарные частицы и думали, что любое вещество можно разделить на любое сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но теперь мы знаем, что это невозможно и в природе непрерывности нет, так что теперь кажется общепризнанным, что непрерывность – это только математическая абстракция. Насколько я понимаю, большинство физиков это признают и здесь дискуссии идут только о том с какой точностью величины, которые в непрерывных теориях считаются непрерывными, хорошо приближаются такими теориями.

В частности, что касается времени, то это чисто классическое понятие. В литературе обсуждается какое минимальное время можно измерить. Пишут о наносекунде и даже фемтосекунде. Те, кто серьезно относится к инфляционным моделям, говорят даже о 10-35s, а те, кто всерьез относится к Планковским единицам говорят о Планковском времени 10-43s. Но, совершенно непонятно, имеют ли смысл времена 10-100s или 10-1000s. Если время изменилось на Δt, а координата r на Δr, то при малых Δt и Δr величина Δr/Δt может быть очень близка к величине dr/dt, которую дает какая-то дифференцируемая теория. Но ни в каком физическом эксперименте нельзя измерить Δt и Δr с произвольно большой точностью.

Поэтому требование рецензента, что любая модель времени должна быть строго непрерывной выглядит (мягко говоря) очень странно. В моем подходе, исходящем из FQT никакое время не может быть непрерывным потому что FQT использует только конечную математику. Однако, если величины Δt намного меньше чем стандартные классические времена, то величины типа Δr/ Δt могут быть очень близки к тем, которые дают стандартные классические теории для dr/dt. В частности, величины даваемые формулой (77) могут быть настолько малы, что выражения Δr/ Δt могут быть формально с хорошей точностью заменены на dr/dt, которые удовлетворяют стандартным дифференциальным уравнениям. Все это подробно объясняется в статье, но почему-то, рецензент непреклонен: раз не получилось строго непрерывное время, то он без колебаний объявляет, что «предположение автора о природе (классического) времени (формула (77)) совершенно несостоятельно».

В заключительной части рецензии рецензент пишет: «В статье отсутствуют физически интересные результаты по заявленной автором теме (Предположение о природе времени). Аргументы автора поверхностны и формулируются нечетко, изложение явно тенденциозно… Данная работа не дает ничего содержательного для выяснения проблемы времени и только наглядно демонстрирует беспомощность конечной математики в таком важном для физики вопросе».

Конечно, рецензент вправе иметь свое мнение о моих результатах, но в рецензии это мнение должно быть обосновано. В статье подробно объясняю почему проблема времени в квантовой теории является очень важной и в чем смысл моих результатов. Рецензент тоже пишет, что проблема времени важная. Но в рецензии нет никакого намека на то как рецензент трактует эту проблему. Например, считает ли он проблемой, что в квантовой теории нет оператора времени, считает ли, что время не является первичным понятием, а должно как-то выводиться из квантовой теории или что просто надо постулировать существование непрерывного времени t. Из сказанного выше следует, что единственная причина почему рецензент отвергает мои результаты – потому, что в моем подходе время не может быть строго непрерывным. Если бы так заявил чистый математик, который совершенно не знает физики, то это было бы хоть как-то понятно. Но когда такое заявляет физик, то, как я писал, это выглядит (мягко говоря) очень странно. Кроме того, принципы научной этики предполагают, что любое отрицательное утверждение должно быть обосновано. Рецензент пишет, что мое изложение поверхностно и тенденциозно, но не объясняет в чем конкретно поверхностность и тенденциозность. Если он думает, что это следует из его критических замечаний в рецензии, то, как я объясняю выше, ни одно из его критических замечаний не является правильным.

4. Замечания рецензента о моей мотивации

Кроме критических замечаний о моем подходе и результатах, рецензент также высказывает свое мнение о моей мотивации. Он приводит фразу из статьи: «Основатели (квантовой) теории были высокообразованными физиками, но они использовали только классическую математику, и даже сейчас математическое образование на физических факультетах не включает дискретную и конечную математику». Казалось бы, раз он приводит эту фразу, то естественно ожидать, что он выскажет свое мнение о том, правильная ли фраза или нет. Но он свое мнение не высказывает, а делает вывод о мотивации этой фразы: «Таким образом, автор занимается просто лоббированием очередной реформы математического образования, прежде всего в России». Эта фраза ставит передо мной проблему, надо ли мне как-то оправдываться и объяснять, что я совсем не это имел в виду. Раз рецензент поднял этот вопрос, то попробую объяснить мотивацию этой фразы.

Конечно, в ответе на научную рецензию оправдания этой фразы могут выглядеть странно. Но все же напишу вначале, что никакого интереса в каком-то лоббировании у меня нет. У меня никогда не было постоянной позиции в образовании, а лекции я иногда читал только в дополнение к своей основной работе. Например, в 1988 г. я читал в ОИЯИ курс лекций в рамках программы «Лекции для молодых ученых ОИЯИ». В этой фразе я просто указываю на факт, но ничего не говорю о том, какая часть математического образования на физических факультетах должна посвящаться стандартной математике, а какая часть нестандартной.

Я действительно думаю, что рано или поздно фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике. В своих работах и даже в ответе на эту рецензию привожу разные аргументы в пользу моей точки зрения. Однако, из замечаний рецензента следует, что его менталитет такой: если кто-то не следует традиционному подходу к квантовой теории (основанному на непрерывной математике), то за этим стоит не наука, а какие-то другие интересы. Т.е., он фактически налагает табу на любые попытки отклониться от его представлений о квантовой теории.

Нет сомнения, что стандартная квантовая теория достигла больших успехов при решении различных задач. Но, в то же время, хорошо известно, что теория еще далека от завершения и в ней есть большие проблемы. Например, в теории есть бесконечности. В перенормируемых теориях от них можно формально избавиться (если не очень следить за математической строгостью). Но обычно считается, что квантовая теория гравитации – это неперенормируемая QFT и там от бесконечностей нельзя избавиться даже во втором приближении теории возмущений. И даже в перенормируемых теориях свойства ряда теории возмущений совершенно непонятны, например, сходится ли он, является ли асимптотическим и т. д. Так что, если константа взаимодействия не маленькая, то тоже ничего посчитать нельзя.

Некоторые физики считают, что все эти проблемы – несерьезные, а те, кто считают эти проблемы серьезными, думают, что надо где-то улучшить QFT или теорию струн и тогда эти проблемы будут решены. Правда, например, Вайнберг считает, что «new theory is centuries away». Но все равно многие думают, что все будет сделано в обычной непрерывной математике, хотя, из сказанного выше, кажется очевидным, что такая математика не может быть фундаментальна на квантовом уровне.

Некоторые знаменитые физики, например, Швингер, Вигнер, Намбу, Гросс и другие рассматривали возможность, что будущая фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике. В своих статьях (в том числе и в настоящей) привожу ссылки на работы других авторов, где тоже рассматривалась такая возможность. Так что в этом я далеко не первый. Одна из мотиваций – что в этом случае бесконечностей не может быть в принципе. Если следовать рецензенту, то надо сделать вывод, что все эти ученые тоже руководствовались не научными, а какими-то лоббистскими интересами.

Исходя из сказанного, считаю, что заявление рецензента о мотивации указанной фразы фактически является заявлением о моей научной недобросовестности, что является неприемлемым для научной рецензии.

Как отмечено выше, рецензент необоснованно считает, что я трактую свой результат о вакуумной энергии как «предсказание» FQT на все случаи жизни. Но как бы он не понимал мой результат, заявление рецензента, что я сознательно скрыл этот результат тоже является обвинением в научной недобросовестности. И фактически утверждение рецензента, что я не упомянул натуральный ряд и теорему Гёделя для случая конечной математики тоже является таким обвинением, и даже не важно, что в данном случае рецензент не понимает, что натуральный ряд и теорема Гёделя не имеют никакого отношения к конечной математике. Ошибки в понимании могут быть во многих случаях, но трактовать это как научную недобросовестность можно только если абсолютно ясно, что других объяснений нет. Но менталитет рецензента такой, что он даже не допускает, что он сам может чего-то не понимать или ошибаться, и у него нет моральной проблемы в заявлении, что автор показывает научную недобросовестность.

Мои общие замечания о рецензии такие. Я понимаю, что трудно дать рецензию на работу, в которой не являешься специалистом. Так как дискретная и конечная математика действительно не преподается на физических факультетах, то большинство физиков не знакомы даже с самыми основами такой математики. Это не является недостатком т. к. каждый что-то знает и чего-то не знает, и невозможно знать все. Но у некоторых физиков менталитет такой, что если они видят работу, которую они не понимают или которая не соответствует их представлениям, то сразу делают вывод, что это – экзотика и/или патология, которая не имеет отношения к физике.

До сих пор я получал из ЭЧАЯ и Писем в ЭЧАЯ рецензии, в которых замечания были на высоком научном уровне и целью этих замечаний было помочь автору в улучшении статьи. В ответ на эти замечания, статьи обычно перерабатывались и иногда не один раз. Один из рецензентов написал, что хотя он лично не верит в мой результат, но т.к. он не может его опровергнуть, то не возражает против публикации. Это является примером высокой научной порядочности. Однако, ситуация с настоящей рецензией полностью противоположная.

Рецензент дает отзыв на статью, исходящую из конечной математики. Он не знает даже азов этой математики, что сразу следует из его фраз, что я использую натуральный ряд как строительный материал для такой математики и что теоремы Гёделя применимы к конечной математике. Как я отмечал выше, незнание конечной математики не является недостатком. Однако, не имея даже базовых знаний о такой математике, рецензент делает заключение о моих результатах даже не понимая их. Как показано выше, ни одно из его критических замечаний не является правильным. Но главное даже не то, что все они неправильные (ошибаться может каждый), а то, что рецензент не допускает, что он может чего-то не понимать и делает свои заключения в безапелляционном тоне. Кроме того, в добавление к суждениям о научных результатах, рецензент делает еще необоснованные утверждения о моей мотивации. То, что ему кажется моими ошибками он объясняет не научными причинами, а тем, что, якобы, я специально скрываю недостатки своего подхода и что-то лоббирую, т. е. фактически обвиняет меня в научной недобросовестности. Поэтому выводы рецензента считаю необоснованными и прошу редакцию пересмотреть эти выводы.

P. S. Как я отмечал выше, любая критика, даже неправильная, полезна для меня т.к. помогает понять в чем у читателей могут быть проблемы. С учетом замечаний рецензента, статья значительно расширена и, в частности, в ней подробно объяснен фундаментальный (и даже фундаментальнейший) факт, что обычная непрерывная математика является вырожденным частным случаем конечной. Т.к. ЭЧАЯ – обзорный журнал, то думаю, что изложение этого факта в статье оправдано.

Что основное в рецензии? Во-первых, то, что рецензент не знает самых основ конечной математики, но с уверенностью отвергает. А его фраза, что раз я написал, что создатели квантовой теории были квалифицированными физиками, но не использовали конечную математику т.к. даже сейчас она не преподается на физических факультетах, то это попытка реформы образования, прежде всего в России, просто смешная.

Казалось бы, в этом ответе на рецензию все подробно объяснено. Но редакция прислала новый ответ, который не могу воспроизвести т. к. он в русском. pdf файле, который не смог скопировать. Поэтому могу привести только свой ответ на эту рецензию:

Ранее я подробно ответил на первую рецензию. Однако, вторая рецензия еще более отрицательная. Например, она содержит фразы «Полный абсурд!», «Опять абсурд» и другие недипломатические выражения. Кроме того, мой общий уровень Рецензент оценивает весьма низко: например, он пишет «впервые встречаю такого физика» и предполагает, что я забыл математику, которую изучал в студенческие годы. Рецензия заканчивается словами: «Дальнейшее обсуждение данной темы с автором не имеет смысла». Это значит, что свою вторую рецензию Рецензент провозгласил истиной в последней инстанции. В ответе на первую рецензию я отмечал, что Рецензент даже не допускает мысли, что он может ошибаться или что-то не понимать. Конечно, при таком подходе Рецензента обсуждать что-либо не имеет большого смысла. Тем не менее, я должен ответить на те замечания, которые непосредственно касаются статьи. Например, я не буду обсуждать проблему энергии вакуума т. к. уже отмечал, что она не имеет прямого отношения к статье (и к тому же, как обычно, Рецензент даже не пытался понять смысл моих замечаний по этой проблеме). Некоторые замечания Рецензента учтены, а некоторые не учтены. Вначале отмечу те замечания, которые учтены.