Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей

скачать книгу бесплатно


Число сочетаний

Теперь рассчитаем число сочетаний книг из библиотеки, буккроссинга. На первом этаже подъезда дома Татьяны и Артура инициативная группа создала полку для обмена книгами буккроссинг. Сегодня на полке осталось 7 книг, Все книги были интересными, но Артур решился позволить себе прочитать лишь три книги из-за высокой учебной нагрузки. Каково число вариантов выбора трёх книг из семи?

Чтобы найти ответ надо просто разделить все имеющиеся 7 книг на три подгруппы А, Б, В и мысленно осуществлять перестановки в каждой, их число будет

А) Всего в библиотеке 7 книг или 7! перестановок

Б) Дома у Артура 3 книги или 3! перестановок

В) Осталось в библиотеке 4 книги или 4! перестановок.

при этом не различимы варианты, когда книги остаются в пределах любой из подгрупп: не важно в каком порядке они следуют на полке дома у Артура или остаются стоять в библиотеке. Поэтому имеем:

Число сочетаний для случая буккросинга на полке дома Артура

а общая формула для расчёта числа сочетаний:

Биноминальный коэффициент или число сочетаний рассчитывается по это формуле

Смысл формулы заключается в том, что из возможных перестановок книг, перестановки на самой полке библиотеки буккросинга и личной полке читателя не имеют значения: такие перестановки рассматриваются как равнозначные сочетания. Следовательно общее число перестановок необходимо разделить на число перестановок на библиотечной полке и разделить также на число перестановок на читательской полке.

Число сочетаний это также биноминальный коэффициент. Происходит это наименование из Бинома Ньютона. Несложно раскрыть следующее выражения (a + b)

для случая n = 2, n = 3, n = 4 – легко убедиться, что образуется ряд в виде суммы произведений вида:

Бином Ньютона. С помощью этой формулы можно разложить выражение (a + b)

здесь знак суммирования обозначается греческой буквой ?, читается как сигма,

где целое m – это счетчик, пробегающий значения от 0 до n.

Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам расположены единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в строке выше (мысленно следует записать ещё по единице слева и справа самой верхней единицы):

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Как легко убедиться в каждом ряду стоит число сочетаний C

или биноминальный коэффициент.

Любопытно разложение: (1+1)

 = ? C

означающая, что сумма любого ряда всех биноминальных коэффициентов равна 2

например 1 +2 +1 = 2

 – проверьте для более высоких степеней!

=========================

Родители и Артур взяли на прокат коньки и пошли на ледовый каток. Играла музыка, из-подо льда мигала светодиодная подсветка причудливыми узорами, играла приятная мелодия. Татьяна, Матвей и Борщов предпочли конькам лыжи. Они выбрали трассу Пятёрка – пять километров в хвойном лесу, где были такие причудливые холмы с неожиданными спусками и подъёмами.

Борщов шёл коньковым ходом впереди, плавно, легко, широкими шагами, вслед за ним плавно как на коньках следовала Татьяна, замыкал этот командный забег Матвей, часто семенящий на лыжах.

Борщов сделал небольшой круг, разворот и снова оказался позади Матвея.

– Дружище, надо бы толкаться плавнее, чтобы работали руки и пресс, – показал он Матвею. – Палочка ставится плавно чуть вперёд в сторону движения, корпус догоняет её и работает рука. Плавно налегаем. Ноги пружинят. В результате работа от приложения мускульных усилий преобразуется в кинетическую энергию. Все фазы движения должны быть согласованы.

– Я за этим не успеваю следить! – ответил Матвей.

– А следить и не надо – надо чтобы красота движения была отработана до автоматизма. Красота – это значит эффективное движение, это принцип наименьшего действия, есть такой в физике… И главное, ощущение хорошей внутренней игры, как говаривал старина Тимоти Голви!

На двадцать шестой минуте группа подошла к финишу.

– Неплохо, отметила Татьяна, – а давайте сдадим лыжи в прокат и посидим в кафе на лыжной базе, пока наши фигуристы катаются на коньках.

Всё пропало, все пропало!

Вся дружная компания прошла в кафе «Локомотив». Заказали чай и пирог с яблоками.

– Ну как продвигается дела с Великой Теоремой? – спросил профессор Борщов.

– Честно говоря, я даже не хотел идти на лыжах – ответил Матвей. – Все мои идеи оказались провальными. Я перепробовал пирамиды, квадратичную и другие системы координат, гиперцилиндры, гиперконусы и гиперкруги, но это заводило меня в такие дебри ….

Борщов понимающе кивал: дескать, ничего страшного, так оно и бывает. И рассказал анекдот Юрия Никулина о том, как в самолёте первым классом летела команда моряков. Все во главе с капитаном дружно уснули. И только бодрствовал попугай, который, сидя на спинке кресла капитана, снова и снова повторял: пр-р-ропали мы, пр-р-ропали! Скорчив гримасу Борщов рассказал этот анекдот, что называется «в лицах». Все дружно рассмеялись и напряжение исчезло. Еще продолжая смеяться, Матвей продолжил:

– Но вчера, складывая вещи в рюкзак, я заметил, как укладывается шарф под крышкой рюкзака. Она у меня напоминает усечённую пирамиду. Я подумал, что слои большого должны последовательно, без единого пропуска, уместиться в малом кубе целое число раз, чтобы не нарушить принцип симметрии фигуры.

– Ты имеешь ввиду, что слой или несколько слоёв из большого должен уместиться в малом кубе? – уточнила Татьяна. – Но ведь там просто нет свободного места. И вообще, что значит перемещать слои?

– Я предлагаю зафиксировать ребра вложенных друг в друга гиперкубов a, b, c и наполнить всю эту фигуру несжимаемыми гиперкубиками, затем опустошить a-Малый гиперкуб. – Матвей достал несложный чертёж, уже хорошо всем знакомый.

– А эта стрелка, надо полагать, обозначает перемещение слоя? – спросил Борщов.

Рис. 3.1. Перемещение слоёв в гиперкубе.

– Да, и если вспомнить, формулировку Теоремы Ферма в геометрической форме, то объемы а-Малого гиперкуба должны быть равны разнице объемов между с-Большим и b-Средним гиперкубами. Я думаю, что они должны быть равны послойно.

– Почему?

– Потому что, в противном случае от перемещения слоёв будут нарушены фундаментальные свойства нашей фигуры: непрерывность и симметричность, а также принцип изотропности пространства.

– Хорошо, что среди нас нет Артура, он бы сейчас обязательно сказал: не понимаю! – с долей иронии заметила Татьяна.

– А я отвечу, что свойство непрерывности, это значит заполнение фигуры гиперкубиками без пустот, подобно срезу осины, где видны кольца без сучка и задоринки, без дупла. Свойство однородности – это однородный материал что значит гиперкубик в любом слое остается таким же гиперкубиком, словно строительный кирпич. Симметричность – как угодно вращай нашу фигуру, меняй местами оси координат – получишь один и тот же результат. – уверенно продолжал Матвей.

– И наконец, изотропность пространства это … – пригласил к продолжение диалога проф. Борщов.

– … это происходит из греческого trоpos – поворот направление и означает одинаковость картины мира по всем направлениям. – быстро ответил Матвей. – Так оно и есть в Космосе, в дали от звёзд. Космонавт видит по всем направлениям примерно одно и то же. Проще говоря, наш гиперкубик центрально симметричен.

– Из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса, а из изотропности — закон сохранения момента импульса – задумчиво заметил Борщов, адресуясь сразу ко всем. – Замечательно, а что из всего этого следует?

– Из этого следует, что перемещая любой слой из области между средним и большим гиперкубами в малый гиперкуб, мы должны уложить его целое число раз. Но я покажу Вам, что это невозможно! Точнее в пространстве размерности больше двух невозможно. – горячо продолжал Матвей. – Правда, формулы выходят громоздкими, но мне пришла в голову одна простая идея условия равенство объемов a-Малый гиперкуб и множество точек между c-Большим и b-Средним гиперкубами вступает в противоречие со свойствами центральной симметричности, непрерывности фигуры.

– Какая это идея? – спросила Татьяна.

– На какую именно грань гиперкуба или основания гиперпирамиды можно будет отнести гиперкубик из центра координат?

– Не понимаю.

– Помните, мы рассекали нашу фигуру на идентичные гиперпирамиды в количестве 2n. Если мы делаем перемещения гиперкубиков, нашего строительного материала, между слоями, из большого в малый и обратно из малого в большой гиперкубы, то в каждой из пирамид слои должны перемещаться совершенно одинаковым образом. Однако последовательно следующие слои в а-Малом будут разными по объёму, и следовательно это приведёт к нарушению симметрию в c-Большом гиперкубе

– Почему?

– Допустим берём всего один слой из промежутка или если хотите множества слоёв, между средним и большим гиперкубом, – горячо продолжал Матвей. – сворачиваем его в а-Малом гиперкубе несколько раз, обязательно целое число, чтобы не было зазоров и пустот. А затем делаем обратную операцию. Если это заснять на фильм, то с точки зрения наблюдателя, найдутся хотя бы две грани, которые получит разное число гиперкубиков, а это нарушение изотропности или центральной симметричности фигуры из трёх вложенных друг в друга гиперкубов!

– То есть ты хочешь сказать, задумчиво сказала Татьяна, – что если рассечь нашу например трёхмерную фигуру на шесть пирамид, то они должны получить разное число гиперкубиков при операциях перемещения слоёв?

– Да! И кроме того, гиперкубик в центре координат не относится ни к одной грани! – или укажи, пожалуйста, на какую именно! – с улыбкой ответил Матвей – налицо противоречие!

– Но гиперкубик в начале координат не в счёт, мы можем в пределе устремить к нулю объём гиперкубика, изменяя масштаб, то есть измельчая сетку координат пространства. – находчиво парировала Татьяна.

– Всё это ерунда! – с жаром ответил Матвей. – это в мире действительных чисел можно говорить о предельных переходах, а им имеем дело с целыми! Атомы неделимы, в конце-концов. Мы разрезали нашу фигуру на 2n абсолютно идентичных гиперпирамид. За счет какой именно гиперпирамиды будет восполняться нехватка гиперкубиков, и соответственно – распределение избытка при этой операции?

– Не скажу – ехидно заметила. – Татьяна. – и особенно занудам!

Игнорируя её выпад, Матвей продолжал, обращаясь теперь к Борщову:

– Почему мы убеждены в том, что перемещения каждого слоя по отдельности из малого в большой гиперкуб повлекут утрату свойства симметричности фигуры, но при этом будучи перенесенными вместе, они всё таки сохранят свойство симметричности?

– Хм, – заметила Татьяна, что означало: в этом что то есть! И Матвей продолжал:

– Любой ответ предполагает нарушение принципа изотропности пространства, поскольку гиперкубики начинают циркулировать не только внутри объема каждой гиперпирамиды, т. е. между слоями, но и сквозь их грани! А этого делать нельзя: утрачивается симметричность! – Матвей слега пристукнул кулаком по столу.

– Друзья, примирительно подытожил профессор Борщов. – Этот промежуточный результат указывает, что наши совместные усилия, прежде всего Матвея, конечно, не бесплодны. И я предлагаю Матвею выступить перед группой студентов первого курса со своим сообщением по теме доказательства ровно через пару недель, точнее, в четверг, вторая пара в 11:30 пятый корпус Нархоза. Идёт?

– А это будут студенты – математики? И почему студенты, а не школьники – осторожно спросил Матвей.

– Нет, это будут студенты факультета «менеджмент и экономика», конкретно будущие эйчары (HR) – специалисты по управлению человеческими ресурсами. И для них поиск доказательства Великой теорем представляет интерес с позиции индивидуального и группового лидерства в инновационном менеджменте. – ответил Борщов. – а относительно того, почему не в физматшколе, я скажу: всегда найдутся увальни, бузотёры, да и завистники которые будут высмеивать Матвея. Я лично не хочу, чтобы началась травля или моббинг, если хотите, только лишь за то, что Матвей дерзнул выразить вслух не до конца отработанные идеи по Великой теореме.

– Угу – многозначительно произнесла Татьяна. – Тщательно подготовившись к семинару, ты сможешь отточить свои идеи – уже на полном серьёзе заверила Матвея Татьяна. – Я помогу тебе сделать яркую презентацию.

– Идёт, – после некоторого раздумья ответил Матвей. – Неужели моё доказательство будет воспринято так враждебно одноклассниками?

– Тут, старик, возможны оба варианта – философски заметил Борщов. – осуждение, полное отторжение под девизом ИНЗ изобретено не нами, маловероятен вариант восторженного принятия. Ведь ты, прости за тыкание, вторгся на чужую территорию: все открытия в этой части сделаны, победители названы, награды розданы, улицы/проспекты в честь математика Эндрю Уайлса названы, и вдруг такой не званный гость, да ещё из «дремучей» России!

Матвей задумался и медленно произнёс вслух:

– Александр Николаевич, а как же независимость отечественной науки? А что можно сказать насчёт поддержки образования и наших приоритетных отраслей?

– Уже много лет, как прекратилась государственная регистрация научных открытий в нашей стране. – Борщов продолжал с негодованием. – Реестр научных открытий или его суррогат «список открытий» ведут некие частные структуры, работающие по собственным правилам, а не по Закону, как требует наша Конституция. Тарифы и процедуру непрозрачны, – словом ситуация «аховая». И здесь скорее всего, рецензия обсуждаемому нами доказательству будет резко отрицательная. Или её не будет вообще!

– Что же мне тогда делать? – растерянно спросил Матвей.

– Бороться! И помочь навести порядок в этой сфере! – и уже спокойнее Борщов продолжил, – такова Ваша миссия, Матвей.

В кафе с улицы вошли родители Татьяны и Артур. У всех были румяные лица после катания на катке. После обычных восклицаний и восхищением катанием вся дружная компания заказала сладкий чай, сочени с творогом. После чего Артур и Татьяна попросили ещё по запеченному яблоку на шампуре.

– Ты только посмотри, Артур как это оригинально! – воскликнула Татьяна. – яблоко на шашлычной палочке!

Матвей улыбаясь сказал:

– Вот так и гиперкуб можно пронзить зондом, чтобы исследовать его слоистую структуру.

– Думаю, что глядя на этот зонд трудно будет что-то понять. – возразила Татьяна.

– А я чувствую, что можно как-то обойтись простым зондом вместо сложной компьютерной томографии. – как бы размышляя вслух сказал Матвей.

Мужчины обсуждали последние экономические новости. Татьяна обсуждала последние наряды с матерью – слово была обычная непринужденная беседа обо всё и одновременно ни о чём конкретно. И вдруг Артур подозвал Матвея подсесть поближе.

– А ты знаешь, мне приснился сон, как будто я путешествую на реактивном ранце в гиперкубе – заговорщически начала Артур.

– В гиперкубе?! – с удивлением переспорил Матвей.

– Да, это сначала было в космосе, но потом я полетел на холмами, лесами и озером. – продолжал Артур. – Я никак не мог куда-то прилететь…

– Ты хочешь сказать, что почувствовал, как что -то ищешь, но не можешь найти?

– Да! Я это чувствовал… а потом проснулся.

Лицо Матвея озарилось широкой улыбкой:

– Артур! – сказал он, ты даже не проставляешь как мне помог! Как ты думаешь, если бы мог двигаться только ровно, то есть под прямыми углами, то сколько прыжков тебе было бы необходимо совершить, чтобы достичь вершины гиперкуба?