скачать книгу бесплатно
– Александр Николаевич, – пришёл на помощь Матвей, – в мире программирования есть такая функция настройки дисплея, называется флип (flip) – отразить экран или фотографию. А вообще, программа может представлять изображение как угодно: прямо, зеркально, к верх ногами, под наклоном девяносто градусов и так далее. Но нам привычнее на экране читать тексты слева направо, а своё лицо видеть как в зеркале. Как бы Вы поступили на месте разработчиков зумпоподобных сервисов?
– Я бы… постарался сделать эффект полного присутствия – подумав немного ответил Борщов.
– Да, продолжила, Татьяна, поэтому свой текст на экране и своего собеседника мы видим без зеркального отражения, а изображение своей фигуры – как в зеркальном отражении. И всё что у нас за головой, попадающее в поле веб – камеры, мы также видим как в зеркале, посмотрите же на Артура ещё раз!
– Ах, да! – стукнул по своему столу Борщов. – ну какой я тупица! Это же надо, как просто! Коллеги, Вы меня положили на обе лопатки!
Ребята дружно улыбнулись, ещё бы: один гол в их пользу.
– Ну а теперь, я уверен, что с Теоремой Ферма Вы справитесь, – улыбаясь сказал Борщов. Что Вам удалось отыскать?
Матвей достал стопку листов с рисунками и стал пояснять. Он пытался разворачивать текст и рисунки к Борщову, но тот остановил репликой: я читаю вверх ногами без труда.
Матвей не торопясь начал:
– Давайте рассмотрим терему Ферма с позиции физики и геометрии. Именно в этом направлении есть шансы отыскать решение, основные идеи которого можно схематично уместить на достаточно широких полях книги.
Рис. 2.1. Гиперкубы с ребрами a, b и c, вписанные друг в друга с общим центром, совпадающим с началом координат в пространстве размерности 3.
Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a <b, где b, в свою очередь, меньше числа с, стоящего в правой части уравнения теоремы Ферма. Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа ?2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. (см. Рис. 1.1. выше).
На деле оказывается, что таким делителем всегда будет двойка и её степени, а это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказались ошибочными: оба они чётные, делятся на два, а мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили.
Матвей говорил, водя карандашом по рисунку:
– Предположим, что искомая тройка целых чисел существует. Можно сопоставить ей соответствующую фигуру в виде гиперкубов с ребрами a, b и c, вписанными друг в друга в многомерном пространстве.
….… … … … …… … … … …… … … ……
Вкусная коробочка в зазеркалье
Артур закрыл глаза и вспомнил, как накануне вечером Татьяна пригласил его подойти к трильяжу – тройному зеркалу на тумбе. Мама несколько раз порывалась выбросить этот бабушкин антиквариат, но Татьяна отстояла: очень ей нравилось рассматривать свои наряды и прочёску с помощью главного основного и двух боковых поворачивающихся зеркал.
– Ух как вкусно пахнет! – сказал Артур, схватив с тумбочки изящную коробочку из под одеколона.
– Отдай! Я сюда пригласил тебя не для того, чтобы нюхать парфюм – быстро ответил Татьяна и разложила на столе приготовленные для эксперимента предметы. – Смотри что я буду делать внимательно, а лучше снимай на видео.
Татьяна развернула зеркала в одну линию и придвинула коробочку плотно к правому углу главного зеркала. А затем спросила:
– Сколько ты видишь здесь коробочек?
– Ну конечно, две.
– А теперь? – Татьяна повернула к себе под прямым углом правое малое зеркало.
– Теперь четыре – ответил Артур. – Ну это и дураку понятно. В чём фокус?
– Не перебивай и смотри дальше!
Татьяна достала из ящика стола еще одно небольшое зеркало размером с тетрадь и положила его под коробочку.
– Ну, а теперь сколько ты видишь здесь коробочек?
– Раз, два\, три… да их уже стало восемь! – ответил Артур. – Интересно!
– Дальше будет самое интересное, – остановила его Татьяна. – Теперь я утеплю нашу коробочку. С этими словами она достала из портфеля квадратные постеры, отсчитала три пачки по десять листочков и принялась ими аккуратно оклеивать переднюю, боковую и верхнюю грани коробочки.
– Ты как-то плохо утепляешь свой домик – улыбаясь заметил Артур. – у тебя остаются щели.
– Вижу. Сейчас дойдёт очередь и до них.
И Татьяна извлекла из коробка три спички, срезала ножницами серные головки, чтобы не мешали, слегка промазала спички клеем и прикрепила на рёбра утепляемого домика.
– Всё равно остаётся вот эта дырка! – заметил Артур, указав пальцем на верхнюю боковую вершину созданного домика.
– Всему своё черёд – спокойно ответил Татьяна, закрывая эту вершину кусочком красного пластилина размером со спичечную головку. – А теперь скажи, сколько вершин ты видишь?
– Настоящую? Одну.
– Да нет, я не то имела ввиду. Сколько всего вершин ты видишь, не важно настоящие или отражённые?
– Раз, два, три… ну конечно восемь – ответил Артур.
– Вот именно! Каждое зеркало удваивает реальные и отражённые предметы, словно они такие же реальные. Два умножить на два, умножить на два или 2
будет восемь.
– Само собой, а где обещанный фокус?
– Фокуса никто не обещал, но он всё-таки здесь есть – улыбаясь ответил Татьяна. – Заметь, всё что я делала с малой коробочкой повторялось в зеркальном отражении. Я оклеила всего три грани: верхнюю, левую боковую и обращенную к нам. И в результате все шесть граней нашей фигуры стали покрытыми. Я прикрепила всего три спички по рёбрам домика – и в итоге все двенадцать рёбер нашего домика были закрыты. Наконец, я поместила кусочек пластилина в одну вершину – все восемь вершин оказались аккуратно зарытыми. Тем самым, мы покрыли нашу коробочку слоем. состоящим их трёх граней, трёх ребер и одной вершины.
– Экономно – задумчиво заметил Артур. Но что всё это значит?
– А это значит, что можно работать с тем представлением, которое нам удобно, но результат будет один. – назидательно сказала Татьяна. – Нам удобно описывать слой в представлении куба или гиперкуба «зажатого в угол» между зеркалами, так проще описывать его математическими формулами. В других ситуациях, нам важно заострить своё внимание на симметричности гиперкуба, совместив его центр с началом координат. Но оба представления легко преобразуются друг в друга. Ты всё аккуратно записал на видео?
– Да
– Значит ты легко убедишься: всё, что ты делаешь с гиперкубом, зажатым в угол между зеркалами, одновременно появляется в зеркальном отражении и наоборот. От наблюдателя можно закрыть основной гиперкуба, те есть нашу коробочку шторкой, но легко представить себе все действия над ним, глядя в зеркальные отражения. Верно?
– Верно.
– А ещё обрати внимание на зеркало. – указала пальцем Татьяна. – Это не просто зеркало а гиперплоскость, в данном эксперименте мы с тобой работали с трёхмерным кубом, зеркало было двумерным, то есть на единицу меньшим пространством. Если бы работали с двумерным квадратом, то все отражения я в таком же порядке произвела бы от двух одномерных прямых, которые, в двумерном мире сыграли бы роль зеркал.
– Угу – ответил Артур.
– Ну раз ты говоришь «угу», то что ты скажешь относительно четырёхмерного пространства?
– Да подумаю… так, так, так -так- так – многозначительно наморщил лоб Артур. Кажется… там был бы особый трильяж с трёхмерными зеркалами, где отразился бы четырёхмерный гиперкуб. Но, убей меня, не могу себе как следует это представить!
– Ничего страшного! – успокоила брата Татьяна, – там гиперплоскости стали бы уже трёхмерными, число отражений стало бы: два умножить на два, умножить … – словом, так четыре произведения двойки, итого 2
или шестнадцать. Столько же стало бы вершин вместе с отражением. Ну и так далее. . . .– Татьяна озабоченно посмотрела на часы. – Детское время кончилось. Всё это нам очень пригодиться завтра на встрече. – подытожила Татьяна. – И не ударь лицом в грязь со своими дурацкими, ненужными вопросами!
– Между прочим, я та самая целевая группа, ради которой «производятся все эти танцы». И мои вопросы вовсе не дурацкие – возразил Артур.
….… … … … …… … … … …… … … ……
Пифагоровы тройки на шахматной доске
А тем временем Матвей продолжал:
– Следующие рисунки представляют вписанные друг в друга гиперкубы для случаев размерностей пространства n = 2 то есть плоскости:
Рис. 2.2 Для размерности пространства n = 2, квадраты на плоскости, легко увидеть Пифагорову тройку 3
+4
=5
– А здесь вершина каждого гиперкуба, выделенного цветом, совпадает с началом координат, в дальнейшем начало координат будет помещаться также в центр гиперкуба. Фигуры в виде композиции гиперкубов начало координат в вершинах и начало координат в центрах гиперкубов преобразуются друг в друга за счет отражения от гиперплоскостей и масштабирования.
Матвей сделал паузу и продемонстрировал на салфетке с пунктирным изображением квадратов, нарисованными трубочкой от коктейля, которую он слегка обмакивал в кофе словно гусиное перо, как легко складывается и раскладывается обратно четыре одинаковых квадрата в разных частях салфетки на рисунке 2.3 выше.
– Обратите внимание, сложить, это все равно, что рассечь фигуру гиперплоскостью, перпендикулярной определенной оси, или просто прямой для двумерного случая, – прокомментировал Матвей, демонстрируя салфетку на просвет, – ну вот, квадраты почти совпали. Так, совмещаем их центры с началом координат, а грани делаем перпендикулярными каждой из n осей. Теперь можно разложить салфетку, что равносильно операции отражения фигуры от выбранной нами гиперплоскости. Далее Матвей снова, продолжил водить карандашом как указкой по следующему рисунку, комментируя:
– Рассмотрим случай целых положительных, т. е. натуральных чисел a, b, c, затем и случай отрицательных чисел. По определению гиперкуб a
в n-мерном пространстве это множество точек пространства, удовлетворяющее условию: каждая компонента больше чем минус, но меньше, чем плюс половина ребра гиперкуба: a ?a <x
<?a.
– Стоп, перебила Татьяна, – Артур, тебе все понятно?
– Примерно половина сказанного, как-то неуверенно ответил, Артур.
Профессор Борщов одобрительно посмотрел на Татьяну и примирительно сказал:
– Ребята, Вы только что сами убедились, как легко я сел в лужу по простому вопросу отражения в зеркале. Предлагаю, отбросить математический формализм в сторону и говорить на языке школьника 3—4 класса. Ок?
Ну ладно, попробую ещё нагляднее, ответил Матвей, извлекая из портфеля шахматную доску, деревянные детские кубики и маркеры для письма по доске. – эта доска навощена тонким воском, и поэтому на ней можно легко писать вот этими маркерами, затем стирать бесследно и снова писать, я уже пробовал. – На возьми, Артур, обвели три квадрата на шахматной доске размером три на три, четыре на четыре и пять на пять клеток, да при этом начиная с одного и того же места, вот здесь, например, как будто это листы на дереве, растущие из одной точки (см. Рис. 2.2. выше).
Артур легко справился с задачей, он начертил малый синий, затем средний жёлтый и наконец, большой красный квадраты с общей вершиной, примерно так, как на рисунке.
– Можешь ли ты, Артур сосчитать площадь малого, добавить к нему площадь среднего квадрата и сравнить с площадью большого? Артур водя пальцем по шахматной доске начал сосчитал вслух количество квадратов и кивнул: да, действительно девять плюс шестнадцать будет двадцать пять….
– Но ведь это просто теорема Пифагора, – недоуменно сказал он, -мне папа о ней рассказывал, а ещё я слышал, что в честь открытия этой теоремы Пифагор велел заколоть сто быков.
– И с той поры все скоты дрожат, когда открывается новая теорема! – пошутил Борщов.
Матвей охотно продолжил. Он взял в руки детский деревянный кубик и начал окружать его слоем других кубиков, комментируя свои действия словами:
– Представим себе, что я каменщик, что строю дома в многомерном пространстве, но прямо сейчас я работаю в привычном для нас трёхмерном. Я беру единичный кубик, назовем его гиперкубик, беру также цемент или сильный строительный клей и обмазываю тонким слоем каждую грань гиперкубика. В данном трёхмерном случае у меня получается просто куб с ребром три, легко убедиться, что в нём двадцать семь гиперкубиков, то есть элементарных кубиков.
– Всё это ясно, – сказал Артур, а остальные молча кивнули в знак одобрения.
Матвей, сосредоточившись на рисунке, пояснял:
– Пусть a-Малый гиперкуб образуется путём наслаивания некоторого количества слоёв равной единичной толщины, например один сантиметр или один дециметр, метр – не важно, вокруг гиперкубика, я его буду обозначать его как единичка в степени n или 1
, при этом b-Средний гиперкуб охватывающий a-Малый, получается путем добавления например l слоёв единичной толщины, c-Большой гиперкуб содержит ещё m аналогичных слоёв. В результате уравнение Теоремы Ферма геометрически можно представить образно говоря, как многомерный торт, состоящий из трёх видов слоистых коржей толщиной вложенных друг в друга.
– Или просто ящички, ставленные в другие ящички как русская матрёшка – уточнила Татьяна.
– Да – с радостью поддержал её Матвей.
Рис. 2.3. Сечение (пронзание) трёхмерного куба двумерной плоскостью. Между слоями сделан единичной толщины сделан зазор, также равный единице, для наглядности.
– А что такое многомерный куб? – вдруг спросил Матвея Борщов.
– Ах, да! -воскликнул, Матвей, – я должен был это рассказать с самого начала. Он взял чистый лист и стал чертить: Точка, отрезок длиной а, квадрат а
, трёх мерный куб а
тессеракт a
и т. д. – это гиперкубы соответственно нольмерного, одномерного, двумерного, трёхмерного, четырёх мерного пространства… В этом ряду каждая следующая фигура размерности n образуется путем перемещения гиперкуба размерности n-1 на длину ребра а в направлении, поперечном каждому из n -1 других.
Представьте себе, что мы объясняем двумерному существу, живущему на плоскости, как можно двигаться вверх и вниз. Это конечно, трудно, но например возьмём вот эту прокладку для обуви, – и Матвей как фокусник извлёк из под стола две новые обувные стельки, завёрнутые в полиэтилен, распечатал упаковку.
– Я могу убедить математика, живущего на плоскости, что если бы он смог прибегнуть к помощи трехмерного пространства, то без труда заменил бы левую стельку правой и наоборот. А для нас, трёхмерных существ, так можно было бы поступить с ботинками, а именной взять левый ботинок перевернуть его в четырёхмерном пространстве и получить правый и опять же наоборот из правого -левый!
– Я об этом где-то читал в детстве, – задумчиво заметил Борщов.
– Но ведь пространство больше трёх, ну может быть ещё четырехмерное с добавлением оси времени, – задумчиво сказал вслух Татьяна, – словом такие фигуры существуют лишь в нашем воображении, они выдуманные, а не реальные
– А реальны ли отрицательные числа? А комплексные числа? – вдруг спросил Борщов. Матвей приготовился ответить, но Борщов кивком головы дал ему понять: позвольте мне, коллеги, это быстро объяснить простыми словами. – Отрицательные числа используется в финансах и бухгалтерии, без них невозможна работа рыночной экономики, то есть мы сопоставляем отрицательным числам реальные объекты: банковский кредит, налоги и так далее. Что касается комплексных чисел, то они упрощают работу с радиоволнами, оптикой. У каждого из Вас мобильник – это реальность? Безусловно. Что касается физических формул, то в них используются пятые, шестые и более высокие степени, аналогичная ситуация в социологии, маркетинге – другими словами, гиперкубы моделируют материальные объекты. Продолжайте, пожалуйста, Матвей.
И Матвей продолжал:
– Гиперкуб обладает свойством симметрии. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет находится на расстоянии половина ребра a умножить на квадратный корень ?n, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2n гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб составляет половину ребра гиперкуба ?а). Легко убедиться, что грань гиперкуба – это гиперкуб размерности на единицу меньше…
– А я видел фильм про гиперкуб! – вдруг перебил его Артур. -Там он как- то странно крутился на шарнирах…
– Да, это тессеракт, – подтвердил Матвей или четырехмерный гиперкуб, но его показывают с эффектом параллакса или о степенях выше трёх мы ещё поговорим, а пока достаточно сравнить двухмерный, он показал на шахматную доску и трёхмерный случаи, и он коснулся фигуры из деревянных кубиков.
Давайте рассечем нашу фигуру из трёх вложенных друг в друга гиперкубов на равные гиперпирамиды, конкретно квадраты мы рассечем прямыми линиями на четыре треугольника, а кубы – на шесть совершенно одинаковых пирамид, как раз по числу граней.
Рис. 2.4. Рассечение гиперкуба. Случай двумерного пространства. Обратите внимание на уравнения x
