скачать книгу бесплатно
Трансцендентное число не может быть корнем алгебраического выражения, например число ? = 3.14158 или число Эйлера е = 2.718. Вместе с тем трансцендентные числа играют важную роль не только в геометрии, но при описании динамических процессов в физике, экономике, социологии.
Целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа образуют вместе множество действительных чисел R можно сопоставить каждому числу точку на оси абсцисс Х и радиус вектор из начала координат до этой точки, при этом длина этого вектора будет равна модулю числа |х|. Для случая плоскости R
, мы будем иметь дело с парами чисел: (x, y) и радиус вектором из начала координат до точки на плоскости. Для трехмерного пространства R
понадобится задавать координаты его точек уже тройками чисел (x, y, z) а для многомерного пространства R
координаты любой точки по осям описываются радиус-вектором (x
, x
,…x
).
Интересно заметить, что целые числа можно сосчитать, а именно: сопоставить каждому целому числу натуральное число – его модуль. Отрицательные числа можно считать парами вместе с положительными (это напоминает работу проводника на два вагона). Такое множество, хотя и бесконечно, является счётным. Несложные рассуждения позволяют сделать вывод, что является счётным множество рациональных числе p/q. Представим себе огромный (бесконечный) кинозал, где номер ряда – это числитель, а номер места – знаменатель. Так например в первом ряду расположены слева направо (или с Запада на Восток) зрительские места с дробями 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Во втором – 2/1, 2/2, 2/3, 2/4 и т. д. Предположим, что все места размещены в зале с соблюдением социальной дистанции, так что контролёр может свободно перемещаться как по рядам, так насквозь любого ряда.
Если безбилетник сидит на месте p в ряду q, то проводник – робот, следующий из вершины 1/1 всё равно его обнаружит, если будет придерживаться несложного алгоритма. Итак, контролёр входит в зрительский зал с Северо-Запада, как раз в месте размещения 1/1.
Контролёр делает один шаг на Восток к месту 1/2;
далее шагает в Юго-Западном направлении к месту 2/1;
после этого делает ещё один шаг на Юг к месту 3/1;
затем совершает два шага в Северо-Восточном направлении к местам 2/2 и 1/3;
после чего совершает один шаг на Восток к 1/4;
потом три шага в Юго-Западном направлении, проверяя места 2/3, 3/2, 4/1…
И таким образом контролёр последовательно исследует зрительский зал, дрейфуя как челнок, то в Юго-Западном, то в Северно-Восточном направлениях, охватывая контролируемую территорию всё расширяющимся на один шаг с каждым обходом треугольником, вершина которого размещается в Северо-Западной части зала.
Рис. 1.3. Рациональные числа можно «сосчитать». Если робот – контролёр двигается по маршруту как указано на рисунке, то он найдёт безбилетника в ряде q на месте p, что соответствует дроби p/q.
Вместе с тем, действительные числа сосчитать невозможно это множество образует континуум. Между двумя близкими рациональными числами всегда найдётся сколько угодно много других иррациональных чисел. Например, в треугольнике средняя линяя равномощна основанию. Это следует понимать так, что каждой точке на средней линии треугольника соответствует точка на его основании, и наоборот.
Основные математические знания
Трёх и n- мерная система координат
Представим себе, что Вы управляете дроном. Пульт управления необычен. Он имеет кнопочки, задающие движения:
Рис. 1.4. Управление дроном.
Дрон может двигаться:
на Север, на Юг,
на Запад
на Восток
Вниз
Вверх
Сам дрон имеет гирокомпас и отлично ориентируется в пространстве, ожидая Ваших команд.
Допустим, Вам требуется доставить пакет с вакциной от корнавируса на 10-ый этаж и аккуратно подать его в окно. Вы находитесь в начале координат, а пункт назначения – 10 м на Восток, 10 м. на Север, и 20 м. вверх. Эти координаты можно задать так:
Пункт назначения точка P = (10, 10, 20) в координатных осях
При этом подразумевается, что мысленно мы используем оси:
Запад -Восток – ось Х
Юг- Север – ось Y
Низ-Верх – ось Z
А теперь, допустим, Вы производите запуск с балкона небоскрёба.
Если бы окно находилось по отношению к Вам на 20 м. западнее, на 5 м. южнее и на 15 м. ниже Вашего балкона, то координаты точки P = (-10, -5, -15)
Это так называемая Декартова система координат по имени математика и философа Рене Декарта. Наглядный двумерный случай Декартовой системы координат – это шахматная доска, это плоская карта местности. Каждая точка однозначно определяется двумя координатами.
Как бы Вы объяснили двумерному существу?
Как бы Вы объяснили двумерному существу третье измерение – высоту? Предположим, что в совершенно плоском мире Вы ведёте диалог с философом, имеющим богатое творческое воображение, Вы принялись бы объяснять, как можно повернуть ботинок, больше напоминающий в этом случае стельку от обуви, в третьем измерении и сделать из правого ботинка левый и наоборот.
Точно так же трёхмерный ботинок можно разверзнуть в четырехмерном пространстве и сделать правый левым, а левый – правым.
====== Знаете ли Вы что такое Флатландия? ======
«Флатла?ндия» (англ. «Flatland: A Romance of Many Dimensions») – роман Эдвина Э. Эбботта, который вышел в свет в 1884 году. Этот научно-фантастический роман считается полезным для людей, изучающих, например, понятия о других пространственных измерениях или гиперпространствах. Как литературное произведение роман ценится из-за сатиры на социальную иерархию викторианского общества. Айзек Азимов в предисловии к одной из многих публикаций романа написал, что это «лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».
По этой книге было снято несколько фильмов, в том числе одноимённый художественный фильм 2007 года, в России известный как Плоский Мир.
=======================================================
Итак, в многомерном пространстве координаты любой точки P задаются относительно начала координат выражением: P = (x
, x
, … x
), а вектор соединяющий начало координат – точку (0, 0,0 … 0) и точку P именуется радиус вектором например A, B, C его компоненты – это координаты по осям: x1, x2, … xn
интересно заметить, что как в двумерном, трёхмерном пространстве, так и многомерном пространстве радиус векторы можно складывать – вычитать покомпонентно:
A + B = (a
+ b
, a
+ b
…. a
+ b
)
Так например, в физике происходит сложение перемещений, скоростей либо сил.
А что будет при умножении векторов? Да, такая операция возможна. Познакомимся со скалярным произведением двух векторов, которое происходит также по каждой компоненте отдельно, а результат – число образуемое путем сложения результатов таких произведений:
A * B = a
* b
+ a
* b
+ …. + a
* b
Попробуем умножить вектор a = (1,1,1) на самого себя
(1,1,1) * (1,1,1) = 1*1 +1 *1 +1 * 1 = 3 или квадрат модуля вектора обозначаемого как |a|
. Не принято говорить длина вектора – принято говорить модуль вектора. Легко вычислить, что в n -мерном кубе с ребром a длина наибольшей диагонали равна a * ?n в самом деле в квадрате это a * ?2 а для случая куба a * ?3.
В чём же состоит смысл скалярного произведения?
Например, в физике вектор силы умножить на вектор пройденного путем есть совершенная над телом работа. Если эти вектора со-направлены, то результат будет максимальный, если перпендикулярны, – то нулевой (санки нельзя ускорить, если Вы прикладываете силу поперёк их движения).
======================================================
Глава 2 Удивительный мир симметрии
Вечером на ручных часах Татьяны раздалось бип-бип-бип и появилось сообщение:
Предл. Встрет. завтра 12:00 в «Собачьих бутербродах» у М. Г@ // Борщ. Ок?
Татьяна ответила ОК! и сразу увидела результат голосования других ребят: Матвея и Артура, младшего одиннадцатилетнего брата Татьяны, – все они были согласны. Матвей был самым юным участником творческой группы, представителем той самой целевой группы, для которой необходимо отыскать доказательство. Если ты сможешь объяснить всё это одиннадцатилетнему школьнику, то будь уверен, сможешь объяснить миллиардам других людей с обычной школьной подготовкой! – убеждала она Матвея. И Матвей хорошо подумав, получив еще раз заверения от сохранении строжайшей конфиденциальности от Татьяны, согласился.
Кафе быстрого питания было расположено прямо у выхода метро, напротив университета в этом месте обычно любил назначать встречи Борщов, сопровождая это словами: конечно пища там лишь условно съедобная, но зато место удобное и обстановка уютная, подходящая для диалога.
Он пунктуально пришел на встречу за десять минут до начала и, заняв пустой столик у окна, принялся читать только что изданную коллективную монографию, где наряду с прочими работами была и его: «Социологические методы идентификации судебной коррупции». За окном бурлила предновогодняя жизнь, под аккомпанемент лёгкого пушистого снега и солнышка (вот уже настоящий предновогодний подарок! – отметил про себя Борщов), прохожие и автомобили мелькали в окне, а их полупрозрачные отражения – в самом кафе. Методично раздавался голос кассиров на выдаче:
– Номер восемьдесят пять, один Американо и чизбургер, номер сто четырнадцатый салат из крабов, номер сто одиннадцать: картошка фри…
И вот дружная компания снова собралась за одним столом: Матвей небрежно стаскивал с себя куртку, запорошенную снегом, Татьяна элегантно сняла красивое пальто, которое так эффектно подчёркивало её фигуру. Артур уже сидел в строгом деловом костюмчике, – прямо таки аккуратно причесанный примерны отличник со школьной фотографии.
Матвей заказал кофе, Татьяна и Артур – мороженое, Борщов – чай, который сразу же вылил в раковину и налил себе из бутылочки предусмотрительно купленный в соседнем супермаркете кисло-молочный напиток Айран, бережно извлечённый из профессиорского портфеля:
– А чай все равно не настоящий, робко прокомментировал своё расточительство профессор, пожав при этом плечами – но пустого стаканчика здесь нет.
Ребята обсудили последние новости. Артур сначала держался строго официально, а затем вдруг похвастался последней пятёркой по математике и сказал, что это поможет ему перевестись в лицей, а не оставаться в нынешней прогимназии с лузерами. Татьяна чуть укоризненно посмотрела на брата, заметив, что деление людей на лузеров и виннеров – это дурной тон и снобизм. Матвей смущаясь сообщил, что получил двойку по генетике: потому что к контрольной не готовился, а в генетике много математики, в которой он «немного тугодум», чем вызвал не мало удивления у всей компании. Борщов добавил свою историю о том, как отслужив в армии, он получал двойки на уроках военной подготовки, потому что не мог ходить чётким строевым шагом и стыдился списывать со шпаргалок, а требовалась именно максимальная точность воспроизведения текста. Борщов и ребята много шутили, смеялись, но при этом без насмешек. Наконец, Борщов умолк и лицо его стало серьёзным.
– Сегодня при проведении вебинара, – сказал он, я обнаружил странный эффект. На компьютере запущена программа: то ли Зум (Zoom), то ли Скайп (Skype) – словом, из разряда подобных. Программа просто копирует все что видит в комнате, а также слайды на экране компа и передает по каналам связи собеседникам. За моей спиной проектор отображает эти же слайды на экране. Так вот, надписи слайдов на экране читаются нормально, но те слайды, что за моей спиной на экране – не читаются, поскольку они отражены словно в зеркале.
– Я тоже сталкивалась с подобным, – улыбаясь кивнула Татьяна. – причём, я спрашивала у тех собеседников, с которыми общалась: что Вы видите, можете ли Вы прочитать слайды нормально? – Отвечают, да, всё видим как обычно.
– Вот именно! – продолжал Борщов. – для того, у кого за спиной экран, изображение зеркальное, а для его собеседников – нет. Если оглянуться назад, через плечо, то слайды на большом экране, куда они проецируются, читаются, слайды и презентации на экране компьютера также читаются, а за спиной лектора – отражаются зеркально! В чем здесь фокус?
– На самом деле никакого фокуса нет, – подумав ответил Матвей, просто веб-камера, дисплей компьютера и программа вместе образуют своего рода электронное зеркало. Убедитесь в этом, посмотрите на нас вон в то зеркало.
– Ну и … – недоуменно пожал плечами Борщов, – зеркало, как зеркало.
– Вот именно так все мы привыкли видеть себя в отражении, и поэтому разработчики софта сделали всё таким образом, чтобы потакать нашим привычкам – пояснил Матвей.
– Я предлагаю сделать небольшой эксперимент, сказала Татьяна и начертила на двух салфетках трубочкой от коктейля, измазанной в шоколаде крупные буквы:
ДА
– А теперь, Артур, встань за спиной Александра Николаевича с этим транспарантом! – чуть повелительно сказала она своему брату.
Чувствуя значимость порученной миссии, Артур за спиной профессора поднял салфетку.
– Прочитайте, пожалуйста, Александр Николаевич, – обратилась она к Борщову, указывая на зеркало, где отражалось:
АД
– Ад! – прочитал Борщов, глядя в зеркало напротив столика.
– Представьте себе, что это слайды, – продолжала Татьяна. – Вы согласны, что происходит зеркальное отражение?
– Ну это очевидно! Но это почему мои собеседники читают все слайды нормально, а я – нет?
Татьяна жестом показала, что сейчас она всё объяснит и попросила Артура сесть напротив Борщова у свободного столика под зеркалом, держа в руках те же салфетки.
– Теперь снова ДА, прочитал Борщов.
