скачать книгу бесплатно
* d? / dt = ? * r * V
= ? * ? * r
= const.
А поскольку секторальная скорость (dS / dt) постоянна, то её производная по времени S’t равна нулю:
S«(t) = ? (r’(t) * V
+ r * V
»(t)) = 0
где
r’(t) = Vr – радиальная скорость
V
»(t) = a
– ускорение Кориолиса Истинное;
V
= ? * r
Тогда:
Vr * ? * r + r * a
= 0
Сократив на r, получим:
a
= – Vr * ?
Тогда Истинная сила Кориолиса равна:
Fк ист = а
* m = – Vr * ? * m
Не трудно показать связь второго закона Кеплера с так называемым законом сохранения момента импульса или углового момента классической лже динамики вращательного движения.
L = m * ? * r
Тогда:
dS / dt = ? * L / m
Таким образом, угловая скорость при радиальном движении определяется не только чисто геометрическим масштабированием при неизменной линейной скорости с масштабным коэффициентом-радиусом, что совершенно очевидно и без каких-либо выводов, но и за счёт истинной силы Кориолиса-Кеплера, которая физически изменяет линейную скорость на каждом текущем радиусе. При этом истинная сила Кориолиса-Кеплера, тормозящая тело при радиальном движении от центра вращения и разгоняющая его при движении к центру, вдвое меньше классической силы Кориолиса. Напомним коротко физический механизм, лежащий в основе второго закона Кеплера, изложенный в главе (3.4.3), на примере радиального движения от центра вращения.
В результате ослабления связей с центром вращения при радиальном движении часть энергии связи безвозвратно рассевается в окружающем пространстве. При этом энергия связи, необходимая для установления нового вращения тела на новом радиусе, может быть изъята только из кинетической энергии освобождающегося тела. Отбор необходимой энергии осуществляется за счёт истинной силы Кориолиса-Кеплера, которая является тангенциальной проекции радиальной силы на касательную к спирали. При этом угловая скорость тела уменьшается, как геометрически в результате масштабирования между угловой и линейной скоростью с масштабным коэффициентом-радиусом, так и за счёт непосредственного физического уменьшения линейной скорости через силу Кеплера (см. гл. 3.4.3.).
Таким образом, классическая сила и ускорение Кориолиса, которые определяются при неизменной угловой скорости – есть результат компенсации воздействия на вращательное движение физических факторов характеризующих второй закон Кеплера. Это геометрическое масштабирование между угловой и линейной скоростью и истинная сила Кориолиса-Кеплера, которые и определяют физический смысл не только второго закона Кеплера, но и явления Кориолиса, а также произвольного криволинейного движения в целом, которого вне второго закона Кеплера, т.е. без истинной силы Кориолиса-Кеплера не бывает.
Очевидно, что в классическом поворотном движении при неизменной угловой скорости часть поддерживающей вращение силы компенсирует истинную силу Кориолиса-Кеплера. При этом исходная линейная скорость на новом радиусе остаётся неизменной. Эта равновесная часть поддерживающей силы не причастна к ускорению Кориолиса. Дальнейшее восстановление угловой скорости до исходного значения с ускорением Кориолиса осуществляется только за счёт оставшейся части поддерживающей силы. Напомним, что за силу Кориолиса в классической физике принимается реакция на поддерживающую силу.
Осталось выяснить количественное соотношение равновесной статической и неуравновешенной динамической части поддерживающей силы.
Из классической версии явления Кориолиса известно, что полная поддерживающая сила равна (Fпк = 2 * m * ? * Vr). Это вдвое больше истинной силы Кориолиса-Кеплера, равной (Fик = m * ? * Vr). Следовательно, оставшаяся после компенсации истинной силы Кориолиса-Кеплера динамическая часть поддерживающей силы и сообщаемое ей реальное тангенциальное ускорение Кориолиса, равны ровно половине поддерживающей силы. Соответственно реакция на эту динамическую часть поддерживающей силы, т.е. реальная сила Кориолиса, также вдвое меньше классической силы Кориолиса.
Это непосредственно следует из физического смысла второго закона Кеплера и чисто аналитически. Поскольку в отсутствие поддерживающей силы угловая скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса, а геометрическое масштабирование угловой и линейной скорости через масштабный коэффициент-радиус обратно пропорционально только первой степени радиуса, то на долю статической и динамической части поддерживающей силы приходится ровно по половине её величины.
Если путём компенсации истинной силы Кориолиса-Кеплера поддерживать на неизменном уровне только линейную скорость переносного вращения, то ускорение Кориолиса будет равно нулю. Возникающее при этом движение по спирали осуществляется только с центростремительным ускорением, что на первый взгляд выглядит парадоксальным. Однако это не равномерное вращательное движение. Его переменное центростремительное ускорение регулируется радиальной силой, периодически изменяющей связь с центром вращения.
При этом геометрический центр кривизны непрерывно изменяет своё положение в пространстве за счёт свободного движения тела по касательной в момент ослабления связи. При этом изменения по направлению радиальной скорости, как такового не происходит. Изменяет направление касательная скорость. А парадоксальность такого псевдо вращательного движения состоит в том, что в классической физике за центростремительное ускорение неоправданно принимается особый вид линейного однородного ускорения вместо разновеликих и разнонаправленных ускорений по изменению направления на самом деле.
В классической физике истинная сила Кориолиса-Кеплера отсутствует. Поэтому в расчёте ускорения Кориолиса она ошибочно исходит из приращения движения, соответствующего полной поддерживающей силе, что приводит к удвоению ускорения Кориолиса. Это требует качественной и соответственно количественной коррекции классической версии явления Кориолиса и анализа причин, по которым классическое дифференцирование не видит этой ошибки.
Начнём с прямолинейного движения, в котором ошибки не столь критичны и ограничиваются лишь некоторым некритичным для истины абстрагированием от реальности. Итак, на рисунке (4.1.1.1) показаны два отдельных участка прямолинейного равноускоренного движения с координатами (18 м, 21 м) и (21м, 26 м) с секундным интервалом внутри каждой пары координат.
Рис. 4.1.1.1
В физике есть известная всем школьная формула пути для равноускоренного движения (S = V
+ a * t
/ 2), из которой следует, что ускорение равно (a = 2 * (S – V
* t) / t
). Как видно, пресловутая двойка не является эксклюзивной исключительно только для явления Кориолиса. Она имеет принципиальное значение для определения ускорения через приращение пути любого равноускоренного движения, т.к. средняя скорость, которая и определяет пройденное расстояние, вдвое меньше мгновенной скорости, достигнутой за счёт ускорения за то же самое время. Однако при определении ускорения через дифференцирование координат эту формулу не используют, т.к. для неё недостаточно одних только координат, нужна ещё и начальная скорость.
Если координаты движения можно легко измерить в любой заданной системе отсчёта, то вычленить начальную скорость в составе переменного движения в двух координатах без дополнительных данных не представляется возможным. Поэтому приращение ускоренного движения определяется в классической физике по трёхточечной схеме, как разность средних скоростей двух смежных участков, имеющих три координаты, одна из которых общая. В нашем примере прямолинейного движения это по-прежнему координаты (18 м), (21 м) и (26 м) вдоль заданной оси с секундным интервалом между ними (см. Рис. 4.1.1.2). Но теперь мы их рассмотрим, как смежные участки с учётом общей точки (21 м).
Рис. 4.1.1.2
Как показано на рисунке, при вычитании отрезков (21 – 26) минус (18 – 21) расстояние (S1 и S2), пройденное с начальной скоростью (V
), а также расстояние, пройденное за счёт ускорения (S2) и (S5) взаимно уничтожаются. Остаётся только отрезок пути (S3 = ?V * t), где (?V = Vк – V
1), (Vк) – конечная скорость на участке (18 – 21). Тогда ускорение равно (a = S3 / t
). Это соответствует школьной формуле пути при равноускоренном движении только без двойки в знаменателе (S3 = a * t
). Как видно, на участке (S3) ускорения собственно и нет, т.е. для школьной формулы это академическая абстракция. Очевидно, также, что приращение скорости на смежных участках равно разнице их средних скоростей, что в единичном интервале времени опять же соответствует (S3). Но прирост средней скорости даёт и среднее ускорение при вычислении.
Стопроцентная точность трёхточечной схемы обеспечивается только при равноускоренном движении на всём протяжении обоих смежных участков. В противном случае среднее ускорение в окрестностях граничной точки, которое при тех же самых координатах может отличаться от ускорения равноускоренного движения вдвое. Например, при одних и тех же координатах с нашими данными за исключением нулевого ускорения на втором участке разница средних скоростей (4 – 3 = 1), будет соответствовать вдвое меньшему ускорению (1 / 1 = 1), чем если бы постоянное по величине ускорение (2) было бы на обоих участках (2 / 1 = 1).
Таким образом, трёхточечная схема может давать не достоверную информацию, какое ускорение есть на каждом из смежных участков и какие расстояния пройдены с ускорением и без него.
Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере поворотного движения Кориолиса, ускорение которого в соответствии с приведённым физическим механизмом явления Кориолиса вдвое меньше классического.
На рисунке (4.1.1.3) приведена классическая трёхточечная схема применительно к криволинейному движению. Временной интервал между точками (1, 2, 3), как и прежде – одна секунда. Очевидно, что если бы не было радиальной скорости, то все три радиуса-вектора (DK), (D «2»), и (DL) были бы одинаковыми. При этом разница проекций (DK) и (DL) на ось (Y) была бы равна нулю (ВD – DF = 0), что означает отсутствие ускорения вдоль тангенциального направления (Y).
Рис. 4.1.1.3
Очевидно, что с учётом радиального движения радиус-вектор (D «1») будет короче радиуса-вектора (DK) на («1» К = Vr * t * sin (? * t)), а радиус-вектор (D «3») длиннее радиуса-вектора (DL) на величину (L «3» = Vr * t * sin (? * t)). А поскольку разность проекций на ось (Y) областей (D «4» «5») и (D «5» «1») равна нулю (красная штриховка), то приращение вдоль оси (Y) соответствует двум проекциям приращения радиуса – (AC = АВ + ВС = 2 * Vr * t * sin (? * t)). Это следует также и из операций с векторами – («2» «3» – «2» «2*» = «2*» «3» = AC = AD – DЕ = 2 * Vr * t * sin (? * t)) или для малых углов (AC = 2 * Vr * ? * t
). Однако это справедливо только в отсутствие истинной силы Кориолиса-Кеплера.
Как показано выше, в классическом поворотном движении половина поддерживающей вращение силы компенсирует истинную силу Кориолиса-Кеплера. При этом, несмотря на изменение радиуса, исходная линейная скорость в общем составе переменного движения сохраняется неизменной. Эта постоянная скорость не причастна к ускорению Кориолиса, т.к. она возникает в результате равновесия сил. Следовательно за ускорение Кориолиса ответственна только оставшаяся неуравновешенная половина поддерживающей силы. Однако трёхточечная схема «не видит» непричастную к неуравновешенному движению половину.
Действительно, из рисунка (4.1.1.3) видно, что приращение поворотного движения вдоль оси (Y), равное (AC = 2 * Vr * ? * t
)) при вычитании смежных участков остаётся не скомпенсированным ни в какой своей части, как например, это происходит с проекциями областей (D «4» «5») и (D «5» «1»). Следовательно не скомпенсированной в составе этого общего приращения остаётся и приращение, обусловленное постоянной линейной скоростью, которая как мы отмечали выше не причастно к ускорению Кориолиса. В результате классическое ускорение Кориолиса вдвое больше реального.
Таким образом, полное напряжение Кориолиса в статике действительно соответствует классической силе Кориолиса (Fпк = 2 * m * Vr * ?). Однако динамические ускорение и сила Кориолиса оказываются при этом вдвое меньше классических аналогов (а
= Vr * sin (? * t) / t = Vr * ?, Fкд = m * Vr * ?).
Математически коррекция трёхточечной схемы может быть выражена, как через произведение (Vr) на синус половины угла поворота (? * t / 2), так и через прежний угол, но с коэффициентом «1/2» перед всем произведением, а также через средний радиус поворота – (Rср. = Vr * t / 2). Графически откорректировать классическую трёхточечную схему по среднему радиусу, можно сократив (L «3») и («1» S) ровно на половину (см. Рис. 4.1.1.3). При этом из каждого участка уйдёт и их постоянная часть (условно – это (AM) и (NF)), образующаяся за счёт компенсации истинной силы Кориолиса-Кеплера (см. Рис. 4.1.1.4).
Рис. 4.1.1.4
Как видно, при вычитании смежных участков проекции области (DPG) и (DGK) на ось (Y) взаимно уничтожаются (красная решётчатая штриховка). При этом реальное приращение пути будет вдвое меньшим, чем до коррекции (МD – DE = МС = МВ + ВС = 2 * (Vr / 2) * t * sin (? * t) = Vr * t * sin (? * t)) (зелёная косая штриховка). Естественно, что при этом изменятся также и координаты откорректированной схемы. Вместо координат точек («1» «2» «3), равных соответственно (ЕDА) будут координаты точек (K «2» O), равные соответственно (MDN).
Однако в этом нет никакого противоречия, т.к. это уже не траектория реального движения, а эквивалентная схема для вычисления истинного приращения пути. При этом определять новые координаты естественно нет никакой необходимости. Достаточно, математической коррекции полученного по трёхточечной схеме результата. Вывод ускорения Кориолиса через средний радиус будет приведён ниже (см. вывод Кухлинга, гл. 4.1.1.2.).
Таким образом, трёхточечная схема не видит истинную силу Кориолиса-Кеплера. В результате классическое ускорение Кориолиса оказывается завышенным вдвое.
4.1.2. Механизм формирования поворотного ускорения Кориолиса
В классической модели явления Кориолиса истинная сила Кориолиса—Кеплера, которая совместно с поддерживающей силой обеспечивает статическую составляющую силы Кориолиса, отсутствует (см. гл. 3.4.3., гл. 4.1.1.). При этом в составе классического ускорения Кориолиса декларируется центростремительное ускорение (ЦСУ) по изменению направления вектора радиальной скорости, которое якобы и приводит к удвоению классического ускорения Кориолиса.
Причём по трёхточечной схеме удваивается в том числе и приращение вращательного движения, которое затем сокращается. Покажем это на рисунке (4.1.1.3).
Приращение пути за счёт ЦСУ равно:
?Rx = (DL – D «2») – (D”2» – DK) = DL – 2 * D «2» + DK
а = (cos (?t) * (DL + DK) – 2 * D «2») / t
Поскольку DL = DK, а угловая скорость (?) – постоянная, то
|DL – D «2»| = |D «2» – DK|
Отсюда
DL + DК = 2 * D «2»
Тогда
а = (cos (?t) – 1) * 2 * D «2») / t
Воспользовавшись разложением функции (cos (n) – 1) в ряд Тейлора (cos (n) – 1 = -n
/ 2…), получаем:
a = – ((?t)
/ 2) * 2 * D «2» = ?
R,
где D «2» = R
Как видно на рисунке при наличии радиального движения величина приращения (?Rx) не изменяется, т.к. (-L «2» – «2» K = «2» «3» – «2» «2*»). А вот в тангенциальном направлении ускорение строго зависит от радиального движения, т.к. во-первых, все члены в разностном векторе положительные, а во-вторых, часть поддерживающей силы компенсируется истинной силой Кориолиса-Кеплера. В результате динамическая половина поддерживающей силы обеспечивает только половину классического ускорения Кориолиса.
Для ЦСУ двойка в конечном итоге сокращается, что нивелирует ошибку трёхточечной схемы для движения с центростремительным ускорением. Но то же самое фактически происходит и с ускорением Кориолиса, хотя классическая физика этого почему-то не видит. Если учесть, что половина поддерживающей силы компенсируется за счёт компенсации истинной силы Кориолиса-Кеплера, то двойка в конечном итоге так же, как и в случае с ЦСУ должна сократиться:
а
= 2 * Vr * t * sin (? * t / 2) / t = Vr * ?
Таким образом, приращение переносной скорости по абсолютной величине, и поворот радиальной скорости по направлению – это одна и та же физическая величина, которая соответствует одному общему ускорению в тангенциальном направлении, вдвое меньшему классического ускорения Кориолиса.
Приведём физический механизм формирования поворотного ускорения Кориолиса, из которого так же со всей очевидностью следует, что это одна и та же физическая величина. (см. Рис 4.1.2.1).
Радиальное движение может изменить своё направление только при взаимодействии тела с вращающимся радиусом в момент, когда он изменяет своё угловое положение по отношению к прямолинейному радиальному движению. При этом взаимодействие тела с радиусом будет происходить по типу отражения (см. Рис 4.1.2.1, положение 2), ускорение которого никто не подразделяет на самостоятельные составляющие в виде ЦСУ по изменению направления радиальной скорости и ускорения, обеспечивающего приращение линейной скорости переносного вращения.
Рис. 4.1.2.1
Оторвавшись после отражения от физического радиуса—направляющей, тело движется по инерции, не меняя больше углового положения и абсолютной величины вектора скорости. При этом тело удаляется от бывшего радиуса вдоль переносной окружности со скоростью, равной проекции своей абсолютной (отражённой) скорости на касательную к окружности текущего переносного вращения.
Одновременно тело удаляется и от центра вращения с радиальной проекцией абсолютной скорости (Vr). При этом угловое положение вращающегося физического радиуса продолжает непрерывно изменяться и после завершения взаимодействия отражения. В результате, физический радиус, который в данном случае совпадает с математическим радиус-вектором постепенно догоняет вектор скорости тела по угловому положению (см. Рис 4.1.2.1).
Очевидно, что все точки вращающегося радиуса имеют свою переносную скорость, которая тем больше, чем дальше она находится от центра вращения. Поэтому, как бы ни была велика отражённая инерционная скорость тела в переносном направлении, одновременно удаляющегося от центра вращения и в радиальном направлении, его рано или поздно настигнет соответственная точка на радиусе, который следует за телом с неизменной угловой скоростью за счёт поддерживающей силы.
Другими словами в процессе радиального движения тело неизбежно переместится в область переносного вращения, в которой тангенциальная скорость точки на радиусе сопоставима со скоростью самого тела в этом направлении, что приведёт к началу нового цикла, но уже на базе новой начальной линейной скорости При этом новое отражение приведёт к новому повороту и новому приращению линейной скорости.
Если при встрече тела с новой точкой радиуса совпадения исходных параметров в виде углового положения и величины вектора скорости не произойдёт, то заработает механизм с отрицательной обратной связью, регулирующий эти параметры. При этом каждое последующее отражение будет происходить при меньшем различии исходных параметров взаимодействия, которые вдруг по какой—либо причине не совпали с «первой попытки». Так будет происходить, вплоть до их полного совпадения.
В результате, в конце цикла относительная скорость точки на радиусе и тела в переносном направлении становится равной нулю, а скорость относительного движения поворотного движения направлена строго вдоль радиуса. На этом полный цикл формирования поворотного движения и ускорения Кориолиса заканчивается (см. Рис. 4.1.2.1, поз. 3), после чего начинается новый абсолютно идентичный предыдущему цикл поворотного движения. Разумеется, всё это происходит на микроуровне.
