Прикольная статистика

Ярослав Золотарёв

Прикольная статистика

Глава 1. Средняя температура по больнице

Главврач докладывает министру: «Средняя температура по больнице тридцать шесть и шесть, товарищ министр. Норма». Министр доволен, главврачу премия, больным компот.

Врёт ли главврач? Ни на одну десятую градуса. В его заведении десять постояльцев. Восемь лежат в палатах с температурой 40 и уже беседуют с покойной бабушкой. Ещё двое лежат в морге, где холодильник сломался при прошлом главвраче, и потому там ровно 23 градуса. Считаем: 8 · 40 + 2 · 23 = 366. Делим на десять постояльцев и получаем 36,6.

Шутка старая, заезженная, и я начинаю с неё книгу нарочно. В ней уже лежит вся статистика: и её сила, и её подлость. Число посчитано безупречно. Ни один человек в больнице такой температуры не имеет. Министр при этом узнал о положении дел меньше, чем знал до доклада.

Так зачем вообще нужно среднее, если им так легко морочить голову?

Всё отнять и поделить

Представьте, что вас спрашивают, сколько пьют в бане по субботам. Можно ответить честно и подробно: Коля две кружки, Вася три, Серёга три, Михалыч четыре, Петрович тринадцать. Для пятерых это ещё терпимо. Для пяти тысяч человек такой ответ никто не дослушает, а для ста сорока миллионов его не дослушает даже Росстат.

Здравый смысл предлагает простой выход: заменить всю толпу одним числом. Каким? Тем, которое досталось бы каждому, если бы всё выпитое слили в одну бочку и разлили поровну.

Философы со времён Платона спорят о справедливом распределении благ. Полиграф Полиграфович Шариков решил вопрос одной фразой: «Взять всё, да и поделить». Именно этим и занимается среднее арифметическое. Это единственное место на Земле, где коммунизм построен полностью, причём без жертв, поскольку всё происходит на бумаге.

Формула, которую вы умели в третьем классе

Считаем баню. Всего выпито 2 + 3 + 3 + 4 + 13 = 25 кружек. Народу пять человек. На брата приходится по пять кружек. Вся наука умещается в одну строчку.

Буквы здесь занимаются тем же, чем фамилии в ведомости. Икс с цифрой означает показание конкретного участника: x1 у Коли, x5 у Петровича. Буква n означает количество участников. Черта над иксом говорит, что перед нами среднее. Учёные записывают понятные вещи непонятно вовсе не из вредности. Так короче, а ещё так солиднее выглядит заявка на грант.

У среднего есть свойство, ради которого его и носят на руках три века. Посмотрим, кто насколько отклонился от положенных пяти кружек. Коля недопил три, Вася и Серёга по две, Михалыч одну. Итого недобор восемь. Петрович перебрал ровно восемь. Совпадения тут нет, так выходит всегда и при любых числах.

Значит, среднее можно понимать как точку опоры качелей. Рассадите всех по длинной доске соответственно их кружкам, и доска уравновесится именно на пятёрке. Петрович держит четверых, потому что сидит далеко, и в этом простая школьная физика. Примет он ещё пять кружек, и среднее по бане вырастет до шести, хотя остальные не сделали ни глотка.

Здесь сразу видны оба лица метода. Среднее честно учитывает каждого, в этом его сила. И среднее честно учитывает каждого, в этом его беда.

Три способа опозориться

Смешать несмешиваемое. Среднее не спрашивает, что вы в него свалили. Живые с мёртвыми, грудные дети с пенсионерами, дворник с олигархом: всё перемелет без жалоб. Получится, например, что у среднего человека примерно одна грудь и одно яичко. Арифметика безупречна, а на пляже такого гражданина пока не встречали. Вывод прост: прежде чем усреднять, стоит выяснить, одной ли породы усредняемое.

Усреднить средние. Возьмём пример для филологов, числа в нём условные. У автора есть роман в 10 000 предложений, по 20 слов в среднем, и рассказ в 100 предложений, по 6 слов. Молодой исследователь пишет в диссертации: (20 + 6) : 2 = 13 слов, и выводит отсюда лапидарность мастера. Но всего тут 10 100 предложений, и в них 200 600 слов. Делим и получаем почти 20 слов на предложение. Лапидарность мастера оказалась болезнью исследователя. Большой кусок должен весить больше маленького, и никакая учёная степень этого не отменяет.

Искать среднего человека. В начале 1950-х годов американские ВВС обмерили 4063 лётчика всеми мыслимыми способами: денег на сантиметры у них всегда хватало. Кабины строили под среднего пилота, и было бы неплохо узнать его размеры поточнее. Лейтенант Гилберт Дэниелс задал простой вопрос: а сколько там вообще средних? Он взял десять главных параметров и посчитал средним каждого, кто попал в средние 30% диапазона по каждому из них. Условие щедрое. Средних по всем десяти нашлось ровно ноль человек. Воздушный флот сверхдержавы готовился сажать в кабину призрака.

Среднее описывает толпу и не обязано описывать ни одного человека в ней. Потому кресло в вашей машине и ездит взад-вперёд.

Как среднее работает в настоящей науке

После такого позора среднее стоило бы выбросить. Но придумали его в современном виде для дела вполне возвышенного: для звёзд. Десять астрономов меряют положение одной планеты и получают десять разных чисел, потому что глаз устал, труба дрожит, а жена зовёт ужинать. Планета при этом одна. Ошибки бывают в обе стороны, а наши качели показали, что в сумме отклонения от среднего гасят друг друга. Значит, среднее из десяти плохих измерений обычно надёжнее каждого из них в отдельности.

В XIX веке бельгийский астроном Адольф Кетле перенёс этот приём с небес на землю. Он взял обхваты груди 5738 шотландских солдат и получил в среднем чуть больше 39 3/4 дюйма, это около 101 сантиметра. Дальше восторг его унёс. Кетле рассуждал примерно так: у астрономов среднее даёт истину, а всё остальное ошибки, стало быть, и с людьми то же самое. Так появился «средний человек», замысел природы, а живой солдат с его тещёй оказались погрешностью измерения. Идея вздорная, ведь планета одна, а людей много. Зато сам подход оказался гениальным: общество можно измерять почти так же, как небо.

А теперь главное чудо. В 1907 году восьмидесятипятилетний Фрэнсис Гальтон, двоюродный брат Дарвина, напечатал в журнале Nature заметку о выставке скота в Плимуте. Там за шесть пенсов можно было угадать, сколько будет весить откормленный вол после забоя и разделки. Гальтону досталось 787 годных билетов. Угадывали мясники и фермеры, но и публика, которая, по выражению самого Гальтона, разбиралась в волах примерно так же, как средний избиратель в государственных делах. В опубликованной заметке вол весил 1198 фунтов, около 543 килограммов. Среднее по толпе вышло 1197.

Толпа бездельников ошиблась на один фунт, потому что завышения и занижения погасили друг друга. Более того, позже статистик Кеннет Уоллис поднял рабочие листы Гальтона и нашёл там вес вола 1197 фунтов. Выходит, на фунт ошибся сам великий учёный, когда переписывал цифру, а бездельники угадали точно.

Тот же приём работает сегодня повсюду. Физик усредняет повторные измерения, врач сравнивает средние показатели в группах с лекарством и без него, лингвист считает среднюю длину слова, чтобы понять, кто написал текст. Большая часть этой книги так или иначе растёт из одного действия: сложить и поделить. Важно только помнить, что усреднить можно что угодно, но осмысленное число выйдет не всегда. Вол у Гальтона был один. Больных у главврача десять, и двое из них уже ни на что не жалуются.

Задачи

1. Ремонт в морге. В больнице 30 больных с температурой 38 и 6 постояльцев морга при 20 градусах. Какую среднюю температуру получит министр?

Ответ: (30 · 38 + 6 · 20) : 36 = 1260 : 36 = 35 градусов. Теперь главврачу придётся объяснять, почему вся больница переохлаждена, при том что в палатах все горят.

2. Пельмени равенства. Пятеро съели 10, 12, 14, 16 и 48 пельменей. Сколько съел в среднем каждый? Сколько человек съело столько?

Ответ: в среднем 100 : 5 = 20 пельменей. Съел столько никто. Четверых обделили, один опять сидит далеко на качелях.

3. Спасение Вовочки. У Вовочки в журнале две двойки и две тройки. Сколько пятёрок ему нужно получить, чтобы средний балл стал 3? А чтобы стал 4?

Ответ: для тройки хватит одной: (10 + 5) : 5 = 3. Для четвёрки нужно шесть: (10 + 30) : 10 = 4. Старые грехи потому и тяжелы, что у среднего хорошая память. Раскаяние оно учитывает только по расценке.

4. Молодой район. В Верхних Выселках 900 жителей со средним возрастом 40 лет, в Нижних 100 жителей со средним возрастом 80 лет. Глава района докладывает: средний возраст 60 лет, дайте денег на соцзащиту. Сколько на самом деле?

Ответ: (900 · 40 + 100 · 80) : 1000 = 44 года. Район молодой, глава просто усреднил средние. Денег ему всё равно дадут: там тоже усредняют.

5. Гальтон на колхозном дворе. Четыре соседа на глаз оценили кабана в 70, 90, 110 и 130 килограммов. На весах оказалось 100. На сколько ошибся самый точный сосед и на сколько ошиблось среднее?

Ответ: лучшие двое ошиблись на 10 килограммов, а среднее 400 : 4 = 100 не ошиблось вовсе. По отдельности все не правы, вместе правы. Жаль, при таком результате кабана всё равно делить придётся на четверых.

Глава 2. Зарплата, которой никто не получает

Вы читаете объявление: «Дружный коллектив, средняя зарплата 125 тысяч». Надеваете единственный приличный пиджак, едете на собеседование, выходите на работу, и в первый же день зарплаты получаете 50. Идёте в отдел кадров бить посуду.

Кадровичка спокойно достаёт ведомость. В фирме шесть человек. Пятеро, включая вас, получают по 50 тысяч. Директор, он же супруг владелицы, получает 500. Всего 750 тысяч на шестерых, то есть по 125. По математике пятёрка, по криминальному кодексу претензий нет. Зарплату в 125 тысяч в этой фирме никогда никто не получал, но так ведь и температура 36,6 в прошлой главе ни у кого не наблюдалась.

При этом ваш вопрос был совсем простой: сколько получает обычный человек в этой конторе? В прошлой главе мы уже видели, как один Петрович на дальнем конце качелей уводит среднее за собой. Значит, нужен показатель, который на Петровича плевать хотел.

Здравый смысл опять справляется без университета, и навык тут требуется школьный. Выстройте всех по зарплате, как на физкультуре по росту, и спросите того, кто стоит посередине. Богатый правый фланг может держать на счету хоть весь бюджет волости, середина шеренги от этого не сдвинется ни на шаг.

Середняк и модник

Того, кто стоит посередине, учёные называют медианой. Вернёмся в баню из прошлой главы: 2, 3, 3, 4 и 13 кружек. Числа уже стоят по порядку, посередине Серёга с тремя кружками. Медиана равна трём, хотя среднее равнялось пяти.

Теперь пусть Петрович выпьет не 13 кружек, а 130. Вопросы к медицине оставим, статистика отвечает сразу. Среднее подпрыгнет с пяти до 142 : 5 = 28,4 кружки на брата. Медиана останется равна трём. В науке такое равнодушие называют устойчивостью, а Петровича и подобных ему выбросами. Слово неласковое, но точное: он действительно далеко выброшен от всех остальных.

Если людей чётное число, посередине стоит пустое место между двумя соседями. Берём обоих и находим их полусумму. В нашей фирме на третьем и четвёртом местах стоят два бедолаги по 50 тысяч, так что медиана равна 50. Именно эту цифру и стоило написать в вакансии, если бы кто-нибудь хотел сказать правду.

Есть и третий показатель, самый ленивый. Мода означает просто то, что встречается чаще всего. Слово ввёл Карл Пирсон в 1895 году, и никакой ошибки тут нет: модно то, что носят все, даже если оно ужасно. В бане мода равна трём кружкам, в конторе 50 тысячам. Формула для моды не нужна, достаточно уметь считать до десяти и оглядываться по сторонам.

На большой толпе все три показателя расходятся в понятном порядке. Возьмём условную контору побольше, где деньги тоже стекаются вверх, к начальству.

Мода показывает, что получает самая большая кучка народу, 50 тысяч. Медиана делит коллектив пополам, на более и менее удачливых, это 60. Среднее утащил вправо директор, и оно равно примерно 72. Притом никто не соврал. Когда видите такой порядок, это примета: у распределения справа длинный хвост, на конце которого кто-то хорошо устроился.

Три способа опозориться снова

Не спешите объявлять медиану царицей полей. У неё и моды есть свои способы осрамиться.

Считать деньги по медиане. Та самая глухота к Петровичу, за которую мы её похвалили, иногда обходится дорого. Пошлите в баню закупать пиво по медиане: пять человек на три кружки, итого 15. Выпьют 25, и дальше вас будут ведать не научные соображения. Потому соискателю нужна медиана, а бухгалтеру среднее. Только среднее, умноженное на число людей, даёт общую сумму, и ни один другой показатель этого не умеет.

Довериться медиане на малой выборке. Пятеро ценителей поэзии поставили сборнику оценки 2, 2, 2, 5, 5. Медиана равна двум, гоните поэта копать картошку. Один человек, выпив с автором, меняет двойку на пятёрку, получается 2, 2, 5, 5, 5, и медиана сразу равна пяти. Среднее при этом скромно сдвинулось с 3,2 до 3,8. Медиана не замечает краёв, зато у самой середины может прыгнуть через пропасть.

Поверить моде. Мод бывает несколько, и нигде это не видно лучше, чем в обувном магазине. Женщины возьмут 37-й размер, мужчины 43-й, и посередине окажутся склады никому не нужных сороковых, если директор заказывал по среднему. Бывает и наоборот: когда все значения разные, моды нет вообще. А на малых цифрах она принципиально не внушает доверия, ведь два одинаковых ответа из семи случаются просто так.

Единственного правильного показателя не существует. Вопрос всегда в том, что вы собираетесь делать с ответом.

Как медиана работает в настоящей науке

Помните Гальтона с волом? В той же самой истории старик спорил с прошлой главой этой книги, сам того не зная. В статье он счёл главным не среднее, а серединную оценку, и в заметке «Один голос, одно значение» объяснил почему. Думайте о комиссии или присяжных, которые назначают сумму. Среднее, писал он, даёт чудакам власть пропорционально их чудачеству. Один помешанный напишет сумму с десятью нулями и потянет всё решение за собой. Серединная же оценка единственная, против которой нет большинства: любую другую большинство сочтёт либо завышенной, либо заниженной. В том опыте медиана была 1207 фунтов, а среднее 1197. Среднее оказалось ближе к истине, но правота Гальтона не в одном воле. Когда среди голосующих бывают чудаки, а они бывают, медиана защищает от них без всякой цензуры.

Вот почему медиану так любят там, где велик одиночный размах. В апреле 2025 года средняя зарплата в России, по данным Росстата, подобралась к 100 тысячам рублей, а медианная составила 73,9 тысячи. Оба числа честные, просто отвечают на разные вопросы. И когда в телевизоре сообщают об одном из них, полезно уточнить, о каком. За пределами России медиана работает даже надёжнее: Евросоюз определяет порог риска бедности в 60% от медианного дохода. Разбогатей пара миллиардеров, такой порог не шелохнётся, тогда как порог от среднего бы уполз вверх вместе с яхтой.

Но самая сильная история про медиану совсем не смешная, и шутить над ней не буду. В 1982 году палеонтолог Стивен Джей Гулд узнал, что у него мезотелиома, редкий рак. В библиотеке он вычитал, что медиана выживания восемь месяцев. Обычный человек услышит «через восемь месяцев ты умрёшь». Гулд был учёным и услышал другое. Медиана означает, что половина больных умирает раньше, а половина позже. Слева шкала упирается в ноль, справа же хвост может тянуться на годы. Он был молод, диагноз поставлен рано, и были основания надеяться на правую часть. В 1985 году он написал об этом эссе «The Median Isn’t the Message», по смыслу «Медиана ещё не приговор», и его читают до сих пор. Прожил он ещё около двадцати лет и умер в 2002 году от другого рака.

Разница между средним, медианой и модой кажется школьной забавой ровно до того дня, когда от неё зависит ваша зарплата, ваше лечение или ваша надежда. При этом одного числа мало любому из них. Надежду Гулду дал разброс, и про разброс будет следующая глава.

Задачи

1. Автобус равенства. В автобусе едут 40 человек с доходом 25 тысяч рублей в месяц. На остановке входит человек с доходом 40 миллионов, потому что у его машины спустило колесо. Какими стали средний доход и медиана?

Ответ: среднее 41 000 000 : 41 = 1 миллион, медиана 25 тысяч. Рост благосостояния населения в сорок раз достигнут на одной остановке. Отметить можно, но за свои 25 тысяч.

2. Село трезвенников. В селе 100 жителей. Девяносто девять не пьют, Петрович выпивает 100 литров в год. Найдите среднее, медиану и моду.

Ответ: среднее 1 литр на душу, медиана и мода 0. Районная наркология запишет потребление на всё село, хотя отвечает один подвижник.

3. Честная вакансия. В фирме директор получает 1 миллион, два зама по 200 тысяч, семеро рабочих по 40 тысяч. Какую цифру напишет отдел кадров, а какую стоило бы услышать соискателю?

Ответ: отдел кадров напишет среднее, 1680 : 10 = 168 тысяч. Соискателю нужна медиана, 40 тысяч. Но тогда он не придёт, а кто-то должен работать.

4. Тёща в жюри. На конкурсе самодеятельности по десятибалльной шкале четверо судей поставили 7, 8, 8 и 9 баллов. Пятый судья, тёща участника, написала 100, потому что мальчик старался. Ваши среднее и медиана?

Ответ: среднее 132 : 5 = 26,4 из десяти возможных, медиана 8. Именно о таких судьях и писал Гальтон. Только он не знал вашу тёщу.

5. Ботинки по среднему. За день проданы ботинки размеров 37, 37, 37, 38, 42, 43, 43, 43. Найдите среднее, медиану и моду. Ботинки какого размера закупать?

Ответ: среднее 320 : 8 = 40, медиана (38 + 42) : 2 = 40. Мод две: 37 и 43. Закупать надо по модам. Среднее и медиана единодушно советуют 40-й, который за день не купил никто.

Глава 3. Автобус, который в среднем приходит вовремя

Начальник автопарка выходит к разгневанным гражданам с отчётом. За неделю тринадцатый маршрут пришёл на двадцать минут раньше расписания, на двадцать позже, на десять раньше, на десять позже и один раз, по всей видимости случайно, точно вовремя. Складываем: -20 + 20 - 10 + 10 + 0 = 0. В среднем автобус не опаздывает ни на секунду. Начальнику грамота, водителю премия, вам полчаса на морозе с выводом о несовершенстве мироздания.

Рядом ходит пятый маршрут. За ту же неделю у него одна минута раньше, одна позже и три раза точно вовремя. В среднем тот же самый ноль. В отчёте оба автобуса неразличимы. В жизни один возит людей на работу, а другой приучает их к мысли о бренности сущего.

Значит, одного среднего мало. И медианы тоже мало, она у обоих равна нулю. Всё, что мы уже выучили, отвечает на вопрос «где середина». Теперь нужен второй вопрос: насколько далеко от неё люди разбрелись.

Здравый смысл предлагает для начала посмотреть на крайних: у тринадцатого от минус 20 до плюс 20, у пятого от минус 1 до плюс 1. Это уже неплохо, и называется размахом. Беда в том, что размах знает только двух человек. Один раз в году запил водитель пятого, автобус пришёл на час позже, и по размаху он вмиг стал хуже тринадцатого. Нужен показатель, который спросит каждого.

Квадратные минуты

Возьмём тринадцатый маршрут. Хочется узнать, на сколько он в среднем отклоняется от среднего. Тут нас встречает наша же первая глава с дубиной. На качелях мы выяснили, что сумма отклонений от среднего всегда равна нулю. Значит, по такому показателю любой бардак на свете безупречен. Плюсы съедают минусы, и доклад начальника автопарка опять готов.

Значит, от минусов надо избавиться. Можно просто отбросить знак, и такой показатель в науке тоже есть. А можно возвести в квадрат, ведь минус на минус даёт плюс. Статистики пошли вторым путём, потому что с квадратами дальше намного удобнее считать. Квадраты отклонений: 400, 400, 100, 100 и 0. Всего 1000. Делим на пять поездок и получаем 200. Это число называется дисперсией, и оно ещё всплывёт в нашей книге.

У дисперсии есть только один недостаток: она измеряется в квадратных минутах. Что это такое, не знают ни Кант, ни автопарк. Чтобы вернуться к людям, извлекаем корень: корень из 200 составляет примерно 14,1 минуты. Это и есть стандартное отклонение. Сам термин первым употребил письменно в 1894 году всё тот же Карл Пирсон, главный поставщик слов для этой книги. У пятого маршрута тот же расчёт даёт 0,63 минуты. Автобусы наконец различаются, и в двадцать с лишним раз.

Здесь стоит сделать одну оговорку для совести. Когда перед нами не все данные, а лишь выборка, в учебниках делят не на n, а на n - 1. Почему, объясню, когда доберёмся до пивовара Госсета и малых выборок. На большой толпе разницы почти нет, а в этой главе нас интересует сама идея.

Идея такая: стандартное отклонение показывает, на сколько типично отбиваются от среднего. Тринадцатый маршрут типично угуливает на 14 минут, пятый меньше чем на минуту. Разброс стоит настоящих денег и настоящего времени, и всякий, кто ждал на остановке, уже оплатил его своими ногами. Пусть по расписанию автобус ходит раз в 20 минут. Придёте наугад, и будете ждать в среднем 10 минут. А теперь пусть автобусы ходят парой, один за другим, как настоящие друзья, и потом оба пропадают на 40 минут. Средний интервал всё те же 20 минут, и парк машин тот же, а ждать вы будете в среднем 20 минут, вдвое дольше. Расписание не изменилось в среднем, ваша жизнь сократилась тоже не в среднем.

У стандартного отклонения есть и вторая служба. Оно работает единой линейкой для вещей, которые сравнивать нельзя. Что удивительнее: 13 кружек пива или рост 190 сантиметров? На вид вопрос для сумасшедшего дома. Но можно спросить по-другому: на сколько своих стандартных отклонений человек отошёл от своего среднего. Это называется z-оценкой, и единиц измерения у неё нет: кружки сокращаются с кружками, сантиметры с сантиметрами.

Среди своих банных товарищей Петрович отклонился примерно на два стандартных отклонения. Ровно так же странен условный дылда ростом 190 при среднем 176 и отклонении 7. Пиво и рост приведены к одному знаменателю, чего не удавалось даже великим философам.

Где разброс даёт промах

Петрович бьёт по новому показателю ещё больнее. Среднее он утаскивал за собой, а тут он ещё и возводится в квадрат. Четверо в бане, без него, дают стандартное отклонение 0,71 кружки. С ним 4,05. Один человек увеличил разброс почти вшестеро. Поэтому прежде чем считать квадраты, полезно посмотреть, кто там сидит на дальнем конце скамьи.

Слон и мышь. Пусть у мышей вес колеблется на 5 граммов при среднем 20, а у слонов на 500 килограммов при среднем 5 тонн (числа условные). По стандартному отклонению слоны разнороднее мышей в сто тысяч раз. Делим отклонение на среднее и получаем 10% у слонов и 25% у мышей. Стало быть, слоны как раз пооднороднее. Показатель так и называется, коэффициент вариации, и разномасштабные вещи без него сравнивать нельзя.

Одинаковое число, разная жизнь. Автобус приходит с отклонениями -10, -10, +10, +10. Стандартное отклонение равно десяти, и он никогда не бывает вовремя. Другой приходит с отклонениями -14, 0, 0, +14. Отклонение почти то же, 9,9, но половину поездок он приходит точно по расписанию. Два числа, среднее и разброс, гораздо лучше одного, но форму они не описывают. Формой мы займёмся в следующей главе.

Как разброс работает в настоящей науке

Разброс долго считали помехой. Затем оказалось, что в нём можно читать, как в книге.