скачать книгу бесплатно
Море могуче. В тон ему, шумен, отвечу Гомером:
Море, веру буди – ярок, скор, я иду буревером.
Д. Авалиани
«Хорошо. Шорох.
Утро во рту.
И клей елки
Течет».
С. Кирсанов – отрывок стихотворения
У Семена Кирсанова несколько палиндромических стихотворений и интересные размышления на эту тему. На русском языке палиндромы писали В. В. Хлебников, В. Я. Брюсов, И. Л. Сельвинский, А. А. Вознесенский.
Через «Sator Arepo» у нас произошел плавный и незаметный переход от отдельный слов палиндромов к палиндромам предложениям. Пошли фразы, в которых каждое отдельное слово не являлось палиндромом, а предложение в целом, если не обращать внимания на расстановку пробелов, палиндромом было. В математике к понятию палиндрома нужен другой подход, потому что, в отличие от слова, любое число, написанное произвольным набором цифр, имеет смысл, например, 1234567890987654321 – вполне реальное число. Только содержательная сторона, изюминка идеи отражения здесь отсутствует, посмотришь на это число, и скажешь: «Ну, и что?». Можно поставить вопрос так: найти квадраты целых чисел, которые неизменно читаются как слева направо, так и наоборот. Некоторые из них найти легко: 11
=121, 111
=12321, 1111
=1234321. Все получившиеся числа палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему девяти. Есть и другие случаи, но их найти труднее, например 264
=69696, 836
=698896, 2285
=5221225. Одним вопросом намечено целое направление для поиска числовых палиндромов с определенным смыслом.
Есть палиндромы и среди кубов, например 11
=1331, причем в большинстве случаев, если куб – палиндром, то и кубический корень из него – тоже палиндром. Далее 11
=14641. Ожидаемого результата с пятой степенью не получается: 11
=161051 – не палиндром. Поиск палиндромов среди пятых степеней, пока не дал результатов. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел палиндромов вида x
при k>4. Её кому-то нужно доказать или опровергнуть [??]
Попробуйте поискать, поэкспериментировать, используя электронную таблицу Excel в офисном пакете. Там есть встроенная функция степени и таблицу чисел легко вводить методом протягивания. Считать не придется, результат определяется только визуально. Если вы владеете любым простейшим языком программирования типа Basic, то можете запрограммировать и вывод итогового палиндрома, если он найдется, конечно. Работа интересная, в мире столько интересного, делал бы сам, но оставляю вам.
Другой вопрос – сколько существует простых чисел палиндромов. Простыми называются числа, не имеющие делителей кроме единицы и самого себя. Среди первых пятидесяти простых чисел я нашел шесть палиндромов: 11, 101, 131, 151, 181, 191. Сколько их всего – неизвестно! Высказывалось предположение о том, что простых чисел палиндромов бесконечно много, но эта гипотеза пока не доказана [??]
Одна знаменитая гипотеза в теории чисел так и называется «гипотеза о палиндромах», и состоит в следующем. Если взять некоторое многозначное число и к нему прибавить число с переставленными в обратном порядке цифрами, потом то же самое проделать с полученной суммой, то, повторяя эти действия несколько раз, вы непременно получите число-палиндром. Гипотеза утверждает, что независимо от того, какое число выбрано, после конечного числа шагов вы непременно получите палиндром.
Иногда для достижения симметричного результата приходится делать большое число шагов, например, для числа 89 ожидаемый результат получается только после 24-го шага. Существует ли число, которое никогда не приведет к симметричному результату? Это никем еще не доказано! Наименьшее число, с которым еще не ясно – это 196. Математики на компьютерах проделали сотни тысяч шагов, но получить палиндром так и не удалось, хотя никем не доказано, что он никогда не появится [??]. Теперь осуществим переход к математическим предложениям палиндромам, есть ведь и такие в богатом мире математики. Для этого нужно использовать математические действия. Начнем со сложения.
25+63=36+52, 42+35=53+24, 76+34=43+67.
Остальные арифметические действия тоже не отстают:
41-32=23-14, 46-28=82-64, 52-16=61-52.
26?31=13?62, 63?48=84?36, 82?14=41?28.
62:31=26:13, 82:41=28:14, 96:32-69:23.
Показали примеры с двузначными числами, но есть и многозначные палиндромы с математическими действиями. Мир чисел, в отличии от мира слов – бесконечен.
Пример предложения длиннее с использованием всех цифр кроме нуля: 98-76-54+32+1=1+23-45-67+89.
Теперь математическое выражение, которое в целом палиндромом не является, но каждое число этом выражении – палиндром:
2?121?10201=2?11
?101
=22?112211=1111?2222=2456542.
Тысячу раз прав был А. С. Пушкин, сказав: «О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…».
Все рассмотренные палиндромы, как отдельные слова, так и предложения, как в русском языке, так и в математике относятся к буквенным и цифровым палиндромам. Если же укрупнить единицу рассмотрения? После буквы идет слог. Существуют слоговые палиндромы, в которых в обратную сторону нужно читать не по буквам, а по слогам. Простейшие из них двуслоговые известны всем: мама, папа баба, дядя, няня. То есть читаем ма-ма и наоборот ма-ма.
Трехслоговые палиндромы: царица, калитка, калека, зараза. В трехслоговых нужно чтобы первый и последний слог совпадали, а средний как бы осевой.
Со слоговыми палиндромами занимаются меньше, чем с буквенными, как-то они остаются в стороне от магистрального буквенного пути. Но есть примеры и предложений, которые являются слоговыми палиндромами. Не спи на спине.
Злободневные выражения: Денег взять негде.
Яму копал кому я? Автор Роман Адрианов.
Не вой на войне.
Вы живы? Автор Сергей Федин.
Еще более ослабляя понятие симметрии, перейдем от смысловой симметрии слов к ритмической симметрии отдельных произведений. Можно сказать, что общим свойством стихотворной речи является симметричность ее построения, основанная на повторяемости составляющих ее элементов: слогов, строк и т. д. Чередование ударных и безударных слогов создает ритм стиха. Прочитайте с выражением строки А. А. Фета, и вы почувствуете эту красоту ритма, хотя здесь нет никаких палиндромов:
Какая грусть! Конец аллеи
Опять с утра исчез в пыли,
Опять серебряные змеи
Через сугробы поползли.
На небе ни клочка лазури,
В степи все гладко, все бело,
Один лишь ворон против бури
Крылами машет тяжело.
Этот стихотворный размер называется ямбом. Если быть точным, то здесь присутствует антисимметрия – понятие более сложное, чем просто симметрия. В школьной математике оно не изучается, но мы его рассмотрим на простом примере. Левая и правая перчатки симметричны, у них есть плоскость симметрии.
Теперь представьте, что две левых перчатки сшиты из куска кожи, окрашенного с одной стороны в белый, а с другой стороны в черный цвет. Заметим, что левую перчатку можно вывернуть и одеть на правую руку, только наша специфическая перчатка при этом еще изменит свой цвет. Левая белая перчатка и правая черная, полученная последовательным отражением в вертикальной плоскости и перекрашиванием (выворачиванием), будут антисимметричны, а плоскость их отражения будет называться плоскостью антисимметрии. Таким образом, антисимметрия, кроме отражения, предполагает изменение свойства отражаемого предмета на противоположное. С этим понятием мы сталкивались и раньше, только не применяли слово атисимметрия. На числовой оси, образующей систему координат, числа, расположенные по разные стороны от начала координат, но на равном расстоянии от него, тоже антисимметричны, потому что имеют разный знак.
Обозначая, как это принято, ударный слог символом ?, а безударный символом U, каждую строку приведенного выше стихотворения можно записать так: ?U??U??U??U??.
Элементарная ячейка – стопа имеет ось антисимметрии, расположенную вертикально. Она отражает слог и при этом из безударного слога делает ударный и наоборот. Такая же ось разделяет стопы и всю строку. В приведенном отрывке первая строка рифмуется с третьей, а вторая с четвертой: А-В-А-В здесь тоже присутствует антисимметрия и действует параллельный перенос с трансляцией А-В.
Знаменитая онегинская строфа А-В-А-В-С-С-D-D-Е-F-Е-G-G имеет более сложную архитектуру, включающую как симметричные части, так и ассиметричную, создавая неповторимый ритм, исключающий всякую монотонность, которая для восприятия данного произведения имеет немаловажное значение.
Из прозаических произведений, построенных явно с учетом симметрии, можно назвать роман Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание». Он состоит из шести частей и эпилога. В первых трех частях двадцать глав, в последующих, если считать эпилог за одну главу – тоже двадцать, и по объему первые три части с точностью до страницы составляют половину романа.
Любопытно вспомнить, что повесть Н. В. Гоголя «Нос» первоначально называлась «Сон», а его однокашник по Нежинской гимназии П. А. Лукашевич издал целый трактат о перевертнях.
Прекрасное, – утверждал Данте, – это когда части находятся в соразмерном отношении друг к другу; из гармонии частей вытекает чувство удовлетворения. Прекрасна речь, в которой слова соответствуют друг другу наилучшим образом.
Слова нос и сон приводят нас от палиндромов к еще одному понятию, которое называется «страшным» словом – оборотни.
Оборотни
Наверное, все читали в детстве увлекательную и поучительную сказку В. Губарева «Королевство кривых зеркал». В данном случае нас интересует не её содержание, а оригинальный прием образования имен собственных, использованный автором. Девочка Оля, попадая в «зазеркалье» сталкивается, как сказали бы современные дети, со своим зеркальным клоном – девочкой Яло. Имена всех персонажей сказки – это слова, прочитанные справа налево: Гурд, Аксал, Анидаг, Нушрок, Абаж и т. д. Читать слова с конца к началу любят дети, только осваивающие чтение. Иногда получаются интересные буквосочетания. Своеобразной тренировкой ума может служить переворачивание слов не написанных, а произнесенных вслух. Мне встречался один взрослый человек, который с детства обладал такой интересной способностью: любое произнесенное длинное слово, даже целую фразу он мог мгновенно произнести с конца к началу. Практического применения такой способности он не нашел, кроме развлечения и удивления своих знакомых.
Палиндромы – это относительно небольшое количество слов, которые справа налево читаются так же, как и слева направо. Остальные слова, прочитанные в обратную сторону дают либо бессодержательный набор букв, либо, довольно редко, анаграмму исходного слова, как, например, слова мол и лом, шорох и хорош.
Оборотнями называют слова и предложения, которые можно прочитать не только обычным образом, но и с конца к началу, только при этом получается совершенно иное значение, но слово или фраза не превращаются в бессмысленный набор букв.
Например, предложение: «Я ударю дядю, тетю радуя!», прочитанное в обратную сторону, приобретает и обратный смысл. Это уже не палиндром, а типичный оборотень. Составлять оборотни гораздо труднее, чем палиндромы, даже если не ставить перед собой никаких сверхзадач, добиваясь только, чтобы в обе стороны предложение читалось, то есть имело смысл: «Хорош город», «Казак сено нес», «О, лети сон».
Интереснее, когда в незамысловатом предложении кроется нечто более серьезное, может быть даже крамольное, например: «На Ритке снег». В сталинские времена за подобную «безобидную» фразу могли надолго посадить. Политическая направленность и у фразы Дмитрия Авалиани, напечатанной в ельцинское безвременье: «Лидер Боря…», – всего девять букв, а какой глубокий смысл! Вот бы высечь эту фразу на фронтоне Ельцин-центра в Екатеринбурге. Подобные предложения-оборотни со скрытым содержанием имелись в устном школьном фольклоре, но эти примеры чаще всего скрывали пошловатое обратное чтение, как известное многим высказывание Ивана Баркова. Приводить здесь примеры ненормативной лексики не будем, ограничившись только намеком на их существование. Именно из-за стремления авторов фраз-оборотней скрыть в них то, что нельзя по различным соображениям написать открыто, сложнее найти в литературе образцы, которые можно опубликовать для школьников.
Другое направление – составления оборотней, в которых обратная фраза дополняет по содержанию основное предложение, перекликается с ним по смыслу. Вот классический пример, составленный Сергеем Фединым: «Я нем и нежен». Полное предложение, полученное при последовательном прочтение в обе стороны, из «оборотня» превращается в палиндром: «Я нем и нежен, не жени меня!» Добиться подобного еще труднее, чем просто скрыть тайное содержание.
Предложение-палиндром всегда имеет ось симметрии, проходящую точно посредине. Если такая ось окажется в промежутке между словами, то, отбросив вторую половину палиндрома, мы получим фразу-оборотень:
ПИЛ ВИНО | ОН И ВЛИП.
Оборотни – штучный товар, их придумано гораздо меньше, чем палиндромов, а значит в этом направлении огромный простор для творческих поисков [?]
Несколько слов о симметрии математических объектов. Среди цифр двумя осями симметрии и центром симметрии обладают 0 и 8 (с оговоркой, что восьмерка имеет одинаковые по размерам верхний и нижний элементы), а если в качестве единицы брать римское изображение I, то она тоже обладает тремя видами симметрии. Аналогичной симметрией обладают знаки четырех основных математических действий +, -, ?, : . Знак интеграла симметричен относительно центра. Цифра 3 обладает горизонтальной симметрией (с той же оговоркой). 9 – это горизонтальный оборотень, горизонтальное зеркало превращает ее в цифру 6, тот же эффект дает поворот цифры 9 относительно центра на 180
. Поэтому, чтобы увеличить числа 6 или 66, или 666 в полтора раза, их нужно просто повернуть. В прошлом веке был год, который выражается числом, не изменяющимся при повороте листа с его записью – I96I.
Число 7 в вертикальном зеркале просто поворачивается в другую сторону, но если его записать как разность 8 – I, то зеркальная запись I – 8 означает -7. В этом примере проявляется аналогия зеркального отражения и умножения на -1. Некоторые дроби при отражении в горизонтальном зеркале дают обратные числа:
Римские цифры применяются сейчас редко, но симметрии в них больше, чем в арабских цифрах. Только L=50 не обладает никакой симметрией, все остальные, так или иначе, симметричны. Посмотрите на их ряд и составьте свое мнение о видах симметрии этих цифр и чисел: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, L, C, D, M.
[?-5]
С помощью зеркала и римских чисел можно построить парадоксальную таблицу умножения, в которой дважды четыре – девять, дважды шесть – одиннадцать, дважды семь – двенадцать, дважды восемь – тринадцать. Как это может получаться?
Перевертыши – Антифразы – Антонимы
Словесную игру в перевертыши можно было увидеть в телевизионной передаче «Великолепная семерка». Была когда-то такая развивающая передача. О том, что теперь показывают нам «кривые зеркала» лучше не думать. Некоторое время игра в перевертыши встречалась в газетах «Поле чудес» и «Русский кроссворд», специализирующихся на головоломках. В Интернете можно встретить и другое название перевертышей – антифразы.
Прежде чем разбираться в этом понятии, нужно вспомнить известное из школы значение слова антоним. Слово антоним происходит от греческих anti – против и onyma – имя. Антонимами называют слова с противоположным значением: горячий – холодный, горе – радость, враг – друг, мало – много, всегда – никогда, далеко – близко, до – после. Антонимы – это слова, которые могут обозначать степень признака (тихий – громкий), противоположно направленные действия (поднимать – опускать), точки пространства и времени, расположенные как бы на разных полюсах (верх – низ, поздно – рано).
Рассмотрим разновидности антонимов:
1. В простейшем случае к слову можно подобрать антоним, добавив в качестве предлога частицу отрицания (люди – нелюди, приязнь – неприязнь). Такие пары слов не представляют особого интереса, предложения с использованием таких пар звучат сухо.
2. Следующий вариант мало отличается от предыдущего, разница лишь в том, что предлог замещается, а не добавляется (бессилие – всесилие, симпатия – антипатия, неизвестность – известность).
3. Наиболее интересный случай – разнокоренные слова (легкомысленность – серьезность, запад – восток).
4. В качестве антонимов можно использовать и собственные имена существительные, по сути не являющиеся антонимами (Монтекки – Капулетти), если в контексте заостряется внимание на противоположностях.
Слова, которые обозначают конкретные предметы, обычно не имеют антонимов (шкаф, штора, варенье).
Математика богата антонимами – это знаки, числа, операции:
плюс – минус
положительное – отрицательное
сложение – вычитание
умножение – деление
больше – меньше
делитель – кратное
прямая – кривая
параллельно – перпендикулярно
простое число – составное число
дифференцирование – интегрирование
возведение в степень – извлечение корня.
С литературной точки зрения ни количественных, ни порядковых числительных, противоположных, например, числительному семь или седьмой не существует. Тем не менее, некоторые математические свойства чисел противоположны: четные – нечетные, простые – составные, положительные – отрицательные, дробные – целые.
