скачать книгу бесплатно
T – множество глухих согласных,
X – множество шипящих согласных.
Бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов, но часто можно описать их свойства. Встречаются и конечные множества с той же степенью неопределенности. Например, до сих пор ученым не удалось расшифровать письменность острова Пасхи. До нас дошли несколько десятков табличек, покрытых рисуночными значками, вырезанными зубом акулы по дереву. Эти письмена аборигены называют кохау ронго-ронго – «говорящее дерево». Множество знаков-иероглифов в письменности острова Пасхи, можно определить этим предложением, но нельзя с уверенностью и точно перечислить, хотя это множество заведомо конечное.
Множества G, S, …, X содержат разное количество элементов и среди них есть одно, для которого используется специальное название. Множество, содержащее единственный элемент называется одноэлементным или единичным множеством. Речь идет о множестве P={й}, которое содержит единственную букву, обозначающую полугласный звук, то есть звук не образующий слога. Можно задать и пустое множество, в котором не содержится ни одного элемента. Так как это множество никак не характеризуется своими отсутствующими элементами, то логично утверждать, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Для его обозначения принят специальный знак ?.
Отношения между объектами и множествами описываются понятием принадлежности. Для записи этого отношения есть два специальных знака принадлежит и не принадлежит.
означает, что буква а – гласная и является элементом множества гласных букв, то есть принадлежит ему.
означает, что буква а не является согласной и не принадлежит множеству согласных букв. В качестве сокращения можно записывать отношение принадлежности сразу для нескольких элементов:
Отношения между множествами определяются следующими утверждениями.
Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Для обозначения равенства двух множеств применяется обычный знак равно {a, e, o}={e, o, a}. Порядок расположения элементов при их перечислении не важен, он не меняет состава множества.
Соответственно, два неравных множества отличаются, по крайней мере, одним своим элементом (X? {ж, ш, ч}).
Если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В, то говорят, что А включено в В или А есть подмножество множества В. Символически записывается:
Выражение В содержит А является синонимом для выражения А включено в В.
Если одновременно выполняются два условия: А включено в В и А?В, то говорят, что множество А строго включено в В или А есть истинное подмножество множества В
Пустое множество является подмножеством любого другого множества, то есть для любого множества А:
Знак включения как и знаки равенства и принадлежности имеет свое отрицание, которое выражается соответствующим перечеркнутым знаком, означающим, что Ане является подмножеством множества В:
Применительно для ранее введенных буквенных множеств можно написать следующие утверждения:
Попробуйте самостоятельно дать им словесную формулировку.
Каждое не пустое множество (А??) имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и ?. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(А).
Например, если С={у, р, о, к}, то P(С)= {С, {у, р, о}, {у, р, к }, {у, о, к}, {р, о, к}, {у, р}, {у, о}, {у, к}, {р, о}, {р, к}, {о, к}, {у}, {р}, {о}, {к}, ? }.
Для конечного множества А, состоящего из n элементов, множество-степень P(А) содержит 2
элементов. Действительно, в предыдущем примере мы получили 2
=16 элементов.
Множества – это математические объекты и над ними можно выполнять некоторые операции.
Объединением множеств А и В называется множество всех предметов, которые являются элементами множества А или элементами множества В. Обозначается:
Слово или в этом определении имеет не исключающий, а собирательный смысл. Например, если мы объединим множество глухих согласных и множество звонких согласных, то получим множество всех согласных букв:
Справедлива и такая запись:
Пересечением множеств А и В называется множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств А и В одновременно. Обозначается:
Среди звонких согласных есть только одна шипящая, буква – ж, а среди глухих три шипящих, поэтому:
Два множества называются непересекающимися, если у них нет общих элементов:
и пересекающимися, если
Множество гласных букв и множество согласных букв не имеют общих элементов – они непересекающиеся:
Дополнением множества А до множества В называется множество тех элементов множества В, которые не являются элементами множества А. Обозначается:
Дополнением множества глухих согласных до множества всех согласных будет множество звонких согласных:
Теперь попробуйте самостоятельно объяснить словами следующие символические записи и проверьте их правильность:
Для графической иллюстрации отношений, которые могут иметь место между различными множествами, часто используют так называемые диаграммы Венна. На этих диаграммах множества условно изображаются геометрическими фигурами с соблюдением отношений включения, пересечения и т. д.
В наших рассуждениях все рассматриваемые множества являются подмножествами по отношению к множеству всех букв русского алфавита R. В этом случае оно называется универсальным множеством, и его изображаем в виде прямоугольника, а все подмножества входящими в прямоугольник кругами. Непересекающиеся множества изображаются непересекающимися кругами, а включению множеств соответствует изображение одного круга целиком внутри другого. Для букв русского алфавита можно вычертить следующие диаграммы.
На первой диаграмме Венна показаны названия множеств, без состава их элементов, но с соблюдением отношений включения и пересечения. В данном примере самое большое множество, включающее в себя все остальные в качестве подмножеств – это множество всех букв русского алфавита. Далее даем подробную диаграмму без названий множеств, но с изображением конкретного состава элементов каждого из них.
Теперь с целью расширения кругозора и в качестве исходной базы для последующих упражнений введем еще несколько буквенных множеств, основанных на алфавитах других языков. Для простоты изложения будем рассматривать только маленькие (строчные) буквы. Возьмем уже известную нам латиницу L={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}. Следующее множество А определим как множество букв английского алфавита, а уж вы сами вспомните какие буквы в него входят и сколько их [?]. Еще два множества – алфавиты бывших союзных республик, имеющих разную ориентацию: эстонский алфавит создан на основе латинского (Эстония всегда ориентировалась на Запад), и казахский алфавит, созданный на основе русского.
В эстонском алфавите 23 основных буквы, которые употребляются для передачи слов родного языка, и 9 букв (f, ?, z, z, c, q, w, x, y) используемых только в недавних заимствованиях из других языков и иноязычных именах собственных.
E={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, ?, t, u, v, w, x, y, z, z, ?, ?, ?, ?}.
В казахский алфавит полностью входят 33 буквы русского алфавита, три буквы из латинского алфавита (?, h, i) и шесть своеобразных букв (?, ?, ?, ?, ?, ?), – всего 42 буквы.
К={а, ?, б, в, г, ?, д, е, ё, ж, з, и, й, к, ?, л, м, н, ?, о, ?, п, р, с, т, у, ?, ?, ф, х, h, ц, ч, ш, щ, ъ, ы, i, ь, э, ю, я}
[?-1]
Определите множества, которые получатся в результате следующих операций:
Примечание: В данном упражнении нас интересует только графическая сторона вопроса. Если рассматривать алфавиты так, как они записаны здесь – маленькими буквами, то у русского и латинского алфавитов есть одинаковые знаки: а, с, е, …, поэтому их пересечение не является пустым множеством.
[?-2]
Верны ли следующие утверждения:
[?-3]
Постройте диаграммы Венна для следующих множеств, считая универсальным множество всех алфавитов:
В процессе работы над книгой меня постоянно волновал вопрос: кому это будет нужно? Учитель-словесник отмахнется от математики, зачем ему теория множеств, учитель математики отмахнется от букв, алфавитов, слов, потому что ему всегда удобнее объяснять материал на числах и получится мой труд ради собственного удовольствия. Изрядную долю сомнений вносили знакомые учителя, зачастую именно так и высказываясь. Но меня не покидает надежда, что молодое поколение учителей будет мыслить по-другому, шире и разностороннее. Ученикам никогда не будет интересна нудная, хотя и необходимая, зубрежка правил, и, чтобы не отбить окончательно у них желание учиться, нужно использовать любую возможность сделать свой предмет увлекательным. Кому станет хуже, если на математике ученики повторят русский алфавит, распределение его букв по видам, узнают новые алфавиты.
Топология букв
Еще немного чистой математики, причем не изучаемой в школе, применительно к языковому исходному материалу. Посмотрим на буквы с точки зрения топологии.
Топология (греч. topos – место и logos – слово, понятие, учение) – раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не изменяющиеся при любых непрерывных преобразованиях фигур).
Представьте себе, что большие печатные буквы сделаны из гибкого и растяжимого материала, например из проволоки, и их можно распрямлять, растягивать, выводить из плоскости, переворачивать и переносить в другое место. Подобные преобразования называются топологическими. Две буквы называются топологически эквивалентными, если их можно перевести друг в друга такими непрерывными деформациями (не разрешается разрезать или склеивать буквы!). Например, возьмем проволочную букву Г, из нее легко можно сделать буквы С или П, распрямив и согнув по-другому, но нельзя сделать букву О, для этого проволоку нужно спаять или склеить, а эта операция запрещена. По признаку топологической эквивалентности все буквы можно разбить на несколько классов. Буквы Г, З, И, Л, М, П, С относятся к простейшему классу, распрямив, их можно все превратить в отрезок прямой ________. Если распрямить буквы Е, Т, У, Ц, Ч, Ш, Э получатся три отрезка, спаянные одним концом в общей точке и так далее.
[?-4]
Попробуйте разделить все буквы русского алфавита, цифры и буквы английского алфавита на топологические классы эквивалентности (кроме, состоящих из нескольких не соединяющихся элементов, букв Ё, Й, Ы). Для упрощения работы, показаны характеристические фигуры каждого класса для букв русского языка.
Не буквой единой…
Если посмотреть на стандартную клавиатуру компьютера, то главное место на ней занимают буквы русского и английского алфавитов с возможностью переключения с одного алфавита на другой и со строчных букв на прописные. Но это не всё. Для записи речи используются в языке знаки препинания или пунктуации.
Знаки препинания – это элементы письменности, выполняющие вспомогательные функции разделения (выделения) смысловых отрезков текста, предложений, словосочетаний, слов, частей слова, указания на грамматические и логические отношения между словами, указания на коммуникативный тип предложения, его эмоциональную окраску, законченность, а также некоторые иные функции. Знаки препинания, синтаксически оформляющие текст, облегчают его зрительное восприятие и понимание, а при воспроизведении текста вслух помогают осуществить его интонационное оформление (интонация, смысловые паузы, логические ударения).
Какие же знаки мы найдем на клавиатуре, следовательно, и в печатных текстах? Точка, запятая, точка с запятой, двоеточие, многоточие, восклицательный знак, вопросительный знак. Это наиболее распространенные знаки препинания, которые не имеют каких-то модификаций и не требуют особых пояснений. Другие же используемые знаки бывают весьма неоднозначны и требуют некоторых пояснений.
Дефис – короткая черточка для разделения каких-либо слов и переносов, ничем не отбивается от соседних букв. Обратите внимание на разницу в знаке тире и дефиса в данном тексте. Тире стоит между первыми двумя словами текущего абзаца. Оно отбивается пробелами от слов с обеих сторон. Как только мы сделали отбивку пробелами, черточка сразу становится длиннее, хотя набиралась с помощью той же клавиши, что и дефис. Между двумя датами ставится тоже тире, но оно не отбивается пробелами и поэтому зрительно выглядит как дефис (1945-2020), но называется короткое тире.
Богаты в своем разнообразии знаки скобок. Скобки – это чаще всего парные знаки. Обычно первая в паре скобка называется открывающей, а вторая – закрывающей. Самые распространенные виды скобок круглые ( ), квадратные [ ], фигурные { }. Далее существуют скобки угловые. На компьютерной клавиатуре для них нет специальных клавиш, но их можно поставить с помощью имеющихся математических знаков меньше и больше < >. В «вордовском» редакторе формул угловые скобки есть. Можно поставить скобки косые, используя знак косую черту – «слеш», причем есть косая черта с наклоном в ту или иную сторону / /, \ \. Можно поставить скобки прямые, у математиков это будет означать модуль числа | |, или даже двойные прямые скобки || ||.
Скобки широко используются в математике, гораздо шире, нежели в русском языке. Возьмем, например, круглые скобки. В русском языке они употребляются для выделения пояснительного слова или вставного предложения. Непарная закрывающая скобка может использоваться при нумерации пунктов перечисления. Ниже, перечисляя случаи применения круглых скобок в математике, мы одновременно показываем два случая применения их в русском языке.
В математике круглые скобки показывают приоритет математических и логических операций. Кроме того используются для:
1) выделения аргументов функции;
2) записи координат векторов;
3) записи биномиальных коэффициентов;
4) обозначения матриц;
5) обозначения открытого геометрического или числового промежутка;
6) обозначения скалярного произведения векторов и смешанного (тройного) скалярного произведения;
7) обозначения периода в позиционной записи дробной части рационального числа.
Перейдем к скобкам квадратным. В лингвистике их употребляют для обозначения транскрипции (ёж [jош]). Квадратными скобками в цитатах задают авторский текст, который проясняет контекст цитаты. «Еще они [скобки] используются в библиографических записях и сносках».
Квадратными скобками в математике обозначается операция взятия целой части числа. Они применяются для задания приоритета операций (аналогично круглым) в качестве скобок «второго уровня», для обозначения векторного произведения векторов, для обозначения закрытых промежутков. Квадратные скобки могут использоваться как альтернатива круглым скобкам при записи матриц и векторов. Одинарная квадратная скобка объединяет совокупность уравнений или неравенств.
На компьютерной клавиатуре нет еще двух видов квадратных скобок, которые используются в математике, но знакомы далеко не всем учителям. Это модификации квадратных скобок под названием «пол» и «потолок» для обозначения ближайшего целого, не превосходящего х, и ближайшего целого, не меньшего х, соответственно:
Таких скобок нет на клавиатуре компьютера, но они есть во встроенном в офисный Word редакторе формул, который математики используют для записи формул, содержащихся внутри обычного текста.
Фигурные скобки вообще вотчина математиков. Я даже не знаю, где их используют в русском языке. Фигурными скобками в одних математических текстах обозначается операция взятия дробной части числа, в других – они применяются для обозначения приоритета операций, как третий уровень вложенности (после круглых и квадратных скобок). Фигурные скобки применяют для обозначения множеств. С этим мы уже сталкивались в соответствующем разделе и в текущем изложении примеров применения скобок. Одинарная фигурная скобка объединяет системы уравнений или неравенств, служит для обозначения кусочно-заданной функции.
Прямые скобки используются в математике для обозначения модуля числа или модуля вектора, определителя матрицы:
У остальных скобок более редкое и специфическое использование, поэтому не будем загромождать текст. Скобки могут применяться в паре со скобкой другого вида или удваиваться каждая. Вариантов множество.
Перейдем к следующим знакам препинания – кавычкам. Слово «кавычка» имеет русское происхождение и означает «крючковатый знак». Так как это всегда парный знак, термин употребляется во множественном числе. Они тоже весьма разнообразны. Кавычки парный знак препинания, который употребляется для выделения прямой речи, цитат, отсылок, названий предприятий, литературных произведений, газет, журналов, а также отдельных слов, если они включаются в текст не в своём обычном значении, используются в ироническом смысле, предлагаются впервые или, наоборот, как устаревшие и тому подобное. В отличие от скобок – это не математический знак, а чисто литературный.
В русском языке традиционно применяются французские «ёлочки», а для кавычек внутри кавычек и при письме от руки – немецкие „лапки“. Кавычки-елочки есть с русской раскладке клавиатуры. При нажатии после пробела двух клавиш Shift+2 появятся открывающие кавычки, а при нажатии этих же клавиш после слова или цитаты, автоматически появятся закрывающие кавычки. При английской раскладке клавиатуры набираются английские “кавычки”, причем они могут быть как двойные, так и ‘одинарные’. Употребление их вместо «ёлочек» в русском тексте, для выше перечисленных целей, – неправильно. В текстах на русском языке в английские одиночные кавычки, согласно принятым правилам, берётся текст, указывающий значение некоторого слова или словосочетания (обычно иноязычного). Лингвистика, от лат. lingua – ‘язык’.
В британском английском языке пользуются ‘английскими одиночными’ для кавычек первого уровня и “английскими двойными” для ‘кавычек “внутри” кавычек’. В американском английском – наоборот. Также в английском языке (особенно в его американском варианте) точка и запятая зачастую ставятся перед закрывающей кавычкой, а не после, как в русском.
Интересный вопрос, как поставить немецкие кавычки „лапки“ на клавиатуре компьютера, ведь они отличаются от английских “кавычек” и на клавишах их нет?
Для этого используем правую цифровую часть клавиатуры. Нажмите клавишу NumLock, чтобы загорелся соответствующий индикатор справа. Включите русскую раскладку. Зажмите Alt и наберите код открывающей или закрывающей кавычки:
0132 для левой кавычки-лапки „
0147 для правой кавычки “
Цифры набираются на правой части клавиатуры. После набора четырёхзначного числа отпустите Alt и появится требуемый знак.
Другой путь – это воспользоваться меню Вставка-Символ и в открывшемся окне вы найдете любые кавычки, которые вам потребуются.
Как-то так получилось, что форма и вид кавычек зависят от национальности: у разных стран разные кавычки, хотя правила их применения в принципе одинаковые. Не будем рассматривать все национальные кавычки, так как они вряд ли нам встретятся.
Существуют еще так называемые "компьютерные кавычки" – кавычки особого типа, в которых рисунок открывающих и закрывающих кавычек совершенно не различается. Такие кавычки встречаются в текстах, набранных с помощью компьютерной клавиатуры. Изменяя в меню Параметры Word, мы можем менять раскладку клавиатуры и кавычки «ёлочки» будут заменены кавычками "компьютерными".
Как видите, знаки пунктуации весьма многообразны, поэтому мы рассмотрели только основные. К ним можно отнести словоразделитель – пробел.
Человек обладает богатой фантазией, так как умеет мыслить. Кто-то обратил внимание, что из всех знаков препинания только два (! и ?) придают предложению эмоциональную окраску. Еще в 1969 году Владимир Набоков в одном из интервью высказал мысль, что следовало бы придумать специальный знак пунктуации для выражения эмоций. Время властно переводило записи от авторучек к клавиатуре. Сначала к клавиатуре пишущих машинок, затем к клавиатуре компьютера. Зафиксировано, что в 1982 году Скотт Фалман, ученый из университета Карнеги-Меллон, первым в мире придумал сочетание скобок, тире и двоеточия для выражения положительных эмоций в переписке и предложил использовать вот такую последовательность символов для обозначения шутливых сообщений: :-) и символы для обозначения не шутливых сообщений :-( Изображения расположены горизонтально, читать их следует наклонив голову налево. Первоначально подобные изображения получили названия эмотиконы, то есть иконки с эмоциями, но в дальнейшем за ними утвердилось название смайлики, так как первое изображение соответствовало улыбке. Поняв идею смайлика люди стали творить с помощью знаков препинания.
Вместо фраз, которые призваны передавать эмоции автора, дабы не тратить время на тщательный подбор соответствующих слов, используются специальные значки, которые составляются из обычных печатных знаков, имеющихся на клавиатуре компьютера: букв, цифр, знаков препинания и т. д. Использование «смайликов» ускоряет составление письма при неформальном общении и придает ему оригинальный вид. Думается, начало свое они берут от восклицательного и вопросительного знаков, которые в отличие от других знаков препинания (точки, запятой, двоеточия, тире, точки с запятой) уже содержат в себе некоторую эмоциональную окраску. Подобным образом используются восклицательный и вопросительный знаки в шахматной нотации, чтобы отметить в записи партии сильный (!) или слабый ход игрока (?). Дальнейшее развитие идеи шло в соответствии с детской присказкой: «точка, точка, запятая – вышла рожица кривая». С помощью печатных знаков рисовались условные изображения повернутого на 90
человеческого лица, с определенным эмоциональным выражением. Поэтому подобное явление получило название типографика, то есть изображение, сделанное типографскими знаками. Допустимое в частной переписке, оно совершенно неуместно в деловом общении. Особенность классических смайликов – в горизонтальном расположении вертикальных зон лица.
Вот, в качестве примера, несколько популярных смайликов, сделанных типографскими знаками.
С развитием компьютерной графики получили распространение смайлики, не связанные с типографскими знаками, знаками препинания и клавиатурой.
Американский художник Харви Болл в декабре 1963 года первым создал графическое изображение улыбки в виде двух точек и дуги в жёлтом круге. Представители страховой компании State Mutual Life Assurance Cos. of America обратились к художнику, и тот нарисовал им первую фирменную «улыбку». Первая серия смайликов вышла в качестве жёлтых значков, которые были подарены служащим и клиентам компании. Логотип имел успех, значков наштамповали более 10 тысяч.
(Сайт freeimg.ru/kartinka/863628)
Дальше пошло, поехало. Сегодня в разных соцсетях можно увидеть множество смайликов. Разновидностей этих значков очень много. Некоторые из них обозначают не только эмоции, но и состояния человека и его внешности. Очень симпатичны смеющиеся, улыбающиеся смайлы. Бывают задумчивые, нейтральные, удивленные значки. Чего только не увидишь в разросшемся мире смайликов, а начиналось все очень просто и незатейливо.
(Сайт freeimg.ru/kartinka/22084)
Развиваясь по спирали, мир вернулся к пиктограммам на новом высоком уровне. Что такое дорожные знаки – это своеобразные пиктограммы, облегчающие ориентацию участникам движения. Готовясь сдавать на водительские права, люди изучают значительное количество таких дорожных знаков.
