Предсказать всё. Как теорема Байеса объясняет наш мир

Первой публикацией Байеса стала богословская работа 1731 года «Божественная милость, или попытка доказать, что главная цель Божественного провидения и правления есть счастье его созданий: ответ на памфлет под названием “Божественная прямота, или Исследование о нравственных совершенствах Божества”, с опровержением выдвинутых в нем понятий о красоте и порядке, причине наказания и необходимости состояния испытания, предшествующего совершенному счастью». Его имя не было указано на авторской странице (хотя, если честно, там вряд ли нашлось бы для него место), но считается, что работа именно его. Друг Байеса Ричард Прайс ссылается на нее в собственных текстах и называет автором Байеса.

«Божественная милость» – работа о теодицее, попытка объяснить, почему Бог, если он всемогущ и всемилостив, допускает зло в мире. Как писал Дэвид Юм, очевидно цитируя Эпикура: «Хочет ли он предотвратить зло, но не может? Тогда он беспомощен. Может, но не хочет? Тогда он злонамерен. Может и хочет? Тогда откуда берется зло?»

Своей работой Байес отвечал на трактат Джона Болги – англиканского богослова, утверждавшего: страдания в мире вызваны тем, что доброта Бога заключается в совершении «правильного и уместного», а это не обязательно должно нравиться нам, людям. Байес, напротив, верил, что Бог действительно милостив и хочет, чтобы мы были счастливы. Поскольку многие из нас несчастны, большая часть аргументации Байеса была посвящена объяснению причин, по которым Бог не пытается сделать нас счастливыми, хотя Он может и хочет этого. Работа была, очевидно, весьма спорной и широко разошлась.

Однако «Божественная милость» не укладывалась в собственные религиозные представления Байеса. Его отец Джошуа Байес был «умеренным кальвинистом, терпимым к разным взглядам», но Беллхаус утверждает, что Томас, вероятно, был последователем арианства или социнианства и «отчасти унитарианства». «Он не был среднестатистическим ортодоксальным христианином», – пишет Беллхаус.

«Он учился на пресвитерианского священника, но сам скорее всего был сторонником социнианства».

Разгадка кроется в круге его общения. Среди друзей Байеса был некто Джеймс Фостер – тоже диссидентствующий проповедник, который сам был дружен с двумя эксетерскими священниками, отлученными от церкви за арианство. Фостер также написал памфлет «Очерк об основах религии», в котором утверждал, что Троица не особо важна для христианства, что, на мой взгляд, звучит как опасная ересь.

Еще одним соратником Байеса был Уильям Уистон – преемник Исаака Ньютона на посту лукасовского профессора математики в Кембридже. Однажды за завтраком Фостер и Уистон спросили Байеса, будет ли на проповеди в местной англиканской церкви в приближающийся выходной упомянут Афанасьевский Символ веры, который содержит догмат о Троице. Уистон сказал, что если будет, он покинет службу, на что Байес заверил его, что вряд ли.

После смерти Байес оставит 200 фунтов Джону Хойлу и Ричарду Прайсу – двум лондонским нонконформистским священникам. Оба они были арианами по вероисповеданию, и обе их церкви позже стали унитарианскими. Прайс был близким другом Байеса. Когда Байес умер, именно он переработал и опубликовал знаменитое сочинение, содержавшее теорему Байеса.

Томас Байес жил в мире высшего общества. Его коллеги, как правило, имели университетское образование, многие – степень доктора богословия и дворянские титулы. Это видно по его общению с такими уважаемыми людьми, как Уорд и Уистон. В Танбридж-Уэллсе Байес продолжал общаться с известными людьми, обладавшими большими связями. Самым важным из них был, по-видимому, Филип Стенхоуп – второй граф Стенхоуп.

Танбридж-Уэллс в те годы был «в основном туристическим городком». Добраться до него из Лондона можно было за день конным экипажем, а самой известной его достопримечательностью был крупный и очень популярный курорт, «питаемый» местным источником. Стенхоуп, ставший графом в возрасте семи лет после смерти отца, семейное имение которого в Чивнинге располагалось всего в нескольких милях от Танбриджа, начал постоянно ездить туда с двадцатилетнего возраста. Он был младше Байеса – родился в 1713 году.

Молодой граф был увлеченным математиком-любителем. В детстве дядя и опекун пытались отбить у него интерес к математике и подтолкнуть к литературным занятиям, но по достижении совершеннолетия он взялся за нее с удвоенной энергией. «Он прочел много книг по богословию, метафизике и математике», – писал один из его современников. «Он постоянно делал какие-то математические заметки в записной книжке, поэтому кто-то считал его фокусником, кто-то – дураком», – писал другой.

Стенхоуп, судя по всему, создал целую сеть из коллег-ученых и математиков. В нее, помимо Байеса, входили математик из Университета Глазго Роберт Смит, чьи работы Стенхоуп опубликовал посмертно, химик и первооткрыватель кислорода Джозеф Пристли, а также Джон Имс – ученый-богослов, друг Исаака Ньютона. Все они, как и многие другие люди из окружения Стенхоупа, были нонконформистами того или иного толка, и большинство из них были учеными джентльменами – любителями, занимавшимися наукой как хобби.

«Он не был похож на современного ученого», – пишет Беллхаус о Байесе. «Он был скорее любитель, знаток. Он занимался наукой ради собственного удовольствия, а не по какой-то исследовательской программе».

То есть Стенхоуп и Байес – умные люди, располагавшие свободным временем и занятые несложной работой, – проводили за математическими штудиями свой досуг. По словам того же Беллхауса, «занятия наукой давали богатым людям XVIII века возможность приятно провести время, примерно как спорт в наши дни».

Друзья постоянно писали друг другу; их переписку нашли относительно недавно среди вещей Стенхоупа. Судя по всему, Стенхоуп познакомился с Байесом в 1730‐е годы, раздобыв незадолго до того или получив вскоре после знакомства экземпляр байесовской работы «Введение в теорию флюксий».

В ней Байес защищал ньютоновские исчисления от нападок философа Джорджа Беркли. Байес был верным сторонником Ньютона. «Некоторые [нонконформисты] не решались преподавать математику, – пишет Беллхаус, – вдруг она приведет к ньютоновской науке, а от нее – к атеизму. Но представители гораздо более значимой группы среди нонконформистов утверждали, что изучать математику важно, чтобы понимать мир Божий».

Беркли утверждал, что Ньютон, по сути, совершил ошибку деления на ноль: один из членов в ключевом уравнении был одновременно нулевым и ненулевым, и поэтому его «теория флюксий» заведомо противоречива. Байес в своем ответе попытался более строго закрепить определения Ньютона, точно установив, что означают те или иные термины.

После этого Байес проделал некоторую работу по изучению бесконечных рядов и их связи с производными. Производная – это скорость изменения величины, или же наклон графика. Если у нас есть график по осям времени (в секундах) и координаты (в метрах), то форма линии даст нам представление о скорости (в метрах в секунду). Если линия прямая, то скорость постоянна. Если она кривая, скорость меняется. Производная измеряет наклон кривой в конкретной точке, поэтому можно определить скорость для любого значения координаты или времени. Можно подняться еще на один уровень: разделите изменение скорости на изменение времени и получите ускорение, которое является второй производной от расстояния по времени.

Бесконечный ряд – это вид суммы, но суммы, продолжающейся бесконечно. Если я скажу «x равно один плюс два плюс три плюс четыре и так далее»[8], то это бесконечный ряд, и x равно бесконечности[9]. Однако суммы некоторых бесконечных рядов вовсе не бесконечны. Например, если я скажу «x равно половина плюс четверть плюс одна восьмая плюс одна шестнадцатая плюс 1/32 и так далее»,[10] то это тоже бесконечный ряд, и x равен единице.

Байес показал, что производная функции y равна бесконечному ряду: приращение y при изменении аргумента на единицу минус половина от «двойного приращения» (приращения приращения) y плюс треть от тройного приращения y и так далее[11]. Это маленькая аккуратная теорема, найденная в бумагах Стэнхоупа уже после смерти обоих («Теорема, о которой мне в Танбридж-Уэллсе сказал мистер Байес 12 августа 1747 года», – гласит лаконичная запись на клочке бумаги), и которую, как считает Беллхаус, самостоятельно открыл четверть века спустя французский математик Жозеф-Луи Лагранж.

Примерно тогда Байес и заинтересовался теорией вероятности. Но прежде чем перейти к ней, нужно сказать пару слов о математике случайности и о том, над чем тогда вообще люди работали.

Паскаль и Ферма

Принято считать, что история изучения вероятности начинается во французских игорных домах в середине XVII века. Но мы можем заглянуть и в более давнее время.

В XVI веке итальянский эрудит Джероламо Кардано попытался дать количественную оценку математике игры в кости. Например, какова вероятность, что выпадет шестерка за четыре броска кубика или две шестерки за 24 броска пары кубиков?

Ход его рассуждений выглядел следующим образом. Вероятность, что выпадет шестерка, составляет один к шести, или 1/6, или около 17 %. Обычно в теории вероятностей мы даем цифру не в процентах, а в виде числа от нуля до единицы, которое мы называем P. Таким образом, вероятность выпадения шестерки равна p=0,17. (На самом деле 0,1666666…, но я округлил).

Кардано разумно предположил, что если бросить кубик четыре раза, вероятность возрастет в четыре раза – до 4/6 или 0,67. Но если задуматься, такой расчет не может быть правильным, потому что будет значить, что если бросить кубик шесть раз, шанс, что выпадет шестерка, будет равен одной шестой, умноженной на шесть, или единице, то есть будет означать стопроцентную уверенность, что это произойдет. Но очевидно, что можно бросить кубики шесть раз, и ни в один из них шестерка не выпадет.

Кардано сбил с толку тот факт, что среднее количество выпавших на четырех кубиках шестерок составляет 0,67. Но иногда их может выпасть три, иногда – ни одной. Шансы, что выпадет шестерка (или, говоря строже, хотя бы одна шестерка) – это нечто другое.

Если один кубик бросить четыре раза, мы сильно ошибемся: реальный ответ будет примерно 0,52, а не 0,67, но все равно будем правы, если поставим на то, что шестерка скорее выпадет, чем нет. Однако если воспользоваться рассуждением Кардано для второго вопроса – о том, каков шанс, что шестерка выпадет на двух кубиках, если бросить их 24 раза, в игре оно собьет вас с толку. Его расчеты показали бы, что, поскольку две шестерки выпадают один раз из тридцати шести (p≈0,03), то, бросив кости 24 раза, соответствующий шанс увеличится в 24 раза – двадцать четыре из тридцати шести или две трети (p≈0,67, опять же).

Теперь, однако, его разумная, но ошибочная мысль заставит нас сделать неверную ставку. Шанс, что шестерка выпадет два раза, если кости бросить 24 раза, равен 0,49 – чуть меньше половины. Если делать такую ставку, мы потеряем деньги. Что же тут не так?

Столетие спустя – в 1654 году – теми же вопросами по понятным профессиональным причинам заинтересовался Антуан Гомбо, азартный игрок и философ-любитель, называвший себя Шевалье де Мере. Он заметил именно то, о чем мы только что говорили: ставка на то, что нам выпадет хотя бы одна шестерка за четыре броска одного кубика, принесет деньги, а ставка на то, что две шестерки выпадут хотя бы раз за 24 броска двух кубиков, не принесет.

Гомбо путем простых эмпирических наблюдений пришел к гораздо более реалистичной позиции, чем Кардано. Но он чувствовал, что запутался. Почему эти два результата оказались разными? Ведь шесть к четырем – то же, что тридцать шесть к двадцати четырем. Он привлек друга, математика Пьера де Каркави, но и вместе они так и не смогли разобраться. Тогда они обратились к общему другу, великому математику Блезу Паскалю.

Решение этой задачи на самом деле не такое уж сложное. Кардано зашел не с той стороны: идея в том, чтобы по числу ходов оценивать шанс не того, что некое событие произойдет, а того, что оно не произойдет.

Если бросить игральный кубик один раз, шанс, что не выпадет шестерка, равен 5/6, или p≈0,83. Если его бросить снова, шанс, что шестерка не выпадет ни в одном из бросков, составит 0,83, умноженное на 0,83, то есть чуть меньше 0,7. С каждым броском кубика вы уменьшаете шанс, что шестерка не выпадет, на 17 %.

Если бросить кубик четыре раза, шанс, что шестерка не выпадет, составляет 0,83 × 0,83 × 0,83 × 0,83 ≈ 0,48. (Для экономии времени можно сказать «0,83 в четвертой степени», или «0,834»). То есть шанс, что выпадет шестерка, равен 1 минус 0,48, то есть 0,52, или 52 %. Если поставить на выпадение шестерки 100 раз с равными ставками, вы ожидаете, что выиграете 52 раза и в среднем будете в прибыли.

Но посмотрите, что произойдет, если проделать то же самое с двумя кубиками в попытке добиться, чтобы выпали две шестерки. Шанс, что выпадут две шестерки при одном броске двух кубиков, равен 1/36, или p≈0,03, – мы об этом уже говорили выше. Значит, ваш шанс, что две шестерки не выпадут, равен 35/36, или около 0,97.

Если бросить кости 24 раза, шанс, что две шестерки не выпадут, равен 0,97, умноженным на себя 24 раза (0,9724). Если проделать вычисления, результат будет 0,51. То есть шанс, что выпадет двойная шестерка, равен 0,49. Если побиться об заклад при равных ставках можно рассчитывать, что нужная комбинация выпадет в сорока девяти случаях из ста, и вы потеряете деньги.

Здесь надо заметить, что Гомбо, видимо, потратил совершенно героические количество сил и времени на азартные игры, чтобы определить, что ставка в 52 % сработает, а в 49 % – нет[12]. Очевидно, он сделал правильный вывод, что для удачной ставки нужно не 24, а 25 бросков костей. Гомбо явно нравилось играть в кости.

Благодаря этим играм он задал Паскалю еще один вопрос. Представим, что два человека играют в азартную игру – в карты или в кости. Игра прерывается на середине, причем один из игроков лидирует. Как справедливо разделить банк? Неправильно ведь просто разделить его пополам, поскольку один из игроков все же лидирует; но так же несправедливо отдать все этому игроку, ведь хотя он и лидирует, но еще не выиграл.

Паскаль счел эту задачу увлекательной и обменялся серией писем о ней со своим современником Пьером де Ферма, известным по своей Великой теореме[13].

Опять же, этой задаче несколько веков. Итальянский монах Пачоли попытался решить нечто подобное в 1494 году в работе «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» (Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalità

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Отсылка к Евангелию от Матфея, 10:29–31. – Прим. пер..

2

Приятно думать, впрочем, что если бы у меня получилось обойтись без уравнений, то я мог бы продать четыре экземпляра.

3

Нонконформизм – течение в английском протестантизме, отколовшееся по ряду теологических вопросов от позиции Церкви Англии.

4

Вы тестируете миллион человек. Тысяча из них реально больна ковидом. Ваш тест выявил 900 из них. Из остальных 999 000 тест ложно диагностировал болезнь у 9 990. 900 + 9 990 = 10 890. 900 – это примерно 9 % от 10 890.

5

Разумеется, это не означает, что вероятность того, что он невиновен, составляет один к 300 000, ведь образец его ДНК мог оказаться на орудии убийства в результате какого-то другого обстоятельства, а не только из-за того, что он убийца.

6

Dissenting academies – учебные заведения, принадлежавшие общинам несогласных с вероучением Церкви Англии.

7

Британская академия наук.

8

В численном обозначении: x=1+2+3+4+5. .

9

Более точно можно сказать, что такой ряд расходится, и что сумма этого ряда (предел его частичных сумм) равна плюс бесконечности. – Прим. науч. ред.

10

В численном обозначении: x=(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32). .

11

Эта формула верна далеко не всегда; напротив, она требует достаточно жестких ограничений на функцию и сходимость приведенного ряда. Байесу эти ограничения, скорее всего, не были известны. – Прим. науч. ред.

12

Справедливости ради для того, чтобы понять, что с рассуждением Кардано что-то не так, достаточно отличить на практике 52 % и 49 % от 67 %, что намного проще. – Прим. науч. ред.

13

В математике же куда шире используется так называемая Малая теорема Ферма; также с его именем связаны используемый в физике принцип Ферма, простые числа Ферма и т. д. – Прим. науч. ред.