скачать книгу бесплатно
Например: если а – это «прямоугольник», b – это «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А cВ и А ? В ), т.к. каждый прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия а и bтождественны.
1) Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одним понятиям и видовым по отношению к другим. Например: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «четырехугольник».
2) Для понятия прямоугольник существует несколько родовых понятий – «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее – параллелограмм».
3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Квадрат являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Отношения между понятиями, изображая объемы, можно показать с помощью кругов Эйлера.
Например:
а) а – «прямоугольник», b – «ромб»: объемы пересекаются, но ни одно множество не является подмножеством другого, следовательно понятия «прямоугольник» и «ромб» не находятся в отношении рода и вида.
А В
б) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»: объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, понятие «параллелограмм» – видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».
А
В
в) а – «прямая», b – «отрезок»: объемы понятий не пересекаются, т.к. ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида (отрезок – часть прямой, т.е. наблюдается отношение целого и части).
А В
IV. Определение понятий
1. Понятие определения.
Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание понятия, либо устанавливается значение термина.
2. Виды определений.
По способу выявления содержания понятия различают явные и неявные определения.
К неявным определениям относят остенсивные. Это определения, раскрывающие существенные свойства (признаки) предметов путем указания, показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.
Например, при ознакомлении с алгебраическими понятиями пользуются остенсивными определениями так:
4 · 7 < 4 · 9 8 · 7 = 56
23 + 8 > 30 9 · 6 = 6 · 9
93 – 8 < 93 – 6 46 + 7 = 62 – 9
Это неравенства. Это равенства.
Наиболее часто применяются остенсивные определения при изучении геометрических понятий.
Остенсивные определения характеризуются незавершенностью. Поэтому впоследствии требуется подробное изучение этих понятий.
Также применяют описание или сравнение объектов.
К неявным определениям относят и контекстуальные – через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл понятия.
Через текст устанавливается связь определяемого понятия с другими, уже известными понятиями, раскрывая его содержание.
Например, при изучении понятия уравнения (2 класс):
– 5 = 4
Из какого числа нужно вычесть 5, чтобы получилось 4?
Обозначим неизвестное число латинской буквой х:
х – 5 = 4 – это уравнение.
Решить уравнение – это значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 – 5 = 4.
Объясни, почему числа 0, 10, 8 не подходят.
3. Определение через род и видовое отличие.
Среди явных определений в математике чаще всего используются определения через род и видовое отличие.
Например: «Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые».
В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b или а <=> b
опр.
Читают запись так: «а равносильно b по определению» или «а тогда и только тогда, когда b».
В определении прямоугольника можно выделить в определяющем понятии:
а) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;
б) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Видовое отличие – это свойство (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.
Это можно показать на схеме:
Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие
Определяющее понятие
Схему можно заменить формулой: а <=> с + Р
опр. b
Формулируя определения понятий через род и видовое отличие, применяют следующие правила:
1) определение должно быть соразмерным;
2) в определении не должно быть порочного круга;
3) определение должно быть ясным;
4) одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая правила можно по-разному.
Натуральные числа и 0.
Методика изучения нумерации натуральных чисел и 0 в начальном курсе математики
План:
1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа.
2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества.
3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.
1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа и нуля
В начальной школе большое внимание уделяется изучению нумерации целых неотрицательных чисел, а также действий над ними. Это является одной из центральных тем курса начальной математики, так как всю жизнь человек пользуется различного рода вычислениями, счетом предметов и т.д. Следовательно, учитель должен хорошо представлять себе, с какой системой счисления он работает, каковы ее особенности и как она появилась.
В школьном учебнике математики программы «Перспектива» 2 класс, 2 часть под редакцией Л.Г. Петерсон для учащихся начальных классов кратко, но емко изложена эта история.
Еще в самые отдаленные времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засевать поля, начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать; сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. Однако первобытные люди не умели считать. И вот много тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по одному кружку каждый раз, когда очередное животное проходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать.
Но в стаде у первобытных людей были не только овцы – они пасли и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок, камушков, зарубок вели учет собранного урожая. Они отмечали, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Складывая и вычитая множества предметов, они решали простейшие задачи на сложение и вычитание. Так, еще не умея считать, древние люди занимались арифметикой. Перекладывать камушки и глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумывать названия для чисел.
О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки различных племен и народов. Например, оказалось, что «у нивхов, живущих на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по-нивсхи в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два глаза» и так далее числительные различны. Одному и тому же русскому слову «два» у них соответствует несколько десятков различных слов. Нечто подобное было и древних людей. И должно было много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел. Сначала названия получили только числа 1 и 2. Название для числа «один» связывалось обычно со словом «солнце», а название для числа «два» – с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и так далее. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты». А были языки, где «один» звучало так же как «мужчина», а «два» – как «женщина». У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А все, что шло после двух, называлось «много» Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек».
