скачать книгу бесплатно
В логике существуют различные способы проверки истинности заключений, но часто используются круги Эйлера.
Задача.
«Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число125 делится на 5. Следовательно, запись числа оканчивается на 5».
Правильно ли это заключение?
Данное умозаключение выполнено по схеме А(х) => В(х), В(125)
А(125)
В общем виде ее можно представить так: А(х) => В(х), В(а)
А(а)
Такой схемы из тех, которые нами рассмотрены, нет. Для определения, является ли это умозаключение дедуктивным, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке запишем правило так
ТА c ТВ, а Є ТА
а Є ТВ
Тв
. а
тТтттТ
Та
ТА – множество чисел, оканчивающихся на 5;
ТВ – множество чисел, делящихся на 5;
а = 125.
Мы изобразили на кругах Эйлера множества истинности ТА, ТВ и элемент а, который принадлежит множеству ТА. Но он может содержаться и в множестве ТВ, а может ему и не принадлежать. Значит, эта схема не гарантирует истинность умозаключения, т.к. оно не может быть дедуктивным. Данное умозаключение не является истинным, т.к. не выполнено по схеме.
Важно отметить, что
1) выполняя умозаключение, можно менять очередность посылок и начинать с заключения, а потом воспроизводить посылки;
2) если общие посылки рассмотренных в правилах дедуктивных умозаключений содержат более одной переменной, то это не нарушает их смысл.
Практическая работа
1. Определите логическую структуру умозаключений.
а) Во всяком прямоугольнике противоположные стороны равны. Четырехугольник АВСD – прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны.
б) Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны. Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.
в) Все числа кратные 2, являются четными. Число 17 не является четным. Следовательно, оно не делится на 2.
г) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и МНР имеют равные площади. Следовательно, они равны.
2. Закончите умозаключения так, чтобы они были дедуктивными.
а) Все квадраты – прямоугольники. Все прямоугольники – многоугольники. Следовательно, … .
б) В любом прямоугольнике сумма внутренних углов равна 360? . Четырехугольник АВСD – … .
III. Обычно, в математике, когда говорят о доказательстве, имеют в виду проверку высказанного утверждения.
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и они. Т.е. основным способом доказательства является дедуктивный вывод.
Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Доказательство в виде цепочки умозаключений выполняется в соответствии с правилами вывода и указанием всех посылок, оно не предназначено для постоянного использования на практике, где чаще пользуются свернутыми схемами умозаключений.
Применяются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и четыре основных закона логики:
1. Закон тождества.
Каждая мысль, повторяемая в рассуждении, должна быть тождественна самой себе. Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, а одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные за тождественные.
2.Закон непротиворечия.
Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, одно из них всегда ложно.
Если в в мышлении или речи человека обнаружено логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение вытекающее из него – ложным.
3. Закон исключенного третьего.
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете, одно – истинно, другое – ложное, третьего быть не может.
Этот закон требует выбора одной из взаимоисключающих альтернатив.
4. Закон достаточного основания.
Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых уже доказана.
Т.е. истинность утверждения нельзя принимать на веру. В качестве аргументов для доказательств используются определения понятий, доказанные теоремы и правила.
Следовательно, при доказательстве необходимо
1) иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;
2) понимать, что доказательство- это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по правилам и законам логики;
3) понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
Доказательства существуют трех видов:
1) прямое,
2) косвенное,
3) полная индукция.
Прямое доказательство – это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А => В с соблюдением правил и законов логики, истинность которых доказана.
В доказательстве об утверждении, что четырехугольник, у которого три углы прямые, то это прямоугольник, является прямым, т.к. основываясь на истинном предложении с учетом теоремы, строится цепочка дедуктивных утверждений, приводящая к истинному заключению.
Косвенное доказательство – доказательство методом от противного. При доказательстве теоремы – А => В, допускают, что заключение В – ложно, а отрицание истинно. Предложение В (не В) присоединяется к совокупности истинных посылок, и строится умозаключение до тех пор, пока не получится противоречивое утверждение для А. Устанавливают противоречие, на основании закона о непротиворечии, и делают вывод, что предположение было ложным. Значит, на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что и требовалось доказать.
Полная индукция – метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.
Способы определения понятий в начальном курсе математики
План:
I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.
II. Объем и содержание понятия.
III. Отношения между понятиями.
IV. Определение понятий.
1. Понятие определения.
2. Виды определений.
3. Определение через род и видовое отличие.
I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, разбивают на четыре группы:
1) арифметические понятия, связанные с числами и операциями над ними (число, цифра, сложение, слагаемое и др.);
2) алгебраические понятия (выражения, равенства, неравенства, уравнение и др.);
3) геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник и др.);
4) понятия, связанные с величинами и их измерением.
В логике понятие рассматривают как форму мышления, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.
Понятия не существуют в объективном мире. Они возникают в сознании человека и заменяют предметы и явления этого мира, являясь их идеальными образами.
Иметь понятие об объекте – это значит уметь выделить его существенные признаки и отличить от всех других объектов. Математические понятия, как и другие, существуют лишь в мышлении человека, отражены в математическом языке (математических знаках и символах).
Учитель должен владеть объемом и содержанием понятий, об отношениях между ними и об операциях с ними.
II. Объем и содержание понятия
Всякий математический объект обладает определенными свойствами, среди которых выделяют существенные и несущественные.
Свойства называются существенными, если без них объект существовать не может, т.е. они ему присущи.
Ярко это можно продемонстрировать на геометрических понятиях. Любой прямоугольник имеет четыре стороны, четыре угла, равные диагонали. Но без третьего свойства он существовать не может: все четыре угла – прямые. А квадрат имеет четыре прямых угла, равные диагонали, четыре стороны. Существенное свойство – все стороны равны.
Следовательно, когда говорят о математическом понятии, то подразумевают множество объектов, называемых одним словом или группой слов (термином). Если говорят о прямоугольниках, то это все те фигуры, у которых все четыре угла прямые, а квадраты – это прямоугольники, у которых все стороны равны.
Считается, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином.
Любое понятие имеет содержание.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Объем понятия прямоугольник – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольника:
– «иметь четыре стороны»,
– «иметь четыре прямых угла»,
– «иметь равные противоположные стороны»,
– «иметь равные диагонали».
III. Отношения между понятиями
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот, с уменьшением объема понятия – увеличивается его содержание.
Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании, понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны», «диагонали равны» и другие).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознавая его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться эти понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Поэтому, если заданы два понятия а и b, то объемы этих понятий обозначают соответственно А и В.
Они могут находится в различных отношениях.
Если А cВ (А ? В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.
