скачать книгу бесплатно
– Послушай, Бертран Рассел и еще один тип по фамилии Уайтхед написали «Principia Mathematica».
– Сейчас ты меня точно подкалываешь, – сказал Уотерхауз. – Даже я знаю, что «Principia Mathematica» написал сэр Исаак Ньютон.
– Ньютон написал другую книгу, которая тоже называлась «Principia Mathematica»[5 - В русском переводе книга Ньютона называется «Математические начала», а книга Рассела – «Основания математики».], хотя на самом деле она не про математику, а про то, что мы теперь назвали бы физикой.
– Тогда почему он назвал ее «Principia Mathematica»?
– Различие между физикой и математикой было нечетким во времена Ньютона…
– А может быть, и в наше фремя, – сказал Руди.
– …и это прямо относится к тому, о чем я собираюсь говорить, – продолжал Алан. – Я про расселовские «Основания математики», в которых они с Уайтхедом начали абсолютно с пустого места и выстроили все – всю математику – на небольшом числе основных принципов. И вот почему я тебе это говорю, Лоуренс… Эй, Лоуренс! Проснись!
– М-м-м?
– Руди, возьми палку – да, эту – и следи за Лоуренсом. Когда глаза у него начнут вот так стекленеть, тыкай его в бок.
– Мы не в английской школе, тут так нельзя.
– Я слушаю, – сказал Лоуренс.
– Из «ОМ» следует абсолютно радикальная вещь – все в математике можно выразить определенной последовательностью символов.
– Лейбниц сказал это много раньше! – возмутился Руди.
– Ну, Лейбниц предложил символы, которые мы используем в дифференциальном исчислении, но…
– Я не про это!
– И он изобрел матрицы, но…
– И не про это тоже!
– И он немного занимался двоичной системой, но…
– Это софсем другое!
– Ладно, Руди, говори, о чем ты.
– Лейбниц изобрел базовый алфавит – записал набор символов для логических выражений.
– Ну, я не знал, что в сферу интересов герра Лейбница входила формальная логика, но…
– А как же! Он хотел сделать то же, что Рассел и Уайтхед, только не для одной математики, а для всего на сфете!
– Поскольку ты, Руди, похоже, единственный на планете знаешь об этом начинании Лейбница, можем ли мы допустить, что его затея не увенчалась успехом?
– Ты можешь допускать все, что тебе угодно, Алан, – ответил Руди, – но я математик и ничего не допускаю.
Алан оскорбленно вздохнул и наградил Руди многозначительным взглядом, который, как догадывался Уотерхауз, означал «я тебе это припомню».
– Если мне позволят продолжить, – сказал он, – я вообще-то хотел, чтобы вы согласились вот с чем: все в математике можно выразить последовательностью символов. – Он взял палку, которой надо было тыкать Лоуренса, и начал писать на земле что-то вроде + = 3) ?–1 ?. – И мне глубоко безразлично, будут это символы Рассела, или Лейбница, или гексаграммы «И Цзина».
– Лейбниц восхищался «И Цзином»! – страстно воскликнул Руди.
– Помолчи пока про Лейбница, Руди. Мы с тобой едем в поезде, сидим в вагоне-ресторане, мило болтаем, а этот поезд со страшной силой тянут локомотивы «Бертран Рассел», «Риман», «Эйлер» и другие. А наш друг Лоуренс бежит рядом с поездом, пытаясь от нас не отстать – не обязательно потому, что мы умнее, просто он – деревенский и у него нет билета. И я, Руди, просто высовываюсь в окошко и пытаюсь втащить его в гребаный поезд, чтобы мы втроем могли мило болтать о математике, не слушая все время, как он пыхтит и отдувается.
– Ладно, Алан.
– Если ты не будешь перебивать, я скоро закончу.
– Но есть еще локомотив по имени Лейбниц.
– Ты считаешь, что я не отдаю должного немцам? Внимание, сейчас я упомяну человека с немецкой фамилией.
– Кто же это? Фон Тьюринг? – съязвил Руди.
– Фон Тьюринг будет потом. Вообще-то, я имел в виду Гёделя.
– Какой он немец! Он австрияк!
– Боюсь, это теперь одно и то же.
– Не я придумал аншлюс, и нечего на меня так смотреть. Я ненавижу Гитлера.
– Про Гёделя я слышал, – вставил Уотерхауз, чтобы охладить спор. – Но можно немножко назад?
– Конечно, Лоуренс.
– Зачем это надо? Ну то, что сделал Рассел? Что не так в математике? Я хочу сказать, два плюс два – четыре, верно?
Алан взял две бутылочные пробки и положил на землю.
– Два. Раз-два. Плюс… – Он положил рядом еще две. – Еще два. Раз-два. Равняется четырем. Раз-два-три-четыре.
– Что в этом плохого? – спросил Лоуренс.
– Однако, Лоуренс, когда ты на самом деле занимаешься математикой, абстрактно, ты ведь не считаешь пробки?
– Я вообще ничего не считаю.
Руди объявил:
– Очень современный взгляд.
– В смысле?
– Долгое время подразумевалось, – сказал Алан, – что математика – своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести – по крайней мере в теории – к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
– Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
– Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, и для таких, как две целые одна десятая – физические меры, например длина этой палки. – Алан положил палку рядом с пробками.
– Как насчет пи? Нельзя отпилить палку длиной ровно пи дюймов.
– Пи – из геометрии. Та же история, – вставил Руди.
– Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но… знаешь Эйнштейна?
– Я не очень запоминаю фамилии.
– Седой, с большими усами.
– А, да, – мрачно ответил Лоуренс. – Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
– Он придумал общую теорию относительности – своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии…
– Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
– Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс…
– Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, – объяснил Руди.
– Ладно, давайте снова к «ОМ», – сказал Лоуренс.
– Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
– По крайней мере, внутренне непротиворечивые, – уточнил Руди.
– О’кей. Значит, математика – больше, чем физика пробок.
– Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
– Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
– Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, – сказал Руди.
– Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, – произнес Алан.
– И при этом не баловаться.
– И для этого написаны «ОМ»?
– Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
– Но как можно свести к множествам, например, число пи?
– Нельзя, – сказал Алан, – зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
– То есть через целые числа, – сказал Руди.
– Нечестно! Само пи – не целое!
– Но можно вычислить цифры пи, одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
– Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
– Цепочку символов вижу, – нехотя согласился Лоуренс.
– Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов – вроде этой – можно превратить в целые числа.
– Как?
– Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число пятьсот тридцать восемь и так далее.
– Очень близко к баловству.
– Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
– Конечно. Как два икс.
– Да. Можно подставить на место икс любое число, и формула его удвоит. Но если математическую формулу вроде этой для вычисления числа пи можно закодировать числом, то ее можно подставить в другую формулу. Формулу в формулу!
– И это все?
– Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы применимы к формулам, то можно написать некое выражение и сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.
– Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?
– Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
– Кто он?
– Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.
– А фон Тьюринг – на другой, – добавил Руди.
– Это еще кто?
– Это я, – сказал Алан. – Только Руди шутит. В Тьюринге, вообще-то, нет приставки «фон».
– Сегодня ночью будет. – Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».
– Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?
– Entscheidungsproblem[6 - Проблема разрешимости (Нем.).], – сказал Руди.
