скачать книгу бесплатно
с течением времени, как в таблице 1.1.
Таблица 1.1. Рост популяции по простой модели
Момент времени Численность
0 500
1 (1. 07)500 = 535
2 (1. 07)
500 = 572.45
3 (1. 07)
500 ? 612.52
… …
По закономерностям в таблице 1.1 легко перейти от рекуррентного соотношения для
к замкнутой форме записи, чтобы осталась только зависимость от
в явном виде:
. На этой модели теперь легко предсказать численность популяции в любое время.
Может показаться странным называть
разностным уравнением, когда разность
там не появляется. Однако уравнения
и
эквивалентны, поэтому любое из них разумно определять одним и тем же термином.
Пример. Предположим, что система математического образования имеет очень жесткие ограничения на целевые цифры приёма в ВУЗы (что вполне реалистично на просторах СНГ), по которым каждый год выпускается 200 молодых специалистов и все сотрудники пенсионного возраста уходят на заслуженный отдых. После того, как состоялся очередной выпуск, только 3% остаются работать по специальности, чтобы связать свою профессиональную деятельность с математикой, остальные либо эмигрируют, либо находят выше оплачиваемую работу. Чтобы написать разностное уравнение в этой системе, где будем измерять
в поколениях, нужно просто заметить, что уровень «смертности» равен
, в то время как эффективная «плодовитость» системы равна
. Следовательно,
.
Вопросы для самопроверки:
– Будет ли общая численность математиков расти, а не уменьшаться при таких условиях?
– Предположим, вы не знаете эффективной «плодовитости», но знаете, что численность
стабильна (неизменна) с течением времени. Какой должна быть
? (Подсказка: поймите, что такое
, если численность стабильна?) Если каждый год выпускается 200 молодых специалистов, какая их часть должна оставаться в системе и обучать математиков следующего поколения?
Обратите внимание, что в этой последней модели мы игнорировали тех математиков, кто не участвует в обучении математиков следующего поколения. Это на самом деле довольно распространенный подход и упрощает модель. Однако это означает, что делаются дополнительные предположения. Для конкретного направления точное количество учителей может мало влиять на то, как растет численность специалистов. Возможно, учителя всегда встречаются примерно в равном количестве с узкими специалистами, так что мы знаем, что общая численность людей, посвятивших жизнь математике, просто вдвое превышает число учителей математики. С другой стороны, численность профессиональных математиков может вести себя иначе, чем численность учителей математики, но независимо от того, мало ли учителей или их много, всегда достаточно, чтобы появление учителей происходило непрестанно. Таким образом, именно численность учителей математики является важным параметром для отслеживания, чтобы понять долгосрочный рост или сокращение числа профессиональных математиков в стране.
Вопросы для самопроверки:
– Можете ли вы представить себе обстоятельства, при которых игнорирование уменьшения числа профессионалов той или оной области было бы хорошей идеей?
Так что же такое разностное уравнение? Теперь, когда увидели разностное уравнение на примере, можно попытаться дать строгое определение: разностное уравнение – это формула, выражающая значения некоторой величины
в терминах предыдущих значений
. Таким образом, если
является какой-либо функцией, то
называется разностным уравнением. В предыдущем примере использовалась
, но часто
будет более сложным.
Изучая разностные уравнения и их приложения, рассмотрим два основных вопроса: 1) Как найти подходящее разностное уравнение для моделирования ситуации? 2) Как понять поведение модели разностных уравнений после того, как её нашли?
Обе эти задачи бывают довольно трудны. Тем не менее, обязательно научитесь моделировать с помощью разностных уравнений, глядя на математические модели, используемые разными авторами в классической литературе, а затем создадите собственные модели. Однако, честно говоря, это не обязательно исключит столкновение с принципиально неразрешимой проблемой. Что касается понимания поведения, которое моделируется разностным уравнением, то обычно не представляется возможным найти явную формулу, как было сделано выше для
, описывающего численность популяции в мальтузианской модели. Вместо этого разрабатываются методы извлечения менее точной, но качественной, а не количественной информации из модели.
Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения
и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.
Задачи для самостоятельного решения:
1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.
а. Составьте таблицу численности популяции для
пробегающего значения от 0 до 5, где
измеряется в часах.
б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения
через
, а затем выразив
через
.
в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?
1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью. Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.
а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре
и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.
б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от
.
в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата. Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?
1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности населения выбирая
в диапазоне от 0 до 6 для следующих моделей. Затем отобразите табличные значения на графике.
а.
,
б.
,
в.
,
1.1.4. Повторите решение задачи 1.1.3(а) с помощью MATLAB, введя последовательность команд, например:
p=1
x=p
p=1.3*p
x=[x p]
p=1.3*p
x=[x p]
…
Возврат к предыдущим командам для их повторения можно осуществлять нажатием клавиши "?". Объясните, как это работает. Теперь повторите решение с использованием цикла, например:
p=1
x=1
for i=1:10
p=1.3*p
x=[x p]
end
Отступ не является обязательным, но помогает сделать цикл for-end понятнее для чтения. Объясните, как это работает. Визуализируйте полученные данные на графике с помощью команды:
plot([0:10],x)
1.1.5. Для модели, указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что
. Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.
1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.
Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72
1.1.7. Заполните пропуски:
а. Модели
и
представляют растущие значения, когда
– любое число в диапазоне _______, а
– любое число в диапазоне _______.
б. Модели
