Случайность под контролем: вероятность и статистика, 9-й класс

Есть и ещё одно ограничение: эти два сбора проходили не одновременно. Результаты могли отличаться не только из-за способа опроса, но и из-за того, что часть учеников не участвовала в первом сборе или передумала к следующему дню. Поэтому нельзя объявить: «Онлайн-анкета сама по себе заставляет людей выбирать иначе». Мы можем сказать осторожнее: единая анкета дала более полные и сопоставимые ответы для нашего класса.

Бумажный опрос тоже может быть хорошим. Например, каждому ученику выдают одинаковый анонимный бюллетень, каждый выбирает один вариант, а затем все бюллетени складывают в коробку. Электронная форма тоже удобна, если все могут ею воспользоваться и система не позволяет отправить несколько ответов. Важнее не то, бумага это или экран, а то, получают ли участники одинаковые условия, может ли каждый ответить и можно ли проверить число ответов.

Если цель — выбрать фильм для всего класса, самый честный следующий шаг — напомнить двум неответившим об анкете, а затем принять решение по ответам класса. Если цель — узнать мнение всей школы, даже 22 ответа из одного класса будут лишь небольшой выборкой, а не точным портретом всех учеников.

Мини-практикум: попробуй сам

Представь, что собраны такие восемь ответов: комедия, фантастика, комедия, приключения, комедия, фантастика, ужасы, приключения.

Составь для них таблицу с абсолютной частотой и долей. Проверь, что сумма частот равна числу ответов.

Проверка: комедия — 3 ответа, фантастика — 2, приключения — 2, ужасы — 1. Всего 3 + 2 + 2 + 1 = 8. Доли равны соответственно 3/8 = 37,5%, 2/8 = 25%, 2/8 = 25% и 1/8 = 12,5%. Вместе они составляют 100%.

А теперь добавь к списку ответ «комедия и приключения», хотя вопрос разрешал выбрать только один вариант. Как поступить? Не угадывать за человека. Если можно, уточнить его выбор; если нет — отметить ответ отдельно и применить заранее выбранное правило. Главное — не менять правила подсчёта после того, как стало ясно, какой вариант лидирует.

Сбор данных похож на сбор улик: каждая мелочь важна, но сама по себе ещё не раскрывает всю картину. Чёткий вопрос задаёт направление, аккуратная процедура защищает от повторов и пропусков, таблица помогает увидеть частоты, а описание выборки не позволяет сказать больше, чем показывают ответы. Сначала мы выясняем, что именно узнали и от кого, и только потом решаем, какой вывод выдерживает проверку.

Именно такой порядок помогает не спутать отдельные ответы с общей картиной. Чтобы данные можно было проверить, важно заранее определить, что считать, собирать ответы по одним и тем же правилам, а затем записывать их так, чтобы были видны частоты. И всегда нужно помнить, кого именно мы опросили: выводы о выборке не обязательно верны для всех.

Таблица показывает, сколько раз встречается каждый вариант, но не всегда сразу подсказывает, что можно сказать о данных в целом. Чтобы найти их характерные значения и понять, насколько сильно они различаются, пригодятся среднее, медиана, мода и размах.

Находим главное в данных: среднее, медиана, мода и размах

Случайность под контролем: вероятность и статистика, 9-й класс — максимально простым и понятным языком

В тренерской комнате спорили два тренера. У каждого на столе лежал список очков, набранных ведущим игроком его команды за пять матчей.

Первый список: 18, 19, 19, 19, 20.

Второй: 12, 17, 19, 21, 26.

— В среднем оба игрока набирали по 19 очков за матч, — сказал один тренер. — Значит, результат одинаковый.

— Средний — одинаковый, а вот игра совсем разная, — возразил второй. — Мой игрок почти всегда приносит команде около 19 очков. А твой то проваливается, то выдаёт рекорд.

Оба тренера были правы — каждый со своей стороны. Среднее действительно совпало. Но одно число не рассказало всей истории. Чтобы разобраться, понадобятся четыре показателя: среднее, медиана, мода и размах. Они не спорят за единственное звание «главного». Каждый отвечает на свой вопрос.

Одна карточка — четыре показателя

Начнём с первого списка: 18, 19, 19, 19, 20. Данные уже расположены по порядку — от меньшего значения к большему. Это удобно: некоторые показатели ищутся именно в упорядоченном ряду.

Представим, что перед нами лежит карточка с четырьмя подписями.

Карточка

Как найти

Что показывает

Среднее

(18 + 19 + 19 + 19 + 20) / 5 = 95 / 5 = 19

Сколько очков приходилось на матч в среднем

Медиана

Среднее, третье значение в ряду: 19

Какое значение находится посередине

Мода

Чаще всего встречается 19

Какой результат повторяется чаще других

Размах

20 − 18 = 2

Насколько различаются крайние значения

Одна карточка — четыре разных взгляда на одни и те же данные. Теперь разберём, чем каждый полезен и где может подвести.

Среднее: если сложить всё и поделить поровну

Среднее арифметическое знакомо многим: складываем все значения и делим сумму на их количество.

Среднее = сумма всех значений / количество значений.

В нашем примере игрок набрал 18 + 19 + 19 + 19 + 20 = 95 очков за пять матчей.

95 / 5 = 19.

Получается, в среднем он набирал 19 очков за матч. Среднее удобно, когда нужно оценить общий уровень, сравнить результаты или, например, рассчитать, сколько товара в среднем продаётся за день.

Есть и наглядный образ: среднее похоже на точку равновесия. Если представить числа на числовой прямой, их отклонения от среднего в сумме уравновесят друг друга. Для нашего ряда среднее равно 19: значение 18 отстоит от него на 1 влево, а значение 20 — на 1 вправо. Остальные числа стоят прямо на отметке 19.

Но у среднего есть важная особенность: в его расчёт входят все значения. Поэтому необычно большое или маленькое число может заметно его сдвинуть.

Вернёмся ко второму списку: 12, 17, 19, 21, 26.

12 + 17 + 19 + 21 + 26 = 95.

95 / 5 = 19.

Среднее такое же, как в первом списке. Но второй игрок набирал то 12 очков, то 26. Первое значение гораздо ниже среднего, второе — заметно выше. Среднее сложило их влияние в один результат, но не показало, насколько неровно шла игра.

Это не ошибка среднего. Просто оно отвечает на конкретный вопрос: «Какова сумма результатов, если разделить её поровну между всеми наблюдениями?» Оно не обещает, что именно такое значение встретилось в данных или что каждый отдельный результат был на него похож.

Выброс: одно необычное значение меняет картину

Представь, что ты записываешь, сколько минут уходит на дорогу до школы. За пять обычных дней получилось: 12, 13, 13, 14 и 15 минут.

Среднее:

12 + 13 + 13 + 14 + 15 = 67.

67 / 5 = 13,4 минуты.

А теперь на шестой день автобус задержался из-за перекрытой дороги, и путь занял 53 минуты. Если сравнить пять дней, где последний результат заменён на этот необычный, получится ряд: 12, 13, 13, 14, 53.

12 + 13 + 13 + 14 + 53 = 105.

105 / 5 = 21 минута.

Среднее выросло с 13,4 до 21 минуты. Один очень долгий путь сильно изменил картину. Такое заметно отличающееся значение часто называют выбросом.

Важно не перепутать «необычное» с «неправильным». Если 53 появилось из-за ошибки при записи, данные нужно проверить и исправить. Если автобус действительно задержался, значение настоящее. Его не стоит молча выкидывать: лучше указать, что произошло, и подумать, отвечает ли среднее на нужный вопрос. Например, для оценки обычного пути до школы может быть полезнее медиана, а для планирования поездки с учётом возможных задержек необычный случай тоже важен.

Медиана: середина упорядоченного ряда

Чтобы найти медиану, сначала расположи значения по порядку. Медиана — это значение, которое оказывается в середине этого ряда.

В примере с обычными поездками данные уже упорядочены:

12, 13, 13, 14, 15.

Здесь пять значений. Среднее, третье по счёту, — 13. Значит, медиана равна 13 минутам.

Если добавить очень долгую поездку, ряд станет таким:

12, 13, 13, 14, 53.

Посередине по-прежнему стоит 13. Медиана не изменилась, хотя среднее заметно выросло. Это полезное свойство: медиана обычно меньше зависит от крайних значений, потому что важнее всего её место в упорядоченном ряду, а не точное расстояние до каждого числа.

Если количество значений чётное, одного центрального числа нет: посередине стоят два. Тогда медиана равна среднему арифметическому этих двух значений.

Например, упорядоченный ряд: 6, 8, 8, 10, 13, 15. Два центральных значения — 8 и 10.

(8 + 10) / 2 = 9.

Медиана равна 9. Её не обязательно встретить в исходных данных: в этом ряду такого значения нет. Это нормально — медиана показывает центр упорядоченного ряда, а не обязательно одно из наблюдений.

Медиана особенно удобна, когда данные содержат редкие, но очень большие или маленькие значения. Например, если в группе доходы большинства людей похожи, но у одного человека доход во много раз выше, среднее может оказаться выше того, что получает типичный участник. Медиана в такой ситуации часто лучше передаёт центральное положение данных. Но и она не расскажет, насколько разбросаны значения вокруг центра.

Мода: самое частое значение

Мода — это значение, которое встречается чаще других.

В первом списке, 18, 19, 19, 19, 20, мода — 19: это число появилось три раза. Мода отвечает на практический вопрос: «Какое значение встречается чаще всего?» Например, какой размер обуви чаще покупают в магазине или какой маршрут чаще выбирают пассажиры.

У моды есть особенность: она может быть не единственной. В ряду 1, 2, 2, 3, 3, 4 чаще других встречаются и 2, и 3. Значит, мод две.

А иногда моды нет. Во втором списке с баскетбольными результатами каждое число встречается один раз: 12, 17, 19, 21, 26. Ни одно значение не встречается чаще других, поэтому единственной наиболее частой величины здесь нет. В таких данных говорят, что мода отсутствует.