Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

P13

P14

P15

P16

P17

P18

1

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

P1

1

1

2

3

4

6

7

9

10

12

15

16

19

21

22

24

27

30

31

P2

3

3

4

5

7

8

10

11

13

16

17

20

22

23

25

28

31

32

P3

5

5

6

8

9

11

12

14

17

18

21

23

24

26

29

32

33

P4

7

7

9

10

12

13

15

18

19

22

24

25

27

30

33

34

P5

11

11

12

14

15

17

20

21

24

26

27

29

32

35

36

P6

13

13

15

16

18

21

22

25

27

28

30

33

36

37

P7

17

17

18

20

23

24

27

29

30

32

35

38

39

P8

19

19

21

24

25

28

30

31

33

36

39

40

P9

23

23

26

27

30

32

33

35

38

41

42

P10

29

29

30

33

35

36

38

41

44

45

P11

31

31

34

36

37

39

42

45

46

P12

37

37

39

40

42

45

48

49

P13

41

41

42

43

47

50

51

P14

43

43

45

48

51

52

P15

47

47

50

53

54

P16

53

53

56

57

P17

59

59

60

P18

61

61

где Pi – простые числа, образующие симметричные пары;

dp – разница соседних простых чисел Pi+1 – Pi по строке или по столбцу.

Выделим основные свойства построенной таблицы 5:

во-первых, для любого числа 2n по таблице можно составить симметричные пары простых чисел; а

во-вторых, для любой пары симметричных простых чисел можно найти соответствующие им числа n и соответствующее ему четное число 2n.

Пользоваться таблицей очень просто.

Для этого берем любое четное число 2n и в таблице находим соответствующее ему число n. Затем, двигаясь по горизонтальной строке и вертикальному столбцу, выбирается симметричная пара простых чисел.

Например, для четного числа 44, путем деления его на число 2 получаем число n равное 22. Затем по таблице выбираем ячейку с данным числом и пары симметричных простых чисел, соответствующих этому числу путем мысленного движения вверх по столбцу и влево по строке. Для числа 22 таких пар оказалось четыре. В результате имеем пары: (13,31); (7,37); (3,41); (1,43).

Если известна симметричная пара простых чисел и необходимо определить число ей соответствующее, выбирается строка и столбец, соответствующие паре, а затем на пересечении выбранных строки и столбца находиться число n, которому соотноситься выбранная симметричная пара.

Например, для пары простых чисел (13,31) в пересечении строки числа 13 (P6) со столбцом числа 31 (P11) выбираем число n равное 22. Тогда четное число 2n будет равно 44, которое равно сумме симметричной пары чисел.

Изучение полученной таблицы 5 показывает, что, она бесконечна и охватывает все натуральные числа от 1 до ∞.

Это следует из того, что множество простых чисел бесконечно, что позволяет сделать вывод о бесконечности и таблицы 5. В практических целях таблица 5 может ограничиваться тем предельным числом n, до которого исследуются симметричные простые числа.

Анализируя таблицу 5, можно предположить, что для любого числа от 1 до n найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел.

Заметим еще одно важное, но не совсем очевидное свойство таблицы 5.

Если обозначить разность между двумя соседними простыми числами в строке или столбце как dpi , то она будет равна

dpi=pi+1 – pi, (4.1)

где pi – i –тое простое число в строке или в столбце;

pi+1 – последующее простое число в строке или в столбце;

i – номер простого числа в строке или столбце.

Анализ показывает, что разности между двумя числами соседних строк или столбцов в таблице равны разности dpi деленной на 2, т.е. шагу симметрии

δi= dpi /2, (4.2)

где i – номер строки или столбца.

Приведем примеры (см. таблицу 5):

Имеем для восьмого (P8) и девятого (P9) столбца i =8,

Δ8= P9 – P8 = 23 – 19 = 4;

А шаг симметрии будет δ8= dpi/2=2.

Тогда, по всему девятому столбцу имеем:

a19= a18+ δ8=10+2=12;

a29= a28+ δ8=11+2=13;

a39= a38+ δ8=12+2=14;

a49= a48+ δ8=13+2=15;

………………..

a89= a88+ δ8=19+2=21.

Что подтверждается данными таблицы 5.

Далее, к примеру, для шестой (P6) и седьмой (P7) строк i=6 имеем:

a67= a66+ δ6=13+2=15;

a68= a67+ δ7=15+1=16;

a69= a68+ δ8=16+2=18;

a610= a69+ δ9=18+3=21;

………………..

a618= a617+ δ17=36+1=37.

Следует заметить, что в первом примере значение δi для всех элементов в столбце одинаковое, а во втором примере δi изменяется при переходе от одного элемента строки к другой в зависимости от номера столбца.

Если для определенности будем считать, что в верхней строке расположены простые числа a, в крайней левом столбце простые числа b, то чтобы не рассматривать зеркально верхнему треугольнику нижний от главной диагонали треугольник, следует принять условие a≤ b. Тогда в общем виде таблица 5 будет симметрична относительно главной диагонали и все свойства для нижней части таблица 5 будут идентичны свойствам для верхней части.

Таким образом, из вышесказанного обобщения можно записать следующие выражения:

– для всех элементов столбца

a*i+1=a*i+δi;

– для всех элементов строки

ai+1*=ai*+δi,

где

δi=(pi+1 – pi)/2;

i=1,2,3, …. k – номер столбца или строки в таблице 5;

* – символ, обозначающий индексы по всей строке или столбцу.

И, наконец, исследуя симметричные числа либо на числовой оси (см. рис. 2) либо по таблице 5 можно выделить еще одно их свойство. Это относиться к тем арифметическим прогрессиям, которые они образуют. Выразим это свойство следующим утверждениями.

Утверждение 1. Любое число n натурального ряда больше 1 равно среднему арифметическому симметричных пар этого числа.

Доказательство данного утверждения очевидно и следует из выражения (1.5).

Из данного свойства вытекает и последующее свойство симметричных пар чисел, сформулированного в утверждении 2.

Утверждение 2. Любое число n натурального ряда больше 1 и принадлежащие ему симметричные пары числа являются членами арифметической прогрессии.

Доказательство указанного утверждения также очевидно и вытекает из выражений (1.7), (2.2).

Утверждение 3. Симметричная пара любого числа n больше 1 состоит из симметричных пар либо только четных, либо только нечетных чисел.

Доказательство.

Согласно (1.3) имеем:

a=n – δ

b=n + δ,

где δ=1,2… n.

Отсюда следует, что для любого числа n пара чисел a и b будут иметь одинаковую четность, т.е. одновременно являются либо четными, либо нечетными, так как арифметические операции «+» и «–» являются однотипными.

5. Обобщающие выводы и четыре теоремы

Предыдущие разделы работы подвели к общим выводам представления четных чисел суммой двух других.

Исходя из вышеописанного можно сделать предположение, что любое четное число больше двух представимо одновременно в виде суммы двух чисел в следующих сочетаниях:

1) суммой симметричных пар четных чисел;

2) суммой симметричных пар нечетных чисел;

3) суммой симметричных пар нечетных составных чисел;

3) суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательства сделанных утверждений подготовлены в предыдущих разделах, а некоторые фактически уже доказаны.

Однако приведем доказательства по каждому из данных утверждений в виде теорем.

Теорема 2. Любое четное число натурального ряда представимо суммой симметричных пар четных чисел.

Доказательство. Из определения самого натурального числа, леммы 1 и теоремы 1, следует, что любое натуральное число k большее 1 имеет k симметричных пар чисел ai и bi, таких, что их среднеарифметическое равно самому числу.

Действительно, если рассмотрим число k, а также его симметричные пары ai и bi, то их среднеарифметическое будет

(ai + bi)/2 = k. (5.1)

Но согласно (1.3) симметричные пары чисел можно записывать следующими выражениями ai = k – i, bi= k + i, то такие пары чисел при i = δ = 1, 2, 3, …… n.

Следовательно, их сумма будет удовлетворять выражению (5.1) и при этом будут симметричными.

Но так n = 2k , то отсюда следует, что любое четное число n представимо k парами симметричных чисел, таких что

ai + bi = 2k . (5.2)

Из выражения (5.2) также следует, что, так как в правой части стоит четное число, то сумма в левой части должна быть четной. В силу этого числа ai и bi должны быть одновременно либо четными, либо нечетными. Из свойств чисел натурального ряда следует, в силу утверждения 3, что симметричные числа ai и bi являются либо только четными, либо только нечетными.

Очевидно, что при k>1, из k симметричных пар, найдется хотя бы одна пара, в которой ai и bi являются только четными.

Из этого вытекает, что в множествах A и B да найдется хотя бы одна пара четных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему.

Теорема 3. Любое четное число натурального ряда больше 1 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Доказательство. Запишем четное число в виде n = 2k. Тогда из доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой ai + bi = 2k. Очевидно, в силу утверждения 3, при k>1 найдется симметричная пара, в которой ai и bi являются только нечетными.

Из этого вытекает, что во множествах A и B да найдется хотя бы одна пара нечетных симметричных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему

Из свойств ряда натуральных чисел доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой нечетных чисел.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательство. Рассмотрим множество нечетных чисел nchA меньших n, и множество нечетных чисел nchВ больших n и меньших 2n, т.е. |nchA| < n; n <|nchA| < 2n.

Согласно доказательству в теореме 3 для любого числа n больше 2 найдутся симметричные пары нечетных чисел a и b.

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств нечетных составных и простых чисел, таких что

nchA = SA U PA, nchВ = SB U PB, |SA| + |PA| = |SВ| + |PВ|, |PA| > |PВ|, |SA| < |SВ|. (5.3)

В предыдущей теореме 3 было доказано, что из двух множеств A и B найдется пара a и b такая, что в этой паре числа будут четные или нечетные.

Рассмотрим далее два множества простых чисел PA и PВ.

Допустим, что для числа n из всей совокупности симметричных пар (a, b) не нашлось ни одной симметричной пары простых чисел, то есть в паре (a, b) элементы не являются простыми числами. Это значит, что множество PA и множество PB не пересекаются по симметричным парам, то есть PA ∩ PB ≡ Ø.

Так как, в силу (2.7) и (5.3), |nchA | = |nchВ|, и nchA = SA U PA, nchВ = SB U PB, а во множествах PA и PB не нашлось ни одного симметричного числа, то, следовательно, если |PA| ≠ 0 и |PB| ≠ 0, то возможно два варианта:

1) Множество SA должно включать некое подмножество ŚA, которое должно полностью соответствовать множеству PB, т.е. SA = PВ U ŚA. Аналогично, множество SB должно включать некое подмножество ŚВ, соответствующее множеству PA, т.е. SВ = PA U ŚВ. В этом случае должны выполняться следующие равенства

|SA| = |PВ| + |ŚA|, а |SВ| = |PA| + |ŚВ|. (5.4)

Тогда, согласно (2.7) мощности нечетных чисел nchA и nchВ равны, откуда с учетом (5.4) запишем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = |PA| + |ŚВ| +|PВ|. (5.5)

Не трудно показать, что при данном предположении должно выполняться следующее равенство

|ŚA| = |ŚВ|. (5.6)

Поэтому, рассмотрим значение |ŚA|, а затем распространим его на |ŚВ|.

Не трудно видеть, что в этом случае количество нечетных чисел левой и правой полуоси натурального ряда должны быть равны

|nchA| = |nchВ| = |SA| + |PA| = |SВ| + |PВ| = n/2. (5.7)

Тогда, согласно (5.4) и (5.5) имеем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = n/2. (5.8)

Отсюда

|ŚA| = n/2 – (|PВ| + |PA|). (5.9)

Учитывая выражения (3.10) и (3.11) перепишем (5.9)

|ŚA| = n/2 –π(2n). (5.10)

Подставляем в (5.10) значения из (3.8) и получаем оценку симметричных пар, включающих только нечетные составные числа

|ŚA| = n/2 – 2n/ln(2n). (5.11)

Рассмотрим предел функции (5.11) при n→∞

lim(|ŚA|) = lim(n/2 – 2n/ln(2n)). (5.12)

n→∞ n→∞

Согласно свойствам пределов имеем

lim(n/2) lim(1 – 4/ln(2n)) = 1/2 lim(n) = n/2 (5.13)

n→∞ n→∞ n→∞

Таким образом, получаем противоречие, заключающееся в том, что при стремлении n в бесконечность число нечетных составных чисел будет существенно больше простых.

2) Множество SA должно полностью соответствовать множеству PB, т.е. |SA| = |PВ|. Аналогично, множество SB должно полностью соответствовать множеству PA, т.е. |SВ|=|PA|.

Далее из (5.3) имеем, |PA| > |PВ|, |SA| < |SВ| и |SA| > |PA|, |SВ| > |PВ|.

Но так как |SA| = |PВ| и одновременно |PA| > |PВ|, то отсюда следует, что должно быть |PA| > |SA|, что противоречит начальному условию (5.3).

Следовательно, предположение, что множество PA и множество PB не пересекаются по симметричным парам, то есть PA ∩ PB ≡ Ø неверно и это доказывает, что найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел для представления данного четного числа.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных составных чисел.

Доказательство. Согласно доказанной теореме 3 любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Рассмотрим множество нечетных чисел nchA меньших n и множество нечетных чисел nchB больших n и меньших 2n, т.е.

{nchA} < n;

n < {nchB} < 2n. (5.14)

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств симметричных составных нечетных и простых чисел, таких что

nchA = SA U PA и nchB = SB U PB.

Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nchA| = |nchB|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nchA | = |SA| + |PA| и |nchB| = |SB| + |PB|.

Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nchA найдется единственный элемент в множестве nchB, или в символьной записи nchAi→nchBi.

Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел SA и SB.

Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из SA и SB, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или SAi→ SBi = Ø.

Тогда, если во множествах SA и SB не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества SA должна быть равна мощности множества PB, т.е. |SA| = |PB|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |SB| = |PA|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |PB|> |SA|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.

6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера

Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.

Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.

Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:

Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.

Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.

Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.

7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)