скачать книгу бесплатно
|ch
| = |nch
|; (2.6)
|ch
| = |nch
|;
|ch
| = |nch
|;
|nch
| = |ch
|;
|nch
| = |ch
|.
Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (a
,b
) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.
Докажем следующую небольшую лемму.
Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.
Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.
Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.
Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].
Доказательство. Действительно, согласно выражению (2.3) на числовой оси [0;2n] можно составить n симметричных пар (a
,b
) таких, что a
+ b
= 2n. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано.
Из сформулированной выше теоремы следует две леммы, доказательства которых очевидны.
Лемма 3.
