скачать книгу бесплатно
Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,
C = {a
,…a
,…a
,a
, a
, b
, b
, b
,… b
…b
}, (2.1)
где a
, b
. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).
Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества
A = {a
, a
, a
,…a
} и множества B = {b
, b
, b
,…b
}. (2.2)
Очевидно C = AUB.
Для нашего примера эти множества будут
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.
Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a
, b
).
Действительно, имеем a
= n–1, a
= n – 2, a
= n – 3, …a
= n – i, …….. a
= 3, a
= 2, a
= 1, a
= 0, и b
= n + 1, b
= n + 2, b
= n + 3, …….. b
= n + i,……. b
= n + n – 1, b
= n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью
a
= n – i,b
= n + i, (2.3)
где i = 1,2,3, …….n.
Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть
a
+ b
= 2n и b
– a
= 2i, (2.4)
где i = 1,2,3, …….n.
Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. ?=i.
Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать
A = nch
U ch
;
B = nch
U ch
, (2.5)
где nch
и ch
– подмножества нечетных и четных чисел множества A;
nch
и ch
– подмножества нечетных и четных чисел множества B.
Для указанного выше примера, имеем
nch
= {1, 3, 5, 7, 9} и ch
= {0, 2, 4, 6, 8}.
nch
= {11, 13, 15, 17, 19} и ch
= {12, 14, 16, 18, 20}.
Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch
| и |ch
| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch
| и |ch
|, мощности которых также равны между собой.
Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch
| и |ch
| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch
| и |nch
| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.
Таким образом, можно записать следующие тождества:
|ch
| = |ch
|;
|nch
| = |nch
|;
|ch
| = |nch
|;
