скачать книгу бесплатно
=p
; B
=2p
p
; A
=2p
; B
=p
p
A
=2p
; B
=p
p
; A
=p
; B
=2p
; A
=p
; B
=2p
].
Таким образом, мы имеем новый способ вычисления всех без исключения троек чисел Пифагора, задавая при этом только одно число m, вместо двух чисел, которые нужно задавать в тождестве пифагорейцев. Однако полезность этого метода только этим не исчерпывается, поскольку эта же ключевая формула (2) действительна и для получения общего решения уравнений с более высокими степенями.
Используя способ получения решений (1) для случая n=2, можно точно также получить решения и для степеней n>2, выполнив подстановку (1) в (2), и возведя предварительно обе стороны (2) в степень n. Чтобы это можно было сделать, выведем вначале следующую формулу[58 - Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней [30].]:
(x+y)
=z
=zz
=(x+y)z
=xzz
+yz
=
=x(x+y)z
+yz
=x
zz
+y(z
+xz
)+…
(x±y)
=z
=x
±y(x
+x
z+x
z
+…+xz
+z
) (7)
Назовём выражение в скобках, состоящее из n слагаемых, «симметричный полином» и будем представлять его в виде (x++z)
как сокращённый вариант написания. Теперь по формуле (7) возведём обе стороны формулы (2) в степень n следующим образом.
[a?(c?b)]
=a
+{b
?c
+(c
?b
)}?(c?b)[a
+a
2m+…+ a(2m)
+(2m)
]=(2m)
Затем посредством тождества
(c
?b
)=(c?b)(c
+c
b+…+cb
+b
), получаем:
{a
+b
?c
}+(c?b)[(c++b)
?(a++2m)
]=(2m)
(8)
Уравнение (8) является формулой (2), возведённой в степень n, в чём можно убедиться, если подстановкой c?b=a?2m в (8) получить тождество[59 - В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n. Но можно идти и обратным путём, просто дать тождество (9), а затем разложить в нём на множители разности степеней и так можно получить (8) без использования «Бинома Ферма» (7). Но этот путь может быть уловкой, чтобы скрыть понимание сути, ведь когда некое тождество как бы падает с неба, то вроде бы и возразить-то нечего. Однако, если заученно идти по этому пути, то есть риск разоблачения в непонимании сути, т.к. вопрос о способе получения тождества, может остаться без ответа.]:
{a
+b
?c
}+(c
?b
)?[a
?(2m)
]=(2m)
(9)
В этом тождестве натуральные числа a, b, c, n, m, естественно, могут быть любыми. Вопрос только в том, есть ли среди них такие, что {a
+b
?c
} равно нулю? Однако аналогия с решением уравнения Пифагора на этом и заканчивается, т.к. подстановка (1) в (8), никак не обоснована. И действительно, при подстановке (1) в (3) хорошо известно, что уравнение Пифагора имеет сколько угодно решений в натуральных числах, а для случаев n>2 такого факта нет ни одного. Следовательно, не исключается подстановка в (8) несуществующего уравнения (1), что должно привести к противоречиям.
Тем не менее, такая подстановка легко выполнима и в итоге получится уравнение, очень похожее на (4), которое даёт решения уравнения Пифагора. Учитывая это обстоятельство, мы в качестве пробы всё-таки подставим (1) в (8), но при этом модифицируем (8) так, чтобы за квадратные скобки был вынесен ещё один множитель (c?a) [60 - Учитывая, что с?a=b?2m, выражение в квадратных скобках уравнения (8) можно преобразовать следующим образом: (c ++ b)
? (a ++ 2m)
= с
? a
+ c
b ? a
2m + c
b
? a
