Наука логики

Относительно этого мы должны сделать несколько замечаний. Укажем, во-первых, что величины, взятые со стороны первого из вышеизложенных определений, всецело носят характер лишь таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Они неопределенны, но так, что если одна получает откуда-нибудь извне некоторое совершенно определенное значение, т. е. некоторое числовое значение, то и другая также становится определенной, – одна есть функция другой; категории переменных величин, функций и тому подобное имеют поэтому, как уже сказано выше, для освещения той специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, лишь формальное значение, так как они отличаются такой общностью, в которой еще не содержится то специфическое, на которое направлен весь интерес диференциального исчисления, и это специфическое не может быть выведено из них при посредстве анализа; они суть взятые сами по себе, простые, незначительные, легкие определения, которые мы делаем трудными лишь тогда, когда вкладываем в них то, чего в них нет, для того, чтобы затем получить возможность вывести его из них, а именно, когда мы приписываем им специфическое определение диференциального исчисления. – Что же касается, далее, так называемой константы, то о ней можно заметить, что она есть ближайшим образом некоторая безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их максимума и минимума; но способ соединения такого рода констант с переменными величинами сам есть один из моментов для природы той частной функции, которую образуют эти величины. Но и наоборот, сами константы тоже суть функции. Поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она есть функция у; точно так же, как в разложении двучлена вообще та константа, которая есть коэфициент первого члена ряда, есть сумма корней, коэфициент второго члена – сумма их произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из данной формулы, она постольку трактуется как ее функция. Эти коэфициенты будут рассмотрены нами далее и в другом определении как функции, конкретное значение которых составляет их главный интерес.

Но то своеобразие, которым рассмотрение переменных величин в диференциальном исчислении отличается от их характера в неопределенных задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично, все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую степень; специфическая неопределенность, которой они здесь отличаются, зависит исключительно от того, что они суть функции друг друга именно в таком степенном отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества вообще, некоторой сохраняющейся в изменении, остающейся саморавною определенности, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно только в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого определенного количества и составляет не-количественную, пребывающую определенность отношения переменных величин. Поэтому следует возразить против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в отношении к высшим степеням; сам же по себе взятый? есть лишь какое-нибудь неопределенное определенное количество. Поэтому не имеет смысла диференцировать само по себе уравнения у = ах-/-Ь, уравнение прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной скорости. Если из у = ах или также из у = ах-/+Ь получается а, или из s = et получается – rt = cyто в такой же мере определением тангенса является а или определением просто равномерной скорости j = с. Последняя выражается через в связи с там, что выдается за разложение в ряд формулы равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения встречается момент простой, просто равномерной, т. е. не определенной высшею степенью одного из моментов движения, скорости, – это само есть, как замечено выше, бессодержательное, основанное единственно только на рутине метода допущение. Так как метод исходит из представления о получаемом переменной величиной приращении, то, конечно, приращение может получить и такая переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; если же после этого, чтобы найти диференциал, мы берем отличие возникшего таким образом второго уравнения от данного, то сразу же обнаруживается пустота действия в том, что, как мы уже заметили, уравнение до и после этого действия остается для так называемых приращений тем же, что и для самих переменных величин.

b) Сказанным определяется природа уравнения, над которым нужно будет производить действия, и теперь следует указать, каков тот интерес, на удовлетворение которого направлено произведение этих действий. Это рассмотрение может нам дать лишь уже знакомые результаты, результаты такого рода, какие по форме имеются в особенности в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить примешавшиеся сюда чужеродные определения. – Основой для действий над уравнением указанного вида оказывается то, что степень внутри ее самой понимается как некоторое отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть число, поскольку оно пришло к тому, что его изменения определены им же самим, его моменты, единица и численность, тождественны, – вполне, как мы выяснили ранее, ближайшим образом в квадрате, более формально (что не составляет здесь разницы) в высших степенях. Степень что она как число – хотя бы «мы и предпочитали выражение «величина», как более общее, она в себе всегда есть число – есть некоторое множество, могущее быть изображенным также и как сумма) может ближайшим образом быть разложена внутри себя самой на любое множество чисел, которые не имеют никакого другого определения как относительно друг друга, так и относительно их суммы, кроме того, что они все вместе равны последней. Но степень может быть также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени. Если степень принимается за сумму, то в виде суммы рассматривается также и ее основное число, корень, и оно может быть разложено любым образом, каковое разнообразие разложений есть однако нечто безразличное, эмпирически количественное. Сумма, каковою должен быть корень, сведенная к ее простой определенности, т. е. к ее истинной всеобщности, есть двулен; всякое дальнейшее увеличение числа членов есть простое повторение того же определения и потому нечто пустое[49]. Единственно важным является здесь, стало быть, та качественная определенность членов, которая получается посредством возвышения, в степень принимаемого за сумму корня, каковая определенность заключается единственно только в том изменении, которым является возвышение в степень. Эти члены суть, следовательно, всецело функции возвышения в степень и самой степени. Это изображение числа как суммы некоторого множества таких членов, которые суть функции возвышения в степень, а затем интерес нахождения формы таких функций и, далее, этой суммы из множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от сказанной формы, – все это составляет, как известно, особое учение о рядах.

Но при этом мы должны существенно различать еще дальнейший интерес, а именно, отношение самой лежащей в основании величины, – определенность которой, поскольку она есть некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе некоторую степень, – к функциям ее возвышения в степень. Это отношение, совершенно абстрагированное от вышеназванного интереса нахождения суммы, окажется тем углом зрения, который вытекает из действительной науки, как единственный, имеющийся в виду диференциальным исчислением.

Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или, лучше сказать, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система членов, поскольку последние суть функции возвышения в степень, вследствие чего также и корень рассматривается как сумма, и рассматривается так в» своей простой определенной форме как двучлен; xn=(y-/-z)a=(ya+riyn-12+…). Это изображение исходило, в целях разложения степени в ряд, т. е. в целях получения функций возвышения в степень, из суммы как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме как таковой, ни о происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение. Соотношение величин как таковое есть то, что, с одной стороны, остается после того, как отвлекаются от plus некоторой суммы как таковой, и что, с другой стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате разложения в ряд данной степени. Но такое соотношение уже определено тем, что здесь предмет есть уравнение, что ут=ахп уже также есть комплекс нескольких (переменных) величин, содержащий в себе их степенное определение. В этом комплексе каждая из этих величин безоговорочно положена как находящаяся в соотношении с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в ней самой, – положена как функция прочих величин; их характер функций друг друга сообщает иод это определение plusa, но тем же самым – определение чего-то совершенно неопределенного, а не приращения, инкремента и т. п. Мы, однако, могли бы также и оставить в стороне эту абстрактную точку зрения; можно совершенно просто остановиться на том, что после того, как переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются между собою также и функции возвышения в степень каждой из них, – каковые вторые функции определены далее не чем иным, как самим возвышением в степень. Можно сначала выдавать за произвол или возможность сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, употребление должны указать пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана единственно только ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих стеленных определений на примере некоторой такой величины, которая как сумма принимается за различенную внутри себя, то это служило отчасти лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, отчасти же в этом заключается способ их нахождения.

Мы, таким образом, имеем перед собой обычное аналитическое разложение в ряд, понимаемое для целей диференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена раскладывается в соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к тому, чтобы быть вспомогательным средством. Стремятся же в этом случае, по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Лагранжем, а затем подразумеваемому вышеупомянутым представлением о пределе, лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к так называемым коэфициентам (эти коэфициенты суть, правда, коэфициенты приращения и его степеней, которые определяют порядок ряда и которым принадлежат различные коэфициенты). При этом можно сделать еще и то замечание, что так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его единицей (цифрой 1), потому что приращение всегда встречается в разложении только как» множитель, а множитель «единица» как раз и достигает той цели, чтобы приращение не вносило никакой количественной определенности и никакого количественного изменения. Напротив, dx, сопровождаемый ложным представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как например, i, обремененные бесполезною здесь видимостью всеобщности, всегда выглядят, как некоторое определенное количество и его степени, и притязают, что они суть нечто такое, каковое притязание заставляет затем трудиться над тем, чтобы, несмотря на это, избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням, можно было бы с таким же удобством присоединять обозначения показателей как indices (индексы) и к единице. Но и помимо этого необходимо абстрагироваться от ряда и от определения коэфициентов по месту, которое они занимают в ряде, так как отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция выводится из первой точно так же, как первая из первоначальной, и для той, которая по счету является второй, первая производная функция есть опять-таки первоначальная. По существу же интерес направлен не на ряд, а единственно только на получающееся в результате развертывания ряда степенное определение в его отношении к для него непосредственной величине. Стало быть, вместо того, чтобы считать это определение коэфициентом первого члена развертывающегося ряда, было бы предпочтительнее (так как каждый член есть первый относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве степени приращения, как и сам ряд, не имеет сюда отношения) употреблять простое выражение «производная степенная функция», или, как мы сказали выше, «функция возвышения величины в степень», причем предполагается известным, каким образом получение производной функции берется как заключенное внутри некоторой степени развертывание.

Но если в этой части анализа собственно-математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через развертывание степени, то является дальнейший вопрос, что следует предпринять с полученным таким образом отношением, в чем его приложение и употребление, или на самом дело вопрос, для какой цели ищут таких функций. Диференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, которые могут быть сведены к этим абстрактным аналитическим отношениям.

Но относительно приложимости само собой получается, прежде всего, следующий вывод, который еще до того, как сделаем заключение из случаев приложения, вытекает из самой природы вещей в силу обнаруженного выше характера моментов степени. Раскладывание степенных величин, посредством которого получаются функции их возвышения в степень, если абстрагироваться от более детальное определения, характеризуется ближайшим образом вообще тем, что величина понижается на одну степень, получает ближайшую низшую степень. Такие действия, следовательно, делаются приложимыми в таких предметах, в которых также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду пространственную определенность, то» мы найдем, что она содержит те три измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно, линию, поверхность и целостное пространство; а поскольку они берутся в их простейших формах и в отношении к самоопределению и, стало быть, к аналитическим измерениям, то мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет некоторое эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется качественное, степенное определение; более детальные модификации, например то обстоятельство, что это происходит уже и с плоскими кривыми», мы можем оставить без рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего лишь о различии в общем виде. Тем самым возникает также потребность переходить от высшего степенного определения к низшему и наоборот, поскольку, например, линейные определения должны быть выведены из данных уравнений поверхности и т. п. или наоборот. – Далее, движение, в каковом должно рассматривать отношение величин пройденного пространства и соответствующего протекшего времени, обнаруживается в различных определениях просто равномерного, равномерно ускоренного, попеременно равномерно ускоренного и равномерно замедленного, – возвращающегося в себя движения; так как эти различные виды движения выражаются в отношениях величин их моментов, пространства и времени, то для них получаются уравнения, содержащие различные степенные определения, а поскольку может явиться потребность определить некоторый вид движения или же пространственные величины, с которыми связан некоторый вид движения, посредством другого вида движения, это действие равным образом приводит к переходу от одной степенной функции к другой, высшей или низшей. – Примеров этих двух предметов достаточно для той цели, для которой они приведены.

Видимость случайности, представляемая диференциальным исчислением в его приложениях, упростилась бы уже одним сознанием природы тех областей, в которых может иметь место приложение, и своеобразной потребности и условий этого приложения. Но в пределах самих этих областей важно далее знать, между какими частями предметов математической задачи имеет место тот род отношения, который своеобразно полагается диференциальным исчислением. Мы должны сразу же заметить предварительно, что при этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения.

Действие понижения степени некоторого уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине уже есть не уравнение, а некоторое отношение.

Это отношение есть предмет собственно диференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется также отношение самого более высокого степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе отношение мы должны оставить пока в стороне; впоследствии оно окажется своеобразным предметом интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и возьмем для – долженствующего быть заимствованным из области так называемого приложения – определения того момента, в котором заключается интерес действия, простейший пример кривых, определяемых уравнением второй степени. Как известно, уравнением непосредственно дано в некотором степенном определении отношение координат. Следствиями основного определения являются определения других связанных с координатами прямых линий: касательной, под- касательной, нормальной и т, п. Но уравнения между этими линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, как части которых определены эти линии, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям содержит в себе вышеуказанный переход от первоначальной функции, т. е. от той функции, которая представляет собою некоторое уравнение, к производной функции, которая есть некоторое отношение и притом отношение между известными, содержащимися в кривой, линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.

Небезынтересно привести здесь ту историческую справку, что первые открыватели умели указать найденное ими решение лишь совершенно эмпирическим образом, не будучи в состоянии объяснить само действие, оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся ближайшим образом от особенностей диференциального исчисления, он сообщает, «так как его друзья этого настойчиво просят» (Lect. X), также и свой метод определения касательных. Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы составить надлежащее представление о том, как его указания относительно этого «метода носят характер указания о совершенно внешнем правиле, в том же стиле, как излагалось когда-то в учебниках арифметики тройное правило или, еще лучше, так называемая проба арифметических действий девяткою[50].

Он чертит те маленькие линии», которые впоследствии были названы приращениями в характеристическом треугольнике кривой линии, и затем в виде простого правила предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания уравнения выступают как степени или произведения этих приращений (etenim isti termini nihilum valebunt)[51], а также и те члены, которые содержат величины, определяемые лишь из первоначального уравнения (позднейшее вычитание первоначального уравнения из него же с приращениями), и, наконец, подставить вместо приращения ординаты самую ординату и вместо приращения абсциссы – подкасательную. Нельзя, если дозволительно так выразиться, изложить способ более школьно-педантически; последняя подстановка представляет собою сделанное в обычном диференциальном методе основой определения касательной допущение пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и подкасательной; в правиле-Барроу это допущение выступает во всей своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной; способы Роберваля и Ферма сводятся к чему-то сходному – метод нахождения наибольших и наименьших значений, из которого исходил последний, покоится на тех же основах и том же приеме. Математической страстью того времени было нахождение так называемых методов, т. е. этого рода правил, и притом делать ив них секрет, что было не только легко, но в известном отношении даже нужно, и нужно именно потому, что было легко, а именно потому, что изобретатели находили лишь эмпирически внешнее правило, а не метод, т. е. не нечто, выведенное из- признанных начал. Такие так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также воспринял их от своего времени, а непосредственно – от своего учителя; обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но, занимаясь этим делом, они чувствовали вместе с тем потребность освободить прием от характера чисто внешних правил и старались дать ему требуемое оправдание.

Анализируя метод ближе, мы увидим, что истинный ход действия в нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных величин), содержащиеся в уравнении, понижаются, приводятся к их первым функциям. Но этим меняется значение членов уравнения.

Поэтому уже нет более уравнения, а возникло лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой функцией другой переменной. Вместо рх=у2 мы имеем?: 2у или вместо 2ах – х2=у2 мы имеем а: у, что позднее стали обыкновенно обозначать как отношение.

Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, совершенно зависящее от него, выведенное (выше – согласно голому правилу) из него, есть, напротив, некоторое линейное отношение, которому пропорциональны известные линии; 2у или а: у сами «суть отношения прямых линий данной кривой, а именно отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы желаем знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное отношение, желаем найти равенство двух: отношений. – Следовательно, является вопрос, во-вторых, какие прямые линии, определяемые природой кривой, находятся в таком отношении. – Но это то, что уже ранее было известно, а именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение ординаты к подкасательной. Это нашли остроумным геометрическим способом древние; новые же изобретатели открыли только эмпирический прием, как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему в себе ту линию (здесь – подкасательную), которая подлежит определению.

Частью это придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически – диференцирование, – частью же были изобретены воображаемые приращения координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же приращения касательной характеристический треугольник, дабы пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения, с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто эмпирическое, взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако это давно знакомое оказывается вообще (а самым неоспоримым образом в вышеуказанной форме правил) единственным побуждением к допущению – и соответственно, единственным оправданием для допущения характеристического треугольника и указанной пропорциональности.

Лагранж отбросил эту симуляцию и вступил на подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело, так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода, которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения – мы при более близком указании хода действия продолжаем пользоваться как примером элементарной задачей нахождения подкасательной – теоретическая или общая часть, а именно, нахождение первой функции из данного уравнения кривой, регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение, следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой, которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым путем (Theorie des Fonct. Anal., р. II, chap. И), т. е. не прибегая к характеристическому треугольнику, а именно, не делая допущения о бесконечно малых дугах, ординатах и абсциссах и не давая им определений dy и dx, т. е. членов указанного отношения, и не устанавливая вместе с тем непосредственно значения равенства этого отношения с самими ординатой и подкасательной. Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, есть основное положение аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, что то же самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не нуждающемуся в многочисленных стараниях доказать его. – Подкасательная теперь принимается за сторону треугольника, другими сторонами которого являются ордината и соответствующая ей касательная. Последняя как прямая линия имеет своим уравнением p = aq (прибавление +b бесполезно для определения и делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения есть а, коэфициент величины q, который есть соответственная первая функция уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а, т. е., как сказано, как существенное определение прямой линии, составляющей касательную к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция уравнения кривой, она есть также определение некоторой прямой линии; далее, так как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой, – берутся как тождественные, так как, стало быть, принимаются, что точка, в которой указанная принимаемая как касательная первая прямая линия соприкасается с кривой, есть вместе с тем начальная точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том, чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как y=fx и p=Fq, а теперь принимается, что у=р, и, стало быть fx=Fq, то и f тоже =7. Что употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена из уравнения его первой функцией, совпадают, что эта последняя есть, стало быть, касательная, это показывается с помощью приращения i абсциссы и определяемого через разложение функции приращения ординаты. Здесь, следовательно, также появляется пресловутое приращение; однако следует различать способ, каким оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому приращению от вышеупомянутого употребления приращения для нахождения диференциального уравнения и для характеристического треугольника.