Наука логики

Понятие, которое Кант выставил в своем учении о синтетических суждениях a priori, – понятие о различиям, которое также и неотделимо друг от друга, о тождественном, которое в самом себе нераздельно есть различие, принадлежит к тому, что есть великого и бессмертного в его философии. В созерцании это понятие, разумеется, также имеется, так как это понятие есть само понятие, и всё есть в себе понятие; но те определения, которые выделены в приведенных примерах, не выражают его; число и считание есть, напротив, такое тождество и продуцирование такого тождества, которое безоговорочно есть лишь внешнее тождество, лишь поверхностный синтез, единство единиц, таких единиц, которые, напротив, положены как в самих себе не тождественные друг с другом, а внешние, сами по себе раздельные. В прямой линии в основании определения, что она есть кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лечь скорее лишь момент абстрактного тождества, лишенного различия в нем самом.

Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид исчисления, вычитание, есть в свою очередь совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь как вообще неравные в отношении друг друга.

2. Ближайшим определением является равенство тех чисел, над которыми должно быть произведено действие нумерации. Благодаря этому равенству эти числа суть единицы, и в числе появляется различие единицы и численности. Умножение имеет задачей сосчитать воедино численность таких единиц, которые сами суть тоже численности.

При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три – единица, или, наоборот трижды четыре. – Мы уже указали выше, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простого процесса нумерации, т. е. сосчитывания на пальцах и т. д.; получающаяся позднее способность непосредственно указать произведение покоится на собрании таких произведений, на таблице умножения и знании ее наизусть.

Деления есть отрицательный вид исчисления согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, какой из двух факторов, делитель ли или частное, мы примем за единицу и какой за численность. Делитель принимается за единицу, а частное – за численность, когда задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) некоторое одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное за единицу в том случае, когда говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).

3. Те два числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще неравны. Дальнейшим равенством служит равенство самих единицы и» численности; таким образом, поступательное движение к равенству тех определений, которые заключаются в определении числа, завершено. Считание согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательным видом исчисления служит здесь извлечение корня) и притом ближайшим образом возвышение в квадрат; это – полная определенность нумерирования внутри самого себя, где те многие числа, которые слагаются, суть одни и те же, и само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы представлять собою некоторое различие, и не может также иметь место никакое дальнейшее выравнивание того различия, которое заключается в числе. Возведение в степени высшие, чем вторая, есть формальное продолжение, которое отчасти – при четных показателях – есть лишь повторение возведения в квадрат, и отчасти – при нечетных показателях – есть появление снова прежнего неравенства; а именно, при формальном равенстве (например, ближайшим образом в кубической степени) нового множителя как с численностью, так и с единицей, он как единица представляет собою нечто неравное по отношению к численности (по отношению к второй степени, 3 – по отношению к 3.3): еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность, показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от последнего. – Эти определения имеются сами по себе, как существенное различие понятия, – численность и единица, и для того, чтобы выход из себя вполне возвратился в себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям и, почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе, как при помощи мнимых выражений, представляющих собою противоположность того, что суть и выражают собою корни. – Согласно сказанному единственно только арифметический квадрат содержит в себе всецелую определенность, вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же, как в геометрии прямоугольный треугольник содержит в себе всецелую определенность внутри себя, выраженную в пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть приведены к нему.

В преподавании, подвигающемся вперед согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию единицы и численности, составляющему определение второго вида исчисления, однако они выходят за пределы того одного, которое есть одно непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты; дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. Число в отношении не есть уже непосредственное определенное количество; последнее имеет тогда свою определенность как опосредствование; количественное[37] отношение мы рассмотрим далее.

О вышеуказанном все дальнейшем и дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, изложение их внутреннего значения, потому что оно на самом деле не есть имманентное развитие понятия. Но философия должна уметь различать то, что по своей природе есть внешний самому себе материал, должна знать, что в таком материале поступательное движение понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого движения могут иметь бытие лишь в своеобразной форме их внешности, какова здесь форма равенства и неравенства. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. сфер, в которых она имеется как существование, служит существенным условием философствования о реальных предметах необходимым для того, чтобы мы идеями не нарушали своеобразия внешнего и случайного и чтобы мы вместе с том не искажали этих идей и не делали их формальными вследствие несоответственности материала. Но тот внешний характер, который носит выступление моментов понятия в вышеуказанном внешнем материале, в числе, есть здесь соответственная форма; так как они представляют нам предмет в присущем ему смысле, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому представляются легкими, они заслуживают применения в элементарных учебниках.

Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий] Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений; как, например, степени и т. п., чтобы регулировать согласно им или выражать в них мысли. – В педагогическом отношении число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений – деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои наисобственнейшие отношения и вообще основные отношения сущности. – В какой «мере числу на самом деле принадлежит эта высокая ценность, видно из его понятия, каким оно получилось выше.

Число обнаружилось для нас как абсолютная определенность количества, а его стихия – как ставшее безразличным различие; оно оказалось определенностью в себе, которая вместе с тем положена лишь вполне внешне.

Арифметика есть аналитическая наука, так как все встречающиеся в ее предмете связи и различия не зависят от него самого, а учинены ему совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы в себе внутренние отношения, первоначально скрытые для знания, не данные в непосредственном представлении о нем, а долженствующие быть выявлены усилиями познания. Она не только не содержит в себе понятия и, следовательно, задачи для постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его противоположность. Вследствие безразличия приведенного в связь к связи, которой недостает необходимости, мышление оказывается здесь занятым деятельностью, которая вместе с тем есть самое крайнее отчуждение от самого себя, занятым насильственной деятельностью, заключающейся в том, что оно движется в сфере безмыслия и приводит в связь то, что не способно носить характер необходимости.

Предметом здесь служит абстрактная мысль о внешности как таковой.

Как таковая мысль о носящем характер внешности, число есть вместе с тем абстракция от чувственного многообразия; от чувственного оно ничего другого не сохранило, кроме абстрактного определения внешности; благодаря этому в числе чувственное наивозможно ближе подведено к мысли.

Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.

Поднимающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища стихии для своего чистого представления, для выражения своей сущности, может поэтому раньше, чем он постигнет, что сама мысль является этой стихией и обретет для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы находим в истории науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет последнюю ступень того несовершенства, которое состоит в том, что всеобщее берется как обремененное чувственным. Древние определенно сознавали, что число находится посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю («Метафизика», 1, 5) Платон говорил, что помимо чувственного и идей, посередине между ними, находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей – тем, что они суть некоторое «множественное и сходное, между тем как идея лишь безоговорочно тождественна с собою и едина внутри себя. – Более подробное, основательно продуманное рассуждение об этом Модерата Кадиксского приводится в «Malchi vita Pythagorae ed. Ritterhus», стр. 30 и сл.; то обстоятельство, что пифагорейцам пришла в голову мысль остановиться на числах, он приписывает тому, что они еще не были в состоянии ясно постигнуть в разуме основные идеи и первые начала, потому что трудно продумать и выразить эти начала; числа хорошо служат для обозначения при преподавании; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые, не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и» говорят, что это – треугольник, причем они требуют, чтобы не принимали за треугольник лежащий перед глазами чертеж, а лишь представляли себе с помощью последнего мысль о треугольнике. Так, например, пифагорейцы выразили как одно мысль о единстве, тождественности и равенстве, а также и основание гармонии, связи и сохранения всего, основание тождественного с самим собою и т. д. – Излишне заметить, что пифагорейцы перешли от выражения в числах также и к выражению в мыслях, к определенно названным категориям равного и неравного, границы и бесконечности; уже касательно вышеуказанного выражения в числах сообщается (там же, в примечаниях к стр. 31 цитированного издания, взятых из «Жизни Пифагора» у Фотия, стр. 722), что пифагорейцы различали между монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу за число; и точно так же и число два они принимали за арифметическое выражение, а диаду (ибо таково, видимо, то название, которое оно у них носит) – за мысль о неопределенном. – Эти древние, во-первых, очень ясно усматривали неудовлетворительность числовой формы для выражения определений мысли, и столь же правильно они, далее, требовали настоящего выражения мысли вместо того первого выражения, являвшегося только крайним выходом; насколько опередили они в своих размышлениях тех, которые в наше время снова считают чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену определений мысли самими числами и такими числовыми определениями, как, например, степенями, а затем – бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность, и прочими подобного рода определениями[38], которые даже и сами по себе часто представляют собою превратный математический формализм, – считают основательным и глубоким возвращение к вышеупомянутому беспомощному детству.

Что касается вышеприведенного выражения, что число занимает промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея вместе с тем то общее с первым, что оно есть по своей природе (an ihr) многое, внеположное, то следует заметить, что само это многое, принятое в мысль чувственное, есть принадлежащая ей (мысли) категория внешнего в самом себе. Дальнейшие, конкретные, истинные мысли, представляющие собою наиболее живое, наиболее подвижное, только соотнесением и занимающееся, превращаются в мертвенные, неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию вне-себя-бытия. Чем богаче становятся мысли определенностью и тем самым также и соотношением, тем более запутанным;, с одной стороны, а с другой стороны, тем более произвольным и лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа.

Единица, два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис, еще близки к совершенно простым, абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить к изображению конкретных отношений, тогда оказывается тщетным стремление сохранить связь между ними и понятием.

А когда для характеристики движения понятия, благодаря каковому движению оно только и есть понятие, обозначают определения мысли через одно, два, три, четыре, то этим предъявляется к мышлению самое жестокое требование. Мышление движется тогда в стихии своей противоположности, отсутствия соотношений. Его дело становится тогда работой безумия. Постигнуть, например, что одно есть три, а три – одно, лютому так трудно, что одно есть нечто лишенное соотношений и, следовательно, не являет в самом себе того определения, посредством которого оно переходило бы в свою противоположность, а, напротив, состоит именно в полном исключении такого рода соотношения и отказе от него. Рассудок, наоборот, пользуется этим против спекулятивной истины (например, против истины, заключающейся в учении, называемом учением о триединстве) и перечисляет те определения последней, которые составляют одно единство, чтобы выставить ее как явную бессмыслицу, т. е. он сам впадает в бессмыслицу, превращая в лишенное соотношений то, что всецело есть соотношение.

Слово «триединство» употребляется, конечно, не в расчете на то, что рассудок будет рассматривать одно и число как существенную определенность содержания. Это слово выражает собою презрение к рассудку, который в своем тщеславии, однако, упорно держится одного и числа как таковых и выставляет это тщеславие как оружие против разума.

Принимать числа, геометрические фигуры просто за символы, как это часто проделывали с кругом, треугольником и т. д. (круг, например, принимался за символ вечности, треугольник – за символ триединства), есть, с одной стороны, нечто совершенно невинное; но нелепо, с другой стороны, предполагать, что этим выражают нечто большее, чем то, что мысль способна постигнуть и выразить. Если в таких символах, как и в других, создаваемых фантазий в народной мифологии) и вообще в поэзии, в сравнении с которыми чуждые фантазии геометрические фигуры сверх того скудны, – если в самом деле и в первых и в последних заключается глубокая мудрость, глубокое значение, но это как раз исключительно задача мышления сделать явной мудрость, которая в них лишь сокрыта (darin liegt) и притом сокрыта не только в них, но и в природе и духе.

В символах истина в силу чувственного элемента еще помутнена и закутана; она вполне открывается сознанию только в форме мысли; их значением служит лишь сама мысль.

Но заимствование математических категорий с целью что-нибудь определить относительно метода или содержания философской науки уже потому оказывается по существу чем-то превратным, что, поскольку математические формулы обозначают мысли и различия понятия, это их значение, наоборот, должно быть сначала указано, определено и оправдано в философии. В своих конкретных науках последняя должна почерпать логическое из логики, а не из математики. Обращение для установления логического в философии к тем формам (Gestaltungen), которые это логическое принимает в других науках и из которых многие суть только предчувствия, а другие – даже искажения этого логического, может быть лишь крайним средством, к которому прибегает философское бессилие. Голое применение таких заимствованных формул есть сверх того внешний способ действия; самому применению должно было бы предшествовать осознание как их ценности, так и их значения; но такое осознание дается лишь мыслительным рассмотрением, а не авторитетом, который эти формулы получили в математике. Таким их осознанием, является сама логика, и это осознание совлекает их частную форму, делает ее излишней и никчемной, исправляет ее, и исключительно лишь оно сообщает им оправдание, смысл и ценность.

Какое значение имеет употребление числа и счета, поскольку оно должно составлять главную педагогическую основу, это из предшествующего само собою ясно. Число есть нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями – нечувственное занятие; дух, следовательно, этим приучается к рефлексии в себя и к внутренней абстрактной работе, что имеет большое, но одностороннее значение.

Ибо, с другой стороны, так как в основании числа лежит лишь внешнее, чуждое мысли различие, то указанная работа становится безмысленной, механической. Требуемое ею напряженное усилие состоит преимущественно в том, чтобы удерживать чуждое понятию, и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием здесь служит пустое одно; богатое содержание (der gediegene Inhalt) нравственной и духовной жизни и индивидуальных ее образований, которое, как благороднейшая пища, должно служить великим средствам воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательной единицей. Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и преимущественным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию опустошается и притупляется. Так как счет есть столь внешнее и, стало быть, механическое занятие, то оказалось возможным изобрести машины, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о природе счета было известно хотя бы только одно это обстоятельство, то одним этим был бы решен вопрос, какова ценность зряшной мысли сделать счет главным средством воспитания духа и этим подвергать его пытке, заставляя его усовершенствовать себя до того, чтобы стать машиной.

В. Экстенсивное и интенсивное определенное количество а) Различие между ними.

1. Определенное количество, как оказалось в предшествующем, имеет свою определенность как границу в численности. Оно есть некое в себе дискретное, некое множественное, не имеющее такого бытия, которое было бы отлично от его границы и имело бы ее вне себя. Определенное количество, взятое таким образом со своей границей, которая есть некое многообразное в себе самой, есть экстенсивная величина.

Следует отличать экстенсивную величину от непрерывной. Первой непосредственно противоположна не дискретная, а интенсивная величина. Экстенсивная и интенсивная величины суть определенности самой количественной границы, определенное же количество тождественно со своей границей. Непрерывная и дискретная величины суть, напротив, определения величины в себе, т. е. количества как такового, поскольку мы, имея дело с определенным количеством, отвлекаемся от границы. – Экстенсивная величина имеет момент непрерывности в самой себе и в своей границе, так как ее множественное есть вообще непрерывное; постольку граница как отрицание выступает в этом равенстве многих как ограничение единства. Непрерывная величина есть продолжающее себя количество безотносительно к какой бы то ни было границе, и, поскольку мы ее представляем себе с таковой границей, последняя есть некое ограничение вообще, без того чтобы в нем была положена дискретность. Определенное количество, взятое лишь как непрерывная величина, еще не определено истинно для себя, так как в ней отсутствует одно, от которого зависит то обстоятельство, что имеется определенность для себя, а также отсутствует и число. И точно так же дискретная величина есть непосредственно лишь различенное многое вообще, которое, поскольку оно как таковое должно было бы иметь границу, было бы только некоторым множеством (eine Menge), т. е. некоторым неопределенно ограниченным; чтобы оно получило определенность определенного количества, для этого требуется совокупление многих воедино, благодаря чему они полагаются тождественными с границей. Каждая, и непрерывная и дискретная, величина, как определенное количество вообще, положила в себе (an ihr) лишь одну из тех двух сторон, которыми оно вполне определено и благодаря которым оно становится числом. Последнее есть непосредственно экстенсивное определенное количество, простая определенность, которая есть по существу численность, однако численность одной и той же единицы; оно отлично от числа только тем, что определенность в последнем явно положена как множественность.

2. Однако определение величины посредством числа не нуждается в отличии от какой-либо другой величины, так что выходило бы, что для определенности этой величины требуются она сама и некоторая другая величина; она в этом не нуждается потому, что определенность величины есть вообще для-себя-определенная, безразличная, просто с собою соотнесенная граница, а в числе она положена, как заключенная в для-себя-сущее одно, и имеет внешность, соотношение с другим, внутри самой себя. Далее, само это присущее границе многое, как и многое вообще, есть не неравное внутри себя, а непрерывное. Каждое из многих есть то же самое, что другое; поэтому оно, как многое, сущее друг вне друга или дискретное, не образует определенности как таковой. Это «многое, стало быть, сливается само по себе в свою непрерывность и становится простым единством. – Численность есть лишь момент числа, но не как множество нумерических одних оно составляет определенность числа, а эти одни как безразличные, внешние себе, сняты в возвращенности числа в себя. Внешность, составлявшая характер одних во множестве, исчезает в одном как соотношении числа с самим собою.

Граница определенного количества, которое как экстенсивное имело свою наличие сущую определенность в виде внешней самой себе численности, переходит, следовательно, в простую определенность. В этом простом определении границы оно есть интенсивная величина; и граница или определенность, которая тождественна с определенным количеством, теперь так и положена как простое; это – градус.

Градус есть, следовательно, определенная величина, определенное количество, но не вместе с тем множество (Menge) или «много [одних] внутри самого себя; он есть только некая многость (Mehrheit), причем многость есть многое, сжатое (zusammengenommen) в простое определение, наличное бытие, перешедшее обратно в для-себя-бытие. Его определенность должна быть, правда, выражена некоторым числом как полной определенностью определенного количества, но она дана не как численность, а просто есть лишь один градус. Когда говорят о десяти, двадцати градусах, определенное количество, имеющее столько градусов, есть десятый, двадцатый градус, а не численность и сумма этих градусов, – в таком случае оно было бы экстенсивным количеством, – а оно есть лишь один градус, десятый, двадцатый градус. Он содержит в себе определенность, заключающуюся в численности «десять», «двадцать», но содержит их не как многие, а есть число как снятая численность, как простая определенность.

3. В числе определенное количество положено в своей полной определенности; а как интенсивное определенное количество (которое представляет собою для-себя-бытие числа) определенное количество положено таким, каково оно согласно своему понятию или в себе. А именно, та форма соотношения с собою, которую оно имеет в градусе, есть вместе с тем его внебытие относительно себя.

Число как экстенсивное определенное количество есть нумерическая множественность и имеет таким образом внешность внутри себя; эта последняя, как многое вообще, сжимается в неразличимость и снимает себя в том обстоятельстве, что число есть одно (in dem Eins der Zahl), в соотношении числа с самим собою. Но определенное количество имеет свою определенность в виде численности; оно, как было указано выше, содержит ее в себе, хотя она уже больше не положена в ном. Таким образом, градус, который, как простой внутри самого себя, уже больше не имеет этого внешнего инобытия внутри себя, имеет его вне себя и соотносится с ним как со своей определенностью.