скачать книгу бесплатно
+6a
b+15a
b
+20a
b
+15a
b
+6ab
+b
Разложение многочлена на множители.
1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.
Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».
С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.
Примеры.
4x
y
+8xy
z=4xy
(xy+2z)
9a
b
—3ab
c+12abc
=3ab (3ab-bc+4c
)
2 способ. Способ группировки.
Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.
Примеры.
5x
+10x
+3x+6=5x
(x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x
+3)
20x
—12y
+8xy
—30x
y=20x
—30x
y+8xy
—12y
=10x
(2x-3y) +
4y
(2x-3y) = (2x-3y) (10x
+4y
)
При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.
Например:
6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =
(3a-c) (2b-9d)
3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.
Примеры.
9x
—1= (3x-1) (3x+1)
4x
+4x+1= (2x+1)
4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax
+bx+c=
=a (x-x
) (x-x
)
где x
и x
-корни квадратного уравнения ax
+bx+c=0
О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.
А сейчас просто проиллюстрируем данный способ
одним примером.
Пример.
2x
+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)
Сначала решается квадратное уравнение
2x
+13x -24 = 0 и находятся его корни x
=3/2, x
=-8
Потом по формуле делается разложение.
Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x
+24x+4x
Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.
36x
+24x
+4x=4x (9x
+6x+1)
Трёхчлен 9x
+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:
9x
+6x+1= (3x+1)
Таким образом, 36x
+24x
+4x=4x (3x+1)
Пример 2. Разложить на множители многочлен xy
—3y
+xy
z-3y
z
Решение: Вынесем за скобки общий множитель y
:
