скачать книгу бесплатно
• что такое противоположные события,
• определение несовместных событий,
• что такое пересечение несовместных событий.
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов:
P(A) = m/n, где n – общее число равновозможных исходов, m – число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают A. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
P(A) + P(A) = 1; P(A) = 1–P(A).
Определение несовместных событий
Два события A и B называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию A, так и событию B.
Событие C означает, что произошло хотя бы одно из событий A и B (пишут C = A?B).
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B:
P(A?B) = P(A) + P(B)
Пересечение независимых событий
Два события A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от произойдет или не произойдет другое событие.
Событие C называют пересечение событий A и B (пишут C = A?B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A?B) = P(A)?P(B)
Определить из условия задачи необходимые величины.
Подставить значения и вычислить вероятность.
5.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Пример 1 [3]
Условие
В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.
Решение
В данной задаче применимо классическое определение теории вероятности. Таким образом, n = 35 (общее число равновозможных исходов), m = 7 (число исходов, благоприятствующих событию A), так как по условию и России учувствует 7 спортсменов. Следовательно, запишем решение задачи:
P(A) = 7/35 = 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Пример 2 [3]
Условие
Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?
Решение
1. Для начала вычислим количество исправных лампочек:
100–3 = 97.
2. Таким образом, мы понимаем, что из 100 лампочек 97 исправны и 3 неисправны, т.е., n = 100, а m = 97. Тогда воспользовавшись формулой классической теории вероятности, найдем решение задачи:
P(A) = 97/100 = 0,97.
Данную задачу можно решить еще одним способом.
1. Найдём вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется неисправной:
P(A) = 3/100 = 0,3.
2. А так как нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной, т.е., событие, противоположное событию P(A), то воспользуемся формулой для нахождения события, противоположного данному:
P(A) = 1–0,3 = 0,97.
Ответ: 0,97.
Пример 3 [4]
Условие
Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня – по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение
1. Выясним, сколько докладов будет представлено в каждый из 4-х дней конференции (так как всего запланировано 50 докладов: первые два дня – по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями, то в третий и четвёртый день будет представлено по (50–13–13) : 2 = 12 докладов). Выпишем подробнее:
• в первый день – 13;
• во второй день – 13;
• в третий день – 12;
• в четвертый день – 12.
2. Воспользуемся формулой классической теории вероятности. В данном случае n = 50, а m = 12:
P(A) = 12/50 = 0,24.
Ответ: 0,24.
Задание 6. Выбор оптимального варианта
6.1. Общие вопросы
В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2023 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 6 указывается «умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках».
Уровень сложности – базовый.
Максимальный балл за выполнение задания – 1.
Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 11.
Чтобы решить задание 6 по математике базового уровня необходимо уметь:
• собирать комплект,
• выбирать наилучший варианта из двух/трех/четырех возможных вариантов.
6.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Пример 1 [3]
Условие
Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.
Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день.
В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков (без пробелов, запятых и других дополнительных символов)
Решение
Для решения данного задания необходимо собрать комплект из четырех переводчиков, при этом суммарная стоимость их услуг не должна превышать 12 000 рублей в день. Таким образом, переберем все возможные варианты:
• 1 (Немецкий, испанский), 3 (Английский), 5 (Французский): 7000 + 3000 + 2000 = 12000;
• 1 (Немецкий, испанский), 4 (Английский, французский): 7000 + 6000 = 13000;
• 2 (Английский, немецкий), 5 (Французский), 6 (Испанский): 6000 + 2000 + 4000 = 12000.
Другие комбинаций составить невозможно.
Очевидно, нам подходят комбинация 135 и 256. При этом ответ предполагает любую из данных комбинаций, также цифры могут быть тоже записаны в любом порядке.
Ответ: 135 < или > 153 < или > 315 < или > 513 < или > 531 < или > 256 < или > 265 < или > 526 < или > 562 < или > 625 < или > 652.
Пример 2 [3]
Условие
В таблице приведены данные о шести чемоданах.
По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов (без пробелов, запятых и других дополнительных символов).
Решение
В первую очередь необходимо выбрать чемоданы, вес которых удовлетворяет условию, т.е., не больше 23 кг. Это чемоданы под номером 1, 3, 5 и 6. После чего выполним сложение их величин (длины, ширины и высоты) и сравним с числом 203:
Чемодан № 1: 65 + 40 + 25 = 130 < 203
Чемодан № 3: 92 + 80 + 36 = 208 > 203
Чемодан № 5: 83 + 65 + 48 = 196 < 203
Чемодан № 6: 95 + 75 + 42 = 212 > 203
Таким образом, нам подходят чемодан под номером 1 и 5.
Ответ: 15 < или > 51.
Пример 3 [3]
Условие
Строительная фирма планирует купить 70 м
пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.
Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Решение
Поочерёдно вычислим сколько нужно будет заплатить каждому из поставщиков за 70 м
пеноблоков:
Поставщик А: 2600?70 = 182000
С учётом доставки: 182000 + 10000 = 192000
