скачать книгу бесплатно
1.11 Подобное преобразование дифференциальных уравнений переноса
Перенос количества движения. Рассмотрим динамическое подобие на примере подобного преобразования уравнения Навье-Стокса (1.10) для одномерного потока (перенос количества движения). В этом случае скорость потока
.
Запишем это уравнение для объекта:
Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:
Чтобы уравнения (1.42) и (1.43) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:
Домножив все члены уравнения (1.44) на kl /kv2, получим безразмерные соотношения:
Эти соотношения после подстановки констант подобия дают выражения соответствующих критериев подобия Фруда, Эйлера, Рейнольдса и гомохнонности. Так для критерия Фруда .
Опуская индексы, получим аналогично и другие критерии:
.
Для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно одинаковы. Это положение определяет содержание 1-й теоремы подобия.
Так как члены уравнения Навье-Стокса представляют собой сумму удельных сил тяжести, давления, вязкости и инерции, то сравнивая их с выражениями критериев, можно сделать вывод, что критерий Фруда представляет собой отношение силы инерции к силе тяжести, критерий Эйлера – отношение силы давления к силе инерции, критерий Рейнольдса – отношение силы инерции к силе вязкости (учитывает режим движения) и критерий гомохронности – отношение инерционных сил модели и объекта (учитывает нестационарность процесса).
Обычно критерий Эйлера является определяющим и математическое описание явления переноса количества движения в критериальном виде с учетом геометрического критерия Г имеет вид:
Таким образом, решение дифференциальных уравнений описывающих процесс можно представить в виде зависимостями между критериями подобия. Это положение известно как 2-я теорема подобия.
Выше было сказано, что для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно равны, но тогда согласно зависимости (1.46) и определяющие критерии должны быть равны. Таким образом, для обеспечения подобия достаточно равенства определяющих критериев модели и объекта. Это положение определяет содержание 3-й теоремы подобия.
Положения, устанавливаемые тремя теоремами подобия, справедливы для любого вида переноса. Они используются как для постановки экспериментов, так и для математической их обработки.
Теплоперенос. Критерии теплопереноса выводятся аналогично выводу критериев переноса количества движения. Рассмотрим подобное преобразование уравнения Фурье-Кирхгофа (1.27) для одномерного теплопереноса, когда t = f (x, ?) в отсутствии источников тепла для объекта моделирования (индексы опустим):
Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:
Чтобы уравнения (1.47) и (1.48) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:
Из первого равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – критерий Фурье, который характеризует изменение теплопереноса теплопроводностью во времени:
Из второго равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – критерий Пекле, который представляет собой отношение теплопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет теплопроводности (молекулярный):
Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, который может быть рассмотрен как отношение скоростей переноса количества движения конвективного и молекулярного.
Поскольку на конвективный теплоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую теплоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера обычно не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для теплопереноса.
Так как в критерии Fr и Re входит скорость, используется их комбинация – критерий Галилея, не содержащий скорости:
или критерий Архимеда, включающий отношение плотности одной среды и разности плотностей двух сред:
Если разность плотностей вызвана термическим расширением среды (
– коэффициент термического расширения), то:
,
где Т – абсолютная температура.
После подстановки этого соотношения в критерий Архимеда получим критерий Грасгофа:
Для газов
,
тогда критерий Грасгофа примет вид:
При сочетании критерия Ре
с критерием Re получим критерий Прандтля, характеризующий теплофизические свойства среды или соотношение полей скоростей и температур:
Если граничным условием теплопереноса является линейность теплового потока – уравнение (1.23) тогда в сочетании с уравнением (1.29) получим:
Из этого соотношения, переходя к размерным величинам, получим критерий Нуссельта, характеризующий подобие граничных условий:
Критерий Нуссельта рассматривают также как безразмерный коэффициент теплопереноса, поэтому он является определяющим. С учетом рассмотренных критериев перенос тепла можно рассматривать в виде следующей критериальной зависимости:
Для стационарного теплопереноса из зависимости (1.60) исключаются критерии. Но и Fo
, содержащие время.
Критерий Nu является наиболее удобной величиной для расчета молекулярного переноса или переноса в ламинарном движении [10]. В случае развитой турбулентности более удобным оказывается использование критерия Стентона:
Тогда в зависимости (1.61) определяющим критерием вместо Nu будет критерий St
.
Массоперенос. Критерии массопереноса и общая критериальная зависимость выводятся аналогично теплопереносу. Для этого рассмотрим подобное преобразование дифференциального уравнения массопереноса (1.22). Для одномерного потока, когда С = f (x, ?) в отсутствии источников для объекта моделирования запишем (индексы опущены):
Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:
Чтобы уравнения (1.62) и (1.63) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:
Из первого равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – диффузионный критерий Фурье, который характеризует изменение молекулярного массопереноса во времени
Из второго равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – диффузионный критерий Пекле, который представляет собой отношение массопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет молекулярной диффузии (молекулярный)
Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, и тепловому критерию Пекле.
Поскольку на конвективный массоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую массоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для массопереноса.
При сочетании критерия Ре с критерием Re получим критерий Шмидта (в отечественной литературе его часто называют диффузионным критерием Прандтля), характеризующий соотношение молекулярного переноса количества движения и молекулярной диффузии или соотношение полей скоростей и концентраций:
Если граничным условием массопереноса является линейность потока вещества – уравнение (1.18), тогда в соответствии с уравнением (1.32) получим равенство:
Из этого соотношения, переходя к размерным величинам, получим критерий Шервуда (в отечественной литературе его часто называют диффузионным критерием Нуссельта), характеризующий подобие граничных условий при массопереносе:
Критерий Шервуда рассматривают также как безразмерный коэффициент массопереноса, поэтому он является определяющим. С учетом рассмотренных критериев перенос вещества можно рассматривать в виде следующей критериальной зависимости:
Для стационарного массопереноса из зависимости (1.70) исключаются критерии. Но и Fo, содержащие время.
Критерий Sh является наиболее удобной величиной для расчета молекулярного переноса или переноса в ламинарном движении [6]. В случае развитой турбулентности более удобным оказывается использование диффузионного критерия Стентона, т. к. он в этом случае близок к постоянному значению
Тогда в зависимости (1.70) определяющим критерием вместо критерия Sh будет критерий St. Общий вид зависимости при этом сохранится.
1.12 Внешняя и внутренняя задачи
Все процессы переноса количества движения, массы и тепла можно рассматривать в условиях внешней и внутренней задач.
Внешней задачей рассматриваются процессы переноса при обтекании тела потоком, причем размеры потока можно считать бесконечно большими. Роль линейного размера l при этом будет играть размер обтекаемого тела.
Примером внешней задачи при переносе количества движения является движение тела в бесконечной среде. Примером внешней задачи при теплопереносе является внешний теплообмен при обтекании средой горячей трубы. Примером внешней задачи при массопереносе является растворение кристалла при обтекании его потоком жидкости.
Внутренней задачей рассматриваются процессы переноса внутри твердого тела или внутри трубы, аппарата, канала. Роль линейного размера l при этом будет играть внутренний размер тела, трубы, аппарата или канала.
Примером внутренней задачи при переносе количества движения является движение среды (газ, жидкость) в трубе. Примером внутренней задачи при теплопереносе является теплопроводность внутри пластины при ее нагревании или охлаждении. Примером внутренней задачи при массопереносе является изменение влажности пористого материала при обтекании его (сушке) потоком горячего воздуха.
Необходимо отметить, что поскольку условия переноса (граничные условия) во внешней и внутренней задачах различны, решения дифференциальных уравнений и значения критериев для этих задач также будут различными. Так, например, при движении шара в сплошной среде ламинарный режим сохраняется до значения критерия Рейнольдса равном 2, а при движении среды в трубах – до значения 2100 – 2300.
Следует отметить, что явления переноса часто протекают одновременно во внешней и внутренней задаче и очень важно определить, какая из них в наибольшей степени определяет перенос (лимитирует). Примером совместной внешней и внутренней задач при переносе количества движения является движение капли, пузырька в сплошной среде. Внешняя задача – обтекание объекта потоком, а внутренняя задача – циркуляция жидкости (газа) внутри капли (пузырька). Следует отметить, что внутренняя циркуляция может значительно снизить скорость движения тела. Если влияние внешней и внутренней задач при переносе количества движения одного порядка, то говорят о смешанной задаче.
Примером совместной внешней и внутренней задач при теплопереносе является теплопередача через стенку (Рис. 1.5). Здесь внешняя задача – конвективный теплоперенос от среды к стенке, а внутренняя – теплопроводность внутри стенки. Если лимитирует теплопроводность (материал стенки теплоизолирующий), то коэффициент теплопередачи по уравнению (1.31). К , т. е. конвективными сопротивлениями можно пренебречь. Теплопередачу в условиях совместной внешней и внутренней задач характеризует тепловой критерий Био (аналог критерия Нуссельта)
Если в критерии Нуссельта оба параметра ? и относятся к одной среде, то в критерии Био ? – определяет конвективный теплообмен от среды к стенке (или наоборот) – внешняя задача, а параметр / l – определяет теплопроводность стенки – внутренняя задача. Если Bi
0, то лимитирует внешняя задача, если Bi
? ?, то лимитирует внутренняя задача. Если влияние внешней и внутренней задач при теплопередаче одного порядка, то говорят о смешанной задаче передачи тепла.
Примером совместной внешней и внутренней задач при массопереносе является процесс конвективной сушки пористого материала. Изменение влажности пористого материала происходит при его сушке потоком горячего воздуха. Здесь внешняя задача – конвективный массоперенос от среды к материалу, а внутренняя – перенос влаги (массопроводность) внутри материала. Перенос влаги внутри материала может быть учтен коэффициентом диффузии D внутри материала. Если лимитирует массоопроводность, то процесс массопередачи определяет диффузия внутри материала, т. е. конвективным массопереносом можно пренебречь. Массопередачу в условиях совместной внешней и внутренней задач характеризует диффузионный критерий Био (аналог критерия Шервуда)
Однако, если в критерии Шервуда оба параметра и D относятся к одной среде, то в критерии Био – определяет конвективный массооперенос от материала к среде (или наоборот при сорбции) – внешняя задача, а параметр D / l – определяет массопроводность материала – внутренняя задача. Если Bi ? 0 (практически при Bi 0,2), то лимитирует внешняя задача, если Bi ? ? (практически при Bi 50), то лимитирует внутренняя задача. Если значения критерия Био лежат в интервале от 0,2 до 50, то имеет место смешанная задача и влияние обеих внешней и внутренней задач существенно, одного порядка [10].
1.13 Критериальные зависимости стационарного переноса
Перенос количества движения. Рассмотрим примеры стационарного переноса количества движения. Внутренней задачей гидродинамики является описание движения жидкостей и газов в трубах. Для стационарного горизонтального движения в трубах (отсутствуют критерии Фруда и гомохронности) критериальную зависимость (1.46) записывают в виде
где геометрический критерий представляет собой отношение длины L к диаметру d трубы. Функциональную зависимость критерия Рейнольдса называют коэффициентом гидравлического сопротивления в трубах и обозначают
Подставив выражение критерия Эйлера в (1.74), получим уравнение Дарси:
Можно показать [6], что в ламинарном режиме (Re 2100):
а в развитом турбулентном режиме для гладких труб (Re 10000) применяется зависимость Блазиуса:
Для шероховатых труб (? – высота выступов шероховатости) и переходного режима [6] используют зависимости общего вида:
Примером внешней задачи переноса количества движения является стационарное движение сферических частиц в сплошной среде. В критериальной зависимости (1.46) в этом случае отсутствуют критерии Фруда, гомохронности и геометрический, т. к. сферическая частица имеет только один линейный размер – диаметр. Эта зависимость примет вид:
Равномерное движение частиц обусловлено равновесием сил, действующих на частицу – тяжести, архимедовой и сопротивления среды [6]:
где С
– коэффициент лобового сопротивления частицы.
С учетом, что потери давления при обтекании частицы равны отношению силы сопротивления к сечению частицы
получим из (1.79):
Таким образом, движение частицы сводится к зависимости коэффициента лобового сопротивления С
от числа Рейнольдса. В ламинарном режиме (Re 2) движение частицы описывается законом Стокса
,
в переходном (2 Re 500), –
а в турбулентном (500 Re 210
) С
практически не зависит от Re и составляет С
= 0,44.
Теплоперенос. Рассмотрим примеры описания стационарного теплопереноса в трубах и каналах (внутренняя задача) критериальными уравнениями. В этом случае общая критериальная зависимость (1.60), в пренебрежении влиянием силы тяжести, записывают в следующем виде (отсутствуют критерии Грасгофа, Фурье и гомохронности):
Конкретный вид зависимости (1.81) для ламинарного режима найден Левеком [10]:
Для труб большой длины в установившемся ламинарном режиме, при (Реd/L) 20 величина Nu стремится к постоянному значению 3,695 теоретически полученному Нуссельтом.
Для турбулентного течения в трубах (Re 10000) при отношении L/d 50 в литературе используется уравнение:
Для газов последний множитель в уравнении (1.83) равен единице и Pr зависит только от атомности газа. Так для воздуха в этом случае получим:
Для стационарного теплопереноса при обтекании тел (внешняя задача) вид зависимости (1.83) сохраняется. Так при перпендикулярном обтекании коридорных и шахматных пучков труб при Re 1000 используется уравнение:
а для обтекания шахматных пучков труб при Re 1000 применяется уравнение:
Для газов последний множитель в уравнении (1.86) равен единице и Pr зависит только от атомности газа. Для воздуха в этом случае получим:
