скачать книгу бесплатно
Общий вывод может быть всё тем же, что и для других апорий: только корректная постановка проблемы приводит к корректному решению.
Зернышко и мешок проса
Евбулид из Милета жил в IV веке до н. э. Он стремился показать ограниченность познания и чувственного восприятия явлений. Его парадокс: «Зёрнышко проса падает бесшумно. Почему мешок проса падает с шумом?»
Если одно зернышко проса падает без звука, то и сколь угодно большое количество точно таких зёрен должно падать так же, ибо сумма «беззвучности» не может создать звук.
В Интернете предложен вариант решения этой проблемы на основе, как сказано, психоакустики: «Человек слышит звуки в диапазоне частоты от 16 до 20 000 Гц. Всё, что меньше или больше, для него бесшумно.
Громкость звука зависит от эффективного звукового давления, частоты и формы колебаний. Её измеряют в сонах. 1 сон – это громкость непрерывного тона частотой 1 кГц с звуковым давлением 2 МПа. 0 сон – это порог слышимости, 1 – тихая комната, 4 – разговор, 64 – метро, а сон выше 16 384 приведёт к смерти.
Мешок проса
Каждое зерно на самом деле падает с небольшим шумом, который наше ухо не воспринимает. А когда падает много зёрен, звук особым образом складывается, и этот шум уже попадает в воспринимаемый диапазон».
Вопрос можно изменить, поставив вместо зерна пушинку или пылинку. Производят ли они какой-либо звук при падении? Не исключено, что они действительно падают беззвучно. Хотя большое количество пушинок или пылинок, соединённых воедино, упав, произведут шум.
Вряд ли суть данного парадокса Евбулида, отражающего знания и культуру того времени, сводится к проблеме психоакустики. Философ Древней Греции, конечно же, не ставил такую научную проблему. Он предложил парадокс, исходя из возможностей восприятия человека, а не акустического прибора.
Как мне представляется, Евбулид имел в виду переход количества в качество. У суммы предметов появляется новое качество по сравнению с одним таким предметом.
Свои суждения по поводу этого закона выложил в Интернете Исай Давыдов: «Всякий переход количества в качество диалектический материализм называет скачком. Абсурдность такой трактовки скачка станет ясной сразу же после того, как вы посмотрите на любой график синусоиды, который не содержит в себе никаких скачков, хотя количественные изменения аргумента периодически переходят в качественные изменения синусоидальной функции».
На это был резонный ответ: пример не корректный; никакого количественного роста у синусоиды нет, а есть идеальный цикл, который может продолжаться сколь угодно долго.
Гегель, подтверждая переход скачком количества в качество, приводил пример замерзания воды при переходе через нуль градусов по Цельсию. Она из жидкости становится твёрдым телом. При таянии льда – наоборот.
Многократно переводя воду в лёд и обратно, получаем реальный цикличный процесс. В отличие от идеальной математической синусоиды он требует определённых условий, затрат энергии.
То же относится и к парадоксу зёрнышка (пылинки) и мешка зерна (пыли). Отрешаясь от математических или логических абстракций, для реального опыта требуется, в частности, невесомый мешок для зёрен или пыли. Да и нужен ли такой опыт? (Интересен по-своему другой вопрос: почему пакет с килограммом зерна можно забросить значительно дальше, чем одно зёрнышко.)
В общем, Евбулид не ставил задачу, которую следует решать опытным путём. Его интересовал принцип перехода количества в качество: от падения одного зёрнышка (пылинки) звук равен нулю, и тогда сумма нулей тоже должна быть нулём, а в реальности это не так.
Рогоносец
Его считают одним из парадоксов Евбулида, хотя это не вполне парадокс, а скорее софизм. И его принадлежность Евбулиду вызывает сомнение: у философа был другой стиль мышления. Хотя, как знать, и философы любят пошутить.
В произведениях античных авторов, например в эпиграммах или комедиях, мне не встречались упоминания о рогоносцах (обманутых мужьях). Скорее всего, этот софизм появился в Средние века: «Что ты не потерял, ты имеешь. Рогов ты не терял. Стало быть, ты рогат».
На первую фразу ответ не может быть отрицательным. На вторую – тоже. Казалось бы, и вывод должен быть таким же.
«Рогов ты не терял…»
На это можно отреагировать так: я не потерял сундук с драгоценностями, я не потерял ключ от своего дворца, я не потерял власть над страной и многое другое, чего никогда не имел.
Тут игра слов и смыслов. Потеря предполагает отсутствие того, что тебе принадлежало. На первую фразу софизма ответ как будто бы ясен: «Да». Вторая фраза с подвохом. На неё возможен положительный ответ в том случае, если имеешь дома рога сайгака (которые у меня есть), лося или оленя.
Подвох в том, что рога предполагаются не реальные, а виртуальные, аллегорические, появившиеся из-за измен жены. Имея в виду реальные и аллегорические рога, можно ответить: «Я не мог потерять рога, потому что их у меня нет и не было».
Этот парадокс более похож на шутливый розыгрыш. Даже странно, что он считается классическим, восходящим к временам Античности.
…Как тут не вспомнить эпиграмму Александра Пушкина. Она, пожалуй, остроумней и парадоксальней, чем сомнительный софизм «Рогоносец»:
У Клариссы денег мало,
Ты богат; иди к венцу:
И богатство ей пристало,
И рога тебе к лицу.
Лжец
В одной из эпиграмм древнегреческий философ Эпименид писал: «Все критяне лжецы!» Суждение суровое, но справедливое ли? Сам он был критянином, и если сказал правду, то его утверждение ложно, ибо он как житель Крита не солгал, следовательно, не все критяне лгут. Если же он сказал неправду, то нет парадокса; в таком случае он действительно лжец, но таковы не все критяне. Поэтому Евбулид уточнил (и парадокс назвали его именем): «Человек говорит, что он лжёт. Он говорит правду или ложь?»
Если он лжёт, то говорит правду, а если говорит правду, то лжёт. Определённого вывода сделать нельзя. Это уже апория, а не парадокс. Она приводит к тупиковой ситуации.
Согласно преданию, философ Диодор Крон Диалектик поклялся не есть до тех пор, пока не решит парадокса «Лжец». Через несколько дней он умер от истощения. Учёный, грамматик и поэт Филит, уроженец острова Кос, был так увлечён этим парадоксом, что умер от недоедания, бессонницы и уныния (по другой версии, покончил с собой). Эпитафия на его могиле:
О странник! Я Филит Косский,
И это Лжец привёл к моей смерти,
И бессонные ночи из-за него.
Аристотель предложил такое решение: «Ничто не мешает, чтобы один и тот же вообще-то говорил неправду, а в каком-то отношении и о чём-то говорил правду или чтобы в чём-то он был правдив, а вообще-то неправдив».
Это похоже на анализ более упрощённого варианта парадокса. Предполагается, что лжец не уточняет, когда он говорит неправду: только в данный момент или часто, но не всегда.
Несправедливо оболганные критяне
Математик и философ ХХ века Бертран Рассел писал по поводу парадокса Эпименида: «Это древняя загадка, к которой никто не относился более чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего кардинального или ординального числа».
Мы не будем пытаться вникать в теорию множеств, а поверим Расселу на слово. Но учтём: он «подкорректировал» высказывание Эпименида, утверждая, что его выражение «все критяне лгуны» имеет смысл, только если в класс «все критяне» философ не включил себя самого.
О таком произвольном допущении не упоминали ни Эпименид, ни его последователи. Оно применимо только к математической теории множеств. Цифры не могут лгать, в отличие от людей. А в парадоксе речь идёт именно о людях.
Представляется такая ситуация. Пока Эпименид находился на Крите, он был лжецом, как все его земляки, не желая выделяться из общей массы. Покинув родной остров, он с полным основанием мог сказать правду, что все критяне, живущие на Крите, лгуны.
Приходит на ум ситуация с тайными диссидентами, которые, находясь в своей стране, прославляли её государственную систему. Но как только эмигрировали, стали отзываться о ней как об империи зла и лжи. Это похоже на вариант Рассела.
Однако учёный имел в виду множества чисел. Для операций с ними достаточно использовать логику. С людьми не так просто и ясно. Политическому эмигранту выгодно охаивать свою родину. Если прежде он подчёркивал её достоинства, то теперь будет свирепо обличать её недостатки, даже такие, каких у неё нет…
В Интернете приведены пространные рассуждения по поводу парадокса Эпименида, исходящие из разного толкования понятий, входящих в предложение «Все критяне лгуны». Возникают разные варианты. Можно предположить, что речь идёт о данном конкретном моменте, а в прошлом и будущем не все критяне были или будут лгунами.
Другая уловка связана с толкованием понятия «лгун». Так можно назвать человека, который чаще всего лжёт, но в некоторых случаях может сказать правду. Потому что в случае, когда все критяне никогда не говорят правду, а только лгут, есть способ избавить остров от лжецов.
Того, кто всегда, при любых обстоятельствах лжёт, следует спросить: «Вы хотите, чтобы вам отрубили голову?» Он по своему обыкновению солжёт: «Да!» И одним лгуном на свете станет меньше. Этот вопрос можно задавать всем лжецам-критянам, и на острове не останется аборигенов…
Один из авторов Интернета пишет: «Точкой ошибки в рассуждении всегда было то, что Эпименида причисляли к тем, кто лжёт, если все критяне лгут. Но если все остальные критяне и лгут, это не значит, что Эпименид тоже лжёт, как и наоборот. Эпименид не сказал, что все критяне всегда могут только лгать, а это значит, что любой критянин потенциально (как и любой человек вообще) может сказать истину, правду, даже если никогда этого не делал или делал редко».
Подобные толкования уводят далеко от проблемы. Нетрудно и вовсе избавиться от парадокса, потребовав убедительного доказательства утверждения, будто все без исключения критяне лгуны. Выяснится, что такое утверждение голословно, и доказать его в принципе невозможно по разным причинам. Однако это то же, что сказать: в такую игру по таким правилам я не буду играть.
Парадокс Эпименида можно представить в более реальном виде. Отец семейства, состоящего из пяти человек, утверждает: «В нашей семье все лгуны, никому нельзя доверять». Это разумнее всего считать ложью, ибо в семье вполне может быть человек, говорящий правду. И тогда следует поинтересоваться, по какой причине отец семейства сделал такое заявление.
Парадокс лжеца в наиболее упрощённом виде представляется таким. Некто утверждает: «Я всегда лгу». Если он действительно всегда лжёт, значит, он сказал правду, но это противоречит его же словам, что он всегда лжёт. Если же он и на этот раз солгал, выходит, он не всегда лжёт, а порой говорит правду,
Другой вариант: «Я никогда не говорю правду». Путь рассуждений тот же. Если это утверждение верно, значит, и на этот раз он солгал, но тем самым сказал правду, что противоречит его утверждению. Получается замкнутый логический круг. В его пределах сделать непротиворечивый вывод невозможно. Требуются дополнительные уточнения.
Надо иметь в виду, что утверждение потенциального лжеца обращено к конкретному человеку (или к аудитории). Тогда на его заявление можно ответить:
– Да, это правда, вы – лжец, и сами признались в этом, единственный раз именно сейчас сказав правду.
Или другой ответ:
– Нет, вы солгали, потому что в некоторых случаях, но только не сейчас, вы говорите правду.
Оба ответа логичны; не имея возможности выбрать одно из них, рискуешь оказаться в положении «Буриданова осла» (о нём разговор особый). Тогда вновь придётся выйти из пределов нового замкнутого круга и решать, как правильней оценить человека, сделавшего такое двусмысленное заявление.
Этот человек может запутать проблему, добавив после признания во лжи: «Сказав, что я лжец, я сказал неправду». Или так: «Сказав, что я лжец, я сказал правду». Тут есть над чем подумать.
Слова Сальери из «Маленьких трагедий» Пушкина:
Все говорят: нет правды на земле.
Но правды нет и выше. Для меня
Так это ясно, как простая гамма.
Здесь тот же парадокс лжеца. Если правды нет нигде, то слова Сальери – ложь. Значит, правда есть, хоть и лжецов – не счесть.
Парадокс кучи
Его предложил (или первым сформулировал) Евбулид.
Песчинка не может являться кучей – это очевидно. Куча является некоторым количеством песчинок (вещей, предметов). Две частички также нельзя назвать кучей. Куча – это совокупность нескольких объектов и значительно больше двух.
Добавляя по одной песчинке, когда мы получим кучу песка?
Если несколько песчинок, которые не образуют кучу, ничего существенно не изменится, если к ним прибавить ещё одну песчинку. Затем к этой группе добавим ещё одну песчинку, и снова ничего, по сути, не изменится.
Так можно продолжать сколь угодно долго. Когда же настанет тот момент, когда добавление одной песчинки создаст то, что называют кучей песка?
Добавление одной частицы к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. Если принять эту предпосылку, никакая совокупность из сколь угодно большого количества песчинок не будет называться кучей, что противоречит бесспорному представлению о существовании кучи песка.
Н.И. Калиниченко постарался доказать, что никакого парадокса «кучи» нет: «Витая в заоблачных высотах формалистики, учёные не видят, что все их научные, предельно абстрагированные и точные понятия и представления взяты из естественного языка, но лишены своих исконных значений и снабжены чисто субъективными определениями, содержащими пределы осведомлённости их авторов. Именно поэтому куча оказалась нечётким множеством, которое изучает целая теория нечётких множеств, а вся современная наука, состоящая из определений, субъективна.
…Даже математик догадается, что куча – это трёхмерное образование. А он ведь знает, что для изображения трёхмерного образования в пространстве нужно не менее четырёх точек, не лежащих в одной плоскости. То есть в принципе математик может сообразить, что и мириады зёрен или камней могут не образовать кучи, если их расстелить тонюсеньким слоем. Но если из четырёх камней или зёрен сложить пирамидку, то это уже будет куча. И что же здесь нечётко? И в чём здесь парадокс?»
Когда же совокупность песчинок превращается в кучу?
Данный автор предлагает своё чёткое определение «кучи». Хотя суть парадокса именно в неопределённости. Пирамидку из четырёх песчинок никто не назовёт кучей. С таким же успехом можно условиться называть кучей груду из более 1934 песчинок.
В том-то и проблема, что речь идёт о совокупности объектов, которых нельзя точно сосчитать. В противном случае так и скажут, например, – «пять песчинок». Будет их немного больше, скажут – «несколько».
Куча предполагает, что эти «несколько» образуют нечто подобное горке, бесформенную груду предметов. Именно неопределённость термина приводит к парадоксу.
Британский философ, логик, академик Тимоти Уильямсон весьма обстоятельно изложил суть вопроса: «Не было бы никаких проблем, если бы у нас было понятное, точное определение слова “куча”. Беда в том, что у нас нет такого определения. Значение слова “куча” является неясным. Нет чёткой разницы между соединёнными песчинками и песчинками, не образующими единства. По большому счёту это не имеет значения. Мы достаточно хорошо справляемся, используя слово “куча” на основе случайных впечатлений. Но если местный совет призывает вас к ответственности за сброс кучи песка в общественном месте, а вы отрицаете, что это была куча, и вас заставляют заплатить большой штраф, то исход дела может зависеть от значения слова “куча”.
Более важные правовые и нравственные вопросы также связаны с неопределённостью. Например, в процессе развития человека от зачатия до рождения и зрелости, когда появляется личность? В процессе смерти мозга, когда человек перестаёт существовать? Эти вопросы имеют большое значение для дозволенности медицинского вмешательства, таких как аборт и выключение жизнеобеспечения. Для того чтобы рассуждать о них должным образом, мы должны уметь правильно говорить о таких неопределённых словах, как человек.
Такие парадоксы кажутся тривиальными словесными фокусами. Но чем более строго философы изучали их, тем глубже и сложнее они казались. Такие парадоксы вызывают сомнения относительно базовых логических принципов».
Проще всего считать утверждение либо истинным, либо ложным (бивалентным), по принципу «да» или «нет». Нечёткая логика предполагает возможность разной степени ложности или истинности. Например, как в замечательной сказке Алексея Толстого «Золотой ключик, или Приключения Буратино»:
Сова приложила ухо к груди Буратино.
– Пациент скорее мёртв, чем жив, – прошептала она и отвернула голову назад на сто восемьдесят градусов.
Жаба долго мяла влажной лапой Буратино. Раздумывая, глядела выпученными глазами сразу в разные стороны. Прошлепала большим ртом:
– Пациент скорее жив, чем мёртв…
Народный лекарь Богомол сухими, как травинки, руками начал дотрагиваться до Буратино.
– Одно из двух, – прошелестел он, – или пациент жив, или он умер. Если он жив – он останется жив или он не останется жив. Если он мёртв – его можно оживить или нельзя оживить.
Как видим, народный лекарь был приверженцем классической бивалентной логики. Однако продолжим цитировать Тимоти Уильямсона: «Есть много других сложных предложений по пересмотру логики для согласования с неопределённостью. Моё личное мнение таково, что все они пытаются исправить что-то, что на самом деле было сломано. Стандартная логика с бивалентностью и исключённым средним хорошо проверена, проста и мощна. Неопределённость – это не проблема логики. Утверждение может быть правдой – без вашего понимания того, что это правда. На самом деле есть стадия, когда у вас имеется куча, вы вытаскиваете из неё песчинку – и вот уже кучи нет. Беда в том, что у вас нет никакого способа распознавания этой стадии, момента, когда она наступает, так как вы не знаете, в какой именно момент это происходит.
Такое неопределённое слово, как “куча”, используется настолько свободно, что любая попытка найти его точные границы не находит твёрдого и надёжного основания, которое позволило бы идти дальше. Несмотря на то, что язык – это человеческий конструкт, это не делает его прозрачным для нас. Подобно детям, которых мы рождаем, значения, которые мы создаём, могут иметь секреты от нас. К счастью, не всё держится от нас в тайне. Часто мы знаем, что есть куча, часто мы знаем, что не одна. Иногда мы не знаем, есть она или нет. Но никто никогда не давал нам право знать всё».
Насколько я понял, есть не только неопределённость терминов, но и неопределённость знаний. А знать нам хотелось бы всё, что можно узнать. Но меня удивляет многословие почтенного учёного. И то, что куча не одна, возможно, следует понимать как тонкий английский юмор с тонким душком…
Из многих толкований данного парадокса наиболее очевидное таково. Концепция кучи является нечёткой; нет определённого числа, которое бы обозначало отличие между кучами и не кучами. Несколько песчинок или горсть песка никто не назовёт кучей, а небольшую группу песчинок обычно определяют понятием «несколько».
Когда речь идёт о достаточно большом количестве песчинок (многих тысячах), одна песчинка слишком ничтожна, чтобы служить критерием перехода, скажем, от горсти песка к куче.
Возникает проблема, которую, если я не ошибаюсь, не заметили логики, математики, философы. Это проблема переходной зоны. Там, где речь идёт о большом количестве частиц (объектов), одна или две, три теряются в общей массе. Есть смысл выделять некоторое количество (приблизительно), зависящее от общего числа, добавление которого существенно повлияет на то, возникнет ли куча.
Продолжим обсуждение в следующем очерке.
Лысый
По-видимому, Евбулиду принадлежит «парадокс лысого» – негативный вариант «парадокса кучи»: «Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»
У людей в среднем приблизительно 100 000 волос на голове. Если человек ежедневно будет терять по волосинке, а новые волосы не вырастут, когда он полысеет?
Бесспорный ответ невозможен по трём причинам.
• Нет точного определения, кого следует считать лысым. Если иметь в виду того, у кого мало волос на голове, то надо определить, какое количество волос предполагает слово «мало».
• Лысины бывают разными. Когда у человека, например, лысая верхняя часть черепа или проплешина на затылке, в остальном у него может быть больше волос, чем у того, на голове которого волосы распространены равномерно, но редко.
Когда лысина становится лысиной?
