Фотонно-стимулированные технологические процессы микро– и нанотехнологии

скачать книгу бесплатно


Рис. 3. Распределение интенсивности лазерного излучения по пятну эллиптической формы

Введём характеристический радиус r

и параметр эксцентриситета ?

Уравнение теплопроводности может быть записано как

где первый член описывает изменение температуры Т во времени t, второй член описывает пространственное распределение Т, а третий является функцией теплового источника. Параметр К(Т) представляет собой коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры, его размерность Вт/см·К.

Используя преобразование Кирхгофа

можно записать уравнение теплопроводности:

Для расчёта температуры в подложке при сканировании лазерного луча удобно использовать подвижные координаты: x’=x+?t. Однако далее будем использовать для удобства переменную х вместо х’, подразумевая её подвижной. В этом случае уравнение теплопроводности преобразуется к виду

Считая, что лазерное излучение полностью поглощается в тонком приповерхностном слое, функция источника имеет вид

Множитель 2 показывает, что рассматривается полубесконечное пространство. Общее решение уравнения (23), полученное методом функции Грина, имеет вид где

Координаты в этом выражении нормируются на характеристический радиус:

Зависимость T(?) находится из преобразования Кирхгофа. Полученное соотношение является нелинейным, поэтому расчёт ? должен быть проведён итерационным методом. Однако при ? = 0 нелинейность исчезает, и температуру можно найти непосредственно прямым методом. При ? = 0 выражение (25) можно представить как произведение максимальной температуры (?) в центре лазерного пятна на нормализованную функцию, определяющую вид температурного профиля по трём направлениям

где

Профили ? вдоль осей X, Y и Z, полученные по выражению (31) для подвижного луча, показаны на рис. 4 для ? = 1. Расчёты показывают, что для луча диаметром 40 мкм распределение температуры до глубины 1 мкм, внутри которой формируются элементы ИС, практически однородно. Зависимости K(T) и ?(T) для кремния хорошо аппроксимируются выражениями [19]

Рис. 4. Распределение относительной температуры вдоль нормированных координат при лазерном нагреве: 1 – Х, Y; 2 – Z

Это позволяет получить аналитическую зависимость

где Т

– температура подложки до лазерного облучения.

Для неподвижного пятна Т может быть выражено через Р и Т

следующим образом:

На рис. 5 показана зависимость максимальной температуры для неподвижного пятна при ? = 1 как функция от Р. При скорости сканирования, отличной от нуля, ? зависит от параметров материала подложки, а также размеров пятна. Расчёт ? требует одновременного определения Т, поскольку ? = ?(?(?(T))) и T = T(?).

Рис. 5. Зависимость максимальной температуры в центре пятна от нормированной мощности лазерного излучения

«Истинная» температура (Т) может быть определена итерационным способом. На рис. 6 показаны температурные профили вдоль оси х при сканировании с различными скоростями.

Рис. 6. Распределение температуры в кремниевой подложке вдоль направления сканирования луча с различной скоростью (Р = 4 Вт, r = 20 мкм, Т