Среднее и медиана. 16 задач с решениями

Глеб Зайцев

Среднее и медиана. 16 задач с решениями

Перед началом

Зачем здесь задачи, а не пересказ правила

В теме «среднее и медиана» ошибка часто появляется не из-за сложной арифметики, а из-за неправильно прочитанного условия. Поэтому каждая глава начинается с маленькой ситуации и вопроса: что именно требуется найти и какие данные действительно участвуют в ответе.

Мы работаем с областью «короткие наборы данных» на коротких учебных примерах. Числа подобраны так, чтобы ход решения был виден без калькулятора, но при этом оставались ловушки: неверная база, лишний показатель, перепутанный порядок или слишком ранний вывод.

Задачи не копируют чужие учебники и не обещают оценку на контрольной. Это самостоятельный практикум: понять условие, записать модель, сделать вычисление, проверить смысл ответа и увидеть типичную ошибку.

Как читать решение

Сначала попробуйте решить задачу самостоятельно. Если ответ не находится, прочитайте только раздел «Метод»: он подсказывает направление, но не заменяет решение.

Затем сравните не только последнюю строку, но и рассуждение. Совпавшее число ещё не доказывает, что способ был правильным: иногда две ошибки случайно дают красивый результат.

После основной задачи выполните самостоятельную. Она похожа по приёму, но не является простой заменой имени или одного числа. Цель — перенести способ на соседнюю ситуацию.

Маршрут по задачам

1. Оценки за неделю: среднее и медиана

2. Время решения: среднее и медиана

3. Заказы по дням: среднее и медиана

4. Температура: среднее и медиана

5. Ошибки в тестах: среднее и медиана

6. Страницы чтения: среднее и медиана

7. Баллы команды: среднее и медиана

8. Расходы: среднее и медиана

9. Посещения: среднее и медиана

10. Вес посылок: среднее и медиана

11. Звонки: среднее и медиана

12. Скорость печати: среднее и медиана

13. Количество задач: среднее и медиана

14. Цены: среднее и медиана

15. Очки в игре: среднее и медиана

16. Время доставки: среднее и медиана

Задачи и решения

Задача 1. Оценки за неделю: среднее и медиана

Ситуация

Дан учебный набор из пяти значений для показателя «оценки за неделю»: 4, 5, 3, 5, 4. Нужно сравнить среднее, медиану и разброс, не превращая одно число в полное описание ряда.

Вопрос

Найдите среднее значение, медиану и разброс. Объясните, чем эти три ответа отличаются по смыслу.

Метод

Среднее получается из суммы всех значений, делённой на количество значений. Медиана получается после сортировки и выбора центрального элемента.

Разброс — это разница между максимумом и минимумом. Он не заменяет среднее, а показывает, насколько далеко расходятся крайние значения.

Ответ

Среднее равно 4,2, медиана равна 4, разброс равен 2.

Рассуждение

Складываем все значения: 4 + 5 + 3 + 5 + 4 = 21. Делим на 5 и получаем среднее 4,2.

Для медианы сортируем ряд: 3, 4, 4, 5, 5. Центральное третье значение равно 4.

Разброс считаем по крайним значениям: максимум 5, минимум 3, разница 2. Эти числа отвечают на разные вопросы, поэтому их нельзя подменять друг другом.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — брать центральное число без сортировки или считать медиану как среднее. Если ряд не отсортирован, середина записи может не быть серединой данных.

Самостоятельная задача

Повторите расчёт для набора: 6, 7, 5, 7, 6. Найдите среднее, медиану и разброс.

Решение самостоятельной задачи

Сначала сложите все пять значений и разделите сумму на 5, чтобы получить среднее.

Затем отсортируйте ряд для медианы и отдельно сравните максимум с минимумом для разброса.

Ответ к самостоятельной задаче

Среднее увеличится на 2 и станет 6,2, медиана станет 6, разброс останется 2.

Главная мысль

Среднее, медиана и разброс — три разных взгляда на один набор данных. Хороший ответ не только считает числа, но и говорит, что именно каждое число описывает.

Задача 2. Время решения: среднее и медиана

Ситуация

Дан учебный набор из пяти значений для показателя «время решения»: 12, 9, 15, 10, 14. Нужно сравнить среднее, медиану и разброс, не превращая одно число в полное описание ряда.

Вопрос

Найдите среднее значение, медиану и разброс. Объясните, чем эти три ответа отличаются по смыслу.

Метод

Среднее получается из суммы всех значений, делённой на количество значений. Медиана получается после сортировки и выбора центрального элемента.

Разброс — это разница между максимумом и минимумом. Он не заменяет среднее, а показывает, насколько далеко расходятся крайние значения.

Ответ

Среднее равно 12, медиана равна 12, разброс равен 6.

Рассуждение

Складываем все значения: 12 + 9 + 15 + 10 + 14 = 60. Делим на 5 и получаем среднее 12.

Для медианы сортируем ряд: 9, 10, 12, 14, 15. Центральное третье значение равно 12.

Разброс считаем по крайним значениям: максимум 15, минимум 9, разница 6. Эти числа отвечают на разные вопросы, поэтому их нельзя подменять друг другом.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — брать центральное число без сортировки или считать медиану как среднее. Если ряд не отсортирован, середина записи может не быть серединой данных.

Самостоятельная задача

Повторите расчёт для набора: 14, 11, 17, 12, 16. Найдите среднее, медиану и разброс.

Решение самостоятельной задачи

Сначала сложите все пять значений и разделите сумму на 5, чтобы получить среднее.

Затем отсортируйте ряд для медианы и отдельно сравните максимум с минимумом для разброса.

Ответ к самостоятельной задаче

Среднее увеличится на 2 и станет 14, медиана станет 14, разброс останется 6.

Главная мысль

Среднее, медиана и разброс — три разных взгляда на один набор данных. Хороший ответ не только считает числа, но и говорит, что именно каждое число описывает.

Задача 3. Заказы по дням: среднее и медиана

Ситуация

Дан учебный набор из пяти значений для показателя «заказы по дням»: 3, 8, 5, 9, 5. Нужно сравнить среднее, медиану и разброс, не превращая одно число в полное описание ряда.

Вопрос

Найдите среднее значение, медиану и разброс. Объясните, чем эти три ответа отличаются по смыслу.

Метод

Среднее получается из суммы всех значений, делённой на количество значений. Медиана получается после сортировки и выбора центрального элемента.

Разброс — это разница между максимумом и минимумом. Он не заменяет среднее, а показывает, насколько далеко расходятся крайние значения.

Ответ

Среднее равно 6, медиана равна 5, разброс равен 6.

Рассуждение

Складываем все значения: 3 + 8 + 5 + 9 + 5 = 30. Делим на 5 и получаем среднее 6.

Для медианы сортируем ряд: 3, 5, 5, 8, 9. Центральное третье значение равно 5.

Разброс считаем по крайним значениям: максимум 9, минимум 3, разница 6. Эти числа отвечают на разные вопросы, поэтому их нельзя подменять друг другом.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — брать центральное число без сортировки или считать медиану как среднее. Если ряд не отсортирован, середина записи может не быть серединой данных.