Теория вероятностей.

Василиса Волконская

Теория вероятностей.

Содержание:

1) Размещения; сочетания и перестановки.

2) Случайные события.

3) Сложение, произведение и разность событий.

4) Другие правила теории вероятностей.

4. 1 Зависимые и независимые события.

4. 2 Классическое определение вероятности.

4. 3 Вероятность суммы несовместных событий.

4. 4 Условная вероятность.

4. 5 Умножение зависимых вероятностей.

4. 6 Умножение независимых совместных событий.

4. 7 Вероятность суммы совместных событий.

5) Аксиомы вероятности.

6) Основные свойства вероятностей.

7) Формула полной вероятности.

8) Формула Байеса.

9) Примеры решения задач.

9. 1 Пример на формулу полной вероятности и формулу Байеса.

9. 2 Примеры на сложение и умножение событий.

10) Словесные обозначения знаков, которые могут попасться в задачах.

11) Задачи с монетой.

12) Задачи с не равновозможными событиями.

13) Задачи на зависимые события.

14) Задачи на вынимание шаров.

Теория вероятностей.

1)) Размещения; сочетания и перестановки.

1. Размещения.

Если комбинации из n элементов по m элементам отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения, либо тем и другим, то такие комбинации называются размещениями из n элементов по m элементам.

2. Сочетания.

Если комбинации из n элементов по m алиментам отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m элементам.

3. Перестановки.

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов.

Размещения и сочетания с повторениями.

4. Размещения с повторениями.

Если в размещениях из n элементов по m элементам некоторые из элементов повторяются или оказались одинаковыми, то такие размещения называются размещениями с повторениями из n элементов по m элементам.

5. Сочетания с повторениями.

Если в сочетаниях из n элементов по m элементам некоторые из элементов или все, могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n элементов по m элементам.

6. Перестановки с повторениями.

Если в перестановках из общего числа из n элементов, есть k различных элементов, при этом первый элемент повторяется n1 раз, второй элемент повторяется n2 раза и k - тый элемент повторяется k раз, то такие перестановки называются перестановками с повторениями из n элементов.

Pn (n1, n2, … nk) = n! / n1! n2! … nk!

2)) Случайные события.

Событие - это результат какого-либо опыта или испытания.

Опытом или испытанием называется всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Случайным событием называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдёт в опыте или испытании.

Невозможным событием называют событие, которое в опыте или испытании произойти не может.

Обозначается оно ∅

Совместными событиями называются события, если появление одного события в данном опыте не исключает появления другого события в этом опыте (испытании).

Несовместными событиями называются события, если они не могут произойти вместе, при одном и том же испытании.

Противоположными событиями называют события, если при появлении одного из них равносильно не появлению другого события.

Равновозможными событиями называются события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другое.

3)) Сложение, произведение и разность событий.

Суммой или объединением событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведением или пересечением событий называется событие состоящее в одновременном появлении всех событий.

Разностью двух событий называется событие, которое означает, что если наступило одно событие, то другое наступить не может.

A - одно событие.

B - другое событие.

C = A / B = A - B

Разность событий A и B событие C.

4)) Другие правила теории вероятностей.

4. 1 Зависимые и независимые события.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.

Два события называются зависимыми, если появление одного из них меняет вероятность наступления другого.

4. 2 Классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов на число всех исходов.

Р (А) = m / n

A - событие.

P (A) - вероятность события.

m - число благоприятных исходов.

n - число всех исходов.

4. 3 Вероятность суммы несовместных событий.

Теорема о сложении вероятностей от несовместных событий.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P (A1 + A2 + … + А n) = P (A1) + P (A2) + … + P (An)

А1, А2, … An - несовместные события.

P (А1), P (А2), P (An) - вероятности несовместных событий.

Следствие 1 из теоремы о сложении вероятностей.

Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице.

P (A1) + P (A2) + … + P (An) = 1

А1, А2, … An - единственно возможные и несовместные события.

Следствие 2 из теоремы о сложении вероятностей.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Р (А) + P (А͞) = 1

А - событие, несовместное.

A͞ - противоположное событие, несовместное.

P (A) - вероятность события, несовместного.

P (A͞) - вероятность противоположного события, несовместного.

4. 4 Условная вероятность.

Вероятность события B найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B.

Обозначается условная вероятность P (A / B) или P A (B)

4. 5 Умножение зависимых вероятностей.

Два события называются зависимыми, если появление одного из них меняет вероятность наступления другого.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

P (A × B) = P (A) × P (B / A)

Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других событий.

P (A1 × A2 × … × An) = P (A1) × P (A2 / A1) × P (A3 / A2 / A1) × P (An / A n-1 / … / A1)

При условии, что вероятность каждого следующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

4. 6 Умножение независимых совместных событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность наступления другого события.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P (A × B) = P (A) × P (B)

P (A1 × A2 × … × An) = P (A1) × P (A2) × … × P (An)

4. 7 Вероятность суммы совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, без вероятности их произведения.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A × B)

Вероятность суммы нескольких совместных событий, равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий.

A1, A2, … An - совместные события.

A͞1, A͞2, … A͞n - противоположные совместные события.

P (A1 + A2 + … + An) = 1 - P (A͞1 × A͞2 × … × A͞n)

5)) Сформулируем аксиомы вероятности.

Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательства.

1. Вероятность любого события не отрицательна.

P (A) ≥ 0

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P (A1 + A2 + … + An) = P (A1) + P (A2) + … + P (An)

4. Произведение событий - это пересечение.

У несовместных событий их при пересечении получается пустое множество.

A1 × A2 × … × An = ∅

6)) Основные свойства вероятностей.

1. Противоположное событие равно разности единицы и исходного события.

P (A͞) = 1 - P (A)

2. Вероятность от невозможного события равна нулю.

P (∅) = 0

∅ - невозможное событие.

3. Вероятность события не меньше нуля и не больше единицы.

0 ≤ P (A) ≤ 1

4. Если событие A влечёт за собой событие B, то вероятность события А не больше вероятности события B.

P (A) ≤ P (B)

5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A × B)

A, B - совместные события.

6. Сумма вероятностей несовместных событий не больше суммы вероятностей этих событий.

P (A + B) ≤ P (A) + P (B)

A, B - не совместные события.

7. Условная вероятность события B относительно события А, есть отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А.

P (B / A) = P (A × B) / P (A)

Если P (A) ≠ 0

7)) Формула полной вероятности. Если события несовместны и зависимы.

Рассмотрим формулу для двух событий, несовместных и зависимых и образующих полную группу.

То есть эти события противоположны.

A противоположно B.

Теорема.

Если событие H может произойти только при условии появления одного из событий A1, A2, … An, образующих полную группу, то вероятность события H равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события H.

P (H) = ∑ P (Ai) × P (H / Ai)

Аi - это обозначение какой-либо вероятности.

8)) Формула Байеса.

Запишем её для двух вероятностей P(А) и P (B), которые составляют полную группу.

То есть они противоположны.

А противоположно B.

P (H / А) = P (A) × P (H / A) / P (H)

P (H / B) = P (B) × P (H / B) / P (H)

P (H) = P (A) × P (H / A) + P (B) × P (H / B)

Или можно записать эту формулу для более чем двух событий.

P (H / Аi) = P (Ai) × P (H / Ai) / ∑ P (Ai) × P (H / Ai)

Ai - это все зависимые вероятности составляющие полную группу.

9)) Примеры решения задач.

9. 1 Пример на формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Пример 1.

В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков.

Вероятность того, что телевизор поступил от каждого поставщика p1 = 0,1; p2 = 0, 4; p3 = 0, 5 соответственно.

Практика показала, что не потребуется ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%; 88%; 92% случаях.

Дано:

p1 = 0, 1

p2 = 0, 4

p3 = 0, 5

q1 = 98% = 0, 98

q2 = 88% = 0, 88

q3 = 92% = 0, 92

Найти:

1. Вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта.

2. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока.

Решение:

Посмотрим, образуют ли полную группу телевизоры поступившие в продажу от трёх фирм.

Сложим вероятности поступления телевизоров от трёх фирм.

0, 1 + 0, 4 + 0, 5 = 1

1 = 1

Сумма вероятностей равна единице. Значит, они образуют полную группу.

Можно применить формулу полной вероятности.

P (H) = P (A) × P (H / A) + P (B) × P (H / B) + P (С) × P (H / С)

A, B, C - это события, при которых поступили телевизоры из трёх разных фирм.

A - телевизор поступил из первой фирмы.

B - телевизор поступил из второй фирмы.

C - телевизор поступил из третьей фирмы.

P (A) - вероятность поступления телевизора из первой фирмы.

P (B) - вероятность поступления телевизора из второй фирмы.

P (C) - вероятность поступления телевизора из третьей фирмы.

H - событие, при котором телевизор не потребует ремонта.

P (H) - вероятность, что телевизор не будет ремонтироваться.

P (H / A) = q1 - вероятность того, что телевизор не потребует ремонта из первой фирмы.

P (H / B) = q2 - вероятность того, что телевизор не потребует ремонта из второй фирмы.