Сложные проценты

Василиса Волконская

Сложные проценты

Содержание:

1) Арифметическая и геометрическая прогрессии.

2) Вывод формулы сложных процентов.

3) Примеры решения задач на сложные проценты.

4) Формулы для решения задач на сложные проценты.

5) Примеры решения задач.

6) Формула для нахождения суммы.

7) Примеры решения задач на выведенные формулы.

8) Все формулы на банковские сложные проценты.

Прогрессии и сложные проценты.

1)) Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число аn, то говорят, что задана числовая последовательность.

a1, a2, a3, … a n …

Числовая последовательность - это пронумерованный ряд чисел.

а n = f (n); n ϵ N

Некоторые последовательности задаются функциями с натуральным аргументом.

Прогрессии - это особые виды последовательностей.

Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (называемым разностью арифметической прогрессии).

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый её член, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q, отличное от нуля (называемое знаменателем геометрической прогрессии).

Эти последовательности очень широко применяются.

Например, при помощи геометрической прогрессии можно вычислять сложные проценты.

Запишем основные формулы для этих прогрессий (последовательностей).

2)) Вывод формулы сложных процентов.

Сложные проценты - это проценты, начисляемые через определённый промежуток времени, на срок больший, чем эти промежутки времени.

Сложные проценты вычисляются по формуле геометрической прогрессии (её общего члена и суммы).

Например, задачи на вклады в банк.

На сумму, которую мы берём или кладём, начисляются проценты.

а - сумма положенная (взятая) в банке.

p - количество процентов начисляемых на эту сумму.

За первый промежуток времени (год, месяц, день) к сумме прибавляется процент от суммы.

Процент от суммы вычисляется, как обычный проценты от числа.

а × p / 100 %

Число умножить на количество процентов и поделить на 100.

Число c начисленными процентами, равно сумме этого числа и процентов начисленных (взятых) от этого числа.

а + а p / 100 = a (1 + p / 100)

За второй промежуток времени (год, месяц, день) на полученное число опять начисляются проценты.

Найдём процент на эту сумму.

Число нужно умножить на количество процентов и поделить на 100.

a (1 + p / 100) × p / 100

Найдём число с процентами, начисленными на полученное число с процентами, начисленными за предыдущий период.

К числу нужно прибавить проценты от этого числа.

a (1 + p / 100) + a (1 + p / 100) × p / 100 = a ((1 + p / 100) + p / 100 × (1 + p / 100)) =

Вынесем общий множитель за скобку.

a ((1 + p / 100) (1 + p / 100)) = a (1 + p / 100) ²

За третий промежуток времени (год, месяц, день) на полученное число опять начисляются проценты.

Найдём процент на это число (сумму).

Число умножим на количество процентов и поделим на 100.

a (1 + p / 100) ² × p / 100

Найдём число с процентами, ещё начисленными на полученное число, при начислении процентов в предыдущие промежутки времени.

Прибавим к числу процент от этого числа.

= a (1 + p / 100) ² + a (1 + p / 100) ² × p / 100 =

Вынесем а за скобку.

= a ((1 + p / 100) ² + (1 + p / 100) ² × p / 100) =

Вынесем общий множитель за скобку.

= a (1 + p / 100) ² (1 + p / 100) = a (1 + p / 100) ³

Теперь можно заметить закономерность.

Степень за скобкой всё время увеличивается на единицу.

bn = a (1 + p /100) ⁿ

Первоначальная сумма.

Сумма, которую мы получаем при начислении сложных процентов - это член геометрической прогрессии.

Выражение в скобках - это знаменатель геометрической прогрессии.

1 + p / 100 = q

n - номер члена геометрической прогрессии.

(1 + p / 100)

Это количество процентов, которое начисляются на первоначальную сумму.

Число, которое обозначается за знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - это ряд чисел, который имеет свой порядковый номер n.

bn = b1 q ⁿ⁻¹

Это формула вычисления каждого члена геометрической прогрессии.

В нашем случае, каждый член геометрической прогрессии обозначает сумму с начисленными процентами.

За сколько равных промежутков времени (лет, месяцев, дней), сколько показывает номер члена этой прогрессии.

q = (1 + p / 100)

Обозначает количество процентов, которые мы каждый промежуток времени начисляем.

n - количество равных промежутков времени (лет, месяцев, дней).

Теперь найдём первый член геометрической прогрессии b1.

bn = a (1 + p / 100) ⁿ

Чтобы найти первый член геометрической прогрессии b1, нужно привести наше выражение к виду:

bn = b1 q ⁿ⁻¹

Для этого к n прибавим единицу и тут же вычтем её, чтобы ничего не изменилось.

bn = a (1 + p / 100) ⁿ⁺¹⁻¹

По формуле числа в степени суммы, получим.

bn = a (1 + p / 100) ⁿ⁻¹ (1 + p / 100)

bn = a (1 + p / 100) (1 + p / 100) ⁿ⁻¹

Вот теперь мы привели формулу к стандартному виду. И в ней видно чему равен первый член b1.

b1 = a (1 + p / 100)

q = (1 + p / 100)

Теперь можно вывести формулу суммы всех членов нашей геометрической прогрессии.

Формулу суммы, которая получится при сложении всех чисел (сумм), которые получились при начислении сложных процентов за каждый период времени.

Запишем формулы суммы геометрической прогрессии.

Sn = b1 (1 - q ⁿ) / (1 - q)

Sn = (bn q - b1) / (q - 1)

Подставим наши выражения в первую формулу.

Sn = (a (1 + p / 100) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)) / (1 - (1 + p / 100))

Упростим полученное выражение.

Sn = (a (1 + p / 100) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)) / (1 - 1 + p / 100)

Sn = (a (1 + p / 100) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)) / (p / 100)

Sn = 100 a (1 + p / 100) (1 - (1 + p / 100) ⁿ) / p

Sn = a / p ((100 + p) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)

Sn = (100 a / p + a) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)

Sn = a ((1 + 100 / p) (1 - (1 + p / 100) ⁿ)

Теперь запишем все формулы, которые мы вывели.

b1 = a (1 + p / 100)

Это сумма с процентами, начисленными за первый период времени (первый год, месяц, день).

q = (1 + p / 100)

Это количество процентов, которые начисляются на сумму каждый период времени (год, месяц, день).

n - количество периодов времени (лет, месяцев, дней).

bn = a (1 + p / 100) ⁿ

Сумма, которая получилась в определённый период времени (год, месяц, день) за каждый период времени.

Sn = a ((1 + 100 / p) (1 - (1 + p / 100) ⁿ))

Сумма (число), которое получилось за n периодов времени (лет, месяцев, дней).

а - первоначальная сумма

p - процент начисления на сумму.

3)) Примеры решения задач на сложные проценты.

Пример.

Банк начислил по вкладам 4 % годовых, от суммы вклада.

Вычислить сколько денег получит вкладчик через 5 лет, если он положил на счёт 10 000 руб.

Решение.

Через 5 лет вкладчик получит сумму и проценты, которые начислялись за 5 лет.

bn = a (1 + р / 100) ⁿ

а - первоначальная сумма.

p - проценты, которые начисляются каждый год.

n - количество лет.

bn - сумма с процентами, получившимися через 5 лет.

b5 = 10 000 (1 + 4 / 100) ⁵ = 10 000 (1 + 0, 04) = 10 000 × 1, 04 ≈ 12 166, 529

То есть 12 166 руб. и 53 коп.

Ответ: 12 166 руб. 53 коп.

Вариант 13.

Ященко ЕГЭ 2016 год.

31 декабря 2014 года заёмщик взял некоторую сумму в кредит под 11% годовых.

Схема выплаты кредита.

31 декабря следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга.

Заёмщик переводит в банк 3 696 300 руб.

Какую сумму он взял в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами.

Решение.

p = 11 %

b1 = 3 696 300

Выплата после начисления процентов за 1 год.

n = 2

Так как платежа два (два года).

b1 = a1 (1 + р / 100)

Это сумма с начисленными процентами за один год.

а1 - это первоначальная сумма, которая будет взята в банке на первый год.

3 696 300 = а1 (1 + 11 / 100)

3 696 300 = а1 × 1, 11

а1 = 3 696 300 / 1, 11 = 3 330 000

b2 = а2 (1 + p / 100) ²

Это сумма с начисленными процентами за второй год на ту сумму, которая осталась после выплаты в первый год.

b2 - это выплата, которую нужно внести за второй год.

а2 - это та сумма, которая осталась после первой выплаты, на которую начисляются опять проценты.

b1 = b2 = 3 696 300

Так как платежи будут равные каждый год по условию.

3 696 300 = а2 (1 + 11 / 100) ²

3 696 300 = а2 × (1, 11) ²

3 696 300 = а2 × 1, 2321

а2 = 3 696 300 / 1, 2321

а2 = 3 000 000

Значит, взяли в банке сумму:

a2 = 3 330 000 + 3 000 000 = 6 330 000 руб.

Ответ: 6 330 000 руб.

Вариант 19.

31 декабря 2014 года заёмщик взял в банке 1 млн. руб. в кредит.

Схема выплаты кредита.

31 декабря каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, увеличив долг на р процентов.

Если заёмщик переводит очередной транш и платит кредит за 2 транша (года), переведя в первый раз 540 тыс. руб., во второй раз 649, 6 тыс. руб.

Найти р.

Решение.

а = 1 000 000

Первоначальная сумма, взятая в банке.

n = 2

Кредит выплатится за два года.

b1 = 540 000 руб. - первая выплата за первый год.