Интегрирование гиперболических функций

Василиса Волконская

Интегрирование гиперболических функций

Содержание:

1) Гиперболические функции.

2) Геометрическое определение тригонометрических функций и гиперболических функций.

3) Доказательство основного гиперболического тождества.

4) Чётность и нечётность гиперболических функций.

5) Графики гиперболических функций.

6) Связь гиперболических функций с тригонометрическими функциями.

7) Основные тождества гиперболических функций. И основные гиперболические формулы.

8) Обратные гиперболические функции.

9) Основные тождества для обратных гиперболических функций.

10) Связь гиперболических функций с логарифмической.

11) Производные гиперболических функций.

12) Первообразные гиперболических функций.

13) Интегралы перехода от гиперболических функций к логарифмическим функциям.

14) Примеры интегралов с гиперболическими функциями.

15) Интегрирование по частям. Примеры решения.

16) Сведение интеграла к тому же интегралу.

17) Метод замены переменной.

18) Универсальная гиперболическая замена переменной.

18. 1 Замена на тангенс или котангенс половинного аргумента.

18. 2 Замена на тангенс от обычного аргумента.

19) Интегрирование иррациональных функций через гиперболические функции.

20) Интегрирование гиперболических функций, заменяя их на выражение с экспонентой.

Интегрирование гиперболических функций.

1)) Гиперболические функции.

Гиперболические функции - это семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Экспонента - это показательная функция с основанием е.

е - число Эйлера.

е ≈ 2, 718

f (x) = e * - экспонента.

Гиперболические функции задаются формулами.

Гиперболический синус.

sh x = (е *- е ⁻*) / 2 = (e ²* - 1) / 2e*

Гиперболический косинус.

ch x = (е *+ е ⁻*) / 2 = (e ²* + 1) / 2e*

Гиперболический тангенс.

th x = sh x / ch x = (e * - е ⁻*) / (e * + е ⁻*) = (e²* - 1) / (e²* + 1)

Гиперболический котангенс.

cth x = 1 / th x = ch x / sh x = (e * + е ⁻*) / (e * - е ⁻*) = (e ²* + 1) / (e ²* - 1)

Гиперболический секанс.

sch x = 1 / ch x = 2 / (e * + е ⁻*)

Гиперболический косеканс.

csch x = 1 / sh x = 2 / (e * - е ⁻*)

Гиперболический секанс - это единица делённая на гиперболический косинус.

Гиперболический косеканс - это единица делённая на гиперболический синус.

2)) Геометрическое определение тригонометрических функций и гиперболических функций.

Тригонометрические функции дают параметрическое представление об окружности.

Если окружность единичная с центром в начале координат, то её уравнение определяется по формуле:

x ² + y ² = R ²

х ² + y ² = 1 , если R = 1

Оси x ставится в соответствие cos α (косинус).

Оси у ставится в соответствие sin α (синус).

Получается основное тригонометрическое тождество.

cos ² α + sin ² α = 1

Это параметрическое задание окружности через тригонометрические функции.

Аргумент под функциями равен двойной площади сектора взятой со знаком плюс, если сектор лежит выше оси x; и взятой со знаком минус, если сектор лежит ниже оси x.

Тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на окружности.

Гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы.

Если центр гиперболы находится в начале координат, то её уравнение приводится к каноническому виду.

x ² / a ² - y ² / b ² = 1

где

а - действительная полуось.

b - мнимая полуось.

Если a и b равны единице, то получается уравнение единичной гиперболы.

x ² - y ² = 1

Ось x будет действительной осью.

Ось y будет мнимой осью.

Оси x поставим в соответствие гиперболический косинус ch t.

Оси y поставим в соответствие гиперболический синус sh t.

Получаем основное гиперболическое тождество.

ch ² t - sh ² t = 1

t - аргумент под функциями, равный двойной площади криволинейного треугольника, взятой со знаком плюс, если треугольник лежит выше оси x; и взятой со знаком минус, если треугольник лежит ниже оси x.

t - это действительный аргумент, называемый гиперболическим углом.

Это параметрическое задание гиперболы через гиперболические функции.

Гиперболический синус и косинус, являются координатами точки на единичной гиперборе.

Гиперболический косинус - это абсцисса точки, расположенной на единичной гиперболе.

Гиперболический синус - это ордината точки, расположенной на единичной гиперболе.

Это определение аналогично определению тригонометрических функций, через единичную окружность.

Тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на окружности.

А гиперболические синус и косинус являются координатами точки на единичной гиперболе.

3)) Доказательство основного гиперболического тождества. Звездочка это х.

сh ² x - sh ² x = 1

Заменим функции на полу сумму экспонент.

(e *+ е ⁻*) ² / 2 - (е * - е ⁻*) ² / 2 = 1

Приведём дроби к общему знаменателю.

(е * + е ⁻*) ² - (е * - e ⁻*) ² / 4 = 1

Раскроем скобки по формулам квадрата суммы и разности.

(e ²* + 2 e * × е ⁻* + е ⁻²*- (е ²* - 2 е *× е ⁻*+ е ⁻²*)) / 4 = 1

(e²* + 2e *⁻* + е⁻²* - е²* + 2e*⁻* - e⁻²*) / 4 = 1

2e ⁰ + 2e ⁰ / 4 = 1

4 / 4 = 1

1 = 1

Тождество доказано.

4)) Чётность и нечётность гиперболических функций.

Гиперболический косинус функция чётная.

ch (- x) = ch x

Минус пропадает.

Гиперболические синус, тангенс, котангенс функции нечётные.

sh (- x) = - sh x

th (- x) = - th x

cth (- x) = - cth x

Минус выносится за функцию.

5)) Графики гиперболических функций.

y = sh x

Гиперболический синус.

Гиперболический синус возрастает на всей числовой оси.

D (f): x ϵ (- ∞; + ∞).

E(f): y ϵ (- ∞; + ∞)

Гиперболический косинус y = ch x

Гиперболический косинус убывает на (- ∞; 0) и возрастает на (0; + ∞).

Точка (0; 1) является минимумом функции.

Гиперболический тангенс y = th x

Гиперболический тангенс возрастает на всей числовой оси.

Он имеет две горизонтальные асимптоты y = - 1 и y = 1.

D(f): x ϵ (- ∞; +∞).

E(f): y ϵ (- 1; 1)

Гиперболический котангенс y = cth x

Гиперболический котангенс убывает на (- ∞; 0); (0; + ∞)

Он имеет две горизонтальные асимптоты y = 1 и y = - 1 и вертикальную асимптоту x = 0.

D(f): x ϵ (- ∞; + ∞).

E(f): y ϵ (- ∞; - 1); (1; + ∞)

6)) Связь гиперболических функций с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

sh x = - i sin i x

ch x = cos i x

th x = - i tg i x

cth x = -1 / i ctg i x = - i ctg x

sh i x = i sin x

ch i x = cos x

th i x = i tg x

cth i x = 1 / i ctg x = - i ctg i x

7)) Основные тождества гиперболических функций.

sh x - ch x = - е ⁻*

ch x + sh x = e *

ch x - sh x = e ⁻*

ch ² x - sh ² x = 1

ch ² x = 1 + sh ² x

sh ² x = ch ² x - 1

Основные гиперболические формулы.

th x = sh x / ch x

cth x = ch x / sh x

1 / ch ² x = 1 - th ² x

1 / sh ² x = cth ² x - 1

th ² x = 1 - 1 / сh ² x

cth ² x = 1 + 1 / sh ² x

th x × cth x = 1

th x = 1 / cth x

cth x = 1 / th x

Формулы двойного аргумента.

sh 2x = 2 ch x sh x

ch 2x = ch ² x + sh ² x

ch 2x = 2ch ² x - 1

ch 2x = 1 + 2 sh ² x

th 2x = 2 thx / (1 + th ² x) cth 2x = (1 + th ² x) / 2 th x

cth 2x = (th x + cth x) / 2 = th 2x

Гиперболический синус и косинус двойного угла через тангенс.

sh 2x = 2 th x / (1 - th ² x)

ch 2x = (1 + th ² x) / (1 - th ² x)

Формулы понижения степени.

ch ² x = 1/2 (ch 2x + 1)

sh ² x = 1/2 (ch 2x - 1)

th ² x = (ch 2x - 1) /(ch 2x + 1)

cth ² x = (ch 2x + 1) /(ch 2x - 1)

Формулы перехода к тангенсу и котангенсу.

ch ² x = 1 / (1 - th ² x)

sh ² x = 1 / (cth ² x - 1)

ch ² x = cth ² x / (cth ² x - 1)

sh ² x = th ² x / (1 - th ² x)

Формулы перехода к половинному аргументу.

sh x = 2 (th (х / 2)) / (1 - th ² (х / 2))

ch x = (1 + th ² (х / 2)) / (1 - th ² (х / 2))

th x = (2 th (х / 2)) / (1 + th ² (х / 2))

cth x = (1 + th ² (х / 2))) / 2 th (х / 2))

Формулы суммы и разности функций с разными аргументами.

sh x + sh y = 2 sh (x + y) / 2 ch (x - y) / 2

sh x - sh y = 2 sh (x - y) / 2 сh (x + y) / 2

ch x + ch y = 2 ch (x + y) / 2 сh (x - y) / 2

ch x - ch y = 2 sh (x + y) / 2 sh (x - y) / 2

Запоминалка.

Эти формулы также легко запомнить, как и тригонометрические.

Если складываются и вычитаются синусы, то функция меняется в произведении и нужный знак стоит под синусом, тот же самый.

Если складываются косинусы, то функция не меняется при сложении.

Это косинус при вычитании и синус при сложении.

И впереди минуса нигде не выскакивает, в отличие от тригонометрических функций.

Формулы суммы и разности тангенсов и котангенсов с разными аргументами.

th x + th y = sh (x + y) / ch x ch y

th x - th y = sh (x - y) / chx ch y

cth x + cth y = sh (x + y) / shx sh y

cth x - cth y = sh (y - x) / sh x sh y

th x + cth y = ch (x + y) /ch x shy

th x - cth y = - ch (x - y) / sh x ch y

cth x - th y = ch (x - y) / sh x ch y

Формулы суммы и разности аргументов функций.

sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y

sh (x - y) = shx ch y - ch x sh y

ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

ch (x - y) = ch x ch y - sh x sh y

Запоминалка.

Если это сумма или разность аргументов под синусом, то функции меняются; а знаки не меняются.

Если это сумма или разность аргументов под косинусом, то функции не меняются и знаки не меняются, в отличие от тригонометрических функций.

Формулы суммы и разности аргументов для тангенса и котангенса.

th (x + y) = (th x + th y) / (1 + th x th y)

th (x - y) = (th x - th y) / (1 - th x th y)

th (x + y) = (cth x cth y + 1) / (cth x + cth y)

th (x - y) = (cth y - cth x) / (cth x cth y - 1)

cth (x + y)= (1 + cth x cth y) / (cth x + cth y)

cth (x - y) = (1 - cth x cth y) / (cth x - cth y)

cth (x + y) = (1 + th x th y) / (th x + th y)

cth (x - y) = (th x th y - 1) / (th y - th x)

Формулы произведения функций.

sh x sh y = 1/2 ((ch (x + y) - ch (x - y))

ch x ch y = 1/2 ((ch (x + y) + ch (x - y))

sh x ch y = 1/2 ((sh (x + y) + sh (x - y))

th x th y = (ch (x + y) - ch (x - y)) /(ch (x + y) + сh (х - y))

cth x cth y = (ch (x + y) + ch (x - y)) / (ch (x + y) - ch (x - y))

Формулы перехода от тангенса к синусу и косинусу двойного угла.

th x = (ch 2x - 1) / sh 2x

th x = sh 2x / (1 + ch 2x)

cth x = sh 2x / (ch 2x - 1)

cth x = (1 + ch 2x) / sh 2x

ch 2x + sh 2x = (sh x + ch x) ²

ch 2x - sh 2x = (sh x - ch x) ²

Формулы кратных углов.

sh 3x = 4 sh ³ x + 3 shx

ch 3x = 4 ch ³ x - 3 ch x

th 3X = th x (3 + th ² x) / (1 + 3 th ² x)

cth 3x = (1 + 3 th ² x)/ th x (3 + th ² x)

sh 5x = 16 sh ⁵ x + 20 sh ³ x + 5 shx

ch 5x = 16 ch ⁵ x - 20 ch ³ x + 5 ch x

th 5x = th x (th ⁴ x + 10 th ² x + 5) / (5 th ⁴ x + 10 th ² x + 1)

Формулы половинного аргумента.

sh ² (х / 2) = (ch x - 1) / 2

ch ² (х / 2) = (ch x + 1) / 2

th (х / 2) = sh x / (ch x + 1) = (ch x - 1) / sh x

cth (х / 2) = (ch x + 1) / sh x = sh x / (ch x - 1)

8)) Обратные гиперболические функции.

arch x - гиперболический ареакосинус.

arsh x - гиперболический ареасинус.

arth x - гиперболический ареатангенс.

arcth x - гиперболический ареакотангенс.

Обратные гиперболические функции обозначаются ar … x, так как ar обозначает area - площадь; а обратные тригонометрические функции обозначаются arc … x, так как arc - обозначает дуга.

И говорится ареасинус, ареакосинус, ареатангенс, ареакотангенс или арсинус, аркосинус, артангенс, аркотангенс если нужно покороче.

y = arch x - ареакосинус.

D (f): x ϵ [1; + ∞)

E (f): y ϵ [0; + ∞)

Возрастает (1; + ∞)

y = arsh x - ареасинус.

D (f): x ϵ(- ∞; + ∞)

E (f): y ϵ (- ∞; + ∞)

Возрастает на (- ∞; + ∞)

Функция нечётная.

arsh (- x) = - arsh x

y = arth x - ареатангенс.

D (f): x ϵ (- 1; 1)

E (f): y ϵ (- ∞; + ∞)

Возрастает на (- ∞; + ∞)

Функция нечётная.

arth (- x) = - arth x

y = arcth x - ареакотангенс.

D (f): x ϵ (- ∞; - 1); (1; + ∞)

E (f): y ϵ (- ∞; 0); (0; + ∞)

Убывает на (- ∞; - 1); (1; + ∞)

Функция нечётная.

arcth (- x) = - arcth x

Рассмотрим графики ещё двух гиперболических функций.

Гиперболический секанс - это единица делить на гиперболический косинус.

sch x = 1 / ch x = 2 / е * + е ⁻*

Функция чётная.

sch (- x) = sch x

Минус пропадает.

D (f): x ϵ (- ∞; + ∞)

E (f): y ϵ (0; + 1]

Функция возрастает на (- ∞; 0) и убывает на (0; + ∞)

Гиперболический косеканс - это единица делённая на гиперболический синус.

csch x = 1 / sh x = 2 / е * - е ⁻*

Функция нечётная.

csch (- x) = - csch x

Минус выносится за функцию.

D (f): x ϵ (- ∞; 0); (0; + ∞)

E (f): y ϵ (- ∞; 0); (0; + ∞)

9)) Основные тождества для обратных гиперболических функций.

sh (arsh a) = a

ch (arch a) = a

th (arth a) = a

cth (atcth a) = a

arch (sh x) = x

arch (ch x) = x

arth (th x) = x

arcth (cth x) = x

arch (- a) = arch a

arsh (- a) = - arsh a

arth (- a) = - arth a

arcth (- a) = - arcth a

sh (arsh x) = √(x ² - 1) |x| > 1

ch (arsh x) = √(x ² + 1); х ϵ R

sh (arth x) = x / √(1 - x ²); |x| < 1

ch (arth x) = 1 / √(1 - x ²); 0 ≤ x ≤ 1

sh (arcth x) = 1 / √(x ² - 1); |x| > 1

ch (arcth x) = x / √(x ² - 1); x > 1

th (arch x) = √(x ² - 1) / x; x ≥ 1

th (arsh x) = x / √(x ² + 1); x ϵ R

cth (arch x) = x / √(x ² - 1); x > 1

cth (arsh x) = √(x ² + 1) / x; x ≠ 0

10)) Связь гиперболических функций с логарифмической.

1) arsh x = ln |x + √(x ² + 1); x ϵ R

2) arsh x = |x + √(x ² - 1)|; x ≥ 1

3) arth x = 1/2 ln |(1 + x) / (1 - x)|; |x| < 1

4) arcth x = 1/2 ln |(x + 1) / (x - 1); |x| > 1

5) ln x = arth ((x ² - 1) / (x ² + 1)) = sh ((x ² - 1) / 2x) = ± arch ((x ² + 1) / 2x)

6) arth x = arsh (x / √(1 - x ²)) = ± arch (1 / √(1 - x ²))

7) arsh x = arth (x / √(1 + x ²)) = arsh √(1 + x ²)

8) arch x = |arsh √(x ² - 1)| = |arth √(x ² - 1) / x|

11)) Производные гиперболических функций.

(sh x) ' = ch x

(ch x) ' = sh x

(th x) ' = 1 / ch ² X

(cth x) ' = - 1 / sn ² x

(arsh x) ' = 1 / √(x ² + 1)

(arch x) ' = 1 / √(x ² - 1)

(аrth x) ' = 1 / (1 - x ²)

(arcth x) ' = 1 / (x ² - 1)

(ln|ch x|) ' = thx

(ln |sh x|) ' = cth x

(arsh (x / a)) ' = 1 / √(x ² + a ²)

(аrch (x / a)) ' = 1 / √(x ² - a ²)

(аrth (x / a)) ' = a / (a ² - x ²)

(arcth (x / a)) ' = a / (a ² - x ²)

(аrcsch (x / a)) ' = - a / x √(а ² - x ²)

(arsh (x / a)) ' = - a / x √(a ² + x ²)

(csсh x) ' = - cthx csch x

(csh x) ' = - th x sch x

12)) Первообразные гиперболических функций.

∫ ch x dx = sh x + C

∫ sh x dx = ch x + C

∫ dx / ch ² x = th x + C

∫ dx / sh ² x = - cth x + C

∫ dx /√(x ² + 1) = arsh x + C

∫ dx / √(x ² - 1) = arch x + C

∫ dx / (1 - x ²) = arth x + C

∫ dx / (x ² - 1) = - arcth x + C

∫ th x dx = ln |ch x| + C

∫ cth x dx = ln |sh x| + C

∫ dx /√(x ² + a ²) = arsh (x / a) + C

∫ dx / √(x ² - a ²) = arch (x / a) + C

∫ dx / (а ² - x ²) = 1 /a arth (x / a) + C

∫ dx / (a ² - x ²) = 1 /а arcth (x / a) + C

∫ dx / x √(a ² - x ²) = - 1 /a arcsch (x / a) + C

∫ dx / x √ (а ² + х ²) = - 1 /a arsh (x / a) + C

∫ cth x csch x dx = - csch x + C

∫ th x sch x dx = - sch x + C

13)) Интегралы перехода от гиперболических функций к логарифмическим функциям.

∫ dx / √(x ² + 1) = arsh x + C = ln |x + √(x² + 1)| + C; x ϵ R

∫ dx / √(x ² - 1) = arch x + C = ln |x + √(x ² - 1)| + C; x ≥ 1

∫ dx / (1 - x ²) = arth x + C = 1 / 2 ln |(1 + x) / (1 - x)| + C; |x| < 1

∫ dx /(x ² - 1) = - arcth x + C = 1/2 ln |(x - 1) / (x + 1)| + C; |x| > 1

∫ dx / √(x ² + a ²) = arsh (x / a) + C = ln |x + √(x ² + a ²)| + C; x / a > 1; а ≠ 0

∫ dx / √(х ² - a ²) = arch (x / a) + C = ln |(x + √(x ² - a ²)| + C; x / a > 1; a ≠ 0

∫ dx / (a ² - x ²) = 1 / a arth (x / a) + C = 1 / (2а) ln |(а + x) / (a - x)| + C; x / a < 1; а ≠ 0

∫ dx / (x ² - a ²) = 1 / a arcth (x / a) + C = 1 / (2а) ln |(а - x) / (a + x)| + C; x / a > 1; а ≠ 0

∫ csch x dx = ln |th (x / 2)| + C = ln |(e * - 1) / (e * + 1)| + C

∫ sch x dx = 2 arctg th (x / 2) + C = 2 arctg е * + C

14)) Примеры интегралов с гиперболическими функциями.

Интегрирование гиперболических функций непосредственно.

Пример один.

∫ dx / ch x =

Умножим и поделим интеграл на гиперболический косинус.

= ∫ ch x dx / ch ² x =

Внесем из числителя функцию под дифференциал. Найдём её первообразную.

= ∫ d sh x / ch ² x =

Заменим по основному гиперболическому тождеству косинус на выражение с синусом.

= ∫ d sh x / (1 + sh ² x) =

Сделаем замену переменной.

Пусть sh x = t

= ∫ dt / (1 + t ²) =

Это табличный интеграл.

Найдём его по таблице первообразных.

= arctg t + C =

Сделаем обратную замену.

= arctg sh x + C

Ответ: arctg sh x + C

Пример два.

∫ dx / sh x =

Умножим и поделим интеграл на гиперболический синус.

= ∫ sh x dx / sh ² x =

Внесём из числителя функцию под дифференциал.

Найдём её первообразную.

= ∫ d ch x / sh ² x =

Заменим по основному гиперболическому тождеству синус на выражение с гиперболическим косинусом.

= ∫ d ch x / (ch ² x - 1) =

Сделаем замену переменной.

Пусть ch x = t

= ∫ dt / (t ² - 1) =

Это табличный интеграл.

Найдём его по таблице первообразных.

= 1/2 ln|(t - 1) /(t + 1)| + C =

Сделаем обратную замену.

= 1/2 ln|( ch x - 1) /( ch x + 1)| + C